Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 08 BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ GÓC – KHOẢNG CÁCH Phương pháp giải: Giả sử mặt phẳng cần lập có véc tơ véc tơ pháp tuyến nP = (a; b; c), a + b2 + c ≠ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d vuông góc với véc tơ phương d ( P ) : a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = Khi ta có nQ ud = ⇔ a = f (b; c) Từ kiện góc, khoảng cách ta phương trình đẳng cấp bậc hai theo ẩn a, b, c Thay a = f(b; c) vào phương trình này, giải b = m.c b = n.c Chọn cho c = 1, từ tim giá trị tương ứng a b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai phương trình có dạng x x x Ax + Bxy + Cy = ⇔ A + B + C = ⇒ = t ⇔ x = t y y b y 2 Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hai mặt phẳng ( α ) : x + y − z + = 0; (β ) : x − y + = 30 Ví dụ 2: [ĐVH] Lập phương trình (P) qua A(1; −1;0), B (2; −1; −1) cho khoảng cách từ M(–2; 1; 3) đến (P) Đ/s: ( P) : x + y + z − = 0;( P ) : x − y + z − = x +1 y z + Ví dụ 3: [ĐVH] Lập phương trình (P) chứa d : = = cho khoảng cách từ A(–3; 1; 1) đến (P) 1 −2 Đ/s: ( P ) : x + y + z + = x − y +1 z Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ∆ : = = ;( P ) : x + y − z + = −1 Lập (Q) // ∆; (Q) ⊥ (P) đồng thời khoảng cách từ A(1; 2; 0) đến (P) 30 Đ/s: (Q ) : x + y + z + = Ví dụ 5: [ĐVH] Lập phương trình (P) qua A(−1;2;1), vuông góc với mặt phẳng (xOy) đồng thời khoảng cách từ điểm B (1;1; −3) đến (P) Đ/s: ( P) : x + y = Lập (P) vuông góc với hai mặt phẳng cho đồng thời khoảng cách từ điểm A(3; 1; 1) đến (P) x = + t Ví dụ 6: [ĐVH] Cho d : y = − 2t điểm A(1;1;2), B (3;1; −1) z = −t Lập (P) chứa d cho khoảng cách từ A tới (P) hai lần khoảng cách từ B tới (P) Đ/s: ( P ) : y − z = 0;( P ) : x + y + z − 17 = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x −1 y +1 z điểm A(1;2; 2), B (4;3;0) = = −1 −2 Lập (P) chứa d cho khoảng cách từ A tới (P) khoảng cách từ B tới (P) Ví dụ 7: [ĐVH] Cho d : Đ/s: ( P) : x − y + z − 10 = 0;( P ) :12 x − 10 y + 17 z − 22 = Ví dụ 8: [ĐVH] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) (P): x + 2y + z −3= Viết phương trình (Q) chứa AB tạo với (P) góc α thỏa mãn cos α = Hướng dẫn giải: Giả sử (Q) có véc tơ pháp tuyến nQ = (a; b; c), a + b + c ≠ (Q ) : a ( x + 1) + b( y − 2) + c( z + 3) = Mặt phẳng (Q) chứa A; B nên nQ AB = ⇒ a − b − c = ⇔ a = b + c Theo bài, ( ( P);(Q ) ) = α ⇒ cos α = nP n Q nP n Q a + 2b + c = a +b +c 2 1+ +1 ⇔ ( a + 2b + c ) = a + b + c = b c = −1 ⇔ ( 3b + 2c ) = 2b + 2c + 2bc ⇔ 8b + 11bc + 3c = ⇔ b = − c +) Với b = −c, chọn c = 1; b = −1; a = ⇒ (Q ) : −( y − 2) + ( z + 3) = ⇔ y − z − = b +) Với = − , chọn c = 8; b = −3; a = ⇒ (Q ) : 5( x + 1) − 3( y − 2) + 8( z + 3) = ⇔ x − y + z + 35 = c Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 9: [ĐVH] Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1; −2) đường thẳng x y − z +1 d: = = Viết phương trình đường thẳng (∆) qua giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng (OAB), −1 nằm mặt phẳng (OAB) hợp với đường thẳng (d) góc α cho cos α = Hướng dẫn giải: Ta có OA = ( 2; −1;1) , OB = ( 0;1; −2 ) ⇒ OA, OB = (1;4;2 ) = nOAB Do (OAB): x + 4y + 2z = (1) x + y + 2z x = t Gọi M = d ∩ (OAB) tọa độ M nghiệm hệ → t = −10 ⇒ M = ( −10;13; −21) y = 3−t z = −1 + 2t Vì ∆ ∈ ( OAB ) ⇒ nOAB u∆ = ⇔ a + 4b + 2c = ⇒ a = −4b − 2c, với u∆ = ( a; b; c ) Do : α = (d ; ∆ ) ⇒ cos α = ud u∆ ud u∆ = a − b + 2c a +b +c 2 1+1+ = a − b + 2c a +b +c 2 = b=− c 2 2 2 ⇔ ( −5b ) = 25 ( 4b + 2c ) + b + c ⇔ 11b + 16bc + 5c = ⇔ 11 b = −c x = −10 − 31t +) Với b = − c , chọn c = 11; b = −5; a = −31 ⇒ ∆ : y = 13 − 5t 11 z = −21 + 11t x = −10 + 2t +) Với b = −c , chọn c = 1; b = −1; a = ⇒ ∆ : y = 13 − t z = −21 + t Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 10: [ĐVH] Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(0;1;−2), vuông góc x+3 y−2 z với đường thẳng d : = = tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z +5 = góc 300 −1 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có véc tơ phương u = (1; −1;1) , đường thẳng ∆ có véc tơ phương u∆ = ( a; b; c ) Mặt phẳng (P) có n = ( 2;1; −1) Gọi α = ( d ; P ) ⇒ sin α = ⇔ 2a + b − c = u∆ nP 2a + b − c = cos u∆ , nP = = u ∆ nP a + b2 + c + + ( ) ⇔ ( 2a + b − c ) = ( a + b + c ) , (*) a + b2 + c Mặt khác, d ⊥ ∆ ⇒ ud u∆ = ⇔ a − b + c = ⇔ b = a + c a = c Khi đó, ⇔ 2.9a = ( 2a + 2ac + 2c ) ⇔ 2a − ac − c = ⇔ a = − c x = t +) Với a = c ⇒ b = 2a, chọn a = c = 1; b = ⇒ ∆ : y = + 2t z = −2 + t x = t +) Với c = −2a ⇒ b = −a, chọn a = 1; b = −1; c = −2 ⇒ ∆ : y = − t z = −2 − 2t Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán 2 2 Ví dụ 11: [ĐVH] Trong không gian cho hai đường thẳng ∆1 : x y z x −1 y +1 z −1 = = ∆ : = = −2 1 −1 a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 tạo với đường thẳng ∆1 góc 300 Hướng dẫn giải: a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo nhau: Đường thẳng ∆1 có véc tơ phương u1 = (1; −2;1) qua O(0;0;0), Đường thẳng ∆2 qua B(1; −1; 1) có véc tơ phương u2 = (1; −1;3) Ta thấy hai véc tơ phương hai đường khác phương nên d1 d2 chéo nhau, cắt Mặt khác, u1 ; u2 = ( −5; −2; −1) ⇒ u1 , u2 OB = ≠ Vậy hai đường thẳng ∆1 ∆2 chéo b) Viết phương trình (P) Giả sử (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (a; b; c), a + b2 + c ≠ B ∈ (Q ) ⇒ a( x − 1) + b( y + 1) + c( z − 1) = Mặt phẳng (Q) chứa ∆2 nên nQ u∆ = ⇒ a − b + 3c = ⇔ a = b − 3c Theo bài, α = ( ∆1 ; P ) ⇒ sin α = ⇔ u∆1.nP a − 2b + c 1 = cos u∆1 , nP = ⇔ = 2 u∆1 nP a + b2 + c + + ( ) b − 3c − 2b + c = ⇔ 2b − 6bc + 10c = −b − 2c ⇔ 3(b − 3bc + 5c ) = b + 4bc + 4c 2 2 (b − 3c) + b + c b c =1⇔ b = c 2 2 2 ⇔ 3(b − 3bc + 5c ) = b + 4bc + 4c ⇔ 2b − 13bc + 11c = ⇔ b = 11 ⇔ b = 11 c c 2 +) Với b = c, chọn c = 1; b = 1; a = −2 ⇒ ( P ) : −2( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = ⇔ x − y − z − = Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b 11 = , chọn c = 2; b = 11; a = ⇒ ( P ) : 5( x − 1) + 11( y + 1) + 2( z − 1) = ⇔ x + 11 y + z + = c Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán x + y −1 z + Ví dụ 12: [ĐVH] Cho hai điểm A(1; 1; 1), B(2; 0; 2) đường thẳng d : = = Lập phương −2 −1 +) Với trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B tạo với d góc 600 Lời giải: Ta có: AB = (1; −1;1) = u AB Giả sử (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (a; b; c), a + b2 + c ≠ A ∈ (1;1;1) ∈ d ⇒ a ( x − 1) + b( y − 1) + c( z − 1) = Mặt phẳng (P) qua A,B nên nP u AB = ⇒ a − b + c = ⇔ a = b − c ( ) Theo bài, sin ( P; ∆ ) = sin 600 = cos nP , ud = nP ud ⇔ n p ud −2a − b + c = 2 a + b2 + c + + −2b + 2c − b + c = ⇔ 18 2b − 2bc + 2c = 3b − 3c ⇔ (b − bc + c ) = ( b − 2bc + c ) ⇔ bc = 2 2 (b − c) + b + c +) Với b = 0, chọn c = −1; a = ⇒ ( P ) : x − z = +) Với c = chọn b = 1; a = ⇒ ( P ) : x + y − = Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 13: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng ∆ góc x = t 600 biết d : y = − t , ∆ : z = t x−2 y −3 z +5 = = −1 Lời giải: Giả sử (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (a; b; c), a + b2 + c ≠ B ∈ ( 0;2;0 ) ∈ d ⇒ ax + b( y − 2) + cz = Mặt phẳng (P) chứa d nên nP ud = ⇒ a − b + c = ⇔ a = b − c ( ) Theo bài, sin ( P; ∆ ) = sin 600 = cos nP , u∆ = nP u∆ n p u∆ ⇔ 2a + b − c = a2 + b2 + c2 + + 2b − 2c + b − c = ⇔ 18 2b − 2bc + 2c = 3b − 3c ⇔ (b − bc + c ) = ( b − 2bc + c ) ⇔ bc = 2 2 (b − c) + b + c +) Với b =0, chọn c = −1; a = ⇒ ( P ) : x − z = +) Với c = chọn b = 1; a = ⇒ ( P ) : x + y − = Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 14: [ĐVH] Cho hai điểm A(1; -2; -2), B(0; -1; -2) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng (yOz) góc φ với cos φ = Lời giải: Giả sử mặt phăng (P) có vecto pháp tuyến nP = ( a, b, c ) ; a + b + c ≠ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ( P ) : a ( x − 1) + b ( y + ) + c ( z + ) = Mặt phẳng (P) chứa hai điểm A;B nên nP AB = ⇔ b − a = Do ( ( P);( yOz ) ) = α ⇒ cos α = nP n yOz a = nP n yOz a2 + b2 + c2 + + = ⇒ ( a ) = 2a + c ⇒ a = c a = −c ⇒ a = c • Với a = c chọn a = 1; b = 1; c = ⇒ ( P ) : x + y + z + = • Với a = -c chọn a = 1; b = 1; c = −1 ⇒ ( P ) : x + y − z − = x = t Ví dụ 15: [ĐVH] Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình d : y = , ( P ) : x + y − z + = z = − 2t Lập phương trình (Q) chứa d và tạo với (P) góc φ, biết cos φ = 15 Lời giải: Đường thẳng d qua điểm B ( 0;1;1) Giả sử mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ = ( a, b, c ) ; a + b + c ≠ ( Q ) : ax + b ( y − 1) + c ( z − 1) = Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng: nQ ud = ⇒ a − 2c = ↔ a = 2c ( ) Theo ta có: cos nQ , nP = nP n Q nP n Q = a+b−c a2 + b2 + c2 + + = b+c 1 ⇔ = 15 b + 5c b = ⇔ ( b + c ) = b + 5c ⇔ 2b + 5bc = ⇔ b ( 2b + 5c ) = ⇔ 2b = −5c +) Với b = → a = 2c ,chọn a = → c = ⇒ ( Q ) : x + z − = +) Với 2b = −5c , chọn b = −5 → c = → a = ⇒ ( Q ) : x − y + z − = Ví dụ 16: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1;0;1), B (−2;3; −2) tạo với đường thẳng ∆: x + y z −1 35 = = góc φ với cos φ = −1 Lời giải: Ta có: AB = ( −1;1; −1) ( Giả sử ( P ) có véc tơ pháp tuyến nP = ( a; b; c ) a + b + c ≠ ) A (1; 0;1) ∈ ∆ a ( x − 1) + by + c ( z − 1) = Do măt phẳng ( P ) qua A B nên ta có: ⇔ nP u AB = − a + b − c = ↔ a = b − c 35 ⇒ sin ( ( P ) ; ∆ ) = Theo bài, cos ϕ = cos ( ( P ) ; ∆ ) = 6 a − b + 2c c 1 Mặt khác ta lại có: sin ( ( P ) ; ∆ ) = cos nP ; u∆ = = ⇔ = a + b2 + c 6 ( b − c ) + b + c ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b = c ⇔ 3c = b + c − bc ⇔ 2c + bc − b = ⇔ ( c − b )( 2c + b ) = ⇔ b = − 2c +) Với b = c → a = ⇒ ( P ) : y + z − = ( ) +) Với b = −2c , chọn b = ⇒ c = −1 ⇒ a = ⇒ ( P ) : 3x + y − z − = Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 17: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : x + y z −1 = = tạo với mặt −1 phẳng (yOz) góc nhỏ nhất? Lời giải: Giả sử mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n = ( a, b, c ) ; a + b + c ≠ ( P ) : a ( x − 1) + by + c ( z + 1) = Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d có: nP ud = ⇒ 2a + b − c = Ta có: (( P ), ( yOz )) = α ⇒ cosα = nP n yOz = nP n yOz a a + b2 + c = a 5a + 4ab + 2b Nếu a = cos α = Nếu a ≠ , xét hàm f ( t ) = Vậy ( cosα )max = b 1 ≤ t = ⇒ f (t ) = a 2t + 4t + ( t + 1) + ⇔ t = −1 ⇔ a = −b = c Mặt phẳng cần tìm ( P ) : x − y + z = Ví dụ 18: [ĐVH] Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d : x + y +1 z = = tạo với mặt 1 −2 phẳng (xOy) góc nhỏ nhất? Lời giải: Giả sử mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n = ( a, b, c ) ; a + b + c ≠ ( P ) : a ( x − 1) + b ( y − 1) + c ( z + ) = Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d có: nP ud = ⇒ a + b − 2c = Ta có: (( P ), ( yOz )) = α ⇒ cosα = nP n yOx nP n yOx = c a2 + b2 + c2 = c 5c − 4bc + 2b Nếu c = cos α = Nếu c ≠ f ( t ) = Vậy ( cosα )max = 1 b ≤ t = ⇒ f (t ) = c 2t − 4t + ( t − 1) + ⇔ t =1⇔ a = b = c Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!