tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy.. Trong nhiều mô hình, hệ thức [r]
(1)(2)KHÁI NIỆM CHUNG
Trong thực tế nghiên cứu phụ thuộc lẫn đối tượng, nhiều thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số đối
tượng đó, mà thiết lập mối liên hệ đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, với đạo hàm tích phân hàm số chưa biết
Trong nhiều mơ hình, hệ thức liên hệ viết
(3)ĐỊNH NGHĨA
Phương trình mà có xuất biến số độc lập, hàm cần tìm đạo hàm (hay vi phân) gọi chung phương trình vi phân
Ví dụ.
( )
' ' 0 ; dy 2
y y x x y xy
dx
+ - = =
( )
( , , ', , , n ) 0
(4)CẤP CỦA PTVP
Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có mặt phương trình
Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: Phương trình vi phân cấp hai phương trình có dạng: Phương trình vi phân cấp n phương trình có dạng:
( , , ') 0 ' ( ),
(5)VÍ DỤ
Nêu cấp PTVP sau:
( )
( ) ( )
2 2
) ' '
) 1
) '' '
a y y x x y
b x dx x y dy c y xy xy
+ - =
+ + - =
(6)-VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP
Một bể chứa 20 kg muối hịa tan 5000 lít nước
Nước muối chứa 0,03 kg muối lít đổ vào bể với tốc độ 25 lít/phút Dung dịch trộn kỹ
(7)VÍ DỤ
Gọi y(t) lượng muối bể vào thời điểm t Ta có y(0)=20
Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200
Đây tốc độ thay đổi khối lượng muối y(t) Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200
(8)MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1
Giả định:
(9)MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2
Giả định:
+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số + Khi tăng đến mức K dân số giảm (hoặc giảm K dân số tăng K)
(10)PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có
dạng:
Trong đó:
- F xác định miền G thuộc R3
- x biến độc lập, y hàm cần tìm
( , , ') 0 , , dy 0
F x y y hay F x y
(11)NGHIỆM CỦA PTVP CẤP 1
Nghiệm tổng quát
Nghiệm tổng quát dạng ẩn (tích phân tổng quát)
Nghiệm riêng
(12)NGHIỆM TỔNG QUÁT
Dạng:
Thỏa mãn PTVP với giá trị C
Với điểm ( 0, 0) ∈ ta tìm C0 cho ( , )
y = j x C
( )
0 0,
(13)NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN
Tên khác: tích phân tổng quát
(14)NGHIỆM RIÊNG
Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát với số C0 xác định gọi nghiệm riêng
(15)NGHIỆM KỲ DỊ
(16)PTVP CẤP THƯỜNG GẶP
PT biến số phân ly
PT biến số phân ly PT đẳng cấp cấp
PT tuyến tính cấp PT Bernoulli
(17)PT BIẾN SỐ PHÂN LY
Dạng: g(y)dy=f(x)dx
Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x Ta có:
Ví dụ
( ) ( ) ( ) ( )
g y dy = f x dx Û G y = F x + C
ò ò
2
2
x
y dy dx x
=
(18)PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC
Dạng 1. Cách giải:
Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa dạng biến số phân ly Xét riêng giá trị f1(x)g2(y)=0
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
(19)VÍ DỤ
Giải phương trình:
Đáp án:
Nghiệm tổng quát: Nghiệm: y=-1
( ) ( )( )
2
1 1 1 0
x y + dx + x - y - dy =
3
1
ln 1 2ln 1
(20)PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC
Dạng 2. Cách giải:
Đặt z=ax+by
Đưa phương trình biến số phân ly dx, dz
( )