Trong chương này, chúng ta nghiên cứu phương trình vi phân tuyến tính cấp hai và tìm hiểu áp dụng chúng ra sao để giải quyết các bài toán liên quan đến sự rung động của lò xo và [r]
(1)CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
Những ý tưởng phương trình vi phân giải thích Chương 9, tập trung vào phương trình cấp Trong chương này, nghiên cứu phương trình vi phân tuyến tính cấp hai tìm hiểu áp dụng chúng để giải toán liên quan đến rung động lò xo phân tích mạch điện Chúng ta xem xét chuỗi vơ hạn sử dụng để giải phương trình vi phân
6.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng [1] P(x)y"(x) + Q(x)y'(x) + R(x)y(x) = G(x)
trong P, Q, R G hàm liên tục Chúng ta thấy mục 5.1 phương trình thuộc loại phát sinh việc nghiên cứu chuyển động lò xo Trong phần 6.3, tiếp tục theo đuổi ứng dụng việc áp dụng tới mạch điện
Trong phần nghiên cứu trường hợp G(x) = với x phương trình [1] Những phương trình phương trình tuyến tính thn Do đó, dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
[2] P(x)y"(x) + Q(x)y'(x) + R(x)y(x) =
Nếu G(x) ≠ với x, phương trình gọi khơng trình bày mục 6.2
6.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Hai định lý cho phép giải phương trình tuyến tính Định lý thứ nói tổ hợp tuyến tính hai nghiệm nghiệm
[3] Định lý Nếu y1(x) y2(x) hai nghiệm phương trình [2] c1 c2 số y = c1y1(x) + c2y2(x) nghiệm Phương trình
Chứng minh Bởi y1 y2 nghiệm phương trình [2], ta có
P(x)y1" + Q(x)y1' + R(x)y1 = P(x)y2" + Q(x)y2' + R(x)y2 =
Do sử dụng quy tắc đạo hàm, ta có P(x)y" + Q(x)y' + R(x)y
= P(x)(c1y1 + c2y2)" + Q(x)(c1y1 + c2y2)' + R(x)(c1y1 + c2y2)
= P(x)(c1y1" + c2y2") + Q(x)(c1y1' + c2y2') + R(x)(c1y1 + c2y2)
= c1[P(x)y1" + Q(x)y1' + R(x)y1] + c2[P(x)y2" + Q(x)y2' + R(x)y2]
= c1(0) + c2(0) =
Vì y = c1y1(x) + c2y2(x) nghiệm Phương trình ∎ Định lý thứ hai nói y1 y2 hai nghiệm độc lập tuyến tính, tức y1(x)/y2(x) ≠
const, tổ hợp tuyến tính chúng nghiệm tổng quát phương trình [4] Định lý Nếu y1 y2 hai nghiệm độc lập tuyến tính Phương trình 2, P(x) ≠ 0,
thì nghiệm tổng quát cho y(x) = C1y1(x) + C2y2(x), với C1 C2 số
tùy ý
(2)[5] ay" + by' + cy = a, b c - const
Khơng khó để tìm ứng cử cho nghiệm riêng phương trình [5] phát biểu phương trình lời Chúng ta tìm hàm y cho số nhân với y" cộng với số khác nhân với y' cộng với số thứ ba nhân với y
Chúng ta biết hàm mũ = (r – const) có tính chất đạo hàm số nhân với nó: ′ = Hơn nữa, " = Nếu thay biểu thức vào phương trình [5], ta thấy y nghiệm
+ + = ( + + ) =
Nhưng khác 0, nên = nghiệm phương trình [5] r nghiệm
[6] + + =
Phương trình [6] gọi phương trình đặc trưng (characteristic) phương trình vi phân ay" + by' + c = Chú ý phương trình đại số nhận từ phương trình vi phân cách thay y", y' y r2, r tương ứng
Đơi nghiệm r1 r2 phương trình đặc trưng tìm phân tích
ra thừa số Trong trường hợp khác chúng tìm cơng thức: [7] =− + √ −
2 =
− − √ −
2
Chúng ta phân biệt trường hợp dựa vào dấu biệt thức − Trường hợp − >
Trong trường hợp nghiệm r1 r2 phương trình đặc trưng phân biệt, nên
= = hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình [5] Do
[8] Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt r1 ≠ r2 nghiệm tổng quát
của phương trình ay" + by' + cy =
= +
Ví dụ Giải phương trình y" + y' – 6y = Lời giải Phương trình đặc trưng
+ − = ( − 2)( + 3) =
nên có nghiệm r1 = r2 = –3 Do nghiệm tổng quát = + ∎
Chúng ta kiểm tra thực nghiệm cách tính đạo hàm thay vào phương trình vi phân
Hình đồ thị đường cong nghiệm
= =
cùng số nghiệm khác tổ hợp tuyến tính
Ví dụ Giải phương trình " + ′ − =
Lời giải Giải phương trình đặc trưng nhận =−1 ± √13
6
(3)= √ = √
Nghiệm tổng quát = + = √ + √ ∎
Trường hợp − =
Trong trường hợp = = , tức phương trình đặc trưng có nghiệm kép Từ phương trình [7] có
[9] = − nên + =
Chúng ta biết = nghiệm phương trình [5], kiểm tra lại = nghiệm:
" + ′ + = (2 + ) + ( + ) +
= (2 + ) + ( + + ) = + 0( ) =
Biểu thức ngoặc đơn theo phương trình [9], cịn biểu thức thứ hai bằng r nghiệm phương trình đặc trưng Vì nghiệm = = độc lập tuyến tính nên theo Định lý ta nhận nghiệm tổng quát
[10] Nếu phương trình đặc trưng + + = có nghiệm kép r nghiệm tổng quát phương trình " + ′ + = = + = ( + )
Ví dụ Giải phương trình " + 12 ′ + =
Lời giải Vì + 12 + = (2 + 3) nên phương trình đặc trưng có nghiệm kép = − nên nghiệm tổng quát
= + = ( + ) ∎
Hình trình đồ thị nghiệm = = số nghiệm riêng Chú ý tất nghiệm dần x → ∞
Trường hợp − <
Trong trường hợp này, phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp
= + = −
trong α β số thực Cụ thể, = − , =√
Khi sử dụng phương trình Euler = + , ta biểu diễn hai nghiệm dạng khác:
= ( ) = ( + ) = ( ) = ( − )
Từ ta nhận hai nghiệm thực
= + = = − =
[11] Nếu phương trình đặc trưng + + = có nghiệm phức = + , = − nghiệm tổng quát " + ′ + = = ( + )
Ví dụ Giải phương trình " − ′ + 13 =
(4)Hình đồ thị nghiệm = = vài tổ hợp tuyến tính chúng
6.1.2. Bài toán giá trị đầu toán biên
Bài toán giá trị đầu phương trình vi phân cấp hai tìm nghiệm y phương trình cho thỏa mãn giá trị đầu ( ) = ( ) =
trong số cho trước
Người ta chứng minh rằng, khoảng đó, P, Q, R G liên tục P(x) ≠ nghiệm toán giá trị đầu tồn Ví dụ Ví dụ minh họa kỹ thuật giải tốn
Ví dụ Giải toán giá trị đầu
" + ′ − = (0) = ′(0) =
Lời giải Từ Ví dụ biết nghiệm tổng quát phương trình
( ) = +
Đạo hàm nghiệm ta nhận
( ) = 2 − 3
Để thỏa mãn diều kiện đầu
[12] (0) = + =
[13] (0) = − =
Từ [13] ta có = từ [12] cho + = ⇒ = =
Vì nghiệm cần tìm tốn giá trị đầu = + ∎ Ví dụ Giải bat giá trị đầu " + = (0) = ′(0) =
Lời giải Phương trình đặc trưng + = có nghiệm , = ± Do nghiệm tổng quát
( ) = +
Vì ( ) = − +
nên từ điều kiện đầu ta có = 2, =
Vậy nghiệm toán = + ∎ Bài tốn biên phương trình vi phân cấp hai tìm nghiệm y phương trình vi phân cho thỏa mãn điều kiện biên ( ) = ( ) =
(5)Ví dụ Giải tốn biên " + ′ + = (0) = (1) = Lời giải Phương trình đặc trưng + + = hay ( + 1) =
nên có nghiệm kép = −1
Do nghiệm tổng quát ( ) = + Để thỏa mãn giá trị biên
(0) = = (1) = + =
Giả = = −
Vì nghiệm tốn biên = + (3 − 1) ∎ Tóm tắt nghiệm phương trình vi phân " + ′ + =
Nghiệm phương trình đặc trưng Nghiệm tổng quát
≠ ( ℎ ệ ℎự ) = +
= = = +
, = ± ( ℎ ệ ℎứ ) = ( + )
6.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng
Trong mục học cách làm để giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không hệ số số, tức phương trình dạng
[1] " + ′ + = ( )
trong a, b c số G(x) hàm liên tục Phương trình tương ứng
[2] " + ′ + =
được gọi phương trình bổ trợ đóng vai trị quan trọng việc giải phương trình khơng gốc [1]
[3] Định lý Nghiệm tổng qt phương trình khơng [1] viết dạng ( ) = ( ) + ( )
trong yp nghiệm riêng phương trình khơng [1] yc nghiệm tổng quát
của phương trình tương ứng [2]
Chứng minh Giả sử ( ) nghiệm tổng quát ( ) nghiệm riêng phương trình [1] Ta chứng minh − nghiệm phương trình [2] Thật vậy,
− + − + − = − + − + −
= ( + + ) − ( " + ′ + ) = ( ) − ( ) =
Điều chứng tỏ − nghiệm phương trình [2] Nhưng y nghiệm tổng quát [1] nên chứa hai số, − chứa hai số, nên ngj tổng quát
phương trình [2] Tức − = hay = + ∎
Từ mục 6.1 ta biết cách tìm nghiệm tổng quát phương trình Định lý nói ta biết nghiệm tổng quát phương trình khơng ta biết nghiệm riêng Có hai phương pháp để tìm nghiệm riêng: Phương pháp hệ số bất định đơn giản chỉ dùng cho lớp hạn chế hàm G Phương pháp đạo hàm tham số sử dụng cho hàm G thường khó áp dụng thực tế
6.2.1. Phương pháp hệ số bất định
(6)+ + = ( )
trong G(x) đa thức Có sở để dự đốn có nghiệm riêng yp đa thức bậc
với G y đa thức + + đa thức Vì thay yp(x)
một đa thức bậc với G vào phương trình vi phân xác định hệ số đa thức Ví dụ Giải phương trình + − =
Lời giải Phương trình đặc trưng + − =
+ − = ( − 1)( + 2) = 0, có nghiệm = = −2 Vì nghiệm tổng quát phương trình tương ứng = + Bởi G(x) = x2 đa thức bậc nên tìm nghiệm riêng dạng
= + +
Khi = + = , thay vào phương trình vi phân cho, ta
(2 ) + (2 + ) − 2( + + ) =
hay −2 + (2 − ℎ ế ) + (2 + − ) =
Các đa thức hệ số nhau,
-2A = 2A – 2B = 2A + B – 2C = Nghiệm hệ phương trình đại số
= − = − = −
Nghiệm riêng phương trình khơng
( ) = − − −
và theo Định lý 3, nghiệm tổng quát
= + = − − − + + ∎
Hình thể bốn nghiệm phương trình vi phân Ví dụ theo nghiệm riêng yp
và hàm ( ) = ( ) =
Nếu vế phải phương trình [1] có dạng với C k số, thử tìm nghiệm riêng dạng đó, ( ) = , đạo hàm số nhân với
Ví dụ Giải phương trình + =
Lời giải Phương trình đặc trưng r2 + = có nghiệm ±i2, nghiệm phương
trình tương ứng ( ) = + Ta thử tìm nghiệm riêng dạng = ,
′ = ′′ =
Thay vào phương trình vi phân ta có
+ 4(3 ) = , nên = , =
Nghiệm tổng quát ( ) = + + ∎
Hình đồ thị nghiệm phương trình vi phân Ví dụ theo yp
hàm f(x) = cos2x g(x) = sin2x Chú ý tất nghiệm dần tới ∞ x → ∞ tất nghiệm (loại trừ yp) giống hàm sine x âm
(7)( ) = + Ví dụ Giải phương trình + − =
Lời giải Chúng ta thử tìm nghiệm riêng dạng = +
Khi = − + = − −
Thay vào phương trình vi phân ta nhận
(-Acosx – Bsinx) + (-Asinx + Bcosx) – 2(Acosx + Bssinx) = sinx hay (-3A + B)cosx + (-A – 3B)sinx = sinx
Điều -3A + B = –A – 3B = 1, hay = − = − Vậy nghiệm riêng = − −
Trong Ví dụ xác định nghiệm tổng quát phương trình = + , nghiệm tổng quát phương trình ban đầu
( ) = − ( + ) + + ∎
Nếu G(x) tích hàm thuộc kiểu nói thử tìm nghiệm dạng tích hàm Ví dụ, giải phương trình vi phân y'' + 2y' + 4y = xcos3x, ta thử tìm nghiệm riêng dạng = ( + ) + ( + )
Nếu G(x) tổng hàm kiểu đó, dễ dàng kiểm tra nguyên lý chồng chất nghiệm, tương ứng nghiệm phương trình vi phân
+ + = ( ) + + = ( )
thì + nghiệm phương trình vi phân + + = ( ) + ( )
Ví dụ Giải phương trình − = +
Lời giải Phương trình đặc trưng r2 – = có nghiệm ±2, nghiệm tổng qt
của phương trình tương ứng = +
Với phương trình − = , ta tìm nghiệm riêng dạng = ( + ) , ′ = ( + + ) , ′′ = ( + + ) , thay vào phương trình cho
( + + ) − 4( + ) = hay (−3 + − ) =
Vì -3A = 2A – 3B = 0, nên = − , = − = − − Đối với phương trình − = , ta tìm nghiệm riêng dạng
= +
Khi = −2 + 2 , = −4 −
Thay vào phương trình vi phân − = ta
−4 − − = + =
hay −8 − =
Do = − D = 0, nên = −
Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, nghiệm tổng quát
(8)Cuối cùng, ý nghiệm thử đề xuất lại nghiệm phương trình khơng thể nghiệm phương trình khơng Trong trường hợp nhân nghiệm đề xuất với x (hoặc x2 cần)
Ví dụ Giải phương trình y'' + y = sinx
Lời giải Phương trình đặc trưng r2 + = có nghiệm ±i, nghiệm tổng qt
phương trình tương ứng ( ) = +
Thông thường, thử tìm nghiệm riêng dạng ( ) = + , nhận nghiệm phương trình nhất, thử với
( ) = ( ) + ( ) ,
′( ) = ( + ) + (− + )
′′( ) = (− + ) + (− − ) Thay vào phương trình vi phân ta có
+ = −2 + =
Vì = − , = ( ) = − Nghiệm tổng qt phương trình khơng
= − + + ∎
Hình đồ thị số nghiệm riêng Ví dụ Tóm tắt phương pháp hệ số bất định
1 Nếu ( ) = ( ): Ký hiệu Q, R đa thức bậc với P(x), hệ số chưa xác định (a) Nếu α khơng phải nghiệm phương trình đặc trưng
( ) = ( )
(b) Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng ( ) = [ ( )]
(c) Nếu α nghiệm kép phương trình đặc trưng ( ) = [ ( )]
2 Nếu ( ) = cos ( ) ( ) = sin ( ) (a) Nếu ±iβ khơng nghiệm phương trình đặc trưng
( ) = cos ( ) + sin ( ) (b) Nếu ±iβ nghiệm phương trình đặc trưng
( ) = [cos ( ) + sin ( )] = cos ( ) + sin ( ) Nếu ( ) = e cos ( )
Đặt = ′ = ( + ) ′′ = ( + + ) , thay vào ta
( + + ) + ( + ) + = e cos ( )
hay + (2 + ) + ( + + ) = cos ( )
Tức ta đa đưa trường hợp thứ theo hàm cần tìm u Giải phương trình cuối ta nhận u(x), nghiệm riêng phương trình vi phân ban đầu ( ) = ( ) Ví dụ Giải phương trình − + 13 =
(9)Thay vào ta ( + + ) − 4( + ) + 13 = hay + = Phương trình đặc trưng r2 + = có nghiệm r
1,2 = ±i3
Vì ±iβ = ±i3 nghiệm phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng dạng
= [ ] + [ ],
khi = [3 + ] + [−3 + ]
= [−9 + ] + [−9 − ]
Thay vào phương trình vi phân u, ta
3 [−9 + ] + [−9 − ] + [ ] + [ ] =
hay [(0) + ] + [(0) − ] =
Do 6B = 1, -6A = 0, hay A = 0, B = Vậy = [ ]
Nghiệm riêng phương trình vi phân cho = ( ) = Phương trình đặc trưng − + 13 = ( − 2) + = có nghiệm , = ± nên nghiệm tổng quát phương trình tương ứng
( ) = ( + )
Vậy nghiệm tổng qt phương trình vi phân khơng cho
= + ( + ) ∎
6.2.2. Phương pháp biến thiên tham số
Giả sử giải phương trình + + = viết nghiệm tổng quát
[4] ( ) = ( ) + ( )
trong y1 y2 nghiệm độc lập tuyến tính Chúng ta thay số (hay tham số) C1
và C2 phương trình hàm tùy ý u1(x) u2(x) Chúng ta tìm nghiệm riêng
phương trình khơng + + = ( ) dạng [5] ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )
(Phương pháp gọi biến thiên tham số cho tham số C1 C2 biến
thiên hàm số.) Đạo hàm phương trình [5] ta nhận [6] ( ) = ( + ) + ( + )
Bởi u1 u2 hàm tùy ý nên áp đặt hai điều kiện lên chúng Một
điều kiện yp nghiệm phương trình vi phân, điều kiện khác đưa để đơn giản
việc tính tốn Từ dạng biểu thức phương trình [6], áp đặt điều kiện [7] + =
Khi = + + +
Thay vào phương trình vi phân ta nhận
[8] ( + + ) + ( + + ) + ( + ) =
Nhưng y1 y2 nghiệm phương trình nên
+ + = + + =
(10)Giải hệ hai phương trình [7] [9] ta nhận hàm u1' u2', sau tích phân ta
nhận u1 u2 cuối ta nhận nghiệm riêng theo phương trình [5]
Ví dụ Giải phương trình + = , < < /2
Lời giải Phương trình đặc trưng r2 + = có nghiệm ±i, nghiệm tổng quát
phương trình tương ứng ( ) = + Sử dụng phương pháp biến thiên tham số, ta tìm nghiệm riêng dạng ( ) = ( ) + ( ) Khi
= ( sin + cos ) + ( cos − sin ) Đặt
[10] + =
Thì ( ) = − − −
Để yp nghiệm ta phải có
[11] + = − =
Nhân phương trình [10] với sinx phương trình [11] với cosx cộng lại ta
(sin + cos ) = = = −
(Chúng ta tìm nghiệm riêng nên không cần thiết tới số tích phân) Từ phương trình [10] ta nhận
= − = −sin = −cos − 1= −
Vì vậy, ( ) = − ln( + )
(Chú ý sec x + tan x > < x < π/2) Do
( ) = − cos sin + [sin − ln(sec + tan )] cos = −cos ln(sec + tan )
Nghiệm tổng quát
( ) = − cos ln(sec + tan ) + sin + cos ∎ Hình đồ thị bốn nghiệm riêng phương trình Ví dụ
6.3 Ứng dụng phương trình vi phân cấp hai
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật Trong mục khám phá hai ứng dụng: dao động lò xo mạch điện
6.3.1. Dao động lò xo
(11)Theo Định luật Hooke, lò xo kéo giãn (hoặc nén) x đơn vị chiều dài tự nhiên của nó, tạo nên lực tỷ lệ thuận với x: Fđàn hồi = –kx
trong k số dương (được gọi hệ số co giãn) Nếu bỏ qua lực cản (sức cản khơng khí ma sát), theo Định luật thứ hai Newton (F = ma), ta có
[1] = − hay + kx =
Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình đặc trưng + = với nghiệm = ± , = / Vì nghiệm tổng quát
( ) = cos + sin , viết lại ( ) = cos( + )
= / (tần số), = + (biên độ), cos = , sin = − (δ góc pha) Đây loại chuyển động gọi dao động điều hịa (simple harmonic motion) Ví dụ Một lị xo khối lượng 2kg có độ dài tự nhiên 0.5m Một lực 25.6N cần thiết để trì kéo dài lò xo đến độ dài 0.7m Nếu lò xo kéo dài tới độ dài 0.7m sau thả với vận tốc ban đầu 0, tìm vị trí vật thể thời điểm t
Lời giải Từ Định luật Hooke, lực cần thiết để kéo giãn lò xo k(0.2) = 25.6, nên k = 128 Sử dụng giá trị k với m = vào phương trình [1] ta có
2 + 128 =
Như trình bày chung gần đây, nghiệm phương trình [2] ( ) = cos + sin
Chúng ta có điều kiện đầu x(0) = 0.2 Nhưng từ phương trình [2], x(0) = C1, C1 =
0.2 Đạo hàm phương trình [2] ta
′( ) = −8 sin + cos
Bởi vận tốc ban đầu x'(0) = nên C2 = 0, ( ) = cos ∎ 6.3.2. Dao động tắt dần
Tiếp theo xem xét chuyển động lò xo chịu lực ma sát (trong trường hợp lị xo nằm ngang Hình 2) lực giảm chấn (trong trường hợp lò xo dọc di chuyển thông qua chất lỏng Hình 3) Một ví dụ lực giảm chấn giảm xóc xe tơ xe đạp
Chúng ta giả định lực giảm chấn tỷ lệ thuận với vận tốc vật tác động ngược chiều với chuyển động (Điều khẳng định bởi, số thí nghiệm vật lý.) Vì
Fgiảm chấn = −
trong c số dương, gọi hệ số giảm chấn Vì trường hợp này, Định lý thứ hai Newton cho
= Fđà + F ả ấ = − −
hay
(12)Phương trình [3] phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương trình đặc trưng + ủ + = Nghiệm phương trình đặc trưng
[4] =− + √ −
2 =
− − √ −
2 Theo mục 6.1 cần thảo luận vấn đề Trường hợp c2 – 4mk > (giảm chấn già)
Trong trường hợp này, r1 r2 số thực khác nhau, = +
Bởi c, m k số dương, ta có √ − < , nên r1 r2 cho
phương trình [4] âm Điều chứng tỏ x → t → ∞ Các đồ thị điển hình x hàm t Hình Chú ý dao động không xảy (Có thể cho vật qua vị trí cân lần, lần.) Điều c2 > 4mk có nghĩa có
một lực giảm chấn mạnh (dầu độ nhớt cao mỡ) so với lò xo yếu vật nhỏ Trường hợp c2 – 4mk = (giảm chấn tới hạn)
Trường hợp tương ứng với nghiệm = = − , nghiệm
= ( + ) ( / )
Tương tự Trường hợp 1, đồ thị điển hình giống Hình (xem tập 12), giảm xóc vừa đủ để ngăn chặn rung động Bất kỳ giảm độ nhớt chất lỏng dẫn đến rung động trường hợp sau
Trường hợp c2 – 4mk < (giảm chấn non)
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức , = − ± = √ Nghiệm cho
= ( / ) ( cos ) + sin
Chúng ta thấy dao động giảm dần nhân tố Bởi c > m > 0, có –(c/2m) < nên → t → ∞ Điều bao hàm x → t → ∞, nghĩa chuyển động giảm dần t tăng Một đồ thị điển hình Hình
Ví dụ Giả sử lị xo Ví dụ ngâm chất lỏng với hệ số giảm chấn c = 40 Tìm vị trí vật thể thời điểm t vị trí cân đẩy với vận tốc ban đầu 0.6 m/s
(13)2 + 40 + 128 = hay + 20 + 64 =
Phương trình đặc trưng + 20 + 64 = có nghiệm –4 –16 nên chuyển động tắt dần nghiệm
( ) = +
Chúng ta có (0) = nên + = Lấy đạo hàm ta nhận
( ) = −4 − 16 nên (0) = − 16 − = 0.6
Bởi = − , nên 12 = 0.6 hay = 0.05 Do = 0.05( − ) ∎ Hình đồ thị hàm vị trí chuyển động tắt dần Ví dụ
6.3.3. Dao động cưỡng
Giả sử rằng, lực đàn hồi lực giảm chấn, chuyển động lò xo bị ảnh hưởng ngoại lực F(t) Khi đó, Định luật thứ hai Newton cho
= đà + ả ấ + = − − + ( )
Vì vậy, thay phương trình [3], chuyển động lị xo điều chỉnh thành phương trình vi phân không sau:
[5] + + = ( )
Chuyển động lò xo xác định phương pháp mục 6.2 Một loại thường xảy ngoại lực hàm lực tuần hoàn
( ) = cos với ≠ = /
Trong trường hợp này, khơng có lực giảm chấn (c = 0), sử dụng phương pháp hệ số bất định
[6] ( ) = cos + sin +
( − )cos
Nếu ω0 = ω tần số áp dụng tăng cường tần số tự nhiên kết rung động với biên
độ lớn, tượng cộng hưởng
6.3.4. Mạch điện
Tại mục 5.3 5.5, sử dụng phương trình vi phân phân ly tuyến tính cấp để phân tích mạch điện chứa điện trở cuộn cảm (xem Hình mục 5.3 Hình mục 5.5), điện trở tụ điện (xem tập 29 mục 5.5) Bây phân tích mạch hiển thị Hình sử dụng phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai để giải tốn liên quan Hình chứa nguồn điện E (cung cấp pin máy phát điện), điện trở R, cuộn cảm L tụ điện C Nếu điện dung tụ điện thời điểm t = ( ), dịng điện tốc độ thay đổi Q theo t: =
/ Như phần 5.5, biết đến từ vật lý hiệu điện điện trở, cuộn cảm tụ điện tương ứng RI LdI/dt Q/C
(14)+ + = ( ) Vì I = dQ/dt nên phương trình trở thành
[7] + +1 = ( )
đó phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số số Nếu điện dung Q0 dòng điện I0
là giá trị t = có điều kiện đầu (0) = (0) = (0) = toán giá trị đầu giải phương pháp mục 6.2
Phương trình vi phân dịng điện nhận cách đạo hàm phương trình [7] theo t lưu ý I = dQ/dt:
+ +1 = ( )
Ví dụ Tính điện dung dịng điện thời điểm t mạch điện Hình R = 40 Ω, L = H, C = 16×10–4 F, E(t) = 100 cos 10t diện dung với dòng điện ban đầu
Lời giải Với giá trị cho L, R, C E(t), phương trình [7] trở thành [8] + 40 + 625 = 100 cos 10
Phương trình đặc trưng + 40 + 625 = có nghiệm
, =
−40 ± √−900
2 = −20 ± 15
vì nghiệm phương trình ( ) = ( cos 15 + sin 15 ) Chúng ta tìm nghiệm riêng dạng ( ) = cos 10 + sin 10
Khi ( ) = −10 sin 10 + 10 cos 10
( ) = −100 cos 10 − 100 sin 10
Thay vào phương trình [8] ta
(−100 cos 10 − 100 sin 10 ) + 20(−10 sin 10 + 10 cos 10 ) +625( cos 10 + sin 10 ) = 100 cos 10
Cân hệ số ta có 525 + 400 = 100 −400 + 525 = hay
21 + 16 =
−16 + 21 = Nghiệm hệ
= 84/697 = 64/697 Vì nghiệm riêng
( ) = (84 cos 10 + 64 sin 10 ) Và nghiệm tổng quát
( ) = (84 cos 10 + 64 sin 10 ) + ( cos 15 + sin 15 ) Áp điều kiện đầu Q(0) = 0, ta nhận
(0) = + = nên = −
Để áp điều kiện khác, ta đạo hàm để tìm dịng điện
= = 40
697(−21 sin 10 + 16 cos 10 )
+ [(−20 + 15 ) cos 15 + (−15 − 20 ) sin 15 ]
(15)Vì cơng thức điện dung ( ) =
697 (21 cos 10 + 16 sin 10 ) −
3 (63 cos 15 + 116 sin 15 ) biểu thức cho dòng điện
=
2091 120(−21 sin 10 + 16 cos 10 ) + −1920 cos 15 + sin 15 Chú ý Trong Ví dụ 3, nghiệm Q(t) bao gồm hai phần Bởi → t → ∞
cả cos15t sin15t bị chặn nên Q(t) → t → ∞ Vì với giá trị t đủ lớn ( ) ≈ ( ) = (21 cos 10 + 16 sin 10 )
và ( ) gọi nghiệm ổn định Hình so sánh đồ thị nghiệm ổn định với đồ thị Q trường hợp
Chú ý So sánh phương trình [5] [7], thấy phương diện toán học chúng giống Điều cho thấy tương tự đưa biểu đồ sau trạng thái vật lý mà nhìn đầu tiên, khác
Hệ thống lò xo Mạch điện
x khoảng cách Q điện dung
dx/dt vận tốc I = dQ/dt dòng điện
m khối lượng L điện cảm
c hệ số giảm chấn R điện trở
k hệ số co giãn 1/C nghịch dung
F(t) ngoại lực E(t) sức điện động
Chúng ta chuyển ý tưởng khác từ tình đến tình khác Ví dụ, nghiệm ổn định thảo luận Chú ý có ý nghĩa hệ thống lị xo Và tượng cộng hưởng hệ thống lị xo hữu ích chuyển sang mạch điện cộng hưởng điện
6.4 Nghiệm dạng chuỗi
Nhiều phương trình vi phân giải tường minh kết hợp hữu hạn hàm đơn giản quen thuộc Điều phương trình nom đơn giản [1] − + =
Nhưng việc giải phương trình phương trình [1] quan trọng phát sinh từ toán vật lý đặc biệt, liên quan tới phương trình Schrưdinger học lượng tử Trong trường hợp sử dụng phương pháp chuỗi lũy thừa, có nghĩa là, tìm nghiệm dạng
= ( ) = = + + + + ⋯
Phương pháp thay biểu thức vào phương trình vi phân xác định hệ số c0, c1,
c2, Kỹ thuật giống phương pháp hệ số bất định thảo luận mục 6.2
(16)phương trình kỹ thuật mục 6.1, phương pháp chuỗi lũy thừa dễ hiểu áp dụng cho phương trình đơn giản
Ví dụ Sử dụng chuối lũy thừa để giải phương trình y'' + y = Lời giải Chúng ta giả sử nghiệm có dạng
[2] = + + + + ⋯ = Chúng ta đạo hàm từ chuỗi lũy thừa
= + + + + ⋯ =
[3] = + 2.3 + 3.4 + ⋯ = ( − 1) Để so sánh biểu thức y y" dễ hơn, ta viết lại y'' sau [4] = ( + 2)( + 1)
Thay biểu thức phương trình vào phương trình vi ta nhận
( + 2)( + 1) + =
hoặc
[5] [( + 2)( + 1) + ] =
Nếu hai chuỗi lũy thừa hệ số tương ứng phải Do hệ số xn phương trình [5] phải 0, ( + 2)( + 1) + = 0, hay
[6] =
( + 2)( + 1) = 0, 1, 2, 3, …
Phương trình [6] đường cong gọi đệ quy Nếu c0 c1 biết phương trình
cho phép xác định hệ số lại theo cách đệ quy cách đặt n = 0, 1, 2, 3, Đặt n = 0: = −
= − ! Đặt n = 1: = −
= − ! Đặt n = 2: = −
= ! = ! Đặt n = 3: = −
= ! = ! Đặt n = 4: = −
= − ! = − ! Đặt n = 5: = −
= − ! = − ! Vì nhận thấy
Với hệ số có số chẵn, = (−1) ( )! Với hệ số có số lẻ, = (−1)
(17)= + + + + + + ⋯
= −
2! +4!−6! + ⋯ + (−1) (2 )!+ ⋯
+ −
3! +5!−7! + ⋯ + (−1) (2 + 1)!+ ⋯
= (−1)
(2 )!+ (−1) (2 + 1)!
Trong có hai số tùy ý c0 c1, nên nghiệm tổng quát ∎
Chú ý Chúng ta nhận thấy nghiệm chuỗi nhận chuỗi Malaurin cosx sinx Do ta viết lại nghiệm sau
( ) = cos + sin
Nhưng ln ln biểu diễn nghiệm chuỗi lũy thừa phương trình vi phân theo hàm biết
Ví dụ Giải phương trình y'' – 2xy' + y = Lời giải Chúng ta giả sử nghiệm có dạng
=
Khi = =
và = ( − 1) = ( + 2)( + 1)
Thay vào phương trình vi phân ta nhận
( + 2)( + 1) − + =
( + 2)( + 1) − + =
[( + 2)( + 1) − (2 − 1) ] = Phương trình hệ số xn 0:
( + 2)( + 1) − (2 − 1) = [7] = −
( + 2)( + 1)
Giải quan hệ đệ quy cách đặt liên tiếp n = 0, 1, 2, 3, vào phương trình [7]: Đặt n = 0: = −
= − !
Đặt n = 1: =
= !
Đặt n = 2: =
= − ! = − !
Đặt n = 3: =
=
! =
(18)Đặt n = 4: = = − ! = − ! Đặt n = 5: =
=
! =
! Đặt n = 6: =
= −
! = −
! Đặt n = 7: =
=
!
Tổng quát, hệ số số chẵn
= −3.7.11 … (4 − 5) (2 )! hệ số số lẻ
= −1.5.9 … (4 − 3) (2 + 1)! Nghiệm
= + + + + + + ⋯
= −
2! − 4! − 3.7 6! − 3.7.11 8! …
+ +1
3! + 1.5 5! + 1.5.9 7! + 1.5.9.13 9! …
[8] = −
2! −
3.7 … (4 − 5)
(2 )! + +
1.5.9 … (4 − 3) (2 + 1)!
Chú ý Trong Ví dụ ta giả thiết phương trình vi phân có nghiệm dạng chuỗi Nhưng cần kiểm tra trực tiếp hàm cho phương trình [8] nghiệm
Chú ý Khác với tình trạng Ví dụ 1, chuỗi lũy thừa sinh Ví dụ không xác định hàm Các hàm
( ) = −
! − ∑
.….( )
( )! ( ) = + ∑
.….( )
( )!
là hàm hoàn toàn tốt chúng biểu diễn hàm quen thuộc Chúng ta sử dụng chuỗi lũy thừa biểu diễn y1 y2 để tính giá trị xấp xỉ hàm
thậm chí vẽ đồ thị chúng Hình vài tổng riêng T0, T2, T4, (đa thức
Taylor) y1(x), ta thấy chúng hội tụ tới y1(x) Bằng cách đó, vẽ đồ
thị y1(x) y2(x) Hình
Chú ý Nếu yêu cầu giải toán giá trị đầu y'' – 2xy' + y = y(0) = y'(0) =
chúng ta cần nhớ lại rằng, theo khai triển Maclaurin c0 = y(0) = c1 = y'(0) =
Điều làm đơn giản việc tính tốn Ví dụ 2, vid tất hệ số với số chẵn cần phải Nghiệm toán giá trị đầu
(19)