Trong phần này mình xin trình bày các câu hỏi xoay quanh nội dung mà thầy đã hạn chế trên lớp cụ thể gồm: bổ đề Gronwall-bellman, định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, -nghiệm, sự [r]
(1)LÝ THUYẾT MƠN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
(Tài liệu mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com )
Trong phần xin trình bày câu hỏi xoay quanh nội dung mà thầy hạn chế lớp cụ thể gồm: bổ đề Gronwall-bellman, định lý tồn nghiệm, -nghiệm, kéo dài nghiệm Các phần lại phần & chương khác bạn tự m tài liệu tham khảo nhé Cịn điều lưu ý thầy có nhắc vào câu hỏi liên quan đến phần nên nêu ra định nghĩa hay định lý trước trả lời ý câu hỏi Ví dụ câu hỏi liên quan tới bổ đề Gronwall-Bellman bạn nên phát biểu bổ đề
Câu 1: Hãy phát biểu dạng mở rộng bổ đề Gronwall-Bellman cho ví dụ minh họa ứng dụng
Đối với câu hỏi xin nêu mở rộng bổ đề + ví dụ minh họa, mở rộng có nhiều nhiên nghĩ câu hỏi người nên làm dạng để tránh bị trùng (bị trùng, làm giống điểm ráng chịu)
Trả lời:
1 Bổ đề Gronwall-Bellman:
Cho ( ) hàm khả vi [ , ] ⊂ ℝ, tồn , ≠ cho
( ) ≤ ( ) + , ∀ ∈ [ , ] (1) ta ln có:
( ) ≤ exp[ ( − )] + { [ ( − )] − 1} = ( ) (2)
2 Mở rộng bổ đề
Cho ( ) ≥ 0, liên tục [ , ] ⊂ ℝ, tồn , > cho
( ) ≤ exp[− ( − )] ( ) + [ ( ) + ] exp[− ( − )] , ∀ ∈ [ , ] (3)
thì ta ln có:
( ) ≤ exp[− ( − )] ( ) +
− {1 − exp[−( − )( − )]}, ∀ ∈ [ , ] (4)
Chứng minh:
(2)( ) ≤ ( ) + [ ( ) + exp( )] Áp dụng định lý 3.9.3, tr88 ta có
( ) ≤ ( ) exp[ ( − )] + exp( ) exp[( − ) ]
≤ ( ) exp[ ( − )] +
− exp( ) {exp[( − ) ] − exp[( − ) ]}
Vậy
( ) ≤ exp[− ( − )] ( ) +
− {1 − exp[−( − )( − )]}
3 Ứng dụng mở rộng cho toán chứng minh ổn định mũ nghiệm tầm thường của phương trình vi phân
Định nghĩa (nghiệm ổn định mũ): Cho phương trình vi phân
( ) = ( ) ( ) + ( ( ), ) (5)
với ( ) toán tử tuyến nh bị chặn, liên tục theo , ( ( ), ) liên tục =
{( , )| ‖ ‖ ≤ , < < ∞, < số} thỏa
‖ ( , )‖ ≤ ‖ ‖, > 0, ( , ) ∈ (6) Khi nghiệm = phương trình (7) gọi ổn định mũ tồn , > cho
‖ ( )‖ ≤ exp[− ( − )] ‖ ( )‖ (7) Ta có nghiệm phương trình (7) có dạng
( ) = ( , ) ( ) + ( , ) ( ( ), ) (8)
với ( , ) toán tử Cauchy, ( , ) = ( ) ( ), ( ) = ( ) ( )
Định lý (ứng dụng): Nếu phương trình (5) có hàm ( , ) thỏa mãn điều kiện (6)
‖ ( , )‖ ≤ exp[− ( − )] , = − >
thì nghiệm = phương trình (5) ổn định mũ
Chứng minh:
(3)‖ ( )‖ ≤ ‖ ( , )‖‖ ( )‖ + ( , ) ( ( ), )
≤ exp[− ( − )] ‖ ( )‖ + exp[− ( − )] ‖ ( )‖
Áp dụng định lý 2.2 ta
‖ ( )‖ ≤ ‖ ( )‖ exp[−( − )( − )] = ‖ ( )‖ exp[− ( − )]
Vậy nghiệm = phương trình (5) ổn định mũ 4 Ví dụ minh họa
Xét hệ phương trình vi phân sau:
( ) = − ( ) ( ) = −2 ( )
( ) = 1; ( ) =
(9) Đặt
= −1
0 −2 ; ( ) =
( ) ( )
Khi hệ (9) viết lại thành ( ) = ( ) Phương trình có nghiệm
( ) = exp[ ( − )] ( )
Mặt khác ta lại có
exp[ ( − )] = ( )
0 ( )
Nên rõ ràng
‖ ( )‖ ≤ exp[−( − )] ‖ ( )‖ thỏa (7)với = 2, =
Vậy nghiệm không hệ phương trình (9) ổn định mũ
Câu 2: Sự hội tụ -nghiệm có ý nghĩa lý thuyết định nh phương trình vi phân? Trả lời:
(4)i ( ) =
ii , ( ) ∈ ̅- compact
iii ( ) ⇉ ( ) ∀ ∈
thì ( ) nghiệm phương trình vi phân = ( , ) với ( ) =
Chứng minh: tr97
Câu 3: Có thể sử dụng bổ đề Gronwall-Bellman để đánh giá sai lệch nghiệm hay khơng? Cho ví dụ?
Trả lời:
Ta sử dụng bổ đề Gronwall-Bellman để đánh giá sai lệch nghiệm:
Ví dụ: Đánh giá sai lệch nghiệm phương trình tuyến nh: ( ) = ( ) + ( ) (1) Định lý 3.10.1, tr97: Giả sử ( ) nghiệm phương trình (1), ∈ [ , ] Các hàm
( ), ( ) liên tục Khi tồn hai số ∈ ℝ cho
| ( )| < [ | ( )| + ( − )] | |
Chứng minh: SGK, tr97-98
Các bạn cho ví dụ đánh giá sai lệch nghiệm hai phương trình vi phân
Câu 4: Định lý tồn nghiệm cho phép khẳng định đâu? Tại phải kéo dài (thác triển) nghiệm
Trả lời:
Trước ên ta xét định lý tồn nghiệm (Định lý 1.4.1 - Giáo trình PTVP, tr45 – Nguyễn Đình Phư): Giả sử hàm ( , ) tốn Cauchy liên tục hình chữ nhật ⊂ cạnh , nghĩa ∃ : | ( , )| ≤ thỏa điều kiện Lipschitz tốn Cauchy có nghiệm lân cận điểm : ( ) với ℎ = ,
Chứng minh: xem tr106
(5)Câu 5: Xét toán Cauchy = ( , )
( ) = , ( , ) ∈ = {( , )| ∈ , ∈ ℝ}
Giả sử ( ), ( ) hai nghiệm toán Cauchy thỏa mãn ( ) = ( ) = Khi đó điều kiện để ( ) ≡ ( ) toàn ?
Trả lời:
Điều kiện để ( ) ≡ ( ) toàn là: (1) Tồn
(2) ∃ : ≤ , ∀( , ) ∈
Chứng minh
Theo bổ đế 1.4.1, tr44-45 từ điều kiện tồn liên tục , nghĩa ∃ : ≤
, ∀( , ) ∈ , điểm ( , ) ( , ) ta có ( , ) phải thỏa mãn điều kiện Lipschitz
Theo định lý 3.11.2, tr105 nghiệm toán Cauchy tồn [ − ℎ, + ℎ] Nhưng điểm ( , ) ∈ tùy ý, nên với ∀ ∈ ta có
| ( ) − ( )| ≤ | ( ) − ( )|
Ta có ( ) = | ( ) − ( )| ≥ 0, ∀ ∈
Áp dụng bổ đề Gronwall-Bellman với = 0, = uy ( ) ≡ 0, ∀ ∈
Hay ( ) ≡ ( ) toàn
Câu (bài tập 4, chương 3, tr122): Giả sử ( , ) thỏa mãn: với cố định ta có ( , ) khơng tăng theo
( , ) − ( , ) ≥ ∈ ℝ
Chứng minh ( ), ( ) nghiệm toán Cauchy với ( ) = ( ) =
thì ( ) = ( ), ∀ ∈
(6)Không nh tổng quát ta giả sử > , với ∀ ∈ ta có
( , ) − ( , ) ≥ ∈ ℝ ⇒ ( , ) − ( , ) ≤ −
⇒ ≤ | ( , ) − ( , )| ≤ ( ≥ − ) ⇒ | ( , ) − ( , )| = | − | ≤
Đặt =
| |⇒ ≤ , ∀ ∈
Áp dụng định lý 3.11.3, tr106 ta có ( ) = ( ), ∀ ∈
Câu (bài 7, chương 3, tr122-123): Giả sử ( , ) xác định liên tục ℝ thỏa mãn
≤ ( ) với ( ) hàm liên tục Chứng minh phương trình = ( , ) với ( ) =
có nghiệm khoảng [ , +∞) Trả lời:
???
Câu 8: Xét toán Cauchy = ( , )
( ) = , ( , ) liên tục = {( , )| ∈ , ∈ ℝ}, ( , ) ∈
Hãy sử dụng nh chất tập -nghiệm chứng minh tồn nghiệm toán Cauchy Trả lời:
Chứng minh: tr103
Câu 8: Thế nghiệm kéo dài? Trả lời:
Nghiệm = ( ) phương trình vi phân = ( , ) gọi kéo dài kéo dài nó
Cũng theo định lý 3.12.2, tr109: Với điểm ( , ) ∈ , nghiệm không kéo dài =
( ) phương trình vi phân = ( , ) thỏa mãn điều kiện ( ) =
(7)Câu 9: Cho phương trình vi phân = ( , ) ( ) thỏa mãn điều kiện tồn nghiệm ⊆ ℝ Gọi = ( ) nghiệm ( ) nằm lân cận ( ) Nêu điều kiện cần đủ để kéo dài nghiệm = ( ) ( , )về phía phải ( , ) Cho ví dụ minh họa kéo dài không kéo dài nghiệm
Trả lời:
Giáo trình PTVP - Tr106
Ví dụ 1: Cho phương trình = | |
= | | ⇔ | | = ⇔ | | = ⇔ ln| || = |
⇔ ln| ( )| − ln| ( )| = − ⇔ | ( )| = | ( )|
Rõ ràng lim
→ ( ) = ∞ nên ta kéo dài nghiệm
Ví dụ 2: Cho phương trình + = , chia vế phương trình cho ta có + = (1)
Đặt = ⇒ = − ′ Do (1) ⇔ − = − (2)
Nghiệm tổng qt phương trình (2) có dạng:
( ) = ( − ) ⇒ ( ) =
( − )
Rõ ràng → (giá trị hữu hạn) ( ) → ∞ nên khơng thể kéo dài nghiệm
Câu 10 (bài 1, chương 3, tr122): Cho phương trình vi phân = ( , ) với hàm ( , ) liên tục = {( , )| < < , | | < +∞} thỏa mãn | ( , )| < ( )| | + ( ), hàm
( ), ( ) liên tục Chứng minh kéo dài nghiệm = ( ) khoảng ( , )
thậm chí ( , ) = (−∞, +∞) Trả lời:
Giả sử phương trình tuyến nh = ( )| | + ( ) có nghiệm ( ) Bài cho ( , ) liên tục
Trường hợp hữu hạn miền với ∈ ( , ), hai đầu mút , ta có lim
(8)Trường hợp khơng hữu hạn biên khơng tồn ( ), ta xác định nghiệm
( ) = ( ) , < <
( ) , ≤ ∨ ≥
Đặt
( ) = ( ) + ( , ( ))
Khi [ , +∞) ∪ (−∞, ] ta có ( ) = ( ) = ( )
Như ( ) nghiệm kéo dài ( ) khoảng (−∞, +∞)
Câu 11: Trong khơng gian Bannach B cho phương trình vi phân tốn tử
= ( ( ), ) ( )
với ( ( ), ) = ( ) + ( , )
Biết ‖ ( , )‖ ≤ , hay so sánh nghiệm ( ) với phương trình
( )= ( ) ( ) Trả lời:
Đặt ( ( ), ) = ( ) , ta có
( ( ), ) = ( ( ), ) + ( , ) Ta cần chứng minh ( ( ), ) thỏa mãn điều kiện:
(1) ‖ ( ( ), ) − ( ( ), )‖ ≤ ‖ − ‖ (2) ‖ ( ( ), )‖ ≤
Khi áp dụng định lý 8.33.4, tr272 ta có
‖ ( ) − ( )‖ < {| − | − 1} + exp[ ( − )]
với = ‖ ( ) − ( )‖
(9)Câu 12: Cho hệ phương trình = ( ) + ( )
a. Hãy viết nghiệm hệ khi: ( ) ma trận hàm thực, ( ) tốn tử khơng gian Banach
b. So sánh hai nghiệm Trả lời:
a Viết nghiệm hệ
+ Trường hợp ( ) ma trận hàm thực Đặt
= ⋮ ; ( ) = ( ) × ; ( ) =
( ) ( ) ⋮ ( )
; = − ( ) ;
Khi ta viết lại hệ phương trình thành: = ( )
Ta có ( ) =
( ) ( ) … ( )
( ) ( ) … ( )
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
( ) ( ) … ( )
ma trận hệ nghiệm hệ =
Suy nghiệm tổng quát phương trình = ( ) là:
( ) = ( ) + ( ) ( ) ( )
+ Trường hợp ( ) tốn tử khơng gian Banach (tr274)
Toán tử Cauchy ( , ) = ( , ) ( , ) nghiệm phương trình
( ) = ( , ) + ( , ) ( )
với giả thiết ‖ ( , )‖ ≤ exp ∫ ‖ ( )‖ ( , ) = ( ) ( ) với ( ) nghiệm
=