Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi d là đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất... Vector nào sau đây là vector chỉ phương [r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO
Câu 1: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng :
2
x y z
d : 4
3
x y z
d
A
1 1
x y z
B 2
2
x y z
C 2
2 2
x y z
D
2
x y z
Câu 2: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x2y z đường thẳng :
2
x y z
d Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng
P , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d
A 1
5
x y z
B 1
5
x y z
C 1
5
x y z
D
5
x y z
Câu 3: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3
1
x y z
d
;
2
5
:
3
x y z
d
mặt phẳng P :x2y3z 5 Đường thẳng vng góc với P , cắt d1 d2 có phương trình
A 1
1
x y z
B
1
x y z
C 3
1
x y z
D 1
3
x y z
Câu 4: [2H3-3.2-3] Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng :
1 1
x y z
d
cắt hai đường thẳng
1
:
2 1
x y z
d ;
1
:
1
x y z
d
là:
A 1
1 1
x y z
B
1
1 1
x y z
C
1 1
x y z
D
1
1 1
x y z
Câu 5: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;1;1, B 1; 2;0, C2; 3; 2 Tập hợp tất điểm M cách ba điểm A, B, C đường thẳng d Phương trình tham số đường thẳng d là:
A 15 x t y t z t
B
8 15 x t y t z t
C
8 15 x t y t z t
D
8 15 x t y t z t
Câu 6: [2H3-3.2-3] Trong không gian cho đường thẳng : 1
2 1
x y z
(2)A x y t z
B
1 x t y t z
C
1 x t y t z
D
1 x t y t z
Câu 7: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 0; 0; B0;3; 0;
0; 0; 4
C Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm phương trình tham số đường thẳng OH A x t y t z t
B
3 x t y t z t
C
6 x t y t z t
D
4 x t y t z t
Câu 8: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng 1:
2
x y z
d ,
1
:
3
x y z
d
3
:
4
x y z
d
Đường thẳng song song d3, cắt d1 d2 có phương trình
A
4
x y z
B
4
x y z
.C
1
4
x y z
D
1
4
x y z
Câu 9: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng :y2z0 hai đường thẳng:
1
1 :
4
x t
d y t z t
; 2
2
:
4
x t
d y t
z
Đường thẳng nằm mặt phẳng cắt hai đường
thẳng d1; d2có phương trình A
7
x y z
B
7
x y z
C
1
7
x y z
D
1
7
x y z
Câu 10: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
1 1
x y z
d
mặt phẳng
P : 2xy2z 1 Đường thẳng nằm P , cắt vng góc với d có phương trình
A
3
x y z
B
3
x y z
C
3
x y z
D 1
3
x y z
Câu 11: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz, cho điểm M0; 1; 2 và hai đường thẳng 1:
1
x y z
d , 2:
2
x y z
d Phương trình đường thẳng qua M, cắt d1 d2
A
9
2
x y z
B
3
x y z
C
9 16
x y z
D
9 16
x y z
Câu 12: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng 1: 1
2
x y z
d ;
2
:
1 2
x y z
d
;
3
:
3
x y z
d
(3)A 1
3
x y z
B
1
3
x y z
C
1
3
x y z
D
1
3
x y z
Câu 13: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết điểm
1; 2; 3
A , đường trung tuyến BM đường cao CH có phương trình tương ứng
5 x t y z t
và
16 13
x y z
Viết phương trình đường phân giác góc A
A
7 10
x y z
B
1
4 13
x y z
.C
2
x y z
.D
1
2 11
x y z
Câu 14: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2
x y z
mặt phẳng P : xy2z 6 Đường thẳng nằm mặt phẳng P , cắt vng góc với d có phương trình
A 2
1
x y z
B
1
x y z
C 2
1
x y z
D
1
x y z
Câu 15: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho ba điểm A3; 2; 4 , B5;3; 2 ,
0; 4; 2
C , đường thẳng d cách ba điểm A, B, C có phương trình
A 26 22 27 x t y t z t
B
4 26 22 27 x t y t z t
C
11 22 27 x y t z t
D
4 26 38 27 x t y t z t
Câu 16: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A3; 0; 0, B0; 6; 0, C0; 0; 6 Phương trình phương trình đường thẳng qua trực tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ABC
A
2 1
x y z
B 1
2 1
x y z
.C 6
2 1
x y z
.D 3
2 1
x y z
Câu 17: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1; 3 B 3; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua gốc toạ độ cho tổng khoảng cách từ A B đến đường thẳng
d lớn A
1 1
x y z
B
1 1
x y z
C 1
x y z
D
1
x y z
Câu 18: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt 1
2
: 2
1 x t y t z t , : x t y t z t
t t , Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo 1 2
A
2 3
x y z
B
1
1 1
x y z
C
2 3
x y z
D
1 1
x y z
(4)Câu 19: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt phẳng P : 2x y z 100,
điểm A1;3; 2 đường thẳng
2
:
1
x t
d y t
z t
Tìm phương trình đường thẳng cắt P d hai điểm M N cho A trung điểm cạnh MN
A
7
x y z
B
6
7
x y z
C
7
x y z
D
6
7
x y z
Câu 20: [2H3-3.2-3] Cho hai đường thẳng cắt
2
: 2
1 x t y t z t
, 2
1 : x t y t z t
t t , Viết
phương trình đường phân giác góc nhọn tạo 1 2 A
2 3
x y z
B
1 1
x y z
C
2 3
x y z
D Cả A, B, C sai Câu 21: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, Cho mặt phẳng R :xy2z20 đường
thẳng 1:
2 1
x y z
Đường thẳng 2 nằm mặt phẳng R đồng thời cắt vuông góc với đường thẳng 1 có phương trình
A
1 x t y t z t
B
1 x t y t z t
C
2 x t y t z t
D
2 x t y t z t
Câu 22: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1
:
1
x t
d y t
z
Gọi đường thẳng
qua điểm A1;1;1 có vectơ phương u 1; 2; 2 Đường phân giác góc nhọn tạo d có phương trình
A 1 x t y t z t
B
1 10 11 x t y t z t
C
1 10 11 x t y t z t
D
1 x t y t z t
Câu 23: [2H3-3.2-3] Trong không gianOxyz, cho đường thẳng
1 : x t d y z t
Gọi đường thẳng
qua điểm A1; 3;5 có vectơ phương u1; 2; 2 Đường phân giác góc nhọn tạo d có phương trình
A 2 11 x t y t z t
B
1 2 11 x t y t z t
C
1 5 x t y t z t
(5)Câu 24: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1
:
3
x t
d y t
z
Gọi đường thẳng
qua điểm A(1; 2;3) có vectơ phương u (0; 7; 1). Đường phân giác góc nhọn tạo d có phương trình
A
1 11
x t
y t
z t
B
4 10 12
x t
y t
z t
C
4 10 12
x t
y t
z t
D
1 2
x t
y t
z t
Câu 25: [2H3-3.1-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2
4
x y z
d
mặt phẳng
P : 2x y 2z 1 Đường thẳng qua E 2; 1; 2 , song song với P đồng thời tạo với d góc bé Biết có véctơ phương u m n; ; Tính 2
T m n A T 5 B T 4 C T 3 D T 4
Câu 26: [2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A là: 6
1
x y z
Biết điểm M0;5;3 thuộc đường thẳng AB điểm N1;1; 0 thuộc đường thẳng AC Vectơ sau vectơ phương đường thẳng AC
A u 1; 2;3 B u 0;1;3 C u 0; 2; 6 D u 0;1; 3 Câu 27: [2H3-3.1-3] Cho 2 mặt cầu S1 : x32y22z22 4, 2 2
2 : 1
S x y z Gọi d đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu cách gốc tọa độ O khoảng lớn Nếu u a; 1;b vectơ phương
d tổng S2a3b bao nhiêu?
A S 2 B S 1 C S 0 D S 4
Câu 28: [2H3-3.1-3] Trong không gian Oxy cho tam giác ABC có A2;3;3, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B 3
1
x y z
, phương trình đường phân giác góc C
2
2 1
x y z
Biết um n; ; 1
véc tơ phương đường thẳng AB Tính giá trị biểu thức T m2n2
A T 1 B T 5 C T 2 D T 10
Câu 29: Suy A B B2;5;1AB0; 2; 2 2 0; 1;1 véc tơ đường thẳng AB Vậy T m2n2 2.[2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho phương trình đường phân giác góc A 6
1
x y z
Biết M0;5;3 thuộc đường thẳng AB N1;1; 0 thuộc đường thẳng AC Vector sau vector phương đường thẳng
AC?
(6)Câu 30: [2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
4
:
3
x y z
2
:
1
x y z
Giả sử M 1,N 2 cho MN đoạn vng góc chung hai đường thẳng 1 2 Tính MN
A MN 5; 5;10 B MN 2; 2; 4 C MN 3; 3; 6 D MN 1; 1; 2 Câu 31: [2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d , mặt phẳng P :x y 2z 5 A1; 1; 2 Đường thẳng cắt d P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Một vectơ phương là:
A u 2; 3; 2 B u 1; 1; 2 C u 3; 5;1 D u 4; 5; 13
Câu 32: [2H3-3.1-4] Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A2;3;3, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B 3
1
x y z
, phương trình đường phân giác góc C
2
2 1
x y z
Đường thẳng AB có véc-tơ phương A u 3 2;1; 1
B u 2 1; 1; 0
C u 4 0;1; 1
D u 1 1; 2;1
Câu 33: [2H3-3.1-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1 , A1; 2; 3 đường thẳng :
2
x y z
d
Tìm vectơ phương u
đường thẳng qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé
A u 2; 2; 1 B u 1; 7; 1 C u 1; 0; 2 D u 3; 4; 4
Câu 34: [2H3-3.1-4] Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A2;3;3, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B 3
1
x y z
, phương trình đường phân giác góc C
2
2 1
x y z
Đường thẳng AB có véc-tơ phương A u32;1; 1
B u21; 1; 0
C u40;1; 1
D u11; 2;1
Câu 35: [2H3-3.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông C,
60
ABC , AB 3 2, đường thẳng AB có phương trình
1
x y z
, đường thẳng AC nằm mặt phẳng :x z Biết B điểm có hoành độ dương, gọi a b c; ; tọa độ điểm C, giá trị a b c
A 3 B 2 C 4 D 7
Câu 36: [2H3-3.3-4] Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A1;5; 0, B3;3; 6 đường thẳng
1
:
2
x y z
Gọi M a b c ; ; cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tính tổng T a b c ?
(7)Câu 37: [2H3-3.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A2; 1;1 , M5;3;1,
4;1; 2
N mặt phẳng P :y z 27 Biết tồn điểm B tia AM , điểm C
P điểm D tia AN cho tứ giác ABCD hình thoi Tọa độ điểm C A 15; 21; 6 B 21; 21; 6 C 15; 7; 20 D 21;19;8
Câu 38: [2H3-3.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho P :x2y2z 5 0, A 3; 0;1,
1; 1;3
B Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với P cho khoảng cách từ B đến d lớn
A
1
x y z
B
3
3 2
x y z
C
1
1 2
x y z
D
3
2
x y z
Câu 39: [2H3-3.5-3] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng : 2xy2z 2 0, đường thẳng
1
:
1 2
x y z
d điểm 1;1;1 A
Gọi đường thẳng nằm mặt phẳng , song song với d đồng thời cách d khoảng Đường thẳng cắt mặt phẳng Oxy điểm B Độ dài đoạn thẳng AB
A 7
2 B
21
2 C
7
3 D
3
Câu 40: [2H3-3.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng qua gốc tọa độ O điểm I0;1;1 Gọi S tập hợp điểm nằm mặt phẳng Oxy, cách đường thẳng khoảng Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiS
A 36 B 36 2 C 18 2 D 18
Câu 41: [2H3-3.5-3] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2; 0; 0, B0;3;1,
1; 4; 2
C Độ dài đường cao từ đỉnh A tam giác ABC:
A 6 B C
2 D 3
Câu 42: [2H3-3.5-3] Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x12y22z32 9 mặt phẳng P :2x2y z Gọi M a b c ; ; điểm mặt cầu cho khoảng cách từ M đến P lớn Khi đó:
A a b c 8 B a b c 5 C a b c 6 D a b c 7
Câu 43: [2H3-3.5-3] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1, A1; 2; 3 đường thẳng
1
:
2
x y z
d
Tìm véctơ phương u
đường thẳng qua M , vng góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A khoảng lớn
(8)Câu 44: [2H3-3.5-3] Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
1
:
x
y t
z t
,
4
:
1
x t
y t
z t
Gọi
S mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 Bán kính mặt cầu S
A 10
2 B
11
2 C
3
2 D
Câu 45: [2H3-3.4-3] Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A1; 2; 1 , B2; 1;3 , C 4; 7;5 Tọa độ chân đường phân giác góc ABC tam giác ABC
A 11; 2;1
B
2 11 ; ; 3
C 2;11;1 D
2 11 ; ;1 3
Câu 46: [2H3-3.4-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x12y2z22 4
và đường thẳng
2 :
1
x t
d y t
z m t
Gọi T tập tất giá trị m để d cắt S hai
điểm phân biệt A, B cho tiếp diện S A B tạo với góc lớn Tính tổng phần tử tập hợp T
A 3 B 3 C 5 D 4
Câu 47: [2H3-3.6-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểmA(0;1; 2), mặt phẳng ( ) : xy z mặt cầu ( ) :S x32y12z22 16 Gọi P mặt phẳng qua A, vng góc với ( ) đồng thời P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tọa độ giao điểm M P trục x Ox
A 1; 0; M
B
1 ; 0; M
C M1; 0; 0 D
1 ; 0; M
Câu 48: [2H3-3.6-3] Trong không gian tọa độ Oxyz cho A1;1; 1 , B2;3;1, C5;5;1 Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt mặt phẳng Oxy M a b ; ; 0 Tính 3b a
A 6 B 5 C 3 D 0
Câu 49: [2H3-3.6-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng:
1
3 1
:
1
x y z
d
, 2
1 :
1
x y z
d
, 3
1 1
:
2 1
x y z
d , 4 :
1 1
x y z
d
Số đường thẳng không gian cắt bốn đường thẳng là:
A 0 B 2 C Vô số D 1
Câu 50: [2H3-3.6-3] Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng: 1
3 1
:
1
x y z
d
,
2
1 :
1
x y z
d
, 3
1 1
:
2 1
x y z
d , 4 : 1
1 1
x y z
d
Số đường thẳng không gian cắt bốn đường thẳng là:
(9)Câu 51: [2H3-3.6-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d mặt phẳng
:xy z Trong đường thẳng sau, đường thẳng nằm mặt phẳng , đồng thời vng góc cắt đường thẳng d?
A 2: 4
1
x y z
B
1
:
3
x y z
B
5
:
3
x y z
D
2 4
:
3
x y z
Câu 52: [2H3-3.6-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng:
3 1
:
1
x y z
d
,
1 :
1
x y z
d
,
1 1
:
2 1
x y z
d , 4:
1 1
x y z
d
Số đường thẳng không gian cắt bốn đường thẳng
A 0 B 2 C Vô số D 1
Câu 53: [2H3-3.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 3a
:
2 3a (1 )
x at
y t
x a t
Biết a thay đổi tồn mặt cầu cố định qua điểm M1;1;1 tiếp xúc với đường thẳng Tìm bán kính mặt cầu
A 5 B 4 C 7 D 3
Câu 54: [2H3-3.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d mặt phẳng P :xy z Đường thẳng nằm mặt phẳng P , vng góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I d với P đến 42 Gọi
5; ;
M b c hình chiếu vng góc I Giá trị bc A 10 B 10 C 12 D 20
Câu 55: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;1, B0;3; 1 Điểm M nằm mặt phẳng P :2x y z cho MAMB nhỏ
A 1;0; B 0;1;3 C 1; 2; D 3; 0;
Câu 56: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A0; 2; 1 ,
2; 4;3
B , C1;3; 1 mặt phẳng P :xy2z 3 Tìm điểm M P cho
2
MA MB MC đạt giá trị nhỏ A 1; ;
2
M B 1; 1;1
2
M C M2; 2; 4 D M 2; 2; 4
Câu 57: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm M0; 1; 2 , N 1;1;3 Một mặt phẳng P qua M , N cho khoảng cách từ điểm K0; 0; 2 đến mặt phẳng P đạt giá trị lớn Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến n mặt phẳng P
1; 1;1
(10)Câu 58: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2; 3 mặt phẳng
P : 2x2y z Đường thẳng d qua A có vectơ phương u 3; 4; 4 cắt P B Điểm M thay đổi P cho M ln nhìn đoạn AB góc 90o Khi độ dài
MB lớn nhất, đường thẳng MB qua điểm điểm sau?
A H 2; 1;3 B I 1; 2;3 C K3; 0;15 D J 3; 2; 7
Câu 59: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;1, B1; 2; 3 đường thẳng
1
:
2
x y z
d
Tìm vectơ phương u
đường thẳng qua điểm A vng góc với d đồng thời cách B khoảng lớn
A u 4; 3; 2
B u 2; 0; 4
C u 2; 2; 1
D
1; 0; 2
u
Câu 60: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x2y z điểm A0; 2;3 , B2; 0;1 Điểm M a b c ; ; thuộc P cho MA MB nhỏ Giá trị
2 2
a b c A 41
4 B
9
4 C
7
4 D 3
Câu 61: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A2; 3; 2 , B3;5; 4 Tìm toạ độ điểm M trục Oz so cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ
A M0; 0; 49 B M0; 0; 67 C M0; 0;3 D M0; 0; 0 Câu 62: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:
3 1
:
1
x y z
d
,
2
1 :
1
x y z
d
,
1 1
:
2 1
x y z
d , 4: 1
1 1
x y z
d
Số đường thẳng không gian cắt bốn đường thẳng
A 0 B 2 C Vô số D 1
Câu 63: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x12y22z32 9, điểm A0; 0; 2 Phương trình mặt phẳng P qua A cắt mặt cầu S theo thiết diện hình trịn C có diện tích nhỏ
A P :x2y3z 6 0 B P :x2y z 0
C P :x2y z 0 D P : 3x2y2z 4 0
Câu 64: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A4; 2;5, B0; 4; 3 ,
2; 3; 7
C Biết điểm M x y z 0; 0; 0 nằm mặt phẳng Oxysao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tính tổng Px0y0 z0
A P 3 B P 0 C P 3 D P 6
Câu 65: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
(11)A M5; 2; 4 B M 1; 1; 1 C M1; 0; 2 D M3;1; 3 Câu 66: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3;
2 M
mặt cầu S :x2y2z2 8 Một đường thẳng qua điểm M cắt S hai điểm phân biệt A, B Diện tích lớn tam giác OAB
A 4 B 2 C 2 D
Câu 67: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1
1
x y z m
d mặt cầu
S : x12y12z22 9 Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu S hai điểm phân biệt E, Fsao cho độ dài đoạn EFlớn
A m 1 B m 0 C
m D
3 m
Câu 68: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1
:
x t
d y t
z t
,
2
:
2
x t
d y t
z t
Đường
thẳng cắt d, d điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ Phương trình đường thẳng
A
2
x y z
B
4
2
x y z
C
3
2
x y z
D
2 1
2
x y z
Câu 69: [2H3-3.8-3] Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D biết A1; 0;1, B2;1; 2,
2; 2; 2
D , A3; 0; 1 , điểm M thuộc cạnh DC Giá trị nhỏ tổng khoảng cách
AM MC
A 17 B 17 6 C 17 3 D 17 2
Câu 70: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M2; 2; 3 N 4; 2;1 Gọi đường thẳng qua M , nhận vecto ua b c; ; làm vectơ phương song song với mặt phẳng P : 2xy z cho khoảng cách từ N đến đạt giá trị nhỏ Biết
a , b hai số nguyên tố Khi a b c bằng:
A 15 B 13 C 16 D 14 Câu 71: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2
4
x y z
d
mặt phẳng
P : 2xy2z 1 Đường thẳng qua E 2; 1; 2 , song song với P đồng thời tạo với d góc bé Biết có véctơ phương u m n; ; Tính 2
T m n A T 5 B T 4 C T 3 D T 4
Câu 72: [2H3-3.8-3] Họ parabol Pm :ymx22m3xm2 m0 tiếp xúc với đường
thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây?
A 0; B 0; C 1;8 D 1;
Câu 73: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A2; 3; 2 , B3;5; 4 Tìm toạ độ điểm M trục Oz so cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ
(12)Câu 74: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
2
x y z
hai điểm A1; 2; 1 , B3; 1; 5 Gọi d đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d lớn Phương trình đường thẳng d là:
A
2
x y z
B
2
1
x y z
C
3 1
x y z
D
1
1
x y z
Câu 75: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho điểm A3; 2;3 , B1; 0;5 đường thẳng
1
:
1 2
x y z
d
Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d để
2
MA MB đạt giá trị nhỏ nhất
A M1; 2;3 B M2; 0;5 C M3; 2; 7 D M3; 0; 4
Câu 76: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y z 0, đường thẳng : 15 22 37
1 2
x y z
d mặt cầu S :x2y2z28x6y4z 4 Một đường thẳng thay đổi cắt mặt cầu S hai điểm A, B cho AB 8 Gọi A, B hai điểm thuộc mặt phẳng P cho AA, BB song song với d Giá trị lớn biểu thức AABB
A 8 30
B 24 18
5
C 12
D 16 60
9
Câu 77: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 0;1, B3; 2;1, C5;3; 7 Gọi
; ;
M a b c điểm thỏa mãn MAMB MBMC đạt giá trị nhỏ Tính Pa b c A P 4 B P 0 C P 2 D P 5
Câu 78: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 0;1, B3; 2;1, C5;3; 7 Gọi
; ;
M a b c điểm thỏa mãn MAMB MBMC đạt giá trị nhỏ Tính Pa b c A P 4 B P 0 C P 2 D P 5
Câu 79: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu
2
: 4
S x y z x y z điểm M1; 2; 1 Một đường thẳng thay đổi qua M cắt S hai điểm A, B Tìm giá trị lớn tổng MA MB
A 8 B 10 C 2 17 D 8 5
Câu 80: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 4, B0; 0;1 mặt cầu
2 2
: 1
S x y z Mặt phẳng P :ax by cz 3 qua A, B cắt mặt cầu
S theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T a b c
A
4
T B 33
5
T C 27
4
T D 31
(13)Câu 81: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; 2;1 , B5; 0; 1 , C3;1; 2 mặt phẳng Q : 3x y z Gọi M a b c ; ; điểm thuộc Q thỏa mãn 2
2 MA MB MC nhỏ Tính tổng a b 5c
A 11 B 9 C 15 D 14
Câu 82: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :xy4z0, đường
thẳng : 1
2 1
x y z
d
điểm A1; 3; 1 thuộc mặt phẳng P Gọi đường thẳng qua A, nằm mặt phẳng P cách đường thẳng d khoảng cách lớn Gọi
; ; 1
u a b véc tơ phương đường thẳng Tính a2b
A a2b 3 B a2b0 C a2b4 D
2
a b
Câu 83: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3;0;1, B1; 1;3 mặt phẳng P :x2y2z 5 Viết phương trình tắc đường thẳng d qua A, song song với mặt phẳng P cho khoảng cách từ B đến d nhỏ
A :
26 11
x y z
d
B
3
:
26 11
x y z
d
C :
26 11
x y z
d D :
26 11
x y z
d
Câu 84: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y 4z0, đường
thẳng : 1
2 1
x y z
d
điểm A1; 3; 1 thuộc mặt phẳng P Gọi đường thẳng
qua A, nằm mặt phẳng P cách đường thẳng d khoảng cách lớn Gọi
; ; 1
u a b véc tơ phương đường thẳng Tính a2b
A a2b 3 B a2b0 C a2b4 D a2b7
Câu 85: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;2; 1, B5; 0; 1 , C3; 1; 2 mặt phẳng Q : 3xy z Gọi M a b c ; ; điểm thuộc Q thỏa mãn MA2MB22MC2 nhỏ Tính tổng a b 5c
A 11 B 9 C 15 D 14
Câu 86: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d hai điểm A2; 0;3, B2; 2; 3 Biết điểm M x y z 0; 0; 0 thuộc d thỏa mãn
4
MA MB nhỏ Tìm x0
(14)HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO
Câu 1: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng :
2
x y z
d : 4
3
x y z
d
A
1 1
x y z
B 2
2
x y z
C 2
2 2
x y z
D
2
x y z
Lời giải
Chọn A
Ta có Md suy M2 ;3 ; 5 m m m Tương tựNdsuy N 1 ; ; 4n n n Từ ta có MN 3n2 ;1 2m n3 ;8m n 5m
Mà MN đường vuông góc chung d d nên
MN d MN d
2 3 3
3 3 2
n m n m n m
n m n m n m
38 43
5 14 19
m n
m n
1
m
n
Suy M0;0;1, N2; 2;3
Ta có MN 2; 2; 2 nên đường vng góc chung MN
1 1
x y z
Câu 2: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x2y z đường
thẳng :
2
x y z
d Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng P , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d
A 1
5
x y z
B 1
5
x y z
C 1
5
x y z
D
5
x y z
Lời giải
Chọn A
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng P n P 1; 2;1 Vectơ phương đường thẳng dlà ud 2;1;3
Phương trình tham số đường thẳng
1 :
2
x t
d y t
z t
Xét phương trình: 1 2t2t 2 3t 4 07t 7 0 t
Suy giao điểm đường thẳng d mặt phẳng P A1;1;1 Ta có: A Vectơ phương đường thẳng , 5; 1; 3
d P
u n u
Phương trình tắc đường thẳng : 1
5
x y z
(15)Câu 3: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
3
:
1
x y z
d
;
2
5
:
3
x y z
d
mặt phẳng P :x2y3z 5 Đường thẳng vng góc với P , cắt
d d2 có phương trình
A 1
1
x y z
B
1
x y z
C 3
1
x y z
D 1
3
x y z
Lời giải Chọn A
Gọi M N giao điểm đường thẳng d cần tìm với d1 d2,
3 ;3 ;
M t t t , N5 ; ; 2 s s sMN2 3 s t ; 2s2 ; 4t s t
Đường thẳng d vng góc với P suy MN phương với n P 1; 2;3 Do
2 2
1
s t s t s t
1
t s
1; 1;
M
Vậy đường thẳng cần tìm qua M1; 1; 0 có vectơ phương u 1; 2;3
1
1
x y z
Câu 4: [2H3-3.2-3] Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng :
1 1
x y z
d
cắt hai đường thẳng 1: 1
2 1
x y z
d ;
1
:
1
x y z
d
là:
A 1
1 1
x y z
B
1
1 1
x y z
C
1 1
x y z
D
1
1 1
x y z
Lời giải Chọn B
Vectơ phương d u 1;1; 1
Gọi đường thẳng cần tìm A d1, B d2 Suy ra:
1 ; ;
1 ; ;3
A a a a
B b b b
Khi đó: AB b 2a2;b a 3;3b a 1
Vì đường thẳng song song với đường thẳng d nên AB phương với u
Suy ra: 2 3
1 1
b a b a b a
1; 0;1
1 2;1;
A a
b B
Thay A1; 0;1 vào đường thẳng d ta thấy Ad
Vậy phương trình đường thẳng : 1
1 1
x y z
(16)Câu 5: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;1;1, B 1; 2;0, C2; 3; 2 Tập hợp tất điểm M cách ba điểm A, B, C đường thẳng d Phương trình tham số đường thẳng d là:
A
8
15
x t
y t
z t
B
8
15
x t
y t
z t
C
8
15
x t
y t
z t
D
8
15
x t
y t
z t
Lời giải Chọn A
Ta có AB 2;1; 1 ; BC 3; 5;2
Ta thấy AB BC không phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng M cách hai điểm A, B nên điểm M nằm mặt trung trực AB M cách hai điểm B, C nên điểm M nằm mặt trung trực BC
Do tập hợp tất điểm M cách ba điểm A, B, C giao tuyến hai mặt trung trực AB BC
Gọi P , Q mặt phẳng trung trực AB BC
0; ; 2 K
trung điểm AB;
1
; ;1
2
N
trung điểm BC
P qua K nhận AB 2;1; 1 làm véctơ pháp tuyến nên :
2
P xy z
hay P : 2x y z
Q qua N nhận BC 3; 5;2 làm véctơ pháp tuyến nên
: 2 1
2
Q x y z
hay Q : 3x5y2z 6 Ta có :
3
x y z d
x y z
Nên d có véctơ phương u AB BC, 3;1; 7 Cho y 0 ta tìm x 8, z 15 nên 8;0;15d
Vậy
8
15
x t
y t
z t
Câu 6: [2H3-3.2-3] Trong không gian cho đường thẳng : 1
2 1
x y z
Tìm hình chiếu vng góc mặt phẳng Oxy
A
0
x
y t
z
B
1
x t
y t
z
C
1
x t
y t
z
D
1
x t
y t
z
Lời giải Chọn B
(17)Gọi P mặt phẳng chứa vng góc mặt phẳng Oxy, P qua M có vectơ pháp tuyến nu ;k1; 2; 0
Khi đó, phương trình mặt phẳng P x2y 3
Gọi d hình chiếu lên Oxy, d giao tuyến P với Oxy
Suy : 0 x y d z hay : x t
d y t z
Với t 1,ta thấy d qua điểm N1;1; 0
Câu 7: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 0; 0; B0;3; 0; C0; 0; 4 Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm phương trình tham số đường thẳng OH
A x t y t z t
B
3 x t y t z t
C
6 x t y t z t
D
4 x t y t z t Lời giải Chọn D
Do tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc H trực tâm tam giác ABC nên OH ABC
Phương trình mặt phẳng ABC
2
x y z
, hay 6x4y3z120 Vì OH ABC nên đường thẳng OH có véc-tơ phương u 6; 4;3
Vậy, phương trình tham số đường thẳng OH
6 x t y t z t
Câu 8: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng 1:
2
x y z
d ,
1
:
3
x y z
d
3
:
4
x y z
d
Đường thẳng song song d3, cắt d1 d2 có phương trình
A
4
x y z
B
4
x y z
C
4
x y z
D
1
4
x y z
Lời giải Chọn B
Ta có
3
:
2
x u
d y u
z u
,
1
:
4
x v
d y v
z v
Gọi d4 đường thẳng cần tìm
Gọi Ad4d1 A3 ; 1 u u; 2 u, Bd4d2B 1 ; ; 4v v v
;1 ;
AB v u v u v u
(18)
3
4
1
6
v u k v
AB ku v u k u
v u k k
Đường thẳng d4 qua A3; 1; 2 có vtcp u 3 4; 1;6 nên 4:
4
x y z
d
Câu 9: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng :y2z0 hai đường thẳng:
1
1 :
4
x t
d y t z t
; 2
2
:
4
x t
d y t
z
Đường thẳng nằm mặt phẳng cắt hai đường thẳng
1
d ; d2có phương trình A
7
x y z
B
7
x y z
C
1
7
x y z
D
1
7
x y z Lời giải
Chọn C
Gọi Ad1 suy A1t t; ; 4t Bd2 suy B2t; ; 4 t Mặt khác A ; B nên ta có 2.4
4 2.4
t t
t
0
t t
Do A1; 0; 0 B8; 8; 4
Đường thẳng qua A nhận AB 7; 8; 4 làm vectơ phương có phương trình
7
x y z
Câu 10: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
1 1
x y z
d
mặt phẳng
P : 2xy2z 1 Đường thẳng nằm P , cắt vng góc với d có phương trình
A
3
x y z
B
3
x y z
C
3
x y z
D 1
3
x y z
Lời giải Chọn C
Phương trình tham số
1 :
2
x t
d y t
z t
Gọi M d P
Khi Md nên M1 t; t; 2t; M P nên 1 t t 2 t 1 0 t Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng P M2; 1;3
Gọi u d 1; 1;1 n 2; 1; 2 vectơ phương d vectơ pháp tuyến mặt phẳng P
Khi vectơ phương đường thẳng cần tìm uu nd, 3; 4;1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm
3
x y z
(19)Câu 11: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz, cho điểm M0; 1; 2 và hai đường thẳng 1:
1
x y z
d , 2:
2
x y z
d Phương trình đường thẳng qua M , cắt
d d2
A
9
2
x y z
B
3
x y z
C
9 16
x y z
D
9 16
x y z
Lời giải Chọn C
Gọi đường thẳng cần tìm
1 1; 2; 21
d A t t t ; d2 B2t21;t2 4; 4t22 1 1; 1; 21 1
MA t t t ; MB 2t21;t25; 4t2
Ta có: M, A B, thẳng hàng
1
1
1
1
2
1
2
1 7
1
1
2
4
2 2
t
t k t
t
MA k MB t k t k
t
t kt kt
9; 9; 16 MB
Đường thẳng qua M0; 1; 2 , VTCP u 9;9; 16 có phương trình là:
1
:
9 16
x y z
Câu 12: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng 1: 1
2
x y z
d ;
2
:
1 2
x y z
d
;
3
:
3
x y z
d
Đường thẳng song song với d3, cắt d1 d2 có phương trình
A 1
3
x y z
B
1
3
x y z
C
3
x y z
D
1
3
x y z
Lời giải Chọn A
Gọi d đường thẳng song song với d3, cắt d1 d2 điểm A, B
Gọi A1 ;3 ; 1 a a a B 2 b;1 ; 2 b b ABb2a3; 2 b3a1; 2b a 1 Đường thẳng d3 có véc-tơ phương u 3; 4;8
Đường thẳng d song song với d3nên
ABku
3
2
2
b a k
b a k
b a k
0 2
a b
k
(20)Như A1; 0; 1 1; 2;3
B
Phương trình đường thẳng d là: 1
3
x y z
Câu 13: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết điểm A1; 2; 3,
đường trung tuyến BM đường cao CH có phương trình tương ứng
5
x t y
z t
4
16 13
x y z
Viết phương trình đường phân giác góc A
A
7 10
x y z
B
1
4 13
x y z
C
2
x y z
D
1
2 11
x y z
Lời giải Chọn D
Giả sử B5 ; 0; 4b bBM, C4 16 ; c 2 13 ; 5c cCH Ta có:
Tọa độ trung điểm M AC 16 ; 13 ;
2 2
c c c
M
MBM
5 16 13
0
1
c t c
c
t
0 c t
4; 2; 3
C
5 1; 2; 2
AB b b
Vectơ phương CH là: w 16; 13; 5
Do ABCH nên AB u 16 5 b113 2 5 4 b20 b0 B0; 0; 1
1; 2; 2
AB
, AC 3; 4; 0 Đặt 1 1; 2;
3 3
AB u
AB
, 2 3; 4;
5
u
, 1 2 ; 22;
15 15
uu u
Chọn v 2; 11; 5 vectơ phương đường phân giác góc A
Vậy phương trình đường phân giác góc A là:
2 11
x y z
Câu 14: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2
x y z
mặt
phẳng P : xy2z 6 Đường thẳng nằm mặt phẳng P , cắt vng góc với d có phương trình
A 2
1
x y z
B
1
x y z
(21)C 2
1
x y z
D
1
x y z
Lời giải Chọn A
Tọa độ giao điểm M d P nghiệm hệ
3
2
2
x y z
x y z
2
3 11
2
x y
y z x y z
2
x y z
2; 2;5
M
P : xy2z 6 có vtpt n 1; 1; 2 , d có vtcp u 2;1; 3
Ta có qua M 2; 2;5 nhận kn u , 1; 7;3 vectơ phương có dạng
: 2
1
x y z
Câu 15: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho ba điểm A3; 2; 4 , B5;3; 2 , C0; 4; 2, đường thẳng d cách ba điểm A, B, C có phương trình
A
8 26
22
27
x t
y t
z t
B
4 26 22
27
x t
y t
z t
C
11
22 27
x
y t
z t
D
4 26 38
27
x t
y t
z t
Lời giải Chọn B
Gọi I trung điểm AB suy 4; ;11 I
P mặt phẳng trung trực đoạn AB
Mặt phẳng P qua I nhận AB 2;5; 6 làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:
2 10 12
2
x y z x y z
Gọi J trung điểm AC suy 3;1;3 J
Q mặt phẳng trung trực đoạn AC
Mặt phẳng Q qua J nhận AC 3; 6; 2 làm vec tơ pháp tuyến có phương trình là:
3
3 6 12
2
x y z x y z
Khi d P Q
Ta có d có vectơ phương u AB AC; 26; 22; 27 qua M nghiệm hệ
4 10 12
6 12
x y z
x y z
, ta chọn x 4 suy y 2
z Vậy 4; 2;9 M
(22)Phương trình tham số d là:
4 26 22
27
x t
y t
z t
Câu 16: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A3; 0; 0, B0; 6; 0, C0; 0; 6 Phương trình phương trình đường thẳng qua trực tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ABC
A
2 1
x y z
B 1
2 1
x y z
C 6
2 1
x y z
D 3
2 1
x y z
Lời giải Chọn B
Ta có H a b c ; ; trực tâm tam giác ABC nên ta có
,
AH BC BH AC
AB AC AH
Ta có AH a3; ;b c ; BH a b; 6;c ; BC 0; 6; 6 ; AC 3; 0; 6 ; AB 3; 6; 0
, 36;18;18
AB AC
,
AH BC BH AC
AB AC AH
6
3
36 18 18
b c a c
a b c
6
3
2
b c
a c
a b c
2 1
a b c
2;1;1
H
Đường thẳng qua trực tâm H2;1;1 tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ABC có vecto phương , 2;1;1
18
u AB AC có phương trình 1
2 1
x y z
Câu 17: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1; 3 B 3; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua gốc toạ độ cho tổng khoảng cách từ A B đến đường thẳng d lớn A
1 1
x y z
B
1 1
x y z
C 1
x y z
D
1
x y z
Lời giải Chọn A
Ta có d A d ; d B d ; OA OB Dấu " " xảy OA d
OB d
d
có VTCP uOA OB; 7; 7; 77 1;1;1
Vậy :
1 1
(23)Câu 18: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt 1
2
: 2
1
x t
y t
z t
, 2
1 :
2
x t
y t z t
t t , Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo 1 2 A
2 3
x y z
B
1
1 1
x y z
C
2 3
x y z
D
1 1
x y z
Lời giải Chọn C
Thấy 1 2 M1; 0; 0 VTCP a 1; 2; 1 b 1; 1; 2 Ta có a b 0;1;1u a b , 3; 1;1 v
Vì a b
nên góc hai vectơ góc tù đường phân giác góc nhọn tạo 1
có VTCP nu v, 2; 3;3
Vậy phương trình đường phân giác cần tìm:
2 3
x y z
Câu 19: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt phẳng P : 2x y z 100, điểm
1;3; 2
A đường thẳng
2
:
1
x t
d y t
z t
Tìm phương trình đường thẳng cắt P d
tại hai điểm M N cho A trung điểm cạnh MN
A
7
x y z
B
6
7
x y z
C
7
x y z
D
6
7
x y z
Lời giải Chọn D
Ta có M d M d Giả sử M 2 ,1t t,1t,t
Do A trung điểm MN nên N4 ; 5 t t t; 3
Mà N P nên ta có phương trình 2 t 5t 3t100 t Do đó, M 6; 1;3
7; 4;1
AM
vectơ phương đường thẳng Vậy phương trình đường thẳng cần tìm
7
x y z
Câu 20: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt 1
2
: 2
1
x t
y t
z t
, 2
1 :
2
x t
y t z t
t t , Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo 1 2 A
2 3
x y z
B
1 1
x y z
C
2 3
x y z
D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải
(24)1; 0; 0
I
1
2 có VTCP u 1 1; 2; 1 u 2 1; 1; 2 Ta có:
1
1
cos ;
6
u u u u
u u
u u1; 2
góc tù Gọi u véc tơ đối u2 u1;1; 2
Khi đường phân giác góc nhọn tạo 1 2 có VTCP u u1u2;3; 3
Vậy phương trình đường phân giác góc nhọn tạo 1 2 có dạng:
2 3
x y z
Câu 21: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, Cho mặt phẳng R :xy2z20 đường thẳng
1 :
2 1
x y z
Đường thẳng 2 nằm mặt phẳng R đồng thời cắt vng góc với đường thẳng 1 có phương trình
A
1
x t
y t
z t
B
1
x t
y t
z t
C
2
x t
y t
z t
D
2
x t
y t
z t
Lời giải Chọn A
Phương trình tham số đường thẳng 1
2
1
x t y t
z t
Gọi I x y z ; ; giao điểm 1 R Khi tọa độ I thỏa mãn
2
1
2
x t y t
z t
x y z
0
x y z
0;0;1
I
Mặt phẳng R có VTPT n 1;1; 2 ; Đường thẳng 1 có VTCP u 2;1; 1 Ta có n u , 1; 3; 1
Đường thẳng 2 nằm mặt phẳng R đồng thời cắt vng góc với đường thẳng 1 Do 2 qua I 0;0;1 nhận n u , làm VTCP
Vậy phương trình 2
1
x t
y t
z t
Câu 22: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1
:
1
x t
d y t
z
Gọi đường thẳng qua
(25)A 1 x t y t z t
B
1 10 11 x t y t z t
C
1 10 11 x t y t z t
D
1 x t y t z t Lời giải Chọn C
Phương trình tham số đường thẳng
1
:
1 x t y t z t
Chọn điểm B2; 1;3 , AB 3 Điểm 14 17; ;1
5 C
4
; ;1
5
C
nằm d thỏa mãn AC AB Kiểm tra điểm 4; 7;1
5
C
thỏa mãn BAC nhọn Trung điểm BC 3; 6;
5
I
Đường phân giác cần tìm AI có vectơ phương
2;11; 5
u có phương trình
1 10 11 x t y t z t ,
Câu 23: [2H3-3.2-3] Trong không gianOxyz, cho đường thẳng
1 : x t d y z t
Gọi đường thẳng qua
điểm A1; 3;5 có vectơ phương u1; 2; 2 Đường phân giác góc nhọn tạo d
có phương trình A 2 11 x t y t z t
B
1 2 11 x t y t z t
C
1 5 x t y t z t
D x t y z t
Hướng dẫn giải Chọn B
Ta có điểm A1; 3;5 thuộc đường thẳng d, nên A1; 3;5 giao điểm d Một vectơ phương đường thẳng d v3; 0; 4 Ta xét:
1 u u
u
1
1; 2;
2; ;
3 3
; 1 v v
v
1
3; 0;
3;0;
5
(26)Ta có w u1v1 10; ; 22
15 15 15
15
2; 5;11
vectơ phương đường phân giác góc nhọn tạo d hay đường phân giác góc nhọn tạo d có vectơ phương
1
w 2; 5;11
Do có phương trình:
1 2
6 11
x t
y t
z t
Câu 24: [2H3-3.2-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1
:
3
x t
d y t
z
Gọi đường thẳng qua
điểm A(1; 2;3) có vectơ phương u (0; 7; 1). Đường phân giác góc nhọn tạo d
có phương trình A
1 11
x t
y t
z t
B
4 10 12
x t
y t
z t
C
4 10 12
x t
y t
z t
D
1 2
x t
y t
z t
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng d qua A(1; 2;3) có VTCP a (1;1; 0) Ta có a u 1.0 1.( 7) 0.( 1) 7 ( , )a u 90
Đường phân giác góc nhọn tạo d có VTCP:
1
5;12;1 // 5;12;1
u a
b
u a
Phương trình đường thẳng cần tìm
4 10 12
x t
y t
z t
Câu 25: [2H3-3.1-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2
4
x y z
d
mặt phẳng
P : 2x y 2z 1 Đường thẳng qua E 2; 1; 2 , song song với P đồng thời tạo với d góc bé Biết có véctơ phương um n; ; Tính T m2n2
A T 5 B T 4 C T 3 D T 4 Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng P có vec tơ pháp tuyến n 2; 1; 2 đường thẳng d có vec tơ phương
4; 4;3
v
Vì song song với mặt phẳng P nên un2m n 20n2m2 Mặt khác ta có cos;
u v d
u v
2
2 2
4
1 4
m n
m n
4
41
m
m m
2
2
4
1 16 40 25
5 5
41 41
m m m
m m m m
(27)Xét hàm số
2
16 40 25
5
t t
f t
t t
2
2
72 90
5
t t
f t
t t
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có max f t f 0 5 suy ; d bé m0n2 Do 2
4 T m n
Làm theo cách khơng cần đến kiện: đường thẳng qua E 2; 1; 2
Câu 26: [2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A là: 6
1
x y z
Biết điểm M0;5;3 thuộc đường thẳng AB điểm
1;1; 0
N thuộc đường thẳng AC Vectơ sau vectơ phương đường thẳng AC A u 1; 2;3 B u 0;1;3 C u 0; 2; 6 D u 0;1; 3
Lời giải Chọn B
Phương trình tham số đường phân giác góc A: 6
x t
y t
z t
d
Gọi D điểm đối xứng với M qua d Khi DAC đường thẳng AC có vectơ phương ND
Ta xác định điểm D
Gọi K giao điểm MD với d Ta có K t ; ; 3 t t; MK t;1 ;3 3 t t Ta có MKud với u d 1; 4; 3 nên t4 4 t3 3 t0
2 t
1
; 4;
2
K
K trung điểm MD nên
2 2
D K M
D K M
D K M
x x x
y y y
z z z
1
D
D
D x y z
hay D1;3; 6
Một vectơ phương AC DN 0; 2; 6 Hay u 0;1;3 vectơ phương Câu 27: [2H3-3.1-3] Cho mặt cầu S1 : x32y22z22 4,
2 2
2 : 1
S x y z Gọi d đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu cách gốc tọa độ O khoảng lớn Nếu u a; 1;b vectơ phương d tổng
2
S a b bao nhiêu?
A S 2 B S 1 C S 0 D S 4 Lời giải
Chọn A
(28) S2 có tâm I21; 0; 1, bán kính R 2
Ta có: I I1 2 3 R1R2, S1 S2 tiếp xúc với điểm
; ; 3 A
Vì d tiếp xúc với hai mặt cầu, đồng thời cắt đoạn thẳng nối hai tâm I I1 2 nên d phải tiếp xúc với hai mặt cầu Ad I I1 2
Mặt khác d d O d ; OA dmax OA d OA
Khi đó, d có vectơ phương I I1 2,OA 6; 3;6
2; 1; 2
u
Suy a 2, b 2 Vậy S 2
Câu 28: [2H3-3.1-3] Trong không gian Oxy cho tam giác ABC có A2;3;3, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B 3
1
x y z
, phương trình đường phân giác góc C
2
2 1
x y z
Biết um n; ; 1
véc tơ phương đường thẳng AB Tính giá trị biểu thức 2
T m n
A T 1 B T 5 C T 2 D T 10 Lời giải
Chọn C
Gọi M trung điểm AC Trung tuyến BM có phương trình 3
1
x y z
suy
3 ;3 ;
M m m m C4 ;3 ;1 2 m m m
Vì C nằm đường phân giác góc C nên
4 2 4 2
2 1
m m m
m0 C4;3;1
Gọi A điểm đối xứng A qua phân giác góc C, A2 ;5 ;1 2 a a a A BC
Véc tơ phương đường thẳng chứa phân giác góc C u 2; 1; 1 Ta có AA u 4 2a 2 2 a 1 2a2 1 0 a0A2;5;1BM
Câu 29: Suy A B B2;5;1 AB0; 2; 2 2 0; 1;1 véc tơ đường thẳng AB Vậy 2
2
T m n [2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho phương trình đường phân giác góc A 6
1
x y z
Biết M0;5;3 thuộc đường thẳng AB N1;1; 0 thuộc đường thẳng AC Vector sau vector phương đường thẳng AC? A u 0;1;3 B u 0;1; 3 C u 0; 2; 6 D u 1; 2;3
Lời giải Chọn A
1; 4; 3
MN
,
d qua điểm A t ; ; 3 t t có VTCP u 1; 4; 3 Suy MN d//
(29)1 ;3;
2
K
,
1
;3 ;
2
KAt t t
KAu
KA u
1 4
2
t t t
t 1A1; 2;3
0;1;3
AN
Vậy AC có vector phương AN 0;1;3
Câu 30: [2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
4
:
3
x y z
2
2
:
1
x y z
Giả sử M 1,N 2 cho MN đoạn vng góc chung hai đường thẳng 1 2 Tính MN
A MN 5; 5;10 B MN 2; 2; 4 C MN 3; 3; 6 D MN 1; 1; 2 Lời giải
Chọn B
có VTCP u 1 3; 1; 2 2 có VTCP u 2 1;3;1 Gọi M4 ;1 t t; 2t N2s; 3 ; s s Suy MN 3ts t; 3s4; 2t s 5
Ta có
MN u MN u
8
s t s t
1
s t
Vậy MN 2; 2; 4
Câu 31: [2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d , mặt phẳng P :x y 2z 5 A1; 1; 2 Đường thẳng cắt d P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Một vectơ phương là:
A u 2; 3; 2 B u 1; 1; 2 C u 3; 5;1 D u 4; 5; 13 Lời giải
Chọn A
Điểm Md M 1 ; ; 2t t t, A trung điểm MN N3 ; 2 t t; 2t Điểm N P 3 2t 2 t 2 t 5 t 2M3; 2; 4, N 1; 4;0
4; 6; 4
MN
2 2;3; 2
Câu 32: [2H3-3.1-4] Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A2;3;3, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B 3
1
x y z
, phương trình đường phân giác góc C
2
2 1
x y z
Đường thẳng AB có véc-tơ phương A u 3 2;1; 1
B u 2 1; 1; 0
C u 4 0;1; 1
D
1 1; 2;1
(30)Lời giải Chọn C
Phương trình tham số đường phân giác góc C
2
:
2
x t
CD y t
z t
Gọi C2 ; 4 t t; 2t, suy tọa độ trung điểm M AC
7
2 ; ;
2
t t M t
Vì MBM nên:
7
3
2 2 2
1
t t t
1 1
1
1
t t t
t
Do C 4;3;1
Phương trình mặt phẳng P qua A vng góc CD
2 x2 1 y3 1 z3 0 hay 2x y z
Tọa độ giao điểm H P CD nghiệm x y z; ; hệ
2
2
x t
y t
z t
x y z
2
2 2 2
x t
y t
z t
t t t
x y z t
2; 4; 2
H
Gọi A điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD, suy H trung điểm AA, vậy:
2 2.2 2
2 2.4
2 2.2
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
x z z
2;5;1
A
Do A BC nên đường thẳng BC có véc-tơ phương CA 2; 2; 021;1; 0,
nên phương trình đường thẳng BC
4 x t y t z
Vì BBM BC nên tọa độ B nghiệm x y z; ; hệ 1 3 1 x t x y t y z z x y t
2;5;1
B A
Đường thẳng AB có véc-tơ phương AB 0; 2; 2 2 0;1; 1 ; hay
4 0;1;
(31)Câu 33: [2H3-3.1-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1 , A1; 2; 3 đường thẳng :
2
x y z
d
Tìm vectơ phương u
đường thẳng qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé
A u 2; 2; 1 B u 1; 7; 1 C u 1; 0; 2 D u 3; 4; 4 Lời giải
Chọn C
Gọi P mp qua M vuông góc với d, P chứa
Mp P qua M 2; 2;1 có vectơ pháp tuyến nP ud 2; 2; 1 nên có phương trình:
P : 2x2y z
Gọi H K, hình chiếu A lên P Khi đó: AK AH const: nên AKmin K H Đường thẳng AH qua A1, 2, 3 có vectơ phương u d 2; 2; 1
nên
AH có phương trình tham số:
1 2
3
x t
y t
z t
1 ; 2 ;
HAH H t t t
2 2 2 3; 2; 1
H P t t t t H
Vậy u HM 1; 0; 2
Câu 34: [2H3-3.1-4] Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A2;3;3, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B 3
1
x y z
, phương trình đường phân giác góc C
2
2 1
x y z
Đường thẳng AB có véc-tơ phương A u32;1; 1
B u21; 1; 0
C u40;1; 1
D
1 1; 2;1 u
Lời giải Chọn C
Phương trình tham số đường phân giác góc C
2
:
2
x t
CD y t
z t
Gọi C2 ; 4 t t; 2t, suy tọa độ trung điểm M AC
7
2 ; ;
2
t t M t
(32)
7
3
2 2 2
1
t t
t
1 1
1
1
t t t
t
Do C 4;3;1
Phương trình mặt phẳng P qua A vng góc CD
2 x2 1 y3 1 z3 0 hay 2x y z
Tọa độ giao điểm H P CD nghiệm x y z; ; hệ
2
2
x t
y t
z t
x y z
2
2 2 2
x t
y t
z t
t t t
2
x y z t
2; 4; 2
H
Gọi A điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD, suy H trung điểm AA, vậy:
2 2.2 2
2 2.4
2 2.2
A H A
A H A
A H A
x x x
y y y
x z z
2;5;1
A
Do A BC nên đường thẳng BC có véc-tơ phương CA 2; 2; 021;1; 0,
nên phương trình đường thẳng BC
4
x t
y t
z
Vì BBM BC nên tọa độ B nghiệm x y z; ; hệ
2
5
1
3
2
1
x t
x
y t
y z
z
x y
t
2;5;1
B A
Đường thẳng AB có véc-tơ phương AB 0; 2; 2 2 0;1; 1 ; hay
4 0;1;
u véc-tơ phương đường thẳng AB
Câu 35: [2H3-3.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông C, 60ABC , 2,
AB đường thẳng AB có phương trình
1
x y z
, đường thẳng AC nằm mặt phẳng :x z Biết B điểm có hồnh độ dương, gọi a b c; ; tọa độ điểm C, giá trị a b c
A B C D
(33)Ta có A giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng Tọa độ điểm A nghiệm hệ
3
1
1
x y z
x z
1
x y z
Vậy điểm A1; 2; 0
Điểm B nằm đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ B3t; 4 t; 4t Theo giả thiết t 3 t
Do AB 3 2, ta có t22t2216t22 18 t nên B2;3; 4 Theo giả thiết sin 60
2
AC AB ; cos 60
2 BC AB
Vậy ta có hệ
2 2
2 2
1
27
1
2
2
2
a c
a b c
a b c
2 2
1
2
27
1
2 a c
a b c
a b c
7
5
a b c
Vậy 7;3;
2
C
nên a b c 2
Câu 36: [2H3-3.3-4] Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A1;5; 0, B3;3; 6 đường thẳng
1
:
2
x y z
Gọi M a b c ; ; cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tính tổng T a b c ?
A T 2 B T 3 C T 4 D T 5 Lời giải
Chọn B
Ta có M M ;1t t; 2t
2 ; ;
MA t t t
, MB4 ; 2 t t; 2 t
Khi chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ MA MB nhỏ Xét hàm số f t MA MB 9t220 9t236t56
2 2 2 2 2
3t 3t 29
Dấu đạt số 3 ; 3t t số 2 5; 5 tỉ lệ Suy 3t 6 3t t Suy M 1; 0; 2
Chú ý có dùng bất đẳng thức Mincopski
2 2
2 2 2
1 2 n n n n
a b a b a b a a a b b b , với ai, bi Dấu xảy hai số a a1, 2, ,an b b1, 2, ,bn tỉ lệ
Câu 37: [2H3-3.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A2; 1;1 , M5;3;1, N4;1; 2 mặt phẳng P :y z 27 Biết tồn điểm B tia AM, điểm C P điểm D tia AN cho tứ giác ABCD hình thoi Tọa độ điểm C
(34)Lời giải Chọn B
C A
B D
E F
K
M N
Cách 1: Ta có AM 3; 4; 0; AM 5 Gọi E điểm cho 4; ; 5
AE AM
AM
, E thuộc tia AM AE 1
Ta có AN 2; 2;1; AN 3 Gọi F điểm cho 2 1; ; 3
AF AN
AN
, F thuộc tia AN AF 1
Do ABCD hình thoi nên suy 19 22 1; ; 19; 22;5 15 15 15
AK AEAF
hướng với AC
, hay u 19; 22;5 véc-tơ phương đường thẳng AC Phương trình đường thẳng
AC
2 19
: 22
1
x t
AC y t
z t
Tọa độ điểm C ứng với t nghiệm phương trình: 1 22t 5 t27 t Do C21; 21; 6
Cách 2: AM 3; 4; 0, AM 5
2; 2;1
AN
, AN 3
Chọn điểm AM13AM , AM 1 15 AN13AN, AN 1 15 Khi tam giác AM N1 1 cân A Do tứ giác ABCD hình thoi nên tam giác ABD cân A Suy BD M N1 1 song song
Ta có M N1 1AN1AM1 5AN3AM 1; 2;5
Cần có ACBD ACM N1 1 AC M N 1 1 0 Với C x y z ; ; , ta có
1
AC M N
2
x y z
Thử đáp án thấy B thỏa mãn
Câu 38: [2H3-3.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho P :x2y2z 5 0, A 3; 0;1,
1; 1;3
B Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với P cho khoảng cách từ B đến d lớn
A
1
x y z
B
3
3 2
x y z
C
1
1 2
x y z
D
3
2
x y z
(35)Đường thẳng d qua A nên d B d ; BA, khoảng cách từ B đến d lớn ABd u AB
, với u vectơ phương d Lại có d song song với P nên un P
4; 1; 2
AB
, n P 1; 2; 2 , chọn u AB n, P 2; 6; 7
Do phương trình đường thẳng d
2
x y z
Câu 39: [2H3-3.5-3] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng : 2xy2z 2 0, đường thẳng
1
:
1 2
x y z
d điểm 1;1;1 A
Gọi đường thẳng nằm mặt phẳng , song song với d đồng thời cách d khoảng Đường thẳng cắt mặt phẳng Oxy điểm B Độ dài đoạn thẳng AB
A
2 B
21
2 C
7
3 D
3 Lời giải
Chọn A Cách 1:
Ta có: BOxy B nên B a ; 2 ; a
1
:
1 2
x y z
d qua M 1; 2; 3 có véctơ phương u 1; 2; 2 Ta có: d nên d song song với nằm mặt phẳng Gọi C dOxy
1
: 2
0
x y z
C z
1 ;1; C
Gọi d Oxy, suy d thỏa hệ
: 2
:
x y z
Oxy z
Do đó, d qua 1;1; C
có VTCP ud 1; 2; 0
Gọi ,d d d, Ta có: cos cos ,
d d u u
Gọi H hình chiếu C lên Ta có CH 3
sin
CH BC
(36)Vậy 2 45
4
AB AC BC Cách 2: Ta có: :
1 2
x y z
d qua M ( 1; 2; 3) có VTCP u 1; 2; 2 Ta có: B Oxy, nên BOxy B a ; 2 ; a
Ta có: // d d,d3 nên d B d ;
;
3
u MB u
Ta có: MBa1; ;3 a ; u MB ; 4a2; 2a1; 4 a
Do
;
3
u MB u
2
2
3
3
3
a
a
Vậy
2
2
1
1
2
AB a a
Câu 40: [2H3-3.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng qua gốc tọa độ O điểm I0;1;1 Gọi S tập hợp điểm nằm mặt phẳng Oxy, cách đường thẳng khoảng Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiS
A 36 B 36 2 C 18 2 D 18 Lời giải
Chọn B
Gọi M x y ; ; 0 Oxy
2
, 2
,
2
OM OI y x
d M
OI
Yêu cầu toán
2
2
y x
2
1
36 72
x y
Vậy quỹ tích M Oxy hình Elip với a 6 b 6 S ab36
Câu 41: [2H3-3.5-3] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2; 0; 0, B0;3;1,
1; 4; 2
C Độ dài đường cao từ đỉnh A tam giác ABC:
A B C
2 D
Lời giải Chọn B
Độ dài đường cao từ đỉnh A tam giác ABC AH d A BC ,
Ta có đường thẳng BC qua điểm B0;3;1 nhận vectơ CB 1; 1; 1 làm vectơ phương
nên có phương trình
x t
y t
z t
Do đó: AH d A BC ,
, CB AB
CB
(37)Với CB 1; 1; 1 ;AB 2;3;1 CB AB, 2;1;1
,
CB AB
3
CB
Vậy AH d A BC ,
, CB AB
CB
Câu 42: [2H3-3.5-3] Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S : x12y22z32 9 mặt phẳng
P :2x2y z Gọi M a b c ; ; điểm mặt cầu cho khoảng cách từ M đến P lớn Khi đó:
A a b c 8 B a b c 5 C a b c 6 D
a b c
Hướng dẫn giải Chọn D
Mặt S cầu có tâm I1; 2;3 , R 3
2
2
2.1 2.2 3
,
3
2
d I P R
mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn
Gọi M a b c ; ; điểm mặt cầu cho khoảng cách từ M đến P lớn Khi M thuộc đường thẳng vng qua M vng góc với P
1
: 2
3
x t
y t
z t
Thay vào mặt cầu S 2t 2 2t2 t 9 9t2 9 t
Với
2
2
2.3 2.0 10
1 3; 0; ;
3
2
t M d M P
Với
2
2
2 2.4 1
1 1; 4; ;
3
2
t M d M P
(38)Câu 43: [2H3-3.5-3] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1, A1; 2; 3 đường thẳng
1
:
2
x y z
d
Tìm véctơ phương u
đường thẳng qua M , vng góc với đường thẳng d, đồng thời cách điểm A khoảng lớn
A u 4; 5; 2 B u 1; 0; 2 C u 8; 7; 2 D u 1;1; 4 Lời giải
Chọn A
Gọi H hình chiếu vng góc A lên , ta có d A ; AH Mặt khác, M nên AH AM Do đó, AHmax AM H M
Khi đó, đường thẳng qua M , vng góc với đường thẳng d vng góc với đường thẳng AM nên có véctơ phương u ud;AM 4; 5; 2
Câu 44: [2H3-3.5-3] Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1
1
:
x
y t
z t
, 2
4
:
1
x t
y t
z t
Gọi S
là mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 Bán kính mặt cầu S A 10
2 B
11
2 C
3
2 D
Hướng dẫn giải Chọn B
1
A A1; 2 t; t, B 2B4t;3 ;1 t t Ta có AB3t;1 2 tt;1 t t
VTCP đường thẳng 1 u 1 0;1; 1 VTCP củả đường thẳng 2 u 2 1; 2; 1 Ta có
2
AB u AB u
1
3 2
t t t t
t t t t t
2
6
t t t t
0 t t
Suy AB 3;1;1 AB 11
Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 có đường kính độ dài đoạn AB nên có bán kính 11
2
AB
r
Câu 45: [2H3-3.4-3] Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A1; 2; 1 , B2; 1;3 , C 4; 7;5 Tọa độ chân đường phân giác góc ABC tam giác ABC
A 11; 2;1
B 11 1; ; 3
C 2;11;1 D 11
; ;1 3
(39)Ta có phương trình đường thẳng AC
1 5 ,
1
x t
y t t
z t
Gọi I chân đường phân giác góc ABC tam giác ABC
1 ; ;
I t t t
Lại có BA 1;3; 4 , BC 6;8; 2, BI5t1;5t3;6t4 Vì I chân đường phân giác góc ABC tam giác nên ABC:
cos BA BI ; cos BC BI ;
BA BI BC BI BA BI BC BI
2 2 2 2
5 15 16 24 30 40 24 12
1
t t t t t t
4 26 82 22
26 104
t t
1 52 82 22
3
t t t
11; ;1
3
I
Câu 46: [2H3-3.4-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2
:
S x y z
đường thẳng
2 :
1
x t
d y t
z m t
Gọi T tập tất giá trị m để d cắt S hai điểm phân
biệt A, B cho tiếp diện S A B tạo với góc lớn Tính tổng
phần tử tập hợp T
A B 3 C 5 D 4 Hướng dẫn giải
Chọn B
(S)
d H
M I
A B
Mặt cầu S có tâm I1; 0; 2 bán kính R 2
Đường thẳng d qua điểm N2; 0;m 1 có véc tơ phương u 1;1;1 Điều kiện để d cắt S hai điểm phân biệt d I d ; R
;
IN u u
2
2 6
2
m m
21 21
2 m
Khi đó, tiếp diện S A B vng góc với IA IB nên góc chúng góc IA IB; Ta có 0o IA IB; 90o nên IA IB; max 90o IAIB
Từ suy ;
d I d AB
2
2 6
2
m m
2m26m0
3
m m
(40)Vậy T 3; 0 Tổng phần tử tập hợp T 3
Câu 47: [2H3-3.6-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểmA(0;1; 2), mặt phẳng ( ) : xy z mặt cầu ( ) :S x32y12z22 16 Gọi P mặt phẳng qua A, vng góc với ( ) đồng thời P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tọa độ giao điểm M P trục x Ox
A 1; 0; M
B
1 ; 0; M
C M1; 0; 0 D
1 ; 0; M
Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi n a b c; ; vec tơ pháp tuyến mặt phẳng P
Theo đề ta có mặt phẳng P vng góc với mặt phẳng ( ) : xy z nên ta có phương trình a b c 0bac na a c c; ;
Phương trình mặt phẳng P qua A(0;1; 2) có véc tơ pháp tuyến n a a; c c;
1 0
ax a c y c z
Khoảng cách từ tâm I3;1; 2 đến mặt phẳng P
2
3 ,
2 a d I P h
a ac c
Gọi r bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu S mặt phẳng P ta có
2
16
r h r nhỏ h lớn Khi a 0 h 0
Khi a 0 2
9
h
c c a a
Do
2
2
1 3
2
2
c c c
a a a
nên
2
2
9
9
3
h
c c a a
Dấu " " xảy a 2c. véc tơ pháp tuyến
2;1; 1
n
phương trình mặt phẳng P 2xy z Vậy tọa độ giao điểm M P trục x Ox 1; 0;
2 M
Câu 48: [2H3-3.6-3] Trong không gian tọa độ Oxyz cho A1;1; 1 , B2;3;1, C5;5;1 Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt mặt phẳng Oxy M a b ; ; 0 Tính 3b a
A B C D
Lời giải Chọn B
(41)Ta có IC AC
IB AB IC 2IB
5 2
5
1
x x
y y
z z
3 11
3 x y z
11 3; ;1
3 I
Ta có 2; ; 28 AI
Phương trình tham số AI là:
1
3
x t
y t
z t
Phương trình mặt phẳng Oxy là: z 0
Giao điểm đường thẳng AI với mặt phẳng Oxy 2; ; 07 M
Vậy 3b a 5
Câu 49: [2H3-3.6-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng:
1
3 1
:
1
x y z
d
, 2
1 :
1
x y z
d
, 3
1 1
:
2 1
x y z
d , 4 :
1 1
x y z
d
Số đường thẳng không gian cắt bốn đường thẳng là:
A B C Vô số D
Lời giải Chọn A
Ta có d1 song song d2 , phương trình mặt phẳng chứa hai Hai đường thẳng d1 , d2 P :xy z
Gọi A d3 P A1; 1;1 , A d1 ,A d2
4
B d P B0;1; 0, B d1 ,B d2
Mà AB 1; 2; 1 phương với véc-tơ phương hai đường thẳng d1 , d2 nên không tồn đường thẳng đồng thời cắt bốn đường thẳng
Câu 50: [2H3-3.6-3] Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng: 1
3 1
:
1
x y z
d
,
2
1 :
1
x y z
d
, 3
1 1
:
2 1
x y z
d , 4 : 1
1 1
x y z
d
Số đường thẳng không gian cắt bốn đường thẳng là:
A B C Vô số D
Lời giải Chọn D
Đường thẳng d1 qua điểm M 1 3; 1; 1 có véctơ phương u 1 1; 2;1
P
A B d1
d2
d3
(42)Đường thẳng d2 qua điểm M 2 0; 0;1 có véctơ phương u 2 1; 2;1 Do u1 u2
M1d1 nên hai đường thẳng d1 d2 song song với Ta có M M 1 2 3;1; 2, u M M1, 1 2 5; 5; 5
5 1;1;1;
Gọi mặt phẳng chứa d1 d2 có véctơ pháp tuyến n 1;1;1 Phương trình mặt phẳng xy z
Gọi Ad3 A1; 1;1 Gọi Bd4 B 1; 2; 0
Do AB 2;3; 1 không phương với u 1 1; 2;1 nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng d1 d2
Câu 51: [2H3-3.6-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d mặt phẳng
:xy z Trong đường thẳng sau, đường thẳng nằm mặt phẳng , đồng thời vng góc cắt đường thẳng d?
A 2: 4
1
x y z
B
1
:
3
x y z
B
5
:
3
x y z
D
2 4
:
3
x y z
Lời giải Chọn B
Phương trình tham số đường thẳng
1
: 2
3
x t
d y t
z t
1 ; 2 ;3
Id I t t t
2 3
I t t t t I2; 4; 4
Vectơ phương d u 1; 2;1
Vectơ pháp tuyến n 1;1; 1
Ta có u n, 3; 2; 1
Đường thẳng cần tìm qua điểm I2; 4; 4, nhận VTCP u n , 3; 2; 1 nên có PTTS
2 4
x t
y t
z t
Câu 52: [2H3-3.6-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng:
3 1
:
1
x y z
d
,
1 :
1
x y z
d
,
1 1
:
2 1
x y z
d , 4:
1 1
x y z
d
Số đường thẳng không gian cắt bốn đường thẳng
A B C Vô số D
(43)Ta có d1 song song d2, phương trình mặt phẳng chứa hai Hai đường thẳng d1, d2 P :x y z
Gọi Ad3 P A1; 1;1 , Ad A d1, 2
4
Bd P B0;1;0, Bd B1, d2
Mà AB 1; 2; 1 phương với véc-tơ phương hai đường thẳng d1, d2 nên không tồn đường thẳng đồng thời cắt bốn đường thẳng
Câu 53: [2H3-3.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 3a
:
2 3a (1 )
x at
y t
x a t
Biết
rằng a thay đổi tồn mặt cầu cố định qua điểm M1;1;1 tiếp xúc với đường thẳng Tìm bán kính mặt cầu
A B C D Lời giải
Chọn A
Từ đường thẳng
1 3a
:
2 3a (1 )
x at
y t
x a t
3 x y z
Ta có ln qua điểm A1; 5; 1 cố định nằm mặt phẳng P :xy z Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng vói a Nên mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng P A Đường thẳng IA qua A vng góc P có phương trình
1
x t
y t
z t
(1 ; ; )
I t t t
Mà 2 2 2
( 6) ( 2)
IAIM t t t t t t t I(6; 0; 6) RIM 5 Câu 54: [2H3-3.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
d
mặt phẳng P :xy z Đường thẳng nằm mặt phẳng P , vng góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I d với P đến 42 Gọi M5; ;b c hình chiếu vng góc I Giá trị bc
A 10 B 10 C 12 D 20 Lời giải
P
A B d1
d2
d3
(44)Chọn B
d
Δ'
Δ I
M
Mặt phẳng P có véc-tơ pháp tuyến n P 1;1;1
, đường thẳng d có véc-tơ phương
2;1; 1
d
u
Tọa độ giao điểm I d với P nghiệm hệ phương trình:
3
2 1
2
x y z
x y z
1
x y z
1; 3; 0
I
Đường thẳng nằm mặt phẳng P , vng góc với đường thẳng d nên có véc-tơ phương u n u P; d 2;3; 1
Đường thẳng qua I, thuộc mặt phẳng P vng góc với đường thẳng có véc-tơ phương là: u n uP; 4; 1;5
Phương trình đường thẳng là:
1
x t
y t
z t
Hình chiếu M I đường thẳng giao điểm M1 ; 3 t t t;5 Khoảng cách từ I đến 42 nên
42
IM IM2 42 4t2 t 2 5t 42 t Với t 1 M 3; 4;5
Với t 1 M5; 2; 5 Như b 2,c 5 bc10
Câu 55: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;1, B0;3; 1 Điểm M nằm mặt phẳng P :2x y z cho MAMB nhỏ
A 1;0; B 0;1;3 C 1; 2; D 3; 0;
Lời giải Chọn C
(45) P :2x y z Ta có 2.2 1 2.0 4 4 Do A2;1;1và A0;3; 1
nằm khác phía so với mặt phẳng P :2x y z
Theo bất đẳng thức tam giác ta có MAMBAB Đẳng thức xảy M A B, , thẳng hàng hay M AB P
Đường thẳng AB qua điểm A2;1;1 có vec tơ phương AB 2 1; 1;1 có phương trình
tham số
2
1
x t
y t
z t
Suy M2t;1t;1t
Vì M P nên ta có 2 t 1 t t 02t 2 t
Vậy M1; 2;0
Câu 56: -HẾT -[2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm
0; 2; 1
A , B 2; 4;3, C1;3; 1 mặt phẳng P :xy2z 3 Tìm điểm M P cho MA MB 2MC đạt giá trị nhỏ
A 1; ; 2
M B 1; 1;1
2
M C M2; 2; 4 D M 2; 2; 4
Lời giải Chọn A
I
A B
M
Gọi I, O trung điểm AB IC, với điểm M ta ln có
MA MB MI IA MI IB MI; tương tự MIMC2MO
Suy d MA MB 2MC 2MI2MC 4 MO nên d nhỏ MO nhỏ
MO P nên M hình chiếu vng góc O lên P
Có A0; 2; 1 , B 2; 4;3 I 1; 3;1, kết hợp với C1;3; 1 ta có O0; 0; 0
Đường thẳng qua O0; 0; 0 vng góc với P có phương trình :
2
x t d y t
z t
Giao điểm d P hình chiếu vng góc M O0; 0; 0 lên mặt phẳng P
Giải hệ
2
2
x t y t z
x y z
t ta
1 1
, , ,
2 2
t x y z
Vậy 1; ; 2
(46)* Nhận xét: Với đáp án học sinh làm phép thử đơn giản thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng P đủ chọn đáp án A, “mồi nhử” chưa tốt Có lẽ tác giả quan tâm cách giải tự luận!
Câu 57: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm M0; 1; 2 , N 1;1;3 Một mặt phẳng P qua M , N cho khoảng cách từ điểm K0; 0; 2 đến mặt phẳng P đạt giá trị lớn Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến n mặt phẳng P
1; 1;1
n B n 1;1; 1 C n 2; 1;1 D n 2;1; 1 Lời giải
Chọn B
Ta có: MN 1; 2;1
P
M
N K
I
Đường thẳng d qua hai điểm M , N có phương trình tham số 2
x t
y t
z t
Gọi I hình chiếu vng góc K lên đường thẳng d I t; ; 2t t Khi ta có KI t; ;t t
Do
1 1 1
; ; 1;1;
3 3 3
KI MNKI MN t t t t KI
Ta có ; ;
nax
d K P KI d K P KI KI P n 1;1; 1
Câu 58: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2; 3 mặt phẳng
P : 2x2y z Đường thẳng d qua A có vectơ phương u 3; 4; 4 cắt P B Điểm M thay đổi P cho M ln nhìn đoạn AB góc o
90 Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB qua điểm điểm sau?
A H 2; 1;3 B I 1; 2;3 C K3; 0;15 D J 3; 2; 7 Lời giải
(47)+ Đường thẳng d qua A1; 2; 3 có vectơ phương u 3; 4; 4 có phương trình
1
3
x t
y t
z t
+ Ta có: MB2 AB2MA2 Do MBmax MAmin + Gọi E hình chiếu A lên P Ta có: AM AE
Đẳng thức xảy M E
Khi AMmin AE MB qua B nhận BE làm vectơ phương + Ta có: Bd nên B1 ; ; 4 t t t mà B P suy ra:
2 3 t 2 4 t 3 4t 9 0 t 1B 2; 2;1
+ Đường thẳng AE qua A1; 2; 3 , nhận n P 2; 2; 1 làm vectơ phương có phương
trình
1 2
3
x t
y t
z t
Suy E1 ; 2 ; 3 t t t
Mặt khác, E P nên 2 t2 2 t 3 t 9 0 t 2E 3; 2; 1 + Do đường thẳng.MB qua B 2; 2;1, có vectơ phương BE 1; 0; 2 nên
có phương trình
2 2
x t
y
z t
(48)
Câu 59: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;1, B1; 2; 3 đường thẳng
1
:
2
x y z
d
Tìm vectơ phương u
đường thẳng qua điểm A vng góc với d đồng thời cách B khoảng lớn
A u 4; 3; 2 B u 2; 0; 4 C u 2; 2; 1 D
1; 0; 2
u
Lời giải Chọn A
Ta có AB 2; 0; 4 , u d 2; 2; 1
Gọi H hình chiếu vng góc B lên , lúc d B , BH BA Do d B , lớn H A d AB
Ta có VTCP u AB u; d8; 6; 4 Do chọn u 4; 3; 2 VTCP
Câu 60: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x2y z điểm
0; 2;3
A , B2; 0;1 Điểm M a b c ; ; thuộc P cho MA MB nhỏ Giá trị 2
a b c A 41
4 B
9
4 C
7
4 D
Lời giải Chọn B
A
B
A'
Ta có A B, nằm phía P Gọi A đối xứng với A qua P suy A 2; 2;1 Ta có MA MB MAMBBA Dấu xảy M giao điểm BA P Xác định 1; ;11
2 M
Suy chọn B
Câu 61: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A2; 3; 2 , B3;5; 4 Tìm toạ độ điểm M trục Oz so cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ
A M0; 0; 49 B M0; 0; 67 C M0; 0;3 D M0; 0; 0 Lời giải
Chọn C
Gọi I trung điểm AB 5;1;3 I
(49)Ta có: MA2MB2 MA2MB2
2
MI IA MI IB
2MI2IA2IB2
2
IA IB không đổi nên 2
MA MB đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ M
hình chiếu I trục Oz
M0; 0;3
Câu 62: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:
3 1
:
1
x y z
d
,
2
1 :
1
x y z
d
,
1 1
:
2 1
x y z
d , 4: 1
1 1
x y z
d
Số đường thẳng không gian cắt bốn đường thẳng
A B C Vô số D
Lời giải Chọn D
Đường thẳng d1 qua điểm M 1 3; 1; 1 có véctơ phương u 1 1; 2;1
Đường thẳng d2 qua điểm M 2 0;0;1 có véctơ phương u 2 1; 2;1 Do u1 u2
M1d1 nên hai đường thẳng d1 d2 song song với Ta có M M 1 2 3;1; 2, u M M1, 1 2 5; 5; 5
5 1;1;1;
Gọi mặt phẳng chứa d1 d2 có véctơ pháp tuyến n 1;1;1 Phương trình mặt phẳng xy z
Gọi Ad3 A1; 1;1 Gọi Bd4 B 1; 2; 0
Do AB 2;3; 1 không phương với u 1 1; 2;1 nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng d1 d2
Câu 63: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
S : x12y22z32 9, điểm A0; 0; 2 Phương trình mặt phẳng P qua A cắt mặt cầu S theo thiết diện hình trịn C có diện tích nhỏ
A P :x2y3z 6 B P :x2y z C P :x2y z D P : 3x2y2z 4
Lời giải Chọn B
Mặt cầu S : x12y22z32 9 có tâm I1; 2;3, bán kính R 3
6
IA R nên A nằm mặt cầu
Gọi r bán kính đường trịn thiết diện, ta có r R2h2 Trong h khoảng cách từ I đến P
Diện tích thiết diện r2 2 R h
R2IA2
(50)Câu 64: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A4; 2;5, B0; 4; 3 ,
2; 3; 7
C Biết điểm M x y z 0; 0; 0 nằm mặt phẳng Oxysao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tính tổng Px0y0 z0
A P 3 B P 0 C P 3 D P 6 Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi G2;1;3 trọng tâm ABC MA MB MC 3MG 3MG Do MA MB MC nhỏ MGnhỏ
Mà MGd G Oxy , GH nên MG nhỏ n hất M H đóM hình chiếu vng góc G lên OxyM2;1; 0x0y0z0 3
Câu 65: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z
hai điểm A0; 1;3 , B1; 2;1 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho MA22MB2 đạt giá trị nhỏ
A M5; 2; 4 B M 1; 1; 1 C M1; 0; 2 D M3;1; 3 Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì M thuộc đường thẳng nên M1 ; ; 2 t t t
Ta có MA22MB2 2t12t12t522 2t t22 t32
2
18t 36t 53
MA22MB2 18t1235 35, t Vậy 2
min MA 2MB 35 t hay M 1; 1; 1
Câu 66: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3; 2 M
mặt cầu S :x2y2z2 8 Một đường thẳng qua điểm M cắt S hai điểm phân biệt A, B Diện tích lớn tam giác OAB
A B C 2 D
Lời giải Chọn D
Mặt cầu S có tâm O0; 0; 0 bán kính R 2 Ta có: 1; 3;
2 OM
1
OM R
(51)Gọi H trung điểm ABOH OM Đặt OH x 0 x1
Đặt
2 2
8 sin
2
AH OA OH x
AOH
OA OA
; cos
2
OH x
OA
Suy
2 sin sin cos
4
x x
AOB
Ta có: sin
2 OAB
S OA OB AOBx x với 0x1 Xét hàm số f x x 8x2 đoạn 0;1
2
2
2
8
8 0, 0;1
8
x x
f x x x
x x
max 0;1 f x f 1
Vậy diện tích lớn tam giác OAB
Câu 67: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1
1
x y z m
d mặt cầu
S : x12y12z22 9 Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu S hai điểm phân biệt E, Fsao cho độ dài đoạn EFlớn
A m 1 B m 0 C
m D
3 m Lời giải
Chọn B
Mặt cầu S có tâm I1;1; 2 bán kính R 3
Gọi H hình chiếu vng góc I d, H trung điểm đoạnEF Ta có EF 2EH 2 R2d I P , 2 Suy EFlớn d I P , nhỏ Đường thẳng d qua A1; 1; m có véc tơ phương u 1;1; 2
Ta có AI 0; 2; 2m, AI u, 2m; 2m; 2
Suy
2
, 2 12
,
1
AI u m
d I P
u
Do d I P , nhỏ m 0 Khi EF 2EH 2 R2d I P , 2 2
Câu 68: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1
:
x t
d y t
z t
,
2
:
2
x t
d y t
z t
Đường thẳng cắt d, d điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ Phương trình đường thẳng
A
2
x y z
B
4
2
x y z
C
2
x y z
D
2 1
2
x y z
Lời giải Chọn D
1 ; ;
d A t t t
(52)1
4 2
AB u t t t t t t
t t t t t t
AB u
1
2
2
6
1
t t t
t t
t
Suy A2;1;1, 1; ;1 2 AB
AB ngắn AB đoạn vng góc chung d, d
Vậy qua A2;1;1 có vectơ phương u2AB 2;1;3 : 1
2
x y z
Câu 69: [2H3-3.8-3] Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D biết A1; 0;1, B2;1; 2,
2; 2; 2
D , A3; 0; 1 , điểm M thuộc cạnh DC Giá trị nhỏ tổng khoảng cách AM MC
A 17 B 17 6 C 17 3 D 17 2 Hướng dẫn giải
Chọn C
B(2;1;2)
C
A(1;0;1) D(2;-2;2)
D' A'(3;0;-1)
C' B'
M
Ta có AB 1;1;1; AA 2; 0; 2 ; AD 1; 2;1
Theo quy tắc hình hộp ta có ABADAA AC C5; 1;1
Phương trình đường thẳng DC qua D2; 2; 2 nhận AB 1;1;1 làm véc tơ
phương
2 2
x t
y t
z t
Gọi M2 t; t; 2tDC Ta có
1; 2; 1
AM t t t
2
3
MA t
,
3; 1; 1
C M t t t MC 3t128
Xét vectơ u ; 6t , v 3 ; 2t
Do u v u v nên
2
3
AM MC AMMC 17 3 Dấu " " xảy
3
3
t t
3
1
t t
t 3
2 1;1 3; 1
M
(53)Vậy giá trị nhỏ tổng khoảng cách AM MClà 17 3
Câu 70: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M2; 2; 3 N 4; 2;1 Gọi đường thẳng qua M , nhận vecto ua b c; ; làm vectơ phương song song với mặt phẳng P : 2xy z cho khoảng cách từ N đến đạt giá trị nhỏ Biết a , b hai số nguyên tố Khi a b c bằng:
A 15 B 13 C 16 D 14 Lời giải
Chọn A
Gọi Q mặt phẳng qua M2; 2; 3 song song với mặt phẳng P Suy Q : 2xy z
Do // P nên Q
,
d N đạt giá trị nhỏ qua N, với N hình chiếu N lên Q
Gọi d đường thẳng qua N vng góc P ,
4
:
1
x t
d y t
z t
Ta có N d N ; 2t t;1t;
N Q t 10 7; ; 3
N
; ;
u a b c phương 10 16; ; 3 MN
Do a , b nguyên tố nên chọn u 5; 2;8 Vậy a b c 15
45-47 CHANH MUỐI
Câu 71: [2H3-3.8-3] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2
4
x y z
d
mặt phẳng
P : 2xy2z 1 Đường thẳng qua E 2; 1; 2 , song song với P đồng thời tạo với d góc bé Biết có véctơ phương u m n; ; Tính 2
T m n A T 5 B T 4 C T 3 D T 4
Lời giải Chọn D
Mặt phẳng P có vec tơ pháp tuyến n 2; 1; 2 đường thẳng d có vec tơ phương
4; 4;3
v
Vì song song với mặt phẳng P nên un2mn20n2m2 Mặt khác ta có cos;
u v d
u v
2
2 2
4
1 4
m n
m n
4
41
m
m m
2
2
4
1 16 40 25
5 5
41 41
m m m
m m m m
Vì 0 ;d90 nên ; d bé cos; d lớn Xét hàm số
2
2
16 40 25
5
t t
f t
t t
2
2
72 90
5
t t
f t
t t
(54)Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có max f t f 0 5 suy ; d bé m0n2 Do 2
4 T m n
Làm theo cách khơng cần đến kiện : đường thẳng qua E 2; 1; 2
Câu 72: [2H3-3.8-3] Họ parabol Pm :ymx22m3xm2 m0 tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây?
A 0; B 0; C 1;8 D 1;
Lời giải Chọn A
Gọi H x y 0; 0 điểm cố định mà Pm qua
Khi ta có: y0 mx02 2m3x0 m2
0 0
m x x x y , m0
0
0
2
6
x x
x y
Do x02 2x0 1 có nghiệm kép nên Pm tiếp xúc với đường thẳng d y: 6x2 Ta thấy 0; 2 d
Câu 73: [2H3-3.8-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A2; 3; 2 , B3;5; 4 Tìm toạ độ điểm M trục Oz so cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ
A M0; 0; 49 B M0; 0; 67 C M0; 0;3 D M0; 0; 0 Lời giải
Chọn C
Gọi I trung điểm 5;1;3 AB I
Ta có: MA2MB2 MA2MB2 MIIA 2 MIIB2 2MI2IA2IB2
2
IA IB không đổi nên MA2MB2 đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ M
hình chiếu I trục Oz
0; 0;3
M
Câu 74: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1
2
x y z
hai điểm A1; 2; 1 , B3; 1; 5 Gọi d đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d lớn Phương trình đường thẳng d là:
A
2
x y z
B
2
1
x y z
C
3 1
x y z
D
1
1
x y z
(55)Chọn D
Gọi I d Khi I 1 ;3 ; 1t t t
Ta có: AB 2; 3; 4 ; AI 2t2;3t2;t AI AB; 8 15 ; 6 t t8;10 12 t
Suy ra:
2
2
, 405 576 228
;
14 20
AI AB t t
d B d
t t
AI
Xét hàm số
2
2
405 576 228 135 192 76
14 20 10
t t t t
f t
t t t t
2
2
3 16
2 7 10 4
t t
f t
t t
Cho
2
0 2
3 t f t
t
Bảng biến thiên:
Do d B d ; nhỏ f t đạt giá trị nhỏ 27 t Suy 1; 2;
3
AI
Chọn vectơ phương đường thẳng d u3AI 1; 6; 5 Vậy phương trình đường thẳng :
1
x y z
d
Câu 75: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho điểm A3; 2;3 , B1; 0;5 đường thẳng
1
:
1 2
x y z
d
Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d để
2
MA MB đạt giá trị nhỏ
A M1; 2;3 B M2; 0;5 C M3; 2; 7 D M3; 0; 4 Lời giải
Chọn B
Gọi I trung điểm AB, ta có I 2; 1; 4
Khi đó: MA2MB2 MA2MB2
2
MI IA MI IB
2 2
2MI IA IB 2MI IA IB
2
2MI IA IB
MI26
Do MA2MB2 đạt giá trị nhỏ MI có độ dài ngắn nhất, điều xảy M hình chiếu vng góc I đường thẳng d
Phương trình mặt phẳng P qua I vng góc với đường thẳng d
1 x2 2 y1 2 y4 0 hay P :x2y2z120
t
3
f t
f t 405 14
27
29
(56)Phương trình tham số đường thẳng d
1 2
x t
y t
z t
Tọa độ điểm M cần tìm nghiệm x y z; ; hệ phương trình:
1 2
2 12
x t
y t
z t
x y z
2
x y z t
Vậy M2; 0;5
Câu 76: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y z 0, đường thẳng : 15 22 37
1 2
x y z
d mặt cầu S :x2y2z28x6y4z 4 Một đường thẳng thay đổi cắt mặt cầu S hai điểm A, B cho AB 8 Gọi A, B hai điểm thuộc mặt phẳng P cho AA, BB song song với d Giá trị lớn biểu thức
AABB A 30
9
B 24 18
5
C 12
D 16 60
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu S có tâm I4;3; 2 bán kính R 5
Gọi H trung điểm AB IH AB IH 3 nên H thuộc mặt cầu S tâm I bán kính R 3
Gọi M trung điểm A B AABB2HM , M nằm mặt phẳng P Mặt khác ta có ;
3
d I P R nên P cắt mặt cầu S
sin ; sin
3
(57)HK
qua I nên max ; 4 3
3
HK Rd I P
Vậy AABB lớn 3 3 24 18
5
3
Câu 77: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 0;1, B3; 2;1, C5;3; 7 Gọi M a b c ; ;
là điểm thỏa mãn MAMB MBMC đạt giá trị nhỏ Tính Pa b c A P 4 B P 0 C P 2 D P 5
Lời giải Gọi I trung điểm AB, suy I1;1;1; AB 4; 2; 0 Phương trình mặt phẳng trung trực AB: : 2xy 3
Vì 2.3 1.2 2.5 1.3 3 500 nên B, C nằm phía so với , suy A, C nằm hai phía so với
Điểm M thỏa mãn MAMB M Khi MBMCMA MC AC MBMC nhỏ AC M AC
Phương trình đường thẳng AC:
1
1
x t
y t
z t
, tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình
1
1
2
x t
y t
z t
x y
1 1
t x y z
Do M1;1;3, a b c 5
Câu 78: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 0;1, B3; 2;1, C5;3; 7 Gọi M a b c ; ;
là điểm thỏa mãn MAMB MBMC đạt giá trị nhỏ Tính Pa b c A P 4 B P 0 C P 2 D P 5
Lời giải Gọi I trung điểm AB, suy I1;1;1; AB 4; 2; 0 Phương trình mặt phẳng trung trực AB: : 2xy 3
Vì 2.3 1.2 2.5 1.3 3 500 nên B, C nằm phía so với , suy A, C nằm hai phía so với
Điểm M thỏa mãn MAMB M Khi MBMCMA MC AC MBMC nhỏ AC M AC
Phương trình đường thẳng AC:
1
1
x t
y t
z t
, tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình
1
1
2
x t
y t
z t
x y
1 1
t x y z
(58)Câu 79: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu
2
: 4
S x y z x y z điểm M1; 2; 1 Một đường thẳng thay đổi qua M cắt
S hai điểm A, B Tìm giá trị lớn tổng MA MB
A B 10 C 17 D 5 Lời giải
Chọn C
Mặt cầu S có tâm I1; 2; 2 , bán kính R 3 Vì IM 173 nên M nằm ngồi đường trịn,
Gọi góc tạo MB MI Áp dụng định lí Cơsin cho tam giác MIA MIB ta có
2 2
2 c os
R MA MI MA MI
2 2
2 c os
R MB MI MB MI
Lấy 1 trừ cho 2 vế theo vế ta
2
0MA MB 2 17 MA MB cos MA MB 2 17 cos
Do MA MB lớn 17 cos 1 0
Câu 80: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 4, B0; 0;1 mặt cầu
2 2
: 1
S x y z Mặt phẳng P :ax by cz 3 qua A, B cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T a b c
A
4
T B 33
5
T C 27
4
T D 31
5 T Lời giải
Chọn A
Mặt cầu S có tâm I 1;1; 0 bán kính R 2
Đường thẳng AB qua điểm B, có VTCP BA 1; 2;3 :
x t
AB y t t
z t
1; 1;1
IB
3
IB R
P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường tròn C
C có bán kính nhỏ d I P , lớn
Gọi H, K hình chiếu vng góc I lên P AB, ta có:
,
(59)Do d I P , lớn H K hay mặt phẳng P vuông góc với IK Tìm K K: ABK t ; ;1 3t tIK t1; 2t1;3t1
Ta có
7
IK AB IK AB t 6; 4; 16; 9; 4
7 7
IK
Mặt phẳng P qua B0; 0;1, có VTPT n 6; 9; 4
: 4 27 3
2
P x y z x y z Vậy T
Câu 81: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1; 2;1 , B5; 0; 1 , C3;1; 2 mặt phẳng
Q : 3x y z Gọi M a b c ; ; điểm thuộc Q thỏa mãn 2 2
MA MB MC nhỏ Tính tổng a b 5c
A 11 B C 15 D 14
Lời giải Chọn B
Gọi E điểm thỏa mãn EA EB 2 EC0E3; 0;1 Ta có: S MA2MB22MC2 MA2MB22MC2
2 2 2
2
ME EA ME EB ME EC
2 2
4ME EA EB 2EC
Vì EA2EB22EC2 khơng đổi nên S nhỏ ME nhỏ M
hình chiếu vng góc E lên Q
Phương trình đường thẳng ME:
3
1
x t
y t
z t
Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình:
3
1
3
x t
y t
z t
x y z
0
1
x y z t
0; 1; 2
M
a0, b 1, c 2 a b 5c 0 5.29
Câu 82: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :xy4z0, đường thẳng
1
:
2 1
x y z
d
điểm A1; 3; 1 thuộc mặt phẳng P Gọi đường thẳng qua A, nằm mặt phẳng P cách đường thẳng d khoảng cách lớn Gọi ua b; ; 1 véc tơ phương đường thẳng Tính a2b
A a2b 3 B a2b0 C a2b4 D a2b7 Lời giải
Chọn A
d
d
(Q)
(P) A
I
A
(60)Đường thẳng d qua M1; 1; 3 có véc tơ phương u 1 2; 1; 1 Nhận xét rằng, Ad d P I7; 3; 1
Gọi Q mặt phẳng chứa d song song với Khi d,dd, Q d A Q , Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên Q d Ta có AH AK
Do đó, d,d lớn d A Q , lớn AHmax H K Suy AH đoạn vng góc chung d
Mặt phẳng R chứa A d có véc tơ pháp tuyến n R AM u, 1 2; 4; 8
Mặt phẳng Q chứa d vng góc với R nên có véc tơ pháp tuyến
Q R , n n u
12; 18; 6
Đường thẳng chứa mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q nên có véc tơ phương un P ,n R
66; 42; 6
6 11; 7; 1
Suy ra, a11;b 7 Vậy a2b 3
Câu 83: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3;0;1, B1; 1;3 mặt phẳng P :x2y2z 5 Viết phương trình tắc đường thẳng d qua A, song song với mặt phẳng P cho khoảng cách từ B đến d nhỏ
A :
26 11
x y z
d
B
3
:
26 11
x y z
d
C :
26 11
x y z
d D :
26 11
x y z
d
Lời giải Chọn A
(61)Gọi H hình chiếu điểm B lên mặt phẳng Q , đường thẳng BH qua B1; 1;3
nhận n Q 1; 2; 2 làm vectơ phương có phương trình tham số
1
3
x t
y t
z t
Vì H BH Q HBH H1 t; ;3t 2t H Q nên ta có
1t2 1 2t2 3 2t 1 10
9 t
11 7; ; 9
H
26 11 ; ; 9
AH
1
26;11;
Gọi K hình chiếu B lên đường thẳng d,
Ta có d B d ; BK BH nên khoảng cách từ B đến d nhỏ BK BH, đường thẳng d qua A có vectơ phương u 26;11; 2 có phương trình tắc:
3
:
26 11
x y z
d
Câu 84: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y 4z0, đường thẳng
1
:
2 1
x y z
d
điểm A1; 3; 1 thuộc mặt phẳng P Gọi đường thẳng qua A,
nằm mặt phẳng P cách đường thẳng d khoảng cách lớn Gọi ua b; ; 1 véc tơ phương đường thẳng Tính a2b
A a2b 3 B a2b0 C a2b4 D a2b7 Lời giải
Chọn A
d
d
(Q) (P)
A
I
A
K H
Đường thẳng d qua M1; 1; 3 có véc tơ phương u 1 2; 1; 1
Nhận xét rằng, Ad d P I7; 3; 1
Gọi Q mặt phẳng chứa d song song với Khi d,dd, Q d A Q , Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên Q d Ta có AH AK
Do đó, d,d lớn d A Q , lớn AHmax H K Suy AH đoạn vng góc chung d
Mặt phẳng R chứa A d có véc tơ pháp tuyến n R AM u, 1 2; 4; 8
Mặt phẳng Q chứa d vng góc với R nên có véc tơ pháp tuyến
Q R , n n u
12; 18; 6
Đường thẳng chứa mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q nên có véc tơ phương un P ,n R
66; 42; 6
(62)Suy ra, a11;b 7 Vậy a2b 3
Câu 85: [2H3-3.8-4] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;2; 1, B5; 0; 1 , C3; 1; 2 mặt phẳng Q : 3xy z Gọi M a b c ; ; điểm thuộc Q thỏa mãn MA2MB22MC2 nhỏ Tính tổng a b 5c
A 11 B C 15 D 14 Lời giải
Chọn B
Gọi E điểm thỏa mãn EA EB 2 EC0E3; 0;1 Ta có: S MA2MB22MC2 MA2 MB22MC2
ME EA 2 ME EB2 2ME EC2
4ME2EA2EB22EC2 Vì EA2EB22EC2 khơng đổi nên S nhỏ ME nhỏ
M
hình chiếu vng góc E lên Q
Phương trình đường thẳng ME:
3
1
x t
y t
z t
Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình:
3
1
3
x t
y t
z t
x y z
0
1
x y z t
0; 1; 2
M
a0, b 1, c 2 5.2
a b c
9
Câu 86: [2H3-3.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d hai điểm A2; 0;3, B2; 2; 3 Biết điểm M x y z 0; 0; 0 thuộc d thỏa mãn 4
MA MB nhỏ Tìm x0
A x 0 B x 0 C x 0 D x 0 Lời giải
Chọn D
Gọi I trung điểm AB Khi ta có
2
2
2
4 2 2 2
4
4 2 2
2
4
4 2
2 2
2
4 2
4
3
2
4 10
AB AB
MA MB MA MB MA MB MI MI
AB AB
MI MI AB MI MI AB
AB AB
MI MI AB MI AB
Do đó, 4
MA MB đạt GTNN MI nhỏ M hình chiếu vng góc I lên d Điểm I2; 1; 0 Lấy M2 t; ;3t td IMt; ;3t t
0
d d
IM u IM u t t t t