tại điểm suy rộng của tích phân xác định để tính tích phân. TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu[r]
(1)11/15/2018
LOG O
Chương 6:
Tích phân suy rộng
GV Phan Trung Hiếu
§1 Các loại tích phân suy rộng
§2 Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng
2
§1 Các loại tích phân suy rộng
3
Loại 1:
( ) ; ( ) ; ( ) b
a
f x dx f x dx f x dx
Loại 2:
( ) b
a
f x dx
vớilim ( ) xc f x
[ , ]
c a b
4
Ví dụ 1.1: Tích phân sau tích phân
suy rộng? Nếu tích phân suy rộng cho biết thuộc loại
2
1 )
a dx
x )
1
dx b
x /
0 sin )
cos
xdx
c
x
1
1 )
dx d
x
1
)
dx e
x
5
§2 Khảo sát hội tụ của tích phân suy rộng
6
TH1 (Dễ tính nguyên hàm):Ta dùng giới hạn
tại điểm suy rộng tích phân xác định để tính tích phân
TH2 (Khó tính ngun hàm): Ta dùng tiêu
chuẩn so sánh với tích phân có kết quả
hoặc tích phân dễ tính ngun hàm
Từ đó, đưa kết luận tích phân hội tụ hay
(2)11/15/2018
2
7
TH1 (Dễ tính nguyên hàm f(x)): Phương pháp:
-Chú ý điểm suy rộng: , điểm
[ , ]
c a b mà lim ( ) xc f x
-Dùng giới hạn điểm suy rộng tích phân xác định để tính tích phân.
8
Chú ý 2.1:
( ) lim ( )
b b
a a
f x dx f x dx
( ) lim ( )
b b
a a
f x dx f x dx
( ) ( ) ( ) ,
c
c
f x dx f x dx f x dx c
( ) ( ) ( ) , (0, )
b
a a b
f x dx f x dx f x dx b
tùy ý
tùy ý
9
Điểm suy rộng a lim ( ) xa f x
( ) lim ( )
b b
t a t
f x dx f x dx
a
Điểm suy rộng b lim ( ) xb f x
( ) lim ( )
t
t b
a a
f x dx f x dx
b
Điểm suy rộng a b
( ) ( ) ( ) , ( , )
c b
a c
f x dx f x dx f x dx c a b
b
a
10
-Trong công thức ,,, giới hạn tồn tại hữu hạnthì kết luận tích phânhội tụ, ngược lại tích phânphân kỳ
-Trong cơng thức ,,, nếu cả tích phân (bên phải) hội tụ kết luận tích phân
hội tụ, ngược lại tích phânphân kỳ Điểm suy rộng c( , )a b
( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx f x dx
c
c
11
Định lí 2.2:
a) ( )
a f x dx
hội tụ và ( )
a g x dx
hội tụ
( ) ( )
a
f x g x dx
hội tụ và
( ) ( ) ( ) ( )
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
b) ( )
a
f x dx
hội tụ k số ( )
a
k f x dx
hội tụ và ( ) ( )
a a
k f x dx k f x dx
12
Ví dụ 2.1: Khảo sát hội tụ tính tích
phân sau (trong trường hợp hội tụ)
1 ) dx a
x
0
) x
b e dx
0
) x
d xe dx
)
1
dx f
x
2 )
1
dx
g
x
1
1 )
1
x
x e dx i
e /2
0 sin )
1 cos
xdx
h
x
ln
) x
c dx
x
2
2 )
4
dx j
x
2 )
1
xdx e
(3)11/15/2018
13
TH2 (Khó tính ngun hàm f(x)): Phương pháp:
-Chú ý điểm suy rộng: , điểm
[ , ]
c a b mà lim ( ) xc f x
-Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã có kết tích phân dễ tính nguyên hàm
14
Định lí 2.2: f(x), g(x) dương khả tích trên đoạn [a,b],
[ ,a )
Xét lim ( )
( )
x
f x k g x
i) 0k :
( ) , ( )
a a
f x dx g x dx
cùng hội tụ phân kỳ.
ii)k 0 : ( )
a g x dx
hội tụ ( )
a f x dx
hội tụ.
( ) a
f x dx
phân kỳ ( )
a g x dx
phân kỳ.
iii)k : ( )
a f x dx
hội tụ ( )
a g x dx
hội tụ.
( ) a
g x dx
phân kỳ ( )
a f x dx
phân kỳ.
b a
15
Hệ 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục và
thì
[ ,a ) ( ) ( )
f x g x x
( )
a f x dx
cùng hội tụ phân kỳ.
( )
a g x dx
và
Định lý Hệ tương tự cho trường hợp [ , ), ( , ]a b a b
16
Chú ý 2.4:
Với , ta có0 a
1
n a
dx x
hội tụ phân kỳ
1 n
1 n
Với , ta có0 b
0
b
ndx
x
hội tụ phân kỳ
1 n
1 n
17 Với , ta cóa b
1 ( )
b
n a
dx
b x
hội tụ phân kỳ
1 n
1 n Với , ta cóa b
1 ( )
b
n a
dx x a
hội tụ phân kỳ
1 n
1 n
18
Ví dụ 2.2: Khảo sát hội tụ tích phân
3 )
1 dx a
x x
1 )
1 xdx b
x x
3
1
( 5) )
1 x dx c
x x
1 3/2
ln(1 )
) x dx
e x
1
0 )
sin dx f
x
3 ) dx d
x
(4)11/15/2018
4
19
Ví dụ 2.3: Tìm tất giá trị thực m để tích
phân suy rộng sau hội tụ
01 m x
dx x
20
Ví dụ 2.4: Khảo sát hội tụ tích phân
2
0 )
x
x
a dx
e
2
5ln )
2
x x x
b dx
x x
1
0 ) x c xe dx
1
0 )
ln
d dx
x
2 )
1
dx
e x
1
2
0 )
(1 )
x dx
f
x
0 )
tan
x x
g dx
x x
21
Ví dụ 2.5: Tìm tất giá trị thực m để tích
phân suy rộng sau hội tụ
0
m x
x e dx
22
Định lí 2.5:
0 f x( )g x( )với x
[ , ) [ , ), lim ( ) ( , ], lim ( )
x b
x a a
a b f x
a b f x
Khi đó:
( )
b
a g x dx
i) hội tụ ( )
b
a f x dx
hội tụ.
( ) b
a f x dx
ii) phân kỳ ( )
b
a g x dx
phân kỳ.
23
Ví dụ 2.6: Khảo sát hội tụ tích phân
2
1 )
2 sin dx a
x x
3
1 ln )
5 x
b dx
x
1
0 )
x e dx c
x
2
sin
) x
d dx
x
0 arctan )
2 x x
e dx
e
24
Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu
Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối đánh giá theo Định
lý sau
Tích phân suy rộng hội tụ f x( )
Tích phân suy rộng hội tụ f x( )
Khi đó, ta nói tích phân suy rộng f(x) hội tụ tuyệt
đối.
Chú ý kết quả: sinX1; cosX1, X
Ví dụ 2.7: Khảo sát hội tụ tích phân
3
sin x dx x
(5)Bài tập Giải tích
BÀI TẬP CHƯƠNG 6 Bài 1: Tính tích phân sau cho biết tích phân hội tụ hay phân kỳ 1)
4 . x e dx 2) . x e dx
3) (2 x dx4) .
4)
1 . x e dx x 5) 2. 4 dx x
6)
0
.
x
x e dx
7) 2 2
0 . ( 2) xdx x 8) . ln e dx x x
9) .
ln ln
e
dx
x x x
10) 2.
1 xdx
x
11) x e2 x3dx.
12) . dx x 13) . dx x
14)
1 . 1 xdx x 15) . 4 x dx x 16) . (2 ) 1
dx x x 17) . dx x 18) . ( 1) dx x 19) (ln ) . x dx x
20) 2
2 . 2 dx x x 21) . 1 xdx x
22)
0
sin xdx.
23) 1/ . x e dx x 24) 2 ln . x xdx 25) ln . x dx x
Bài 2: Khảo sát hội tụ tích phân sau 1) 10 . 1 dx
x x x
2)
33
1 . 1 1 xdx x x 3)
2
1 1 . 2 1 x x dx x x 4) 2 . 2 1 x dx x x 5) 2 1 ln 1 . 1 x x dx x 6) . ( 1) dx x x
7)
2
sin ln(1 ) . 1 x x dx e 8) . sin x dx x 9) . 1 x dx e 10) . 2 xdx x 11) . dx x x
12) 2
2 5 1 . 2 x dx x 13) 2 (1 cos )dx.
x
14)
1
0
. 2 dx
x x
15)
/2 . sin dx x x
16) 2 2
0 . (1 ) dx x
Bài 3: Khảo sát hội tụ tích phân sau 1) 1 .
ln e dx x 2) ln(1 ) . x dx x
3)
1 . 1 x dx x
4)
/2 . cos dx x 5) 2 . ln (1 )
dx x
6)
1 . 1 cos x e dx x
7)
1 . 5 ln dx x x
8)
1 . x e dx 9) . 2 dx x 10) . ln dx x
11) .
(6)Bài tập Giải tích
6
13) 2
1
ln
.
( 1)
x dx x x
14)
1
0
. cos
x
dx
e x
15)
1
2
0
2
.
(1 )(4 )
dx
x x
16)
1
0
. cos cos1
dx x
17)
1
3
. ( x x)
dx x e e
18)
1
2
ln
. 1
x dx x
Bài 4: Khảo sát hội tụ tích phân sau 1)
1
2
.
x
e dx x
2) 2
1
. (1 x)
dx
x e
3)
2
0
sin . x
dx x
4)
2
1
. x
dx x
5)
7
sin
. cos sin 2
x x
dx
x x x
6)
3
arctan . 1
x x
dx x
7)
1
3
sin
. 1
x dx x
8)
1
3
sin cos . 1
x x
dx x
9)
0
arctan .
2 x
x dx e
10) 3
0
. 1 x
dx x
11)
4
1 . x
dx
x x
12) 3/ 2
0
arctan . x
dx x
13)
0
.
x
e dx x
14)
2
3
cos . 1
x dx x
Bài 5: Khảo sát hội tụ tích phân sau 1)
0
cos . x
dx x
2) 3/2
/2
cos . x
dx x
3) 2
0
cos . 1 x
dx x
4)
3
sin . x
dx x
5)
1
sin 3
. x
dx x
6) 2
1
1 cos . x
dx x
7)
0
s in2 .
x
e xdx
8)
0
sin
. (1 )
x dx
x x
Bài 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để tích phân suy rộng sau hội tụ 1) 2
0
.
1 3 1
x m
dx
x x
2) 1 .
(ln )m
e
dx
x x
3)
1
0
ln .
m
x xdx
4)
1
0
ln(1 ) .
m
x dx x
5)
0
1
( 1) arctanm .
x dx
x
6)
0
. 1
m
dx
x x