![[FULL] Bài giảng Giải tích 2 năm học 2020 – 2021 – Nguyễn Quang Vinh – UET](https://123docz.net/image/doc_normal.png)
Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa tích phân đường loại một Bài toán vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại một Giả sử trong mặt phẳng tọa độ Oxy có một sợi dây AB rất mảnh chỉ có độ dài, còn tiết diện k[r]
(1)Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN TailieuVNU.com 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Không gian Euclide n chiều Rn 1.1.1.1 Định nghĩa Không gian Euclide n chiều Rn là tập hợp các có thứ tự n số thực x1, x2, …, xn tức là Rn = {(x1,x2, …,xn) | xiR} Khi n = thì R1 là tập hợp các số thực R Khi n = thì R2 là tập hợp các cặp số thực (x1,x2) hay tập hợp các điểm mặt phẳng Theo thói quen từ trước, các điểm R2 thường ký hiệu là (x,y) thay cho (x1,x2) Khi n = thì R3 là tập hợp các ba số thực (x1,x2,x3) hay tập hợp các điểm không gian Theo thói quen từ trước, các điểm R3 thường ký hiệu là (x,y,z) thay cho (x1,x2,x3) Vì R1 là tập hợp các điểm trục số, R2 là tập hợp các điểm mặt phẳng, R3 là tập hợp các điểm không gian nên R1, R2 và R3 gọi là “không gian chiều”, “không gian chiều” và “không gian chiều” Tổng quát, Rn gọi là “không gian n chiều” hay ngắn gọn “không gian Rn” và phần tử nó gọi là điểm, còn (x1,x2,…,xn) gọi là tọa độ điểm Rn 1.1.1.2 Khoảng cách Rn Khoảng cách hai điểm M1(x1) và M2(x2) trên trục số (R1) định nghĩa là d ( M1 , M ) x x ( x x ) Khoảng cách hai điểm M1(x1,y1) và M2(x2,y2) mặt phẳng (R2) định nghĩa là d(M1 , M ) ( x1 x ) ( y1 y ) Khoảng cách hai điểm M1(x1,y1,z1) và M2(x2,y2,z2) không gian (R3) định nghĩa là d(M1 , M ) ( x1 x ) ( y1 y ) (z1 z ) Tổng quát, khoảng cách hai điểm M1(x1,x2,…,xn) và M2(y1,y2,…,yn) không gian Rn định nghĩa là d(M1 , M ) ( x1 y1 ) ( x y ) ( x n y n ) Khoảng cách hai điểm định nghĩa trên gọi là khoảng cách Euclide Cũng trên trục số, mặt phẳng và không gian, khoảng cách Euclide Rn có các tính chất: (1) d(M1,M2) và d(M1,M2) = M1 M2 (2) d(M1,M2) = d(M2,M1) (3) d(M1,M2) d(M1,M3) + d(M2,M3) – bất đẳng thức tam giác với M1, M2, M3 là điểm Rn Nhận xét Khoảng cách hai điểm Rn là ánh xạ từ Rn vào R (Rn R) 1.1.1.3 Lân cận, tập mở, tập đóng và tập bị chặn Rn Giả sử Mo là điểm không gian Rn, là số thực dương, đó tập hợp tất các điểm MRn cho d(M0,M) < gọi là - lân cận điểm M0 Mọi tập hợp chứa - lân cận nào đó điểm M0 gọi là lân cận điểm M0 Giả sử tập hợp E Rn, điểm ME gọi là điểm E tồn - lân cận nào đó điểm M nằm hoàn toàn E Tập hợp E gọi là mở điểm nó là điểm Giả sử tập hợp E Rn, điểm NRn gọi là điểm biên tập hợp E - lân cận điểm N vừa chứa điểm thuộc E vừa chứa điểm không thuộc E Điểm biên tập hợp E có thể thuộc E có thể không thuộc E Tập hợp tất các điểm biên E gọi là biên nó (2) Tập hợp E Rn gọi là đóng nó chứa điểm biên nó TailieuVNU.com Ví dụ 1.1 Giả sử E là tập hợp tất các điểm MRn cho d(M0,M) < r với M0Rn là điểm cố định và r là số thực dương, là tập hợp mở Chứng minh Giả sử M là điểm E, đó d(Mo,M) < r Đặt = r – d(M0,M), đó - lân cận M nằm hoàn toàn E vì P là điểm lân cận thì ta có d(M,P) < , đó theo bất đẳng thức tam giác d(M0,P) d(M0,M) + d(M,P) < d(M0,M) + = r Tập hợp E nói ví dụ gọi là cầu mở tâm M0 bán kính r Biên tập hợp E này gồm các điểm M cho d(M0,M) = r gọi là mặt cầu tâm M0 bán kính r Tập hợp các điểm M cho d(M0,M) r là tập hợp đóng, gọi là cầu đóng tâm M0 bán kính r Tập hợp E Rn gọi là bị chặn tồn cầu nào đó chứa nó Tập hợp E Rn gọi là liên thông có thể nối hai điểm nó đường liên tục nằm hoàn toàn E Tập hợp liên thông gọi là đơn liên nó bị giới hạn mặt kín, gọi là đa liên nó bị giới hạn nhiều mặt kín rời đôi 1.1.2 Hàm số nhiều biến, hàm véc tơ 1.1.2.1 Hàm số nhiều biến Xét không gian Euclide n chiều Rn, giả sử D Rn Khi đó ánh xạ f: D R xác định x = (x1,x2, …,xn) D u = f(x) f(x1,x2, …,xn) R gọi là hàm số n biến số xác định trên D; D gọi là miền xác định hàm số f; còn x1, x2, …, xn gọi là các biến số độc lập Theo thói quen từ trước, với n = 2, người ta hay dùng ký kiệu z = f(x,y) hàm số biến và với n = 3, người ta hay dùng ký hiệu u = f(x,y,z) hàm số biến Cũng hàm số biến, miền xác định D(f) hàm số n biến là tập hợp tất các điểm xRn cho biểu thức tạo hàm số f(x) f(x1,x2, …,xn) có nghĩa Ví dụ 1.2 Tìm miền xác định các hàm số (a) Hàm số z f ( x, y) x y Xét biểu thức x y , để biểu thức này có nghĩa thì biểu thức bậc hai phải không âm, tức là – x2 – y2 0, suy miền xác định D(f) hàm số đã cho là {x2 + y2 1} là cầu (hình tròn) đóng tâm O có bán kính r = (b) Hàm số z = f(x,y) = ln(x + y – 1) Xét biểu thức ln(x + y – 1), để biểu thức này có nghĩa thì đối số hàm số loga phải dương, tức là x + y – > 0, suy miền xác định D(f) hàm số đã cho là x + y > (nửa mặt phẳng mở nằm phía trên đường thẳng y = – x) x (c) Hàm số u f ( x, y, z) x y2 z2 x Để biểu thức có nghĩa thì biểu thức bậc hai mẫu số phải dương, suy x y2 z2 miền miền xác định D(f) hàm số đã cho là {x2 + y2 + z2 < 1} (quả cầu mở tâm O có bán kính r = 1) Lưu ý Từ đây sau, các vấn đề trình bày chi tiết cho trường hợp n = (hàm số biến) n = (hàm số biến) Các vấn đề mở rộng hoàn toàn tương tự n nguyên dương (hàm số n biến) 1.1.2.2 Hàm véc tơ (3) TailieuVNU.com Giả sử Rm, Rn tương ứng là không gian Euclide m, n chiều Ánh xạ f: D Rm, đó D Rn gọi là hàm véc tơ n biến Giá trị hàm véc tơ f có m thành phần f = (f1, f2, …, fm) Trường hợp riêng, m = và n = 1, hàm véc tơ chính là hàm số biến nghiên cứu kỹ học phần Giải tích đã học; m = và n > 1, hàm véc tơ chính là hàm số nhiều biến vừa định nghĩa trên và nhiên cứu học phần Giải tích này 1.2 Giới hạn 1.2.1 Giới hạn hàm số nhiều biến Ta nói dãy điểm {Mn(xn,yn)} tiến đến điểm M0(x0,y0) R2 và viết Mn M0 n lim x n x lim d(M , M n ) n n yn y0 lim n Giả sử hàm số f(x,y) xác định lân cận V nào đó điểm M0(x0,y0) (có thể không xác định M0) Ta nói hàm số f(x,y) có giới hạn L điểm M(x,y) tiến đến điểm M0(x0,y0) (MM0) với dãy điểm Mn(xn,yn) (khác M0) thuộc lân cận V tiến đến M0, ta có lim f ( x n , y n ) L Khi đó ta viết lim f ( x, y) L n ( x , y ) ( x , y ) Nói cách khác: Giả sử hàm số f(x,y) xác định lân cận V nào đó điểm M0(x0,y0) (có thể không xác định M0) Ta nói f(x,y) có giới hạn L điểm M(x,y) tiến đến điểm M0(x0,y0) (MM0) và viết lim f ( x, y) L với > bé tùy ý cho trước, = () > cho với ( x , y ) ( x , y ) (x,y)V thỏa mãn d(M, M ) ( x x ) ( y y ) thì f(x) – L< Lưu ý Giá trị L, x0, y0 có thể nhận các giá trị -, <hữu hạn>, + Các định lý giới hạn tổng, tích, thương, lũy thừa, hàm số biến (n = 1) học phần Giải tích đúng hàm số nhiều biến (n > 1) Cụ thể lim ( x , y ) ( x , y ) + + + + + + là: Cho các hàm số f(x,y), g(x,y), và giả sử lim ( x , y ) ( x , y ) f ( x , y) L , g( x, y) M , Khi đó lim f (x, y) g(x, y) L M lim f ( x , y ) L lim f (x, y).g(x, y) L.M lim f ( x , y) L , (M 0) g ( x , y) M lim f (x, y)n ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) ( x , y ) lim n ( x , y ) ( x , y ) Ln f ( x , y) n L , ( n N ) Nguyên lý kẹp đúng hàm số nhiều biến Cụ thể là: Cho các hàm số h(x,y), f(x,y), g(x,y); giả sử h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y) với điểm (x,y) lân cận nào đó điểm (x0,y0) và lim h ( x, y) lim g( x, y) L thì ( x , y ) ( x , y ) lim ( x , y ) ( x , y ) f ( x , y) L ( x , y ) ( x , y ) (4) TailieuVNU.com Tích VCB với hàm số giới nội là VCB Cần nhấn mạnh rằng, theo định nghĩa giới hạn hàm số nhiều biến thì giá trị giới hạn L không phụ thuộc vào cách thức điểm M tiến đến điểm M0 Do đó, MM0 theo các cách khác mà hàm số tiến đến các giá trị khác thì hàm số không tồn giới hạn MM0 Do đó, để chứng minh hàm số không tồn giới hạn điểm M0 MM0, thông thường có hai cách thực hiện, chẳng hạn hàm số biến f(x,y): + Nếu hai dãy điểm (xn,yn), (x ,n , y ,n ) cùng tiến đến điểm M0(x0,y0) và lim ( x n , y n ) M , lim ( x ,0 , y ,n ) M , lim f ( x n , y n ) L1 , lim f ( x ,n , y ,n ) L với L1 ≠ L2 thì n n giới hạn lim ( x , y ) ( x , y ) n n f ( x, y) không tồn + Nếu hai đường (thẳng cong) và điểm M tiến đến điểm M0 dọc trên hai đường này mà hàm số f(x,y) có giới hạn khác thì giới hạn lim f ( x, y) không tồn ( x , y ) ( x , y ) Ví dụ 1.3 x y2 (a) Cho f ( x , y) , tìm giới hạn lim f ( x, y) ( x , y )( , ) x y2 Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)} Đây là giới hạn có dạng vô định x Ta có d(M , M) ( x 0) ( y 0) x y d y suy f ( x , y) đó lim ( x , y ) ( , ) x y2 x y 1 1 2 f ( x , y) lim d 0 d d2 d 1 1 d d2 d d 1 1 1 1 1 1 d2 xy , tìm giới hạn lim f ( x, y) ( x , y )( , ) x y2 Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R \{(0,0)} Đây là giới hạn có dạng vô định (b) Cho hàm số f ( x, y) Nếu cho (x,y) (0,0) dọc theo đường thẳng y = kx với các phương khác (khi k thay đổi) x (kx ) k k thì ta có f ( x, kx ) x ≠ 0, đó lim f ( x, kx ) Suy ra, (x,y) 2 x x (kx ) 1 k 1 k2 (0,0) theo các phương khác thì f(x,y) dẫn đến các giới hạn khác Như vậy, theo định nghĩa, không tồn giới hạn lim f ( x, y) ( x , y )( , ) (c) Cho hàm số f ( x , y) xy , tìm giới hạn lim f ( x, y) ( x , y )( , ) x y2 Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)} Đây là giới hạn có dạng vô định x x Vì với (x,y) ≠ (0,0) nên f ( x , y) y y y 2 x y x y2 lim ( x , y )( , ) f ( x , y) lim ( x , y )( , ) f ( x, y) lim y y0 lim ( x , y )( , ) f ( x, y) đó (5) xy3 (d) Cho hàm số f ( x, y) , tìm giới hạn lim f ( x, y) ( x , y )( , ) x 3y Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)} Đây là giới hạn có dạng vô định TailieuVNU.com Nếu cho (x,y) (0,0) theo đường thẳng y = kx với các phương khác (khi k thay đổi) thì ta x (kx ) k 3x có f ( x, kx ) x ≠ 0, đó lim f ( x, y) lim f ( x, kx ) theo ( x , y )( , ) x 0 2x 3(kx ) 3k x phương khác Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là giới hạn phải tìm tồn và Thật y y vậy, cho (x,y) (0,0) theo đường cong x = y3 thì ta có f ( y , y) Như vậy, 2( y ) 3y theo định nghĩa, không tồn giới hạn lim f ( x, y) ( x , y )( , ) 2x x xy y , tìm giới hạn lim f ( x, y) ( x , y )(1, ) x y2 Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R \{(0,0)} lim ( x x xy y ) lim (2 x x xy y ) ( x ,y )(1, ) ( x , y )(1, ) lim f ( x , y) 3 Ta có 2 2 ( x , y )(1, ) lim ( x y ) lim ( x y ) ( x ,y )(1, ) ( x , y )(1, ) (e) Cho hàm số f ( x, y) (f) Cho hàm số f ( x, y) ( x y)e ( x y2 ) , tìm giới hạn lim ( x , y )( , ) f ( x , y) Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R2 x x y y 2 2 Ta có xe ( x y ) ( x y2 ) x x và ye( x y ) ( x y2 ) y2 e e e e ( x y2 ) ( x y2 ) lim ye y, đó lim f ( x, y) lim xe ( x , y )( , ) ( x , y )( , ) ( x , y )( , ) x 2y , tìm giới hạn lim f ( x, y) ( x , y )( , ) x 2y2 Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)} x 2y x 2y x y sin x y vì Ta có f ( x, y) ( x y) sin 2 x 2y x 2y (g) Cho hàm số f ( x, y) ( x y) sin và sin x 2y với (x,y)D đó x 2y2 lim ( x , y )( , ) f ( x , y) lim ( x , y )( , ) x y) lim ( x y) lim f ( x, y) ( x , y )( , ) ( x , y )( , ) 2x y , tìm giới hạn lim f ( x, y) ( x , y )( , ) x y2 Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R \{(0,0)} Đây là giới hạn có dạng vô định 2x y Ta tìm giới hạn hàm số f ( x , y) (x,y)(0,0) dọc theo đường parabol y = kx2, x y2 (h) Cho hàm số f ( x , y) 2x (kx ) 2k 2k , suy giới hạn này nhận các giá trị khác lim 2 x 0 x 0 x ( kx ) x 0 k 1 k2 ứng với giá trị k khác nhau; chẳng hạn, (x,y)(0,0) dọc theo đường parabol y = x2 (k = ta có lim f ( x, kx ) lim (6) 1) thì lim ( x , y ) ( , ) 1, còn (x,y)(0,0) dọc theo đường parabol y = 2x (k = 2) thì vậy, theo định nghĩa, không tồn giới hạn (i) Chứng minh rằng, hàm số f ( x , y) Đây là giới hạn có dạng vô định lim ( x , y )( , ) TailieuVNU.com lim ( x , y ) ( , ) Như f ( x , y) x y2 không tồn giới hạn lim f ( x, y) ( x , y ) ( , ) x y2 x 02 x Chứng minh: Khi (x,y)(0,0) dọc theo đường y = thì f ( x,0) với x ≠ 0, x 02 x 02 y2 y2 còn (x,y)(0,0) dọc theo đường x = thì f (0, y) 1 với y ≠ Do đó, theo y2 y x y2 định nghĩa, không tồn giới hạn lim ( x , y ) ( , ) x y 1.2.2 Khái niệm liên tục hàm số nhiều biến 1.2.2.1 Định nghĩa Cho hàm số hai biến f(x,y) có miền xác định DR2, ta nói hàm số f(x,y) liên tục điểm M0(x0,y0)D tồn giới hạn lim f ( x, y) và giá trị giới hạn này giá ( x , y )( x , y0 ) trị hàm số f(x,y) điểm (x0,y0), tức là lim ( x , y )( , ) f ( x, y) f ( x , y ) Khi đó, điểm M0(x0,y0) gọi là điểm liên tục hàm số f(x,y) Hàm số f(x,y) gọi là hàm số liên tục miền D nó liên tục điểm miền D Lưu ý Các tính chất liên tục hàm số biến (n = 1) đã học học phần Giải tích đúng hàm số nhiều biến (n > 1) Ví dụ 1.4 Xét tính liên tục các hàm số sau đây x y2 ( x , y) (0,0) (a) f ( x , y) x y ( x , y) (0,0) 0 Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R2 Tại điểm (x0,y0) ≠ (0,0) thì lim ( x , y )( x , y0 ) f ( x , y) x y x 02 y 02 f ( x , y ) nên hàm số ( x , y )( x , y0 ) x y x y 02 lim liên tục điểm (x0,y0) ≠ (0,0) Tại điểm O(0,0) ta có f(0,0) = không tồn lim ( x , y ) ( , ) f ( x, y) Thật vậy, xét dãy p x n n x n điểm M n ( x n , y n ) với với p, q là các số không đồng thời 0, nN* n y n y q n n , đó M n ( x n , y n ) O(0,0) n 2 p q 2 x n yn n n p2 q2 p2 q2 lim f ( x , y ) Ta có f ( x n , y n ) nên p và q n n n x n y 2n p q p q p2 q2 n n nhận các giá trị khác thì giá trị giới hạn trên nhận các giá trị khác nhau, đó, theo định nghĩa, (7) TailieuVNU.com hàm số f(x,y) không tồn giới hạn (x,y) (0,0) Do đó hàm số f(x,y) không liên tục điểm O(0,0) x y2 ( x , y) (0,0) Như vậy, hàm số f ( x , y) x y liên tục điểm mặt phẳng ( x , y) (0,0) 0 tọa độ Oxy, trừ điểm gốc tọa độ xy (b) f ( x, y) x y ( x, y) (0,0) với R 0 ( x, y) (0,0) Miền xác định hàm số f(x,y) là D = R2 Tại điểm (x0,y0) ≠ (0,0) thì lim ( x , y ) ( x , y ) f ( x , y) xy lim ( x , y ) ( x , y ) x y2 x y0 f ( x , y ) nên hàm x 02 y 02 số liên tục điểm (x0,y0) ≠ (0,0) Tại điểm (x0,y0) = (0,0) thì f(0,0) = xy 1 1 x y với (x,y)R2\{(0,0)} Ta có xy x y với (x,y)R2, suy 2 x y 2 Có hai trường hợp xảy ra: nguyên lý kẹp thì lim ( x , y )( , ) x 2 1 x y , đó theo x y 2 y f ( x, y) Theo định nghĩa, trường hợp này, hàm số f(x,y) đã cho liên - Nếu - > > thì f ( x , y) xy tục điểm O(0,0) 1 - Nếu - 1, chọn dãy M n ( x n , y n ) M n , , tức là (xn,yn) (0,0) n n n thì f x n , y n x n yn n đó lim f ( x, y) lim f x n , y n f (0,0) ( x , y )( , ) n x y 2n Theo định nghĩa, trường hợp này, hàm số f(x,y) đã cho không liên tục điểm O(0,0) xy Như vậy, hàm số f ( x, y) x y ( x, y) (0,0) liên tục điểm mặt phẳng 0 ( x, y) (0,0) tọa độ Oxy > 1, không liên tục điểm gốc tọa độ O(0,0) n n (1 ) 1.2.2.2 Điểm gián đoạn hàm số Hàm số f(x,y) gọi là gián đoạn điểm M0(x0,y0) nó không liên tục điểm đó và điểm M0(x0,y0) gọi là điểm gián đoạn hàm số Như vậy, khái niệm hàm số gián đoạn điểm là phủ định khái niệm hàm số liên tục điểm đó, tức là hàm số f(x,y) gián đoạn điểm M0(x0,y0) nếu: (1) nó không xác định điểm M0(x0,y0); (2) nó xác định điểm M0(x0,y0) không tồn giới hạn (3) nó xác định điểm M0(x0,y0) và tồn giới hạn lim ( x , y )( x , y0 ) f ( x, y) f ( x , y ) Ví dụ 1.5 Xác định các điểm gián đoạn các hàm số sau đây lim ( x , y )( x , y0 ) lim f ( x , y) ; ( x , y )( x , y0 ) f ( x, y) (8) TailieuVNU.com x xy (a) f ( x , y) y 2x Hàm số xét không xác định các điểm (x,y) thỏa mãn phương trình y2 – 2x + = 0, suy các điểm (x,y)R2 nằm trên đường parabol y2 = 2x – là các điểm gián đoạn nó Hơn nữa, điểm (x0,y0) không thỏa mãn phương trình y2 – 2x + = thì x xy x 02 2x y lim f ( x, y) lim f ( x , y ) nên hàm số liên tục ( x , y )( x , y0 ) ( x , y ) ( x , y ) y x y 2x điểm không nằm trên đường parabol y2 = 2x – Như vậy, hàm số xét, các điểm (x,y)R2 nằm trên đường parabol y2 = 2x – là các điểm gián đoạn nó Các điểm gián đoạn hàm số xét thuộc trường hợp (1) x y2 ( x , y) (0,0) (b) f ( x , y) x y ( x , y) (0,0) 0 Hàm số xét xác định điểm (0,0), tức là f(0,0) = Tuy nhiên, đã chứng minh Ví dụ 1.3 (a), hàm số này không tồn giới hạn (x,y) (0,0), nên điểm (0,0) là điểm gián đoạn nó Hơn nữa, theo chứng minh Ví dụ 1.3 (a), điểm (x0,y0) ≠ (0,0) hàm số xét là liên tục Như vậy, hàm số xét, điểm gián đoạn nó là điểm gốc tọa độ O(0,0) Điểm gián đoạn hàm số xét thuộc trường hợp (2) x y2 ( x, y) (0,0) (c) f ( x, y) x y 0 ( x, y) (0,0) Hàm số xét xác định điểm (0,0), tức là f(0,0) = 0; nhiên, đã chứng minh Ví dụ 1.2.(a), hàm số có lim f ( x, y) ; đó lim f ( x, y) f (0,0) nên theo định nghĩa, điểm gốc tọa ( x , y )( , ) ( x , y )( 0, ) x y2 ( x, y) (0,0) độ O(0,0) là điểm gián đoạn hàm số f ( x, y) x y 0 ( x, y) (0,0) Hơn nữa, hàm số xét liên tục tại điểm (x0,y0) ≠ (0,0) Thật vậy, ta có x 02 y 02 x y2 lim f ( x , y) lim f (x , y0 ) ( x , y )( x , y0 ) ( x , y )( x , y0 ) x y2 x 02 y 02 Như vậy, hàm số xét, điểm gián đoạn nó là điểm gốc tọa độ O(0,0) Điểm gián đoạn hàm số xét thuộc trường hợp (3) 1.3 Phép tính vi phân 1.3.1 Định nghĩa đạo hàm riêng, đạo hàm riêng hàm hợp 1.3.1.1 Đạo hàm riêng Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở DR2, giả sử điểm M0(x0,y0)D Cho y = y0 thì hàm số hai biến z = f(x,y0) g(x) trở thành hàm số biến x, đó hàm số g(x) có đạo hàm x = x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng theo biến x hàm số f(x,y) f ( x , y ) điểm M0(x0,y0) và ký hiệu là f x' ( x , y ) x (9) TailieuVNU.com g( x ) g( x ) f ( x, y ) f ( x , y ) Như vậy, f ( x , y ) lim , ký hiệu x = x – x0 thì x lim x x x x x x0 x x0 = x0 + x và gọi x là số gia đối số x thì x x x0 ' x Suy hiệu g(x) g(x ) f (x, y0 ) f (x , y0 ) f (x x, y0 ) f (x , y0 ) gọi là số gia riêng hàm số f(x,y) theo biến x điểm M0(x0,y0) và ký hiệu là xf(x0,y0) x f ( x , y0 ) f ( x x, y0 ) f ( x , y0 ) lim x x x x Do đó ta có thể viết f x' ( x , y0 ) lim Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y hàm số f(x,y) điểm M0(x0,y0) là f (x , y ) f ( x , y) f ( x , y ) f ( x , y0 y) f ( x , y0 ) f y' ( x , y ) lim lim y 0 lim yy0 y y y y0 y y Lưu ý (1) Vì M0(x0,y0) là điểm miền xác định D nên không tính tổng quát, ta có thể dùng M(x,y) thay cho M0(x0,y0) (2) Từ định nghĩa ta thấy rằng, để tính đạo hàm riêng theo biến hàm số nhiều biến, ta coi các biến còn lại là số và tính đạo hàm thông thường hàm số biến f f (3) Ký hiệu không phải là phép chia y x f ( x, y) f ( x, y) Ví dụ 1.6 Tính các đạo hàm riêng , , … các hàm số biến sau đây y x f ( x, y) f ( x, y) (a) z = f(x,y) = x3 – 2xy2 + y 4xy 3x y và y x cos y f ( x, y) cos y và x x2 x x f ( x, y) (c) z f ( x , y) ln sin x x y sin y (b) z f ( x, y) f ( x , y) y sin y y x x 1 x và cos cot y y y y f ( x, y) x x 2 x x cos y cot x y y 2y y y sin y f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) (d) u = f(x,y,z) = zxy z xy y ln z , xyzxy1 z xy x ln z và y x z 1.3.1.2 Đạo hàm riêng hàm hợp x x ( u , v) Cho z = f(x,y) đó x, y là các hàm số hai biến độc lập u, v: Khi đó z = y y( u , v) f(x(u,v),y(u,v)) gọi là hàm hợp hai biến độc lập u, v x (u, v) x (u, v) y(u, v) Giả sử các hàm số x(u,v), y(u,v) có các đạo hàm riêng , , , u v u y(u, v) f ( x, y) f ( x, y) điểm (u,v) và hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng tương ứng , điểm y v x (x,y) = (x(u,v),y(u,v)) Khi đó các nhà toán học đã chứng minh được: f (u, v) f ( x, y) x (u, v) f ( x, y) y(u, v) , u x du y du (10) TailieuVNU.com f (u, v) f ( x, y) x (u, v) f ( x, y) y(u, v) v x dv y dv f x (u, v), y(u, v) f x (u, v), y(u, v) Ví dụ 1.7 Tính các đạo hàm riêng , hàm hợp z = u v x x (u , v) 3u v f(x,y) = xlny với 2 y y(u , v) ln u v Sử dụng công thức trên ta tính được: f (u, v) f ( x, y) x (u, v) f ( x, y) y(u, v) u x du y du x 2(3u v)u ln y 2u ln ln( u v ) y u v u v2 f (u, v) f ( x, y) x (u, v) f ( x, y) y(u, v) v x dv y dv x 2v 2(3u v) v ln y ln ln( u v ) 2 y u v u v ln( u v ) Lưu ý (1) Nếu hàm số z = f(x,y) với y = y(x) thì nó là hàm hợp biến x, tức là z = f(x,y(x)) Khi đó df f ( x, y) f ( x, y) dy f ( x, y) f ( x, y) f ' ( x, y( x )) y' ( x ) dx x y dx x y (2) Nếu hàm số z = f(x,y) với và x = x(t) và y = y(t) thì nó là hàm hợp biến t, tức là z = df f ( x, y) dx f ( x, y) dy f ( x, y) f ( x, y) f(x(t),y(t)) Khi đó f ' ( x ( t ), y( t )) x ' ( t ) y' ( t ) dt x dt y dt x y Ví dụ 1.8 Tính đạo hàm các hàm hợp sau đây (a) z f (x, y) xey với y y( x ) x f ( x, y) f ( x, y) Ta có xe y xe2 x , y’(x) = 2, e y e2x , y x f ( x, y) f ( x, y) f ' ( x, y( x )) y' ( x ) e x xe2 x (1 2x )e x x y Kiểm tra lại f (x, y(x)) xe2 x f ' (x, y(x)) e2 x 2xe2 x (1 2x)e2 x x x ( t ) te t (b) z f ( x, y) x y với y y( t ) e t f ( x, y) f ( x , y) xy te t Ta có , y e 2 t , y x y2 e 2 t x' (t ) e2 t (1 2t ) và f ( x ( t ), y( t )) f ( x ( t ), y( t )) (1 2t )e t (1 e 2 t ) t x ' ( t ) y' ( t ) x y e 2 t 1.3.2 Khái niệm vi phân toàn phần, gradient y' ( t ) e t f ' ( x ( t ), y( t )) Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở DR2, giả sử điểm M0(x0,y0)D 1.3.2.1 Vi phân toàn phần Giả sử điểm M(x,y) = M(x0 + x,y0 + y)D Biểu thức f(x0,y0) = f(x,y) - f(x0,y0) = f(x0 + x,y0 + y) - f(x0,y0) gọi là số gia toàn phần hàm số z = f(x,y) điểm M0(x0,y0) 10 (11) TailieuVNU.com Nếu có thể biểu diễn f(x0,y0) = A.x + B.y + .x + .y, đó A, B là các số phụ x thuộc vào x0 và y0, còn M M0 tức là thì ta nói hàm số z = f(x,y) khả y vi điểm M0, còn biểu thức A.x + B.y gọi là vi phân toàn phần hàm số z = f(x,y) điểm M0 và ký kiệu là dz df(x0,y0) Hàm số z = f(x,y) gọi là khả vi miền D nó khả vi điểm miền Từ khái niệm khả vi vừa định nghĩa trên, ta suy rằng: Nếu hàm số z = f(x,y) khả vi điểm M0(x0,y0) thì nó liên tục điểm này Thật vậy, vì hàm z = f(x,y) khả vi điểm M0(x0,y0) nên x thì đó f(x0,y0) = A.x + B.y + .x + .y 0, tức là f(x0,y0) = f(x0 + y x,y0 + y) - f(x0,y0) 0, hay f(x0 + x,y0 + x) f(x0,y0) điều này chứng tỏ hàm số z = f(x,y) liên tục điểm M0(x0,y0) Nhận xét Ta đã biết, hàm số biến y = f(x), điểm x = x0 tồn đạo hàm f’(x0) thì ta có f(x0) = f(x0 + x) – f(x0) = f’(x0).x + .x, đó x 0, tức là hàm số y = f(x) khả vi điểm x0 Tuy nhiên, hàm số nhiều biến, tồn tất các đạo hàm riêng điểm miền xác định hàm số, chưa đủ để khẳng định hàm số khả vi điểm đó Định lý (điều kiện đủ để hàm số nhiều biến khả vi điểm miền xác định nó) Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng lân cận điểm M0(x0,y0) và giả sử các đạo hàm riêng liên tục điểm M0 thì hàm số z = f(x,y) khả vi điểm M0 và ta có df ( x , y ) f x' ( x , y ).x f y' ( x , y ).y Ví dụ 1.9 Chứng minh rằng, hàm số z f ( x, y) ( x y) x y khả vi điểm O(0,0) Miền xác định hàm số xét là tất các điểm mặt phẳng tọa độ, tức là D = R2 Cách Chứng minh cách sử dụng định nghĩa Xét số gia toàn phần hàm số z = f(x,y) điểm O(0,0), giả sử điểm M(x,y) lân cận điểm O(0,0) có tọa độ x = + x, y = + y; đó f(0,0) = f(x,y) – f(0,0) = f(0 + x,0 + x) – f(0,0) = (0 x) (0 y) (0 x ) (0 y) (0 0) (x y) (x ) (y) , mặt khác ta có d(OM) ( x 0) ( y 0) x y (0 x ) (0 y) (x ) (y) d Rõ ràng là x d M O tức là y Như vậy, đặt A = B = và = = d thì có thể biểu diễn số gia toàn phần f hàm số z = f(x,y) điểm O(0,0) là f (0,0) (x y) (x ) (y) A.x B.y .x .y Theo định nghĩa, hàm số f(x,y) xét khả vi điểm O(0,0) Cách Chứng minh cách sử dụng định lý Tại điểm O(0,0) hàm số z = f(x,y) xét có các đạo hàm riêng tính theo định nghĩa sau: xf f (0 x,0) f (0,0) f (x,0) f (0,0) lim lim lim x x x x 0 x x x f f (0,0 y) f (0,0) f (0, y) f (0,0) f y' (0,0) lim x lim lim lim y y0 y y0 y y0 y y Tại lân cận điểm O(0,0) hàm số z = f(x,y) xét có các đạo hàm riêng tính theo quy tắc x ( x y) y( x y) sau: f x' ( x , y) x y , f y' ( x , y) x y x y2 x y2 f x' (0,0) lim x 0 11 (12) TailieuVNU.com Bây ta chứng minh các đạo hàm riêng f x' ( x, y) , f y' ( x, y) liên tục điểm O(0,0) Thật vậy, ta có f x' ( x, y) x y2 x y2 x 2( x y ) x y 2 x ( x y) x y2 x y2 x ( x y) x y2 x y2 x xy x y2 x y x f x' (0,0) (x,y) (0,0) vì x y 2( x y ) suy từ bất đẳng thức sau đây (x y) x y 2xy (x y ) (x y ) 2(x y ) Do đó đạo hàm riêng f x' ( x, y) liên tục điểm O(0,0) Chứng minh tương tự đạo hàm riêng f y' ( x, y) Theo định lý, hàm số z = f(x,y) xét khả vi điểm O(0,0) Cũng hàm số biến, x và y là các biến số độc lập thì dx = x và dy = y; đó df ( x , y ) f x' ( x , y ).dx f y' ( x , y ).dy Từ định nghĩa số gia toàn phần f và định nghĩa vi phân toàn phần df, x và y có giá trị tuyệt đối khá bé, ta có thể lấy f(x0,y0) df(x0,y0), tức là f (x , y0 ) f (x x, y0 y) f (x , y0 ) df (x , y0 ) f x' ( x , y0 ).x f y' ( x , y0 ).y f ( x x, y0 y) f ( x , y0 ) f x' ( x , y0 ).x f y' ( x , y0 ).y Công thức cuối cùng này cho phép tính gần đúng giá trị hàm số lân cận điểm đã biết giá trị hàm số 1.02 Ví dụ 1.10 Tính gần đúng arctan 0.95 y Xét hàm số z f ( x, y) arctan , ta cần tính f(x0 + x,y0 + y) với x0 = 1, y0 = 1, x = -0.05 và x y = 0.02 y x Ta có f x' ( x, y) và f y' ( x, y) nên theo công thức gần đúng trên ta có x y2 x y 1* 0.02 1* 0.05 f (1 0.05,1 1.02) f (1,1) 0.035 0.785 0.035 0.82 Lưu ý Vi phân toàn phần hàm số z = f(x,y) có cùng dạng dù cho x, y là các biến số độc lập là các hàm số phụ thuộc vào các biến số độc lập khác Do đó, vi phân toàn phần hàm số nhiều biến có dạng bất biến vi phân hàm số biến Như vậy, các công thức d(x y) = x ydx xdy dx dy, d(xy) = xdy + ydx, d đúng x, y là các biến số độc lập thì đúng y2 y x, y là các hàm số phụ thuộc vào các biến số độc lập khác 1.3.2.2 Gradient Giả sử hàm số biến z = f(x,y) có các đạo hàm riêng điểm M0(x0,y0) Biểu thức f ( x , y ) f ( x , y ) i j , đó i , j là các véc tơ đơn vị tương ứng với các trục tọa độ Ox, Oy x y hệ trục tọa độ Oxy, gọi là gradient hàm số z = f(x,y) điểm M0, tức là véc tơ qua điểm M0 và có các tọa độ là các đạo hàm riêng hàm số f(x,y) điểm M0 và ký hiệu là gradf(x0,y0) Tương tự, hàm số biến u = f(x,y,z) có các đạo hàm riêng điểm M 0(x0,y0,z0) Biểu f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) thức i j k , đó i , i , k là các véc tơ đơn vị tương x y z ứng với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz hệ trục tọa độ Oxyz, gọi là gradient hàm số u = 12 (13) TailieuVNU.com f(x,y,z) điểm M0, tức là véc tơ qua điểm M0 và có các tọa độ là các đạo hàm riêng hàm số f(x,y,z) điểm M0 và ký hiệu là gradf(x0,y0,z0) Ví dụ 1.11 Cho u = f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 + 3xyz, tính gradf(1,2,-1) f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) 3y 3zx , 3x 3yz , 3z 3xy y x z f (1,2,1) f (1,2,1) f (1,2,1) gradf (1,2,1) i j k 3 i j k x y z 1.3.3 Định nghĩa đạo hàm theo hướng, ý nghĩa và công thức tính Ta có đó Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở DR2, giả sử điểm M0(x0,y0)D 1.3.3.1 Định nghĩa Từ điểm M0 vẽ đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị là l , giả sử điểm M(x,y)D là x x x điểm trên đường thẳng này và là điểm lân cận điểm M0, tức là , đó ta có y y y M M l với d(M M) ( x x ) ( y y ) (x ) (y) Bây giờ, cho M M0 dọc x theo đường thẳng định hướng trên thì đó, tồn giới hạn hữu hạn y f ( x , y) f ( x , y ) f ( x x, y x ) f ( x , y ) f thì giá trị này gọi là lim lim lim 0 0 ( x ,y )( , ) (x ) (y) đạo hàm hàm số f(x,y) theo hướng l điểm M0 và ký hiệu là f ( x , y ) l Tương tự, hàm số biến, từ điểm M0 vẽ đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị là l , giả sử điểm M(x,y,z)D là điểm trên đường thẳng này và là điểm lân cận điểm M0, tức x x x là y y y , đó ta có M M l với d(M M) ( x x ) ( y y0 ) (z z ) Bây z z z giờ, cho M M0 dọc theo đường thẳng định hướng trên thì 0, đó, tồn giới hạn hữu f ( x, y, z) f ( x , y , z ) f ( x x , y x , z z) f ( x , y , z ) f hạn l i m l i m thì lim 0 0 ( x , y , z ) ( , , ) (x ) (y) (z) giá trị này gọi là đạo hàm hàm số f(x,y,z) theo hướng l điểm M0 và ký hiệu là f ( x , y , z ) l 1.3.3.2 Ý nghĩa và công thức tính Ý nghĩa Đạo hàm hàm số f theo hướng l biểu thị tốc độ biến thiên hàm số f theo hướng l Định lý (công thức tính đạo hàm theo hướng) Nếu hàm số z = f(x,y) khả vi điểm M0 thì điểm nó có đạo hàm theo hướng l và đạo hàm hàm số f(x,y) theo hướng l tính f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) công thức cos cos ; đó cos, cos là các thành phần x y l 13 (14) TailieuVNU.com véc tơ đơn vị l hệ trục tọa độ Oxy (tức là l cos i cos j ) và gọi là các cosin phương véc tơ l Tương tự, hàm số biến, hàm số u = f(x,y,z) khả vi điểm M0(x0,y0,z0) thì điểm nó có đạo hàm theo hướng l và đạo hàm hàm số f(x,y,z) theo hướng l tính f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) công thức cos cos cos ; đó x y y l cos, cos, cos là các thành phần véc tơ đơn vị l hệ trục tọa độ Oxyz (tức là l cos i cos j cos k ) và gọi là các cosin phương véc tơ l Ví dụ 1.12 (a) Tìm đạo hàm hàm số z = f(x,y) = x2 – y2 điểm M0(1,1) theo hướng véc tơ l lập với hướng dương trục Ox góc = 60o f ( x, y) f (1,1) o x 2x x 2.1 cos 60 Ta có , mặt khác f ( x, y) 2 y f (1,1) 2.1 2 cos 30 y y đó f (1,1) f (1,1) f (1,1) cos 60 o cos 30 o (2) 1 x y 2 l (b) Tìm đạo hàm hàm số u = f(x,y,z) = xy2z3 điểm M0(3,2,1) theo hướng véc tơ M M với M(5,4,2) M M với M M Trước hết cần tìm véc tơ đơn vị l véc tơ M M công thức l M 0M là độ dài véc tơ M M Ta có các thành phần véc tơ M M là (5–2,4–2,2–1) = (2,2,1) M M i j k suy M 0M l M M i j k i j k suy các cosin 3 3 M0M 2 f ( x , y, z) f (3,2,1) y2z3 4 x cos x f ( x , y, z) f (3,2,1) xyz 12 đó phương véc tơ đơn vị l là cos , mặt khác y y f ( x , y, z) f (3,2,1) 3xy z 36 cos z z f (3,2,1) f (3,2,1) f (3,2,1) f (3,2,1) 2 cos cos cos 12 36 22 x y z 3 3 l (c) Cho u = f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 + 3xyz, tính f (1,2,1) l biết l là véc tơ đơn vị véc tơ M M với M(2,0,1) Ta có M0(1,2-1) nên các thành phần véc tơ M M là (2–1,0–2,1–(-1)) = (1,-2,2) M M i j k M M 12 (2) đó véc tơ đơn vị l véc tơ M M là 14 (15) TailieuVNU.com 1 2 M M i j k i j k suy các cosin phương véc tơ đơn vị l là 3 3 M0M l 2 cos , cos , cos 3 f (1,2,1) f (1,2,1) f (1,2,1) Từ Ví dụ 1.11 ta có và 3 , Do đó ta y x z f (1,2,1) f (1,2,1) f (1,2,1) f (1,2,1) 2 cos cos cos 3 9. 1 x y y 3 3 l Nhận xét (1) Đạo hàm hàm số f(x,y) theo hướng l điểm M0(x0,y0) và gradient hàm số f(x,y) điểm M0 chính là tích vô hướng véc tơ gradf(x0,y0) với véc tơ l (2) Đạo hàm hàm số f(x,y) theo hướng l điểm M0(x0,y0) và gradient hàm số f(x,y) f ( x , y ) điểm M0 liên hệ với theo công thức hc gradf ( x , y ) l l Thật vậy, vì l cos i cos j và l nên f ( x , y ) l f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) cos cos i j . cos i cos j x y x y gradf ( x , y ) l l hc gradf ( x , y ) 1.hc gradf ( x , y ) hc gradf ( x , y ) l l l Ta đã biết rằng, tích vô hướng hai véc tơ a , b tạo thành với góc là a b a b cos max a b a b cos = tức là = 0, nên từ Nhận xét (1) trên suy f ( x , y ) đạt giá trị lớn và gradf ( x , y ) l cùng hướng với gradf ( x , y0 ) , tức là l max f ( x , y0 ) l f ( x , y0 ) f ( x , y0 ) gradf ( x , y0 ) Như vậy, tốc độ biến thiên hàm x y số f theo hướng véc tơ l điểm M0 có giá trị lớn véc tơ l cùng hướng với véc tơ gradf Ta có kết tương tự hàm số biến trở lên Ví dụ 1.13 (a) Tìm đạo hàm hàm số z = f(x,y) = ln(x2 + y2) điểm M(3,4) theo hướng gradient hàm f(x,y) Ta có f ( x, y) 2x f ( x, y) 2y f (3,4) f (3,4) , đó , Trong trường 2 x x y y x y y 25 x 25 hợp này, véc tơ l cùng hướng với gradf(x,y) nên f (3,4) l 2 f (3,4) f (3,4) gradf (3,4) x y 25 25 (b) Tìm giá trị và hướng gradient hàm số 15 2 (16) TailieuVNU.com u f (x, y, z) tan x x sin y sin y z cot z điểm M , , 4 2 f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) Ta có cos y sin y cos y và 1 , suy y x cos x z sin x f , , f , , f , , 3 2 2 và 3. 1 , y x z f , , f , , f , , 3 2 2 2 đó gradf , , i j k i j x y z 4 2 73 3 và gradf , , 12 4 2 8 1.3.4 Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao, công thức Taylor 1.3.4.1 Đạo hàm riêng cấp cao f ( x, y) f ( x, y) ' , f y ( x , y) gọi y x là các đạo hàm riêng cấp Khi đó, đạo hàm riêng các đạo hàm riêng cấp tồn thì gọi là các đạo hàm riêng cấp Xét hàm số biến z = f(x,y), các đạo hàm riêng f x' ( x, y) Như vậy, có đạo hàm riêng cấp và ký hiệu là 2f ( x, y) f ( x, y) 2f ( x, y) f ( x, y) " , , f ( x , y ) f x" ( x, y) y y y x x x y 2f ( x, y) f ( x, y) 2f ( x, y) f ( x, y) " và f yx" ( x, y) f ( x , y ) xy xy x y yx y x Ví dụ 1.14 Tìm các đạo hàm riêng cấp hàm số z = f(x,y) = x2y3 + x4 f ( x, y) f ( x, y) Ta có f x' ( x, y) 3x y 2xy3 4x và f y' ( x, y) y x 2f ( x, y) f ( x , y) 2f ( x, y) f ( x, y) " f ( x , y ) 6x y , , y 12 x y y y y x x x 2f ( x , y) f ( x , y) 2f ( x, y) f ( x, y) " " f yx ( x , y) xy và f ( x , y ) 6xy2 xy xy x y yx y x nên f x" ( x, y) " Trong Ví dụ 1.14 ta thấy f xy" ( x, y) f yx ( x, y) , liệu điều này có luôn luôn đúng với hàm số biến không? Nhà toán học Schwarz đã chứng minh định lý sau: Định lý Nếu lân cận nào đó điểm M(x,y) mà hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp 2: f xy" ( x, y) , f yx" ( x, y) , đồng thời các đạo hàm riêng này liên tục điểm M thì " " f xy ( x, y) f yx ( x, y) điểm M Tiếp tục định nghĩa tương tự, đạo hàm riêng các đạo hàm riêng cấp tồn thì gọi là các đạo hàm riêng cấp 3, … 1.3.4.2 Vi phân toàn phần cấp cao Xét hàm số biến z = f(x,y), vi phân toàn phần nó df ( x, y) f x' ( x, y).dx f y' ( x, y).dy điểm M(x,y) gọi là vi phân toàn phần cấp Khi đó, vi phân toàn phần vi phân toàn phần cấp tồn thì gọi là vi phân toàn phần cấp và ký hiệu là d2f(x,y) 16 (17) TailieuVNU.com Trong trường hợp x và y là các biến độc lập, tức là dx và dy là các số thì ta có f x' ( x, y).dx f y' ( x, y).dy d f ( x, y) ddf ( x, y) df x' ( x, y).dx f y' ( x, y).dy dx x f x' ( x, y).dx f y' ( x, y).dy " dy f x"2 ( x , y).dx f xy" ( x , y) f yx ( x, y) .dxdy f y"2 ( x , y).dy y " Nếu f xy ( x, y) và f yx" ( x, y) liên tục thì theo định lý trên, chúng nhau, tức là " " " ( x, y).dxdy f y"2 ( x, y).dy2 f xy ( x, y) f yx ( x, y) , đó ta d 2f ( x, y) f x"2 ( x, y).dx 2f xy Tiếp tục định nghĩa tương tự, ta định nghĩa vi phần toàn phần cấp 3: d3f(x,y) = d(d2f(x,y)), … và tiện viết công thức vi phân toàn phần cấp n trường hợp x và y là các biến n độc lập ta dùng ký hiệu tượng trưng d f ( x , y) dx dy f ( x , y) y x Còn trường hợp x, y không phải là các biến độc lập thì dx và dy không phải là các số nữa, đó d 2f ( x, y) ddf ( x, y) d f x' ( x, y).dx f y' ( x, y).dy n f y' ( x, y).d(dy) d f x' ( x, y) dx f x' ( x, y).d(dx) d f y' ( x, y) dy f x" ( x, y).dx 2f xy" ( x, y).dxdy f y" ( x, y).dy2 f x' ( x, y).d x f y' ( x, y).d y Trong trường hợp này (x, y không phải là các biến độc lập) thì ký hiệu tượng trưng n d f ( x , y) dx dy f ( x , y) không phù hợp y x Như vậy, vi phân toàn phần cấp hàm số nhiều biến số có dạng bất biến thì vi phân toàn phần cấp trở lên hàm số nhiều biến số không có dạng bất biến n Ví dụ 1.15 (a) Tìm vi phân toàn phần cấp hàm số z = f(x,y) = sinxsiny Ta có f x' (x, y) cos x sin y và f y' ( x, y) sin x cos y nên f x"2 ( x, y) sin x sin y , " f xy ( x, y) cos x cos y và f y"2 ( x, y) sin x sin y , đó ta d 2f (x, y) sin x sin y.dx cos x cos y.dxdy sin x sin y.dy2 (b) Tìm vi phân toàn phần cấp hàm số u = f(x,y) = x2y Ta có f ( x , y) f ( x, y) f ( x , y) f ( x , y) f ( x, y) , , 0, x nên y 2xy và y y x x x 3f ( x , y) 3f ( x , y ) 3f ( x , y ) , , , đó ta d 3f ( x , y) dx dy f ( x , y) 2 y y x y xy x 3f ( x , y) 3f ( x , y) 3f ( x , y) 3f ( x , y) dx dx dy dxdy dy x x y xy y 0.dx3 3.2.dx 2dy 3.0.dxdy2 0.dy3 6dx 2dy 1.3.4.3 Công thức Taylor Công thức Taylor hàm số biến mở rộng cho hàm số nhiều biến, chẳng hạn hàm số biến: Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n + 1) liên tục lân cận nào đó điểm M0(x0,y0) Nếu điểm M(x,y) nằm lân cận này, tức là x = x + x và y = y0 + y, thì ta có k 1 x f ( x , y) f ( x , y ) x y f ( x , y ) y y (n 1)! x y k 1 k! x n 17 n 1 f ( x1 , y1 ) (18) đó x1 = x0 + .x và y1 = y0 + .y với < < TailieuVNU.com Ví dụ 1.16 (a) Khai triển hàm số f(x,y) = 2x2 – xy – y2 – 6x – 3y + theo công thức Taylor lân cận điểm M0(1,-2) Ta có f(1,-2) = 2.12 – 1.(-2) – (-2)2 – 6.1 – 3.(-2) + = và các đạo hàm riêng f ( x , y) f ( x , y) f ( x , y) f ( x , y) f ( x, y) f ( x, y) 2 , 1 4, x 2y , 4x y , y xy yx x y x f (1,2) f (1,2) f (1,2) f (1,2) f (1,2) f (1,2) , , 1 còn các đạo 0, 0, y xy yx x y x hàm riêng cấp trở lên Do đó, khai triển Taylor hàm số xét là k 1 f (1,2) f (1,2) f ( x , y) f ( x , y ) x y f ( x , y ) f (1,2) x y y 1! x y k 1 k! x f (1,2) f (1,2) f (1,2) ( x ) x y ( y) với x = x – x0 = x – và y = y – y0 = y 2 2! x xy y – (-2) = y + Sau thay các giá trị đã xác định vào biểu thức trên ta f ( x, y) 1.0.( x 1) 0.( y 2) 4.( x 1) 2.( 1).( x 1).( y 2) (2)( y 2) 2(x – 1)2 – (x – 1)(y + 2) – (y + 2)2 + (b) Khai triển hàm số f(x,y) = xy (x > 0) theo công thức Taylor lân cận điểm M0(1,1) đến các số hạng bậc Ta có x = x – và y = y – và khai triển hàm số f(x,y) = xy (x > 0) lân lân cận điểm M0(1,1) đến các số hạng bậc theo công thức Taylor k f (1,1) 1 f (1,1) f ( x , y) f (1,1) x y f (1,1) f (1,1) ( x 1) ( y 1) y y k 1 k! x x 2f (1,1) 2f (1,1) 2f (1,1) ( x ) ( x )( y ) ( y 1) 2 2! x xy y 3f (1,1) 3f (1,1) 3f (1,1) 3f (1,1) 2 ( x 1) ( x 1) ( y 1) ( x 1)( y 1) ( y 1)3 3 3! x x y xy y Thay các các giá trị f(1,1) = 1, f ( x, y) f (1,1) f ( x, y) f (1,1) x y ln y 0, yx y 1 1, y y x x f ( x , y) 2f (1,1) f ( x , y) 2f (1,1) y 1 y2 , x ( y ln x ) 1, y ( y ) x xy xy x x f ( x , y) 2f (1,1) 3f ( x , y ) 3f (1,1) y 3 y , x ln x y ( y )( y ) x 0, y y x x 3f ( x , y ) 3f (1,1) y2 x (2 y 1) y( y 1) ln x 1, x 2y x 2y 3f ( x , y ) 3f (1,1) 3f ( x , y ) 3f (1,1) y 1 y , x ( y ln x ) ln x x ln x vào công thức xy xy y3 y3 1 trên ta x y ( x 1) ( x 1)( y 1) ( x 1) ( y 1) ( x 1)( xy x y 1) 2 1.3.5 Khái niệm hàm ẩn, đạo hàm riêng hàm ẩn 1.3.5.1 Khái niệm hàm ẩn 18 (19) TailieuVNU.com Cho phương trình F(x,y) = 0, đó ánh xạ F: U R là hàm số xác định trên tập hợp mở UR Nếu với giá trị x = x0I (I là khoảng đoạn nào đó thuộc R), có hay nhiều giá trị y0 cho F(x0,y0) = 0, thì ta nói phương trình F(x,y) = xác định hay nhiều hàm ẩn y theo biến x khoảng I Như vậy, ánh xạ f: I R là hàm ẩn xác định phương trình F(x,y) = với xIR cho (x,f(x))UR2 và F(x,f(x)) = x y2 b Ví dụ 1.17 Từ phương trình F( x, y) suy y f ( x ) a x là hàm ẩn a b a biến xI = [-a,a]R Trong trường hợp này, ta đã tìm hai biểu thức tường minh y theo x Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào thực được! Chẳng hạn, từ phương trình F(x,y) = xy – yx = (với x > 0, y > 0) không thể tìm biểu thức tường minh y theo x Tương tự, trường hợp hàm số biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0, đó ánh xạ F: U R là hàm số xác định trên tập hợp mở UR3 Nếu với giá trị (x,y) = (x0,y0)I (I là tập nào đó thuộc R2), có hay nhiều giá trị z0 cho F(x0,y0,z0) = 0, thì ta nói phương trình F(x,y,z) = xác định hay nhiều hàm ẩn z theo các biến x,y tập mở I Định lý (về tồn tại, tính liên tục và tính khả vi hàm ẩn) Đối với hàm số biến: Cho phương trình F(x,y) = 0, đó ánh xạ F: U R là hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở UR2, giả sử (x0,y0)U và F(x0,y0) = Nếu Fy' ( x , y ) thì phương trình F(x,y) = xác định lân cận nào đó x hàm ẩn y = f(x) nhất, hàm số này có giá trị y0 x = x0, liên tục và có đạo hàm liên tục lân cận nói trên Đối với hàm số biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0, đó ánh xạ F: U R là hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở UR3 Giả sử (x0,y0,z0)U và F(x0,y0,z0) = Nếu Fy' ( x , y , z ) thì phương trình F(x,y,z) = xác định lân cận nào đó điểm (x0,y0) hàm ẩn z = f(x,y) nhất, hàm số này có giá trị z0 x = x0 và y = y0, liên tục và có đạo hàm liên tục lân cận nói trên 1.3.5.2 Đạo hàm riêng hàm ẩn Đối với hàm số biến F(x,y) = F(x,f(x)) = 0: y' ( x ) dy F' x' dx Fy x y2 2x 2y , tìm y’(x) Ta có Fx' và Fy' nên với y ≠ thì a b a b ' Fy , đó phương trình F(x,y) = xét, xác định hàm ẩn y = f(x) liên tục và Ví dụ 1.18 Cho F( x, y) y' ( x ) dy F' b2 x x' liên tục dx Fy a y Đối với hàm số biến F(x,y,z) = F(x,y,f(x,y)) = 0: z 'x F' z F' z x' và z 'y y' x Fz y Fz Ví dụ 1.19 Cho F( x , y, z) e z xy x z , tìm z 'x và z 'y Ta có Fx' y 2x , Fy' x và Fz' e z 3z > với z Vì Fz' với z nên phương trình F(x,y,z) = xét, xác định hàm ẩn 2x y x z = f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng z 'x z , z 'y z e 3z e 3z 1.4 Cực trị hàm nhiều biến 1.4.1 Khái niệm cực trị địa phương, phương pháp tìm cực trị địa phương Cho hàm số biến z = f(x,y) xác định miền mở D R2, M0(x0,y0) là điểm D Ta nói hàm số f(x,y) đạt cực trị địa phương điểm M0 với điểm M lân cận nào đó điểm M0 khác M0 và hiệu số f(x,y) – f(x0,y0) có dấu không đổi Nếu f(x,y) – 19 (20) TailieuVNU.com f(x0,y0) > hàm số có cực tiểu địa phương điểm M0, còn f(x,y) – f(x0,y0) < hàm số có cực đại địa phương điểm M0 Định lý (điều kiện cần cực trị địa phương) Nếu hàm số z = f(x,y) khả vi và đạt cực trị địa phương điểm M0(x0,y0) thì các đạo hàm riêng cấp nó điểm đó, tức là f ( x , y ) f ( x , y ) Các điểm mà đó các đạo hàm riêng bậc hàm số f(x,y), và y x gọi là điểm dừng hay điểm tới hạn Lưu ý Điều kiện cần cực trị địa phương cho phép thu hẹp việc tìm điểm cực trị địa phương và vì là điều kiện cần nên không phải điểm dừng là điểm cực trị Định lý (điều kiện đủ cực trị địa phương) Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận nào đó điểm dừng M0(x0,y0) Bây giờ, ta coi vi phân toàn phần cấp hàm số f(x,y) điểm (x0,y0): d f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) f x"2 ( x , y ).dx 2f xy" ( x , y ).dxdy f y"2 ( x , y ).dy là y x dạng toàn phương các biến dx, dy thì (1) Khi d2f(x0,y0) xác định âm thì hàm số f(x,y) đạt cực đại địa phương (x0,y0); còn d2f(x0,y0) xác định dương thì hàm số f(x,y) đạt cực tiểu địa phương (x0,y0); (2) Khi d2f(x0,y0) không xác định dương không xác định âm (không xác định dấu) thì (x0,y0) là không phải là điểm cực trị địa phương hàm số f(x,y); (3) Khi d2f(x0,y0) suy biến (tức là tồn dx, dy không đồng thời d2f(x0,y0) = 0) thì chưa thể kết luận hàm số f(x,y) có cực trị địa phương điểm M0 hay không, mà cần phải xét phương pháp khác (trường hợp này thường gọi là trường hợp nghi ngờ) Để biết với yêu cầu nào thì dạng toàn phương là xác định dương, là xác định âm không xác định dấu, ta sử dụng định lý Sylvester: Dạng toàn phương xác định dương và tất các định thức chính ma trận dạng toàn phương dương; dạng toàn phương xác định âm và tất các định thức chính ma trận dạng toàn phương có cấp lẻ âm và có cấp chẵn dương Bây giờ, ký hiệu A f x"2 ( x , y ) f ( x , y ) , x B f xy" ( x , y ) f ( x , y ) xy và f ( x , y ) thì dạng toàn phương d2f(x0,y0) các biến dx, dy là d2f(x0,y0) = Adx2 y A B + 2Bdxdy + Cdy2 và có ma trận tương ứng B C C f y"2 ( x , y ) A B AC B2 thì dạng Do đó, từ định lý Sylvester ta có: Nếu det(A) = A < và det B C 2 toàn phương d f(x0,y0) = Adx + 2Bdxdy + Cdy xác định âm, đó hàm số f(x,y) đạt cực đại địa A B AC B thì dạng toàn phương phương (x0,y0); còn det(A) = A > và det B C 2 d f(x0,y0) = Adx + 2Bdxdy + Cdy xác định dương, đó hàm số f(x,y) đạt cực tiểu địa phương (x0,y0) Ví dụ 1.20 Tìm cực trị hàm số (a) z = f(x,y) = x2 + xy + y2 – 3x – 6y, (b) z f ( x, y) Bài giải 20 xy x y (47 x y) 3 4 (21) TailieuVNU.com f ( x, y) x 2x y x (a) Ta có M (0,3) là điểm dừng f ( x, y) y x y y f ( x , y) f (0,3) A 2 x x f ( x , y) f (0,3) Ta lại có 1 B d f (0,3) Adx 2Bdxdy Cdy xy xy f ( x , y) f (0,3) 2C 2 y y A B 2dx2 + 2dxdy + 2dy2 có ma trận dạng toàn phương là B C Bây giờ, tính định thức các ma trận chính ma trận cấp này, ta det(2) = > và 2 1 , suy dạng toàn phương d2f(0,3) là xác định dương, nên hàm số f(x,y) xét det đạt cực tiểu điểm M 0,3 , tức là f ct f 0,3 02 0.3 32 3.0 6.3 9 f ( x , y) y x y 47 x y 0 x 8x y 188 x 21 M (21,20) là (b) Ta có x y 141 y 20 f ( x , y ) x x y 47 x y 0 y 3 4 điểm dừng f ( x , y) f (21,20) A 2 x x 2 f (21,20) f ( x , y) B d f (21,20) Adx 2Bdxdy Cdy Ta lại có 12 xy 12 xy f ( x , y) f (21,20) C 2 y y A B 12 1 dx dxdy dy2 có ma trận dạng toàn phương là B C 12 2 Bây giờ, tính định thức các ma trận chính ma trận cấp này, ta det và 3 12 47 det , suy dạng toàn phương d2f(21,20) là xác định âm, nên hàm số f(x,y) 12 144 xét đạt cực đại địa phương điểm M0 21,20 , tức là f cđ f 21,20 21.20 21 20 (47 21 20). 282 Phương pháp thực hành tìm cực trị địa phương hàm số biến: Khi khảo sát cực trị địa phương hàm số biến, tiện, người ta thường thực sau A B và A = det(A) thì từ điều kiện đủ cực trị địa Nếu ký hiệu B2 AC det B C phương và định lý Sylvester ta được: 21 (22) TailieuVNU.com (1) Nếu < thì hàm số f(x,y) có cực trị địa phương điểm (x0,y0), cụ thể là: Cực đại A < (hoặc C < 0), cực tiểu A > (hoặc C > 0); (2) Nếu > thì hàm số f(x,y) không có cực trị địa phương điểm (x0,y0); (3) Nếu = thì chưa thể kết luận hàm số f(x,y) có cực trị địa phương điểm M0(x0,y0) hay không, mà cần phải xét tiếp phương pháp khác (trường hợp này thường gọi là trường hợp nghi ngờ) Bây ta giải Ví dụ 1.20 phương pháp này (a) Vì = B2 – AC = 1- 2.2 = -3 < và A = > 0, nên hàm số f(x,y) xét đạt cực tiểu điểm M 0,3 , tức là f ct f 0,3 9 2 47 2 1 (b) Vì B AC . và A , nên hàm số xét 144 12 có cực đại địa phương điểm M0(21,20), tức là fcđ = f(21,20) = 282 Đối với hàm số từ biến trở lên, ta có kết tương tự Chẳng hạn, với hàm số biến u = f(x,y,z) xác định miền mở DR3, M0(x0,y0,z0) là điểm D Ta nói hàm số f(x,y,z) đạt cực trị địa phương điểm M0 với điểm M lân cận nào đó điểm M0 khác M0 và hiệu số f(x,y,z) – f(x0,y0,z0) có dấu không đổi Nếu f(x,y,z) – f(x0,y0,z0) > hàm số có cực tiểu địa phương điểm M0, còn f(x,y,z) – f(x0,y0,z0) < hàm số có cực đại địa phương điểm M0 Định lý (điều kiện cần cực trị địa phương) Nếu hàm số u = f(x,y,z) khả vi và đạt cực trị địa phương điểm M0(x0,y0,z0) thì các đạo hàm riêng cấp nó điểm đó, tức là f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) và Các điểm mà đó các đạo hàm riêng bậc 0, y y x hàm số f(x,y,z), gọi là điểm dừng hay điểm tới hạn Định lý (điều kiện đủ cực trị địa phương) Giả sử hàm số u = f(x,y,z) có các đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận nào đó điểm dừng M0(x0,y0,z0) Bây giờ, ta coi vi phân toàn phần cấp hàm số f(x,y,z) điểm (x0,y0,z0): d f ( x , y , z ) dx dy dz f ( x , y , z ) y z x 2f (x , y0 , z ) 2f (x , y0 , z ) 2f (x , y0 , z ) dx dy dz x y z 2 2f (x , y0 , z ) 2f (x , y0 , z ) 2f (x , y0 , z ) dxdy dydz dzdx xy yz zx là dạng toàn phương các biến dx, dy và dz thì: (1) Khi d2f(x0,y0,z0) xác định dương thì hàm số f(x,y,z) đạt cực tiểu địa phương (x0,y0,z0); (2) Khi d2f(x0,y0,z0) xác định âm thì hàm số f(x,y,z) đạt cực đại địa phương (x0,y0,z0); (3) Khi d2f(x0,y0,z0) không xác định dương không xác định âm (không xác định dấu) thì (x0,y0,z0) là không phải là điểm cực trị địa phương hàm số f(x,y,z); (4) Khi d2f(x0,y0,z0) suy biến (tức là tồn dx, dy, dz không đồng thời d f(x0,y0,z0) = 0) thì chưa thể kết luận hàm số f(x,y,z) có cực trị địa phương điểm (x0,y0,z0) hay không, mà cần phải xét tiếp phương pháp khác (trường hợp này thường gọi là trường hợp nghi ngờ) y2 z2 Ví dụ 1.21 Tìm cực trị hàm số u f ( x, y, z) x với x > 0, y > và z > 4x y z Bài giải Điểm dừng hàm số f(x,y,z) xét xác định từ hệ phương trình 22 (23) f ( x , y, z) y2 0 x 4x f ( x , y, z) y z 1 M ,1,1 là điểm dừng y 2x y 2 f ( x , y, z) 2z 0 z y z2 Ta có TailieuVNU.com y 2f ( x, y, z) f ( x, y, z) 2z f ( x, y, z) y f ( x, y, z) , , , , xy 2x y 2x y3 x 2x xz f ( x, y, z) 2z f ( x, y, z) , yz y z y z 1 f ,1,1 1 2 Do đó, điểm M ,1,1 ta x 2 1 f ,1,1 2 , 4, xy 1 1 2. 2. 2 2 1 1 1 f ,1,1 f ,1,1 f ,1,1 , 2 0, 2z 2.1 2 , y xz yz y2 12 2 1 f ,1,1 z y z 13 1 f ,1,1 1 1 dx Suy dạng toàn phương d f ,1,1 dx dy dz f ,1,1 y z x x 1 1 1 1 1 f ,1,1 f ,1,1 f ,1,1 f ,1,1 f ,1,1 dy dz dxdy dydz dzdx 2 y z xy yz zx 2 4.dx2 + 3.dy2 + 6.dz2 –2.2.dxdy – 2.2.dydz + 2.0.dxdz có ma trận tương ứng là 2 2 , Tính các định thức chính ma trận này ta det(4) = > 0, det 2 det 32 Do đó dạng toàn phương xét là xác định dương, nên hàm số 2 12 1 1 1 f(x,y,z) xét đạt cực tiểu điểm M ,1,1 là u ct f ,1,1 2 1 1.4.2 Cực trị có điều kiện Bài toán cực trị phần trên là cực trị không điều kiện, tức là không có điều kiện ràng buộc nào các biến hàm số cần tìm giá trị cực đại cực tiểu cực đại và cực tiểu Tuy nhiên, ứng dụng thực tế, chúng ta thường gặp các bài toán tìm cực trị hàm số với điều kiện ràng buộc nào đó các biến 23 (24) TailieuVNU.com Ví dụ 1.22 Khi sản xuất hộp đựng sữa, để tiết kiệm chi phí bao bì, người ta cần phải giải bài toán: Tìm hình trụ tròn có thể tích lớn các hình trụ tròn có cùng diện tích toàn phần Khi đó, gọi chiều cao hình trụ tròn là h > và bán kính đáy hình trụ tròn là r > 0, thì ta phải tìm giá trị cực đại biểu thức V(r,h) = h.Sđ = h.r2 = hr2 với Stp = 2Sđ + Sxq = 2r2 + h.2r = 2(h + r)r = S là số dương Đối với hàm số biến, người ta gọi bài toán tìm cực trị hàm số f(x,y) với các biến x và y thỏa mãn điều kiện g(x,y) = là bài toán tìm cực trị có điều kiện; tương tự, hàm số biến, người ta gọi bài toán tìm cực trị hàm số f(x,y,z) với các biến x, y và z thỏa mãn điều kiện g(x,y,z) = là bài toán tìm cực trị có điều kiện Thông thường, có hai cách giải bài toán tìm cực trị có điều kiện Cách thứ nhất: Nếu từ điều kiện đã cho có thể biểu diễn tường minh biến qua các biến còn lại thì có thể đưa bài toán tìm cực trị có điều kiện bài toán tìm cực trị không có điều kiện với số biến giảm Tuy nhiên, không phải làm điều vừa nói, tức là biểu diễn tường minh biến qua các biến còn lại từ điều kiện đã cho, đó ta sử dụng Cách thứ hai: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange là phương pháp đưa việc tìm cực trị có điều kiện việc tìm cực trị không điều kiện Bây ta sử dụng Cách thứ để giải bài toán Ví dụ 1.22 Từ điều kiện 2(h + r)r = S (S là S số) ta giải h h (r ) r và thay giá trị h này vào biểu thức V(r,h) ta 2r S S V(r, h ) hr Vr, h (r ) .h (r ).r r r r r V(r ) Và vậy, bây hàm 2r số hai biến V(r,h) trở thành hàm số biến V(r) , S S S Ta có V' (r ) r r 3r V’(r) = 3r , phương trình này có nghiệm 2 S S S r0 đó h h (r0 ) r0 2r0 6 2r0 6 Ta có V" (r) 6r V" (r0 ) 6r0 vì r0 > 0, nên hàm số V(r) đạt cực đại r0 và h0 = S S S S S S 2r0 và có giá trị cực đại Vcđ = V ( r0 ) r0 r03 2 6 Như vậy, hình trụ tròn có chiều cao đường kính đáy nó là hình trụ tròn có thể tích lớn các hình trụ tròn có cùng diện tích toàn phần Phương pháp nhân tử Lagrange hàm số biến Bước Lập hàm số Lagrange biến L(x,y,) = f(x,y) + g(x,y), đó (được gọi là nhân tử Lagrange) là tham số chưa xác định Bước Tìm các điểm dừng (x0,y0,0) là nghiệm hệ phương trình: L( x , y, ) f ( x , y) g( x , y) 0 x x x g( x , y) L( x , y, ) f ( x , y) 0 y y y L( x , y, ) g ( x , y) Bước Với 0 ta L(x,y,0) = f(x,y) + 0g(x,y) trở thành hàm số biến (x,y) và xác định cực trị hàm số này điểm dừng (x0,y0) điều kiện đủ; tức là, từ biểu thức vi phân toàn phần cấp hàm số L(x,y,0) điểm dừng (x0,y0): 24 (25) TailieuVNU.com L( x , y , ) L( x , y , ) L( x , y , ) d L( x , y , ) dx dy dxdy là x y xy dạng toàn phương các biến dx, dy (1) Nếu d2L(x0,y0,0) là dạng toàn phương xác định dương thì hàm số f(x,y) có cực tiểu địa phương có điều kiện điểm (x0,y0) và có giá trị cực tiểu fct = f(x0,y0); (2) Nếu d2L(x0,y0,0) là dạng toàn phương xác định âm thì hàm số f(x,y) có cực đại địa phương có điều kiện điểm (x0,y0) và có giá trị cực đại fcđ = f(x0,y0); (3) Nếu d2L(x0,y0,0) không xác định dương không xác định âm (không xác định dấu) thì điểm (x0,y0) là không phải là điểm cực trị địa phương hàm số f(x,y); (4) Nếu d2L(x0,y0,0) suy biến (tức là tồn dx, dy không đồng thời d2f(x0,y0,0) = 0) thì chưa thể kết luận hàm số f(x,y) có cực trị địa phương điểm (x0,y0) hay không, mà cần phải xét tiếp cách tìm mối quan hệ dx và dy điều kiện g(x,y) = sau: Tính vi phân toàn phần cấp hàm số g(x,y) = ta g( x , y ) g( x , y ) g( x, y) g( x, y) dg( x, y) dx dy dg( x , y ) dx dy x y x y g ( x , y ) g ( x , y ) y x dx dy dy dx g ( x , y ) g ( x , y ) x y Sau đó, thay dx (biểu diễn qua dy) thay dy (biểu diễn qua dx) vào biểu thức d L(x0,y0,0) và xét dấu d2L(x0,y0,0) là hàm số biến dy là hàm số biến dx Bây ta sử dụng Cách thứ hai (phương pháp nhân tử Lagrange) để giải bài toán Ví dụ 1.22 Ta viết điều kiện 2(h + r)r = S (S là số) thành g(r,h) = 2(h + r)r – S = Bước Lập hàm số Lagrange biến L(r,h,) = V(r,h) + g(r,h) = hr2 + [2(h + r)r – S] g (r, h ) L(r, h , ) V (r , h ) 2hr ( h 2r ) r r r g (r, h ) L(r, h , ) V (r , h ) r ( r 2 ) Bước Giải hệ phương trình h h h L(r, h , ) g ( r , h ) ( h r ) r S với điều kiện r > 0, h > ta tìm điểm dừng r0 , h , với r0 S , h0 = 2r0 và 6 r0 Bước Với ta Lr, h, V(r, h) g(r, h) hr [2(h r)r S] là hàm số hai biến (r,h) L(r, h, ) 2hr 2 (h 2r ) r Ta có L(r, h, ) r 2 r h 0 25 (26) L( r , h , ) V(r0 , h , ) h 2(h 2 ) 2r0 r r L( r , h , ) V(r0 , h , ) 2r 2 2(r0 ) r r h r h L( r , h , ) L(r0 , h , ) 0 0 h h TailieuVNU.com đó, vi phân toàn phần bậc hai hàm số L(r,h,0) điểm (r0,h0) là L(r0 , h , ) L(r0 , h , ) L(r0 , h , ) d L(r0 , h , ) dr drdh dh r rh h 2r0 dr 2r0 drdh 0.dh 2r0 dr 2r0 drdh g(r, h ) g(r, h ) Mặt khác, vì g(r,h) = 2(h + r)r – S = nên dg(r, h ) dr dh r h g(r0 , h ) g(r, h ) 2(h 2r0 ) 8r0 r 2(h 2r ) r Ta có g(r, h ) 2r g(r0 , h ) 2r h h g(r0 , h ) g(r0 , h ) suy dg(r0 , h ) dr dh 8r0 dr 2r0 dh dh 4dr r h Bây thay dh = -4dr vào biểu thức vi phân toàn phần bậc hai d2L(r0,h0,0) trên ta d L(r0 , h , ) 2r0 dr 2r0 dr(4dr) 6r0 dr 6Sdr , đó hàm số V(r,h) đạt cực đại điểm (r0,h0) với h0 = 2r0 và r0 S tức là hình trụ tròn có chiều cao gấp đôi bán kính nó là 6 hình trụ tròn có thể tích lớn và Vcđ = V(r0 , h ) h r02 .2r0 r0 2r03 S S 6 Phương pháp nhân tử Lagrange hàm số biến Hoàn toàn tương tự với hàm số biến Bước Lập hàm số Lagrange biến L(x,y,z,) = f(x,y,z) + g(x,y,z), đó (được gọi là nhân tử Lagrange) là tham số chưa xác định Bước Tìm các điểm dừng (x0,y0,z0,0) là nghiệm hệ phương trình: g ( x , y, z) L( x , y, z, ) f ( x , y, z) 0 x x x L( x , y, z, ) f ( x , y, z) g ( x , y, z) y y y L( x , y, z, ) f ( x , y, z) g ( x , y, z) z z z L( x , y, z, ) g ( x , y, z) Bước Với 0 ta L(x,y,z,0) = f(x,y,z) + 0g(x,y,z) trở thành hàm số biến (x,y,z) và xác định cực trị hàm số này điểm dừng (x0,y0,z0) điều kiện đủ; tức là, từ biểu thức vi phân toàn phần cấp hàm số L(x,y,z,0) điểm dừng (x0,y0,z0): 26 (27) TailieuVNU.com L( x , y , z , ) L( x , y , z , ) L( x , y , z , ) d L( x , y , z , ) dx dy dz x y z L( x , y , ) L( x , y , ) L( x , y , ) 2 dxdy dydz dzdx xy yz zx là dạng toàn phương các biến dx, dy và dz (1) Nếu d2L(x0,y0,z0,0) là dạng toàn phương xác định dương thì hàm số f(x,y,z) có cực tiểu địa phương có điều kiện điểm (x0,y0,z0) và có giá trị cực tiểu fct = f(x0,y0,z0); (2) Nếu d2L(x0,y0,z0,0) là dạng toàn phương xác định âm thì hàm số f(x,y,z) có cực đại địa phương có điều kiện điểm (x0,y0,z0) và có giá trị cực đại fcđ = f(x0,y0,z0); (3) Nếu d2L(x0,y0,z0,0) không xác định dương không xác định âm (không xác định dấu) thì điểm (x0,y0,z0) là không phải là điểm cực trị địa phương hàm số f(x,y,z); (4) Nếu d2L(x0,y0,z0,0) suy biến (tức là tồn dx, dy và dz không đồng thời d2f(x0,y0,z0,0) = 0) thì chưa thể kết luận hàm số f(x,y,z) có cực trị địa phương điểm (x0,y0,z0) hay không, mà cần phải xét tiếp cách tìm mối quan hệ dx qua dy và dz, tìm mối quan hệ dy qua dx và dz, tìm mối quan hệ dz qua dx và dy điều kiện g(x,y,z) = sau: Tính vi phân toàn phần cấp hàm số g(x,y,z) = ta g( x, y, z) g( x, y, z) g( x, y, z) dg( x, y, z) dx dy dz x y z g( x , y , z ) g( x , y , z ) g( x , y , z ) dg( x , y , z ) dx dy dz x y z g ( x , y , z ) g ( x , y , z ) g ( x , y , z ) g ( x , y , z ) y x z z dx dy dz dy dx dz g ( x , y , z ) g ( x , y , z ) g ( x , y , z ) g ( x , y , z ) x x y y g ( x , y , z ) g ( x , y , z ) y x dx dy dz g ( x , y , z ) g ( x , y , z ) z z Sau đó, thay dx (biểu diễn qua dy và dz) thay dy (biểu diễn qua dx và dz) thay dz (biểu diễn qua dx và dy) vào biểu thức d2L(x0,y0,z0,0) và xét dấu d2L(x0,y0,z0,0) là hàm số các biến dy, dz là hàm số các biến dx, dz là hàm số các biến dx, dy Ví dụ 1.23 Trong tất các tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R cho trước, tìm tam giác có diện tích lớn Bài giải Gọi tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R cho trước là ABC Ký hiệu độ dài các cạnh đối diện với các góc A, B, C là a, b, c Từ định lý sin tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R: a b c 2R suy sin A sin B sin C a 2R sin A b 2R sin B ab sin C S 2R sin A sin B sin C với các góc A, B và C phải thỏa mãn điều kiện A B C Thay a và b vào công thức tính diện tích tam giác 27 S ta (28) TailieuVNU.com Như vậy, yêu cầu bài toán trở thành: Tìm giá trị cực đại biểu thức S(A, B, C) 2R sin A sin B sin C các biến A, B và C thỏa mãn điều kiện g (A, b, C) A B C Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng Phương pháp nhân tử Lagrange Bước Lập hàm số Lagrange biến L(A,B,C,) = S(A,B,C) + g(A,B,C) = 2R sin A sin B sin C (A B C ) Bước Các điểm dừng (A0,B0,C0,0) có, là nghiệm hệ phương trình L(A, B, C, ) 2R cos A sin B sin C A tan A tan B L ( A , B , C , ) 2R sin A cos B sin C tan B tan C B tan C tan A A B C L(A, B, C, ) 2R sin A sin B cos C C 2R cos A sin B sin C L(A, B, C, ) ABC A B0 C là điểm dừng R Bước Với R ta L(A,B,C,0) = S(A,B,C) + 0g(A,B,C) = 2R sin A sin B sin C A B 0C là hàm số biến A, B và C Bây giờ, để xác định cực trị hàm số này điểm dừng (A0,B0,C0) với A B0 C0 điều kiện đủ, ta cần phải xác định biểu thức vi phân toàn phần cấp 2: d L(A0,B0,C0,0) L(A, B, C, ) 2R cos A sin B sin C A L(A, B, C, ) 2R sin A cos B sin C Ta có B L(A, B, C, ) 2R sin A sin B cos C C L(A, B, C, ) L(A, B, C, ) R sin A sin B sin C 2R cos A cos B sin C A A B L(A, B, C, ) L(A, B, C, ) 2R sin A sin B sin C và 2R sin A cos B cos C B BC 2 L(A, B, C, ) L(A, B, C, ) 2R sin A sin B sin C 2R cos A sin B cos C C C A nên điểm dừng (A0,B0,C0): L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) 3 R 2 A B C L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) L ( A , B , C , ) và R AB BC CA Để cho gọn, ta đặt m R thì 28 (29) L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) 3m A B C 2 L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) m AB AC BC TailieuVNU.com Do đó, biểu thức vi phân toàn phần cấp L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) 2 d L( A , B , C , ) dA dB dC2 2 A B C 2 L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) L( A , B , C , ) 2 dAdB dBdC dCdA AB BC CA -3mdA2 – 3mdB2 – 3mdC2 +2mdAdB + 2mdAdC + 2mdBdC có ma trận dạng toàn phương tương m m 3m ứng là m 3m m m m 3m Ta có các định thức chính ma trận trên là det(3m) 3m 3 R 0, m m 3m 3 det m 3m m 16 m R Do đó, m m 3m dạng toàn phương xét là xác định âm, nên hàm số S(A,B,C) xét đạt cực đại điểm A , B0 , C , , và có giá trị là 3 3 3 3 Scđ Sa , b , c S , , 2R sin sin sin 2R R tương ứng 3 2 3 3 với tam giác nội tiếp hình tròn bán kính R m 3m 8m R , det 3m m 1.4.3 Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số Xét hàm số biến z = f(x,y) xác định trên miền đóng D R2 Nếu f(x,y) f(x0,y0) với (x,y)D thì giá trị f(x0,y0) gọi là giá trị lớn (GTLN) hay giá trị cực đại toàn cục hàm số f(x,y) trên miền đóng D; còn f(x,y) f(x0,y0) với (x,y)D thì giá trị f(x0,y0) gọi là giá trị nhỏ (GTNN) hay giá trị cực tiểu toàn cục hàm số f(x,y) trên miền đóng D Cũng hàm số biến, hàm số nhiều biến liên tục trên miền đóng D tồn GTLN và GTNN trên miền Nếu hàm số đạt GTLN và/hoặc GTNN nhiều điểm miền D thì các điểm này phải là điểm cực trị hàm số, đó theo điều kiện cần điểm cực trị, điểm phải là điểm dừng Hàm số có thể đạt GTLN và/hoặc GTNN nhiều điểm trên biên miền D thì các điểm này phải là điểm cực trị hàm số trên biên miền D, đó theo điều kiện cần điểm cực trị, điểm phải là điểm dừng trên biên miền D Hàm số có thể đạt GTLN và/hoặc GTNN hữu hạn các điểm thuộc miền đóng D mà đó hàm số liên tục không khả vi (các điểm này thường nằm trên biên miền D) Do đó, để tìm GTLN và GTNN hàm số trên miền đóng D, ta thực hiện: (1) Tìm các điểm dừng là các điểm miền D và tính giá trị hàm số các điểm này; 29 (30) TailieuVNU.com (2) Tìm các điểm dừng là các điểm trên biên miền D và tính giá trị hàm số các điểm này; (3) Tính giá trị hàm số các điểm thuộc miền đóng D mà đó hàm số liên tục không khả vi; (4) Chọn GTLN và GTNN tất các giá trị hàm số đã tìm Lưu ý (1) Nên vẽ hình miền D; (2) Tại điểm dừng (là điểm trên biên D) tìm được, không cần phải xác định điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu hàm số, mà cần tính giá trị hàm số điểm này Ví dụ 1.24 (a) Tìm GTLN và GTNN hàm số z = f(x,y) = 8x2 + 3y2 + – (2x2 + y2 + 1)2 miền đóng D = {(x,y)R2 x2 + y2 1} Miền xác định hàm số xét là R2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) xét liên tục với x, y miền xác định nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D f ( x, y) 2 2 x 16 x 2(2x y 1).4x 8x (1 x y ) Ta có hệ phương trình f ( x, y) y 2(2x y 1).2 y y(1 x y ) y để xác định các điểm dừng Hệ phương trình này có nghiệm, tức là có điểm dừng (0,0), 0, , 2 ,0 Cả điểm này là các điểm D và giá trị hàm số f(x,y) tương ứng các điểm này là f (0,0) , f 0, ,0 ,f 2 Bây ta xét giá trị hàm số f(x,y) trên biên miền D, tức là x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = y2 = – x2, vì y2 nên – x2 -1 x 1, đó f(x,y) = 8x2 + 3(1 – x2) + – (2x2 + – x2 + 1)2 = x2(1 – x2) g(x) Ta có g’(x) = -4x3 + 2x = 2x(1 – 2x2), nên điểm dừng là nghiệm phương trình g’(x) = 2x(1 – 2x2) = 0, phương trình này có nghiệm x = và x , và vì y2 = – x2 nên có y 1 và , tương ứng Như vậy, trên biên miền D có điểm dừng 0,1 , y Cả 2 điểm này nằm trên biên miền D và giá trị hàm số f(x,y) tương ứng các điểm này là f 0,1 , f , 2 So sánh tất các giá trị hàm số f(x,y) đã tính trên, ta thấy hàm số f(x,y) ,0 xét có có GTNN = điểm O(0,0) và GTLN = các điểm (b) Tìm GTLN và GTNN hàm số z = f(x,y) = x + y2 – xy + x + y miền đóng D là tam giác giới hạn các đường thẳng x = 0, y = và x + y = -3 Miền xác định hàm số xét là R2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) xét liên tục với x, y miền xác định nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D 30 (31) TailieuVNU.com (1) Đồ thị miền D là tam giác có các đỉnh (-3,0); (0,0); (0,-3) (2) Tìm các điểm dừng miền D f ( x , y) x 2x y Ta có hệ phương trình để xác định các điểm dừng, hệ phương trình f ( x , y ) 2y x y này có nghiệm là (-1,-1), tức là hàm số f(x,y) xét có điểm dừng M(-1,-1) là điểm miền D Tại điểm này ta có f(-1,-1) = -1 (3) Tìm các điểm dừng hàm số f(x,y) trên biên miền D + Khi x = với -3 y tương ứng f(0,y) = y2 + y g(y) với -3 y Ta có g’(y) = 2y + 1, nên điểm dừng là nghiệm phương trình g’(y) = 0, phương trình này có 1 1 1 nghiệm y , điểm dừng này g f 0, 2 2 + Khi y = với -3 x tương ứng f(x,0) = x + x h(x) với -3 x Ta có h’(x) = 2x + 1, nên điểm dừng là nghiệm phương trình h’(x) = 0, phương trình này có 1 1 nghiệm x , điểm dừng này h f ,0 2 + Khi y = -3 – x với -3 x tương ứng f(x,-3 – x) = 3x2 + 9x + k(x) với -3 x Ta có k’(x) = 6x + 9, nên điểm dừng là nghiệm phương trình k’(x) = 0, phương trình này có 3 nghiệm x , điểm dừng này k f ,0 2 (4) Tính giá trị hàm số các điểm miền D mà đấy, hàm số liên tục không khả vi Các điểm này chính là đỉnh tam giác là đồ thị miền D: f(-3,0) = 6; f(0,0) = 0; f(0,-3) = So sánh tất các giá trị hàm số f(x,y) đã tính (2), (3) và (4), thì hàm số f(x,y) xét có GTLN = các điểm (-3,0) và (0,-3) và có GTNN = -1 điểm (-1,-1) 1.5 Ứng dụng phép tính vi phân hình học 1.5.1 Đường và tiếp tuyến đường 1.5.1.1 Đường và tiếp tuyến đường mặt phẳng Ở Trường THPT chúng ta đã biết rằng, hệ tọa độ vuông góc Oxy, đường L là đồ thị hàm số y = f(x) thì phương trình tiếp tuyến điểm M0(x0,y0)L là y – y0 = f’(x0) (x – x0) Tuy nhiên, không phải nào đường L biểu diễn hàm số y = f(x), mà trường hợp tổng quát, đường L biểu diễn, nói chung phương trình f(x,y) = 31 (32) TailieuVNU.com f ( x , y ) f ( x , y ) Điểm M0(x0,y0)L gọi là điểm chính quy và không đồng thời y x f ( x , y ) f ( x , y ) 0, gọi là điểm kỳ dị và đồng thời y x Giả sử điểm M0(x0,y0) là điểm chính quy đường L, đó phương trình tiếp tuyến đường L điểm M0 là f ( x , y0 ) f ( x , y0 ) ( y y0 ) 0 ( x x )f x' ( x , y0 ) ( y y0 )f y' ( x , y0 ) hay ( x x ) x y x x ( t ) Nếu đường L cho dạng tham số với t , đó x(t), y(t) là các hàm y y( t ) số khả vi liên tục trên [,] và các đạo hàm x’(t), y’(t) không đồng thời điểm t[,] x x ( t ) x x y y0 thì phương trình tiếp tuyến đường L điểm M0(x0,y0) với là x ' ( t ) y' ( t ) y y( t ) Ví dụ 1.25 Viết phương trình tiếp tuyến với đường ellip x y2 điểm M0(x0,y0) nằm a b2 trên đường ellip Bài giải Ta giải bài toán này cách x y2 Cách Đường ellip biểu diễn phương trình f ( x, y) nên ta có a b f ( x, y) y f ( x, y) 2x , suy phương trình tiếp tuyến với đường ellip điểm M0(x0,y0) và y a x a f ( x , y0 ) f ( x , y0 ) 2x 2y nằm trên đường ellip là ( x x ) ( y y0 ) ( x x ) 20 ( y y0 ) 20 x y a b xx yy0 x 02 y 02 x0 y0 x 02 y 02 vì điểm M (x ,y ) nằm trên đường ellip nên x y 0 a2 b2 a b2 a2 b2 a b2 x x ( t ) a cos t x y2 Cách Phương trình tham số đường ellip là với t 2, a b y y( t ) b sin t x x ( t ) x x y y0 đó phương trình tiếp tuyến đường ellip điểm M0(x0,y0) là x ' ( t ) y' ( t ) y y( t ) a x ' ( t ) a sin t b y x x y y0 x y x y2 x y với 20 x 20 y 20 20 20 x 20 y a b a b a b a b y' ( t ) b cos t b x y0 x0 0 b a a 1.5.1.2 Đường và tiếp tuyến đường không gian x x ( t ) Trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz, đường L thường cho dạng tham số y y( t ) với z z ( t ) t , đó x(t), y(t), z(t) là các hàm số khả vi liên tục trên [,] và các đạo hàm x’(t), y’(t), z’(t) không đồng thời điểm t[,] thì phương trình tiếp tuyến đường L điểm x x ( t ) x x y y0 z z M0(x0,y0,z0) với y y( t ) là x ' ( t ) y ' ( t ) z ' ( t ) 0 z z ( t ) 32 (33) TailieuVNU.com x x ( t ) t Ví dụ 1.26 Viết phương trình tiếp tuyến đường L cho dạng tham số y y( t ) t với z z ( t ) t t 10 điểm (x0,y0,z0) ứng với t0 = x x (3) Bài giải Ta có y y( t ) 32 và z z( t ) 27 x 3 y9 trình tiếp tuyến đường L là x ' ( t ) x ' (3) y' ( t ) t y' (3) 2.3 đó ta có phương 2 z' ( t ) 3t z' (3) 3.3 27 z 27 27 1.5.2 Mặt và tiếp tuyến mặt, mặt phẳng tiếp xúc Trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz, mặt S biểu diễn phương trình f(x,y,z) = Giả sử M0(x0,y0,z0)S, đó đường thẳng M0T gọi là tiếp tuyến mặt S điểm M0 nó là tiếp tuyến đường nào đó trên mặt S điểm M0 Tại điểm M0 trên mặt S, nói chung có vô số đường thuộc mặt S qua, đó điểm M0 có thể có vô số tiếp tuyến mặt S f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) Điểm M0(x0,y0,z0)S gọi là điểm chính quy , và y x f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) không đồng thời 0, gọi là điểm kỳ dị , và y z x f ( x , y , z ) đồng thời z Định lý Tập hợp tất các tiếp tuyến mặt S điểm chính quy M0(x0,y0,z0)S là mặt phẳng qua điểm M0 Định nghĩa Mặt phẳng chứa tiếp tuyến mặt S điểm M0S gọi là mặt phẳng tiếp xúc mặt S điểm M0 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt S biểu diễn phương trình f(x,y,z) = điểm chính quy M0(x0,y0,z0)S là f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) ( x x ) ( y y ) ( z z ) x y z Ví dụ 1.27 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt S cho phương trình x2 – 4y2 + 2z2 = điểm (2,2,3) Bài giải Viết phương trình mặt S dạng f(x,y,z) = x2 – 4y2 + 2z2 – = Ta có f(2,2,3) = 22 – 4.22 + 2.32 – = nên điểm (2,2,3) thuộc mặt S f ( x , y, z) f (2,2,3) 2x 2.2 x x f ( x , y, z) f (2,2,3) Ta có 8y 8.2 16 đó ta phương trình mặt phẳng y y f ( x , y, z) f (2,2,3) 4x 4.3 12 z z tiếp xúc với mặt S điểm (2,2,3) là 4(x – 2) – 16(y – 2) + 12(z – 3) = hay x – 4y + 3z – = Bài tập 1.1 Tìm miền xác định các hàm số sau (a) f(x,y) = ln(xy) (b) f ( x, y) 33 1 xy xy (34) (c) f ( x, y) x y x y 2 (e) f ( x, y) x ln y (g) f(x,y) = lnx + ln(siny) y 1 (d) f ( x, y) arcsin x (f) f ( x, y) y x2 x (h) f ( x , y) cos y TailieuVNU.com (i) f ( x, y) y x ln( y x ) 1.2 Tìm giới hạn (x,y) (0,0) các hàm số sau x y2 xy (a) f ( x, y) (b) f ( x , y ) x y2 x y4 x y3 (d) f ( x, y) x y2 y (c) f ( x, y) x arctan x (e) f ( x, y) x y2 (1 cos y) y2 (g) f ( x , y) cos x y 2 x y2 (i) f ( x, y) 1 xyx y2 (l) f ( x, y) x sin y y sin x x y2 (n) f ( x, y) x y sin (r) f ( x, y) xy x y cos x y (t) f (x, y) x ln x y yx x y x y2 (h) f ( x, y) xy ( x y) cos(x y) (k) f ( x, y) sin( x y) ln( x e y ) (m) f ( x , y) x y2 (o) f ( x, y) x y sin xy x y3 (p) f ( x, y) x y2 (f) f ( x, y) y cos 1 sin x y sin x y (q) f ( x, y) x y2 (s) f ( x , y) x y xy x xy y (u) f ( x, y) x y x y2 1.3 Tìm giới hạn các hàm số sau sin( xy) (a) lim ( x , y )( , 3) x xy (c) lim ( x , y )( , ) x y (b) (d) xy lim (e) ( x , y )( , ) x y (g) lim ( x , y )( , ) x y e x2 (f) ( xy) lim ( x , y ) ( , ) lim ( x , y )( , ) x y2 ( xy) xy ( x , y )( , ) x xy y (h) lim lim ( x , y ) ( , ) 1.4 Khảo sát liên tục các hàm số sau ( x , y) (0,0) x y sin 2 (a) f ( x , y) x y 0 ( x , y) (0,0) 34 (1 xy) x xy x y2 x y2 x y 2(1 x y ) x y (35) x y3 (b) f ( x , y) x y 0 y x arctan (c) f ( x , y) x 0 TailieuVNU.com ( x , y) (0,0) ( x , y) (0,0) ( x , y) (0,0) ( x , y) (0,0) x sin y y sin x (d) f ( x , y) x y2 0 1.5 Khảo sát liên tục hàm số x sin y x (a) f ( x , y) x y 0 x y (b) f ( x , y) x y 0 ( x , y) (0,0) ( x , y) (0,0) ( x , y) (0,0) điểm gốc tọa độ O(0,0) ( x , y) (0,0) ( x , y) (0,0) trên mặt phẳng R2 ( x , y) (0,0) x 21y2 xy trên mặt phẳng R2 (c) f ( x , y) e xy 0 x xy x y (d) f ( x , y) x y điểm gốc tọa độ O(0,0) 2 a x y f x (u, v), y(u, v) f x (u, v), y(u, v) , các hàm hợp sau u v x x (u , v) cos u 2 (a) z f ( x, y) e x 2 y với y y( u , v) u v x x (u , v) uv 2 (b) z f (x, y) ln x y với u y y(u , v) v u x x ( u , v) (c) z f (x, y) x ln y với v y y( u , v) 3u v x x (u , v) e u y x (d) z f (x, y) xe ye với y y(u , v) u v 1.7 Tính đạo hàm hàm số 1.6 Tính các đạo hàm riêng (a) u = f(x,y,z) = xy2z3 điểm M0(1,2,-1) theo hướng véc tơ M M với M(0,4,-3) z (b) u f ( x , y, z) arcsin điểm M0(1,1,1) theo hướng véc tơ M M với x y2 M(3,2,3) (c) z = f(x,y) = x2 – xy + y2 điểm M(1,1) theo hướng véc tơ v i j 35 (36) TailieuVNU.com x y2 z2 (d) u f ( x, y, z) theo hướng bán kính véc tơ r điểm M(x,y,z) Với điều a b c kiện nào các số dương a, b, c đạo hàm gradf(x,y,z)? 1.8 (a) Cho hàm số u = f(x,y,z) = xsin(yz) Tính gradf(x,y,z) và đạo hàm theo hướng l điểm f (1,3,0) M0(1,3,0) tức là , biết l xác định véc tơ v i j k l (b) Xét hàm số z = f(x,y) = xey điểm M0(2,0) Tính vận tốc biến thiên hàm số f(x,y) theo hướng từ điểm M0 đến điểm M(5,4) Theo hướng nào thì vận tốc biến thiên đó có giá trị tuyệt đối lớn và tính giá trị (c) Tìm độ lớn và hướng gradf(x,y,z) với u = f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 – 3xyz điểm M0(1,2,1) Tại điểm nào thì gradf(x,y,z) vuông góc với trục Oy, điểm nào thì gradf (x,y,z) = 1.9 Tìm vi phân toàn phần cấp các hàm số (a) z = f(x,y) = sin(x2 + y2) (b) z = f(x,y) = ex(cosy + xsiny) x y xy (c) z f ( x, y) arctan xy (d) z f ( x , y) e e (e) u = f(x,y,z) = xey + yez + zex (f) y f ( x, y, z) x y z với x > y x 1.10 Tính đạo hàm các hàm ẩn y = y(x) cho phương trình sau (a) x3y – y3x = a4, tính y’(x) xy y (c) arctan , tính y’(x) a a (b) xey + yex – exy = 0, tính y’(x) y (d) ln x y arctan , tính y’(x) và y”(x) x 1.11 Tìm cực trị hàm số (a) z = f(x,y) = 4(x – y) – x2 – y2 (b) z = f(x,y) = x2 + xy + y2 + x – y + (c) z = f(x,y) = x + y – xey (d) z = f(x,y) = 2x4 + y4 – x2 – 2y2 1.12 Tìm GTLN và GTNN hàm số (a) z = f(x,y) = x2 – y2 miền D = {(x,y)R2 x2 + y2 4} (b) z = f(x,y) = x2y(4 – x – y) miền đóng D giới hạn các đường thẳng x = 0, y = và x +y=6 (c) z = f(x,y) = x2 + xy – 4x + 8y miền đóng D giới hạn các đường thẳng x = 0, x = 1, y = và y = 1.13 Tìm cực trị hàm số (a) z = f(x,y) = xy với điều kiện x + y = (b) z = f(x,y) = xy – x2 – y2 với điều kiện x + y = 1.14 Giải các bài toán cực trị có điều kiện sau đây (a1) Trong tất các tam giác vuông có chung cạnh huyền, tìm tam giác có diện tích lớn (a2) Trong tất các tam giác vuông có diện tích S cho trước, tìm tam giác có cạnh huyền nhỏ (b1) Trong tất các tam giác có cùng chu vi P cho trước, tìm tam giác có diện tích lớn (b2) Trong tất các tam giác có cùng diện tích S cho trước, tìm tam giác có chu vi nhỏ (c1) Trong tất các hình chữ nhật có chu vi P cho trước, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn 36 (37) TailieuVNU.com (c2) Trong tất các hình chữ nhật có diện tích S cho trước, tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ (d1) Trong tất các hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh toàn phần S cho trước, tìm hình hộp có thể tích lớn (d2) Trong tất các hình hộp chữ nhật có thể tích V cho trước, tìm hình hộp có diện tích xung quanh toàn phần nhỏ x x ( t ) t sin t 1.15 Viết phương trình tiếp tuyến đường L cho dạng tham số y y( t ) cos t với z z( t ) sin t t 2 điểm (x0,y0,z0) ứng với t 1.16 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt S cho phương trình (a) z = 2x2 + 4y2 điểm (2,1,12) (b) z = ln(2x + y) điểm (-1,3,0) Phụ lục DẠNG TOÀN PHƯƠNG a 11 a 21 Giả sử x = (x1 x2 … xn) là ma trận cấp (1 x n), A a 31 a n1 a 12 a 13 a 22 a 23 a 32 a 33 a n2 a n3 a 1n a n a 3n là ma trận vuông a nn cấp (n x n) đối xứng (aij = aji với i,j) Biểu thức (x1,x2, …,xn) = xAxt (xt là ma trận chuyển vị ma trận x) gọi là dạng toàn phương n biến x1,x2, …,xn; còn ma trận đối xứng A gọi là ma trận tương ứng dạng toàn phương (x1,x2, …,xn) Vì ma trận A là ma trận đối xứng nên sau thực phép nhân ma trận trên ta n n n ( x1 , x , , x n ) a ij x i x j a ii x i2 i 1 j1 i 1 2a x x 1i jn ij i j a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a n Như vậy, cho ma trận A a 31 a 32 a 33 a 3n là ma trận vuông đối xứng cấp (n a a nn n1 a n a n x n) thì ta xác định dạng toàn phương (x1,x2, …,xn) công thức trên; ngược lại, cho dạng toàn phương thì ta xác định ma trận A là ma trận đối xứng cấp (n x n) tương ứng 3 ; Ví dụ (a) Tìm dạng toàn phương (x1,x2) biết ma trận tương ứng nó là A 6 2 (b) Tìm dạng toàn phương (x1,x2,x3) biết ma trận tương ứng nó là A 5 5 37 (38) TailieuVNU.com Bài giải a 11 (a) Ta có A a 12 ( x1 , x ) a ii x i2 i 1 2a x x 1i j2 ij i j a 12 suy a11 = 3, a12 = và a22 = -2 đó a 22 3x12 2.6x1x 2x 22 3x12 12 x1x 2x 22 a11 (b) Ta có A a12 5 a 13 và a23 = -5 suy ( x1 , x , x ) a ii x i2 i 1 a13 a 23 suy a11 = -2, a22 = 0, a33 = 1, a12 = 4, a13 = a 33 a12 a 22 a 23 2a x x 1i j3 ij i j 2x12 2.0.x 22 1.x 32 2.4x1x 2.(5)x1x 2.3x x 2x x 32 8x1x 6x x 10 x x1 Ví dụ (a) Tìm ma trận A dạng toàn phương (x1 , x ) 5x12 x1x x 22 ; (b) Tìm ma trận A dạng toàn phương (x1 , x , x ) x12 4x 22 2x1x 3x x 5x x1 Bài giải (a) Biến đổi ( x1 , x ) 5x12 x1x x 22 5x12 x1x x 22 A 2 (b) Biến đổi ( x1 , x , x ) x1 4x 2x1x 3x x 5x x1 1 3 2 x1 4x 0.x 2.1.x1x 2 x1x 2. x x A 2 5 2 Dạng toàn phương gọi là 2 4 1 2 (1) xác định dương (x1,x2, …,xn) > với (x1,x2, …,xn)Rn và (x1,x2, …,xn) (0,0,…,0); (2) xác định âm (x1,x2, …,xn) < với (x1,x2, …,xn)Rn và (x1,x2, …,xn) (0,0,…,0); (3) không xác định dương không xác định âm (không xác định dấu) (x1,x2, …,xn) đổi dấu; (4) suy biến (x1,x2, …,xn) = (x1,x2, …,xn) (0,0,…,0) n Định lý Sylvester Xét dạng toàn phương n biến ( x1 , x , , x n ) a ii x i2 i 1 trận tương ứng A = (aij)nxn a 11 a 21 là ma trận đối xứng Ký hiệu A k det a 31 a k1 a 12 a 13 a 22 a 23 a 32 a 33 a k2 a k3 2a x x 1i j n ij j có ma a 1k a k a 3k với k a kk n là các định thức chính ma trận A Khi đó (1) (x1,x2, …,xn) xác định dương Ak > với k n; (2) (x1,x2, …,xn) xác định âm Ak < với k lẻ và Ak > với k chẵn (1 k n) 38 i (39) Chương TÍCH PHÂN BỘI TailieuVNU.com 2.1 Tích phân hai lớp 2.1.1 Định nghĩa và cách tính tích phân hai lớp 2.1.1.1 Định nghĩa Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân hai lớp Giả sử có vật thể hình trụ, phía trên giới hạn mặt cong biểu diễn phương trình z = f(x,y), mặt xung quanh là mặt hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, còn phía giới hạn hình phẳng D nằm mặt phẳng Oxy và gọi là đáy của hình trụ Yêu cầu tính thể tích V vật thể hình trụ này với giả thiết f(x,y) là hàm không âm, xác định và liên tục trên miền D Bài giải Chia D thành n miền nhỏ không dẫm lên (giao hai miền nhỏ tập rỗng) Gọi diện tích n miền nhỏ đó là S1, S2, …, Sn Lấy miền nhỏ là đáy hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với trục Oz và phía trên giới hạn mặt cong biểu diễn phương trình f(x,y) Như vậy, vật thể hình trụ đã chia thành n hình trụ nhỏ Trong miền nhỏ Si (1 i n) ta lấy điểm tùy ý Mi(xi,yi) Ta có tích zi.Si = f(xi,yi).Si là thể tích hình trụ có diện tích đáy Si và chiều cao zi = f(xi,yi) Nếu miền nhỏ Si khá bé, thì hàm f(x,y) liên tục trên D nên giá trị z = f(x,y) xấp xỉ giá trị zi = f(xi,yi) nên có thể coi thể tích hình trụ nhỏ thứ i là Vi f(xi,yi).Si Như vậy, miền nhỏ Si (1 i n) khá bé thì có thể coi thể tích n hình trụ là V f ( x i , yi ).Si i 1 n Tổng f ( x i , yi ).Si có độ chính xác cao (tức là giá trị biểu thức này càng gần thể tích i 1 thực V hình trụ xét) n càng lớn và tất các Si (1 i n) càng bé Do đó, thể tích V n hình trụ xét giới hạn (nếu có) tổng f ( x i , yi ).Si n cùng với đường kính i 1 n miền nhỏ Si (1 i n) bé dần 0, tức là V lim f ( x i , y i ).Si với d max d i , đó di d0 1in i 1 là đường kính miền nhỏ Si (1 i n) (đường kính miền định nghĩa là khoảng cách lớn các điểm trên biên miền ấy) Định nghĩa tích phân hai lớp Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng bị chặn D Chia miền D cách tùy ý thành n miền nhỏ không dẫm lên Gọi diện tích n miền nhỏ đó là S1, S2, …, Sn Trên miền nhỏ n Si (1 i n) ta lấy điểm tùy ý Mi(xi,yi) và lập tổng I n f ( x i , yi ).Si In gọi là tổng tích i 1 phân hàm f(x,y) trên miền D n cho d max d i (trong đó di là đường kính 1in miền nhỏ Si) mà In dần đến giá trị hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mi(xi,yi) trên miền nhỏ Si, thì giá trị hữu hạn này gọi là tích phân hai lớp hàm số f(x,y) trên miền D và ký hiệu là f ( x , y)dS , đó D, f(x,y), dS, x và y gọi là miền D lấy tích phân, hàm số dấu tích phân, vi phân diện tích, các biến lấy tích phân 39 (40) Như vậy, ta có f ( x, y)dS lim I n lim n D TailieuVNU.com n max di 0 f (x , y ).S giới hạn này tồn hữu hạn và i i 1 0i n i i đó ta nói hàm số f(x,y) khả tích trên miền D Nếu hàm số f(x,y) liên tục miền D thì nó khả tích trên miền D Vì tích phân hai lớp tồn thì không phụ thuộc vào cách chia miền D, nên ta có thể chia D lưới các đường thẳng song song với các trục tọa độ Ox, Oy Khi đó, miền nhỏ Si (1 i n) nói chung là hình chữ nhật, đó dS = dxdy nên f ( x , y)dS f ( x , y)dxdy D D Ý nghĩa hình học tích phân hai lớp Nếu hàm số z = f(x,y) > 0, xác định và liên tục với (x,y)D thì giá trị tích phân hai lớp f (x, y)dxdy chính là thể tích V hình trụ có đáy là miền D thuộc mặt phẳng Oxy, mặt xung quanh D là mặt hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, còn mặt trên hình trụ là mặt cong biểu diễn phương trình z = f(x,y) Đặc biệt, f(x,y) = với (x,y)D thì giá lớp f ( x , y)dxdy 1.dxdy dxdy chính là diện tích S miền D D D trị tích phân hai D Các tính chất tích phân hai lớp (1) f (x, y) g(x, y)dxdy f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy D (2) D kf ( x, y)dxdy k f (x, y)dxdy với k là số D (3) D D D D D2 f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy với D D (4) D D1 D2 f ( x, y)dxdy g( x, y)dxdy f(x,y) g(x,y) D D (5) mS f ( x , y)dxdy MS với S là diện tích miền D, m f ( x, y) và M max f ( x, y) D D D (6) Nếu f(x,y) liên tục miền đóng bị chặn D, S là diện tích miền D thì ( x, y) D cho f ( x , y)dxdy f ( x , y).S D 2.1.1.2 Cách tính tích tích phân hai lớp hệ tọa độ Descarter - Miền lấy tích phân là hình chữ nhật D = {(x,y)R2 a x b và c x d} b d d b a c c a f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx (khi D b tính f ( x , y)dx thì coi y là số, còn a d tính f ( x , y)dy thì coi x là số) c 40 (41) b d Nếu f(x,y) = g(x).h(y) thì f ( x , y)dxdy g ( x )dx h ( y)dy D a c TailieuVNU.com 0 x Ví dụ 2.1 Tính tích phân I xydxdy trên miền D xác định 1 y D Ta có thể tính I cách 1 xy 2 3x 3x dx dx (C1) I xydxdy dx xydy 4 D 0 2 x y y y2 dx dy (C2) I xydxdy dy xydx 4 4 D 1 0 1 x y 3 (C3) I xydxdy xdx ydy 2 D 0 2 2 - Miền lấy tích phân là không phải là hình chữ nhật + Trường hợp D = {(x,y)R2 a x b và y1(x) y y2(x)}: b y2 ( x ) a y1 ( x ) f (x, y)dxdy dx D f ( x, y)dy + Trường hợp D = {(x,y)R2 x1(y) x x2(y) và c y d}: d x2 ( y) c x1 ( y ) f (x, y)dxdy dy f ( x, y)dx D Ví dụ 2.2 Tính tích phân I x ydxdy trên miền D xác định tam giác ABC với A(0,0), D B(1,0), C(1,1) 41 (42) TailieuVNU.com 0 x Đường thẳng AC có phương trình y = x nên miền D xác định Ta có thể 0 y x tính I cách 1 x 1 2 x x y x4 x5 2 dx dx (C1) I x ydxdy dx x ydy 10 10 D 0 0 0 1 1 y y5 x y y y4 1 2 dy dy (C2) I x ydxdy dy x ydx 15 15 10 D y 0 y + Trường hợp D là miền đóng nội tiếp hình chữ nhật {x = a, x = b, y = c, y = d}, đó các điểm tiếp xúc M, Q, P, N có thể là đoạn thẳng Để tính f (x, y)dxdy , tùy theo miền D, ta có thể sử dụng hai công thức D b y2 ( x ) a y1 ( x ) d x2 ( y) c x1 ( y ) f (x, y)dxdy dx f ( x, y)dy (trường hợp 1), f (x, y)dxdy dy f ( x, y)dx (trường hợp 2) D D cho việc thực đơn giản - Nếu cung MNP biểu diễn phương trình y = y1(x), còn cung MQP biểu diễn b y2 ( x ) a y1 ( x ) phương trình y = y2(x) thì f ( x , y)dxdy dx D f (x, y)dy - Nếu cung QMN biểu diễn phương trình x = x 1(y), còn cung QPN biểu diễn d x2 ( y) c x1 ( y ) phương trình x = x2(y) thì f ( x , y)dxdy dy D Ví dụ 2.3 Tính tích phân I D f ( x, y)dx x2 dxdy trên miền D giới hạn các đường x = 2, y = x và y2 y x 42 (43) TailieuVNU.com 1 x Miền D xác định là và có hình vẽ tương ứng Ta có thể tính I cách: y x x x x 2 x4 x2 x2 x2 x dx x x dx (C1) I dxdy dx dy y y y 1 D 1x 1 1x 1 y (C2) Chia miền D thành hai miền nhỏ: Miền D1 xác định là và miền D2 1 x y 1 y x2 x2 x2 x2 xác định là Khi đó I dxdy dxdy dxdy dy dx y y y y y x D D1 D2 12 1y x3 x2 dy dx 1 y y 1 2 3y 2 2 dy x 1 3y 1y 2 dy dy y dy 3y 3y5 1 3y 2 y 12 2 y2 3y 12 y 3y Rõ ràng là, với miền D cho ví dụ này, việc sử dụng công thức d x2 ( y) c x1 ( y ) f (x, y)dxdy dy f ( x, y)dx (trường hợp 2) có khối lượng tính toán cồng kềnh việc sử dụng D công thức b y2 ( x ) a y1 ( x ) f (x, y)dxdy dx f ( x, y)dy (trường hợp 1) D Nhận xét Nếu biết các cận tích phân hai lớp, ta có thể suy miền lấy tích phân D, đó có thể đổi thứ tự lấy tích phân 2 x2 Ví dụ 2.4 Đổi thứ tự lấy tích phân tích phân I dx f ( x , y)dy Từ các cận tích phân I này, ta có thể xác định miền D là miền giới hạn các đường {x = -2, x = 2, y = x2, y = 4} và vẽ miền D sau: 43 (44) TailieuVNU.com Hai đường y = 4, y = x2 cắt hai điểm x = 2, đó đổi thứ tự lấy tích phân ta 4 y 2 x2 y I dx f ( x , y)dy dy f ( x , y)dx Ví dụ 2.5 Tính tích phân D xdxdy 1 y trên miền đóng D = {(x,y)R2 | ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1} Căn vào hình vẽ miền đóng D, tích phân I có thể tính theo thứ tự lấy tích phân khác nhau: y y 1 1 xdy xdx xdx I dx I dy Nhận xét rằng, tính I dy đơn giản hơn! 2 1 y 1 y 1 y2 x 0 0 y 0 I dy y y xdx 0 xdx dy 0 y y x2 1 dy y dy d y 0 y 0 y y 1 y3 60 d 1 y 1 y3 1 1 y3 1 1 0 Ví dụ 2.6 Tính tích phân I dy e x dx 2y Nhận xét: Các nhà toán học đã chứng minh rằng, biểu thức dấu tích phân tích 2 phân e x dx không có nguyên hàm sơ cấp, tức là nguyên hàm tích phân e x dx không thể biểu 2 2y 2y x diễn qua các hàm số sơ cấp Ta thử thay đổi thứ tự lấy tích phân này thành I dx e x dy và ta dễ dàng x phân e x dy ye x 2 x tính 2 x2 1 ex xe I xe x dx e x d x 2 40 0 tích e4 1 2.1.2 Phép đổi biến tích phân hai lớp, tọa độ cực 2.1.2.1 Công thức đổi biến tích phân hai lớp Xét tích phân hai lớp f ( x , y)dxdy , đó hàm số f(x,y) liên tục trên miền đóng D Giả sử ta D x x ( u , v) thực phép đổi biến với các giả thiết y y( u , v) 44 (45) TailieuVNU.com (1) Các hàm x(u,v), y(u,v) là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng cấp x (u, v) x (u, v) y(u, v) y(u, v) liên tục trên miền đóng D’ = {(u,v)R2} nào đấy; , , , u v u v x x ( u , v) (2) Phép đổi biến là ánh xạ 1-1 từ miền D lên miền D’; y y( u , v) x (u , v) (3) Định thức Jacobi J det u y(u , v) u Khi đó ta có x (u , v) v miền D’ y(u , v) v f ( x, y)dxdy f x (u, v), y(u, v) J dudv D D' Ví dụ 2.7 Tính tích phân I (3x xy)dxdy trên miền D là hình bình hành giới hạn các D đường thẳng {x + 2y = 2, x + 2y = 4, 3x – y = 0, 3x – y = 3} Nếu tính tích phân này hệ tọa độ Oxy thì việc chia miền các đường song song với các trục tọa độ là phức tạp, dẫn đến việc tính toán cồng kềnh, đó ta thực phép đổi biến x u v u x y 7 , dễ thấy rằng, phép đổi biến này là ánh xạ 1–1 từ miền D lên miền D’ v 3x y v u v 7 2 u xác định hình chữ nhật hệ tọa độ Ouv Phép biến đổi này có định thức 0 v x (u , v) Jacobi là J det u y(u , v) u x ( u , v) v y(u , v) v 7 đó I (3x xy)dxdy D 1 3404 1 2 du 0 3 u v 4 u v u v dv 343 2.1.2.2 Tính tích phân hai lớp tọa độ cực 45 (46) TailieuVNU.com Công thức liên hệ tọa độ Descarter (x,y) và tọa độ cực (r,) cùng điểm M(x,y) x x (r, ) r cos là Nếu r > và 2 thì công thức đổi biến trên xác định ánh xạ 1-1 y y(r, ) r sin tọa độ Descarter và tọa độ cực, riêng điểm gốc tọa độ O(0,0) tương ứng với r = và tùy ý x (r, ) x (r, ) r cos r sin Ta có J det r trừ điểm gốc tọa độ O(0,0); đó ta y(r, ) y(r, ) sin r cos r có công thức đổi biến f (x, y)dxdy f r cos , r sin rdrd , đó D’ là miền lấy tích phân D D' tương ứng hệ tọa độ cực Ví dụ 2.8 Tính tích phân I ydxdy trên miền D là phần tư đường tròn có tâm gốc tọa D độ, bán kính R nằm góc vuông thứ hệ tọa độ Descarter x r cos 0 r R Đổi biến suy miền D’ là hình chữ nhật hệ tọa độ cực nên việc y r sin 0 R tính tích phân đơn giản Ta có I ydxdy r sin .rdrd r dr sin D D' 0 r3 3 R cos R Ví dụ 2.9 Tính tích phân I x y dxdy trên miền đóng D = {(x,y)R2 | x2 + y2 ≤ 4} D Miền D là hình tròn tâm có bán kính R = Nhận xét rằng, hàm dấu tích phân là hàm số chẵn với hai biến x, y; miền D là miền đối xứng qua tâm O đồng thời đối xứng qua 46 (47) TailieuVNU.com các trục tọa độ Ox và Oy, nên I 4 x y dxdy với D1 là phần tư hình tròn thuộc góc D1 vuông thứ hệ trục tọa độ Oxy: D1 ( x, y) R x & y x Do đó I dx 4 x x y dy , nhiên việc tính tích phân này là không đơn giản x r cos Ta đổi biến từ hệ tọa độ Descarter (x,y) sang hệ tọa độ cực (r,): J r , miền D1 y r sin x y2 r trở thành miền D' (r, ) R r & và 2 12 1 I d r r dr r d r 4 r2 2 0 20 1 2.1.3 Ứng dụng hình học tích phân hai lớp 2 2 1 16 2.1.3.1 Tính diện tích hình phẳng S dxdy là diện tích miền lấy tích phân D D Ví dụ 2.10 Tính diện tích S miền phẳng giới hạn các đường y = x và y = – x2 Các đường y = x và y = – x2 cắt điểm (1,1); (-2,-2) và miền D xác định là 2 x x nên diện tích miền D là S dxdy dx dy (2 x x )dx x y x D 2 x 2 x3 x2 x 2 2.1.3.2 Tính diện tích mặt cong Nếu mặt cong z = f(x,y) có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng tọa độ Oxy là miền đóng D, còn f ( x, y) f ( x, y) hàm số f(x,y) và các đạo hàm riêng liên tục trên miền D thì diện tích S mặt cong , x y f ( x , y) f ( x , y) z = f(x,y) tính công thức S dxdy x y D Vì vai trò x, y, z là nên tương tự, với mặt cong x = f(y,z) có hình chiếu vuông góc f ( y, z) f ( y, z) lên mặt phẳng tọa độ Oyz là miền đóng D, còn hàm số f(y,z) và các đạo hàm riêng , y z liên tục trên miền D thì diện tích mặt cong x = f(y,z) tính công thức 2 S D f ( y, z) f ( y, z) 1 dydz ; với mặt cong y = f(x,z) có hình chiếu vuông góc lên mặt y z 47 (48) TailieuVNU.com f ( x, z) f ( x, z) phẳng tọa độ Oxz là miền đóng D, còn hàm số f(x,z) và các đạo hàm riêng liên tục , x z trên miền D thì diện tích mặt cong y = f(x,z) tính công thức S D 2 f ( x , z) f ( x , z) 1 dxdz x z Ví dụ 2.11 Tính diện tích phần mặt cong z = x2 + y2 bị cắt mặt trụ x2 + y2 = Hình chiếu phần mặt cong z = f(x,y) = x + y2 lên mặt phẳng Oxy là hình tròn x2 + y2 và là miền lấy tích phân D tích phân S D f ( x , y) f ( x , y) 1 dxdy x y (2x ) (2 y) dxdy 4x y dxdy Để tính tích phân này, ta đổi biến tọa độ Descarter 2 D D x r cos (x,z) sang tọa độ cực (r,): với J = r, đó miền đóng D là hình tròn x2 + y2 hệ y r sin 0 r tọa độ Descarter trở thành miền đóng D’ là hình chữ nhật hệ tọa độ cực 0 2 Suy S x y dxdz D 2 D' 4r cos 4r sin rdrd d 4r rdr 1 1 1 4r 2 d 4r 2 4r 0 1 2.1.3.3 Tính thể tích vật thể 1 1 4r 5 1 Trường hợp Thể tích V hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, có mặt đáy là hình phẳng D mặt phẳng Oxy và mặt trên là mặt cong z = f(x,y) liên tục trên miền D; tính công thức V f ( x , y)dxdy D 48 (49) TailieuVNU.com Trường hợp Thể tích V vật thể có đường sinh song song với trục Oz, còn mặt và mặt trên vật thể tương ứng là mặt cong z = f1(x,y) và mặt cong z = f2(x,y), đó f1(x,y) và f2(x,y) là các hàm số liên tục trên miền D, với D là hình chiếu vuông góc vật thể lên mặt phẳng Oxy; tính công thức V f ( x , y) f1 ( x , y) dxdy D Lưu ý (1) Nếu vật thể có tính đối xứng thì cần tính thể tích phần nó suy thể tích vật thể; (2) Nếu vật thể có dạng không thuộc hai trường hợp trên thì chia vật thể thành các phần nhỏ các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ chứa trục Oz, đó các phần nhỏ vật thể có dạng thuộc trường hợp trên, tính thể tích phần xong cộng lại (3) Giao tuyến hai mặt cong z = f1(x,y), z = f2(x,y) là đường cong có phương trình xác z f1 ( x , y ) định từ hệ phương trình Muốn tìm hình chiếu vuông góc nó xuống mặt phẳng tọa độ z f ( x , y ) Oxy ta khử z từ hệ phương trình (4) Vì vai trò x, y và z là nên hình trụ có các đường sinh song song với trục Ox Oy thì đổi vai trò x với z y với z các công thức trên Ví dụ 2.12 Tính thể tích V hình trụ giới hạn các mặt x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 2z, z = x y x y Xác định giao tuyến suy vật thể có đáy là hình tròn x2 + y2 x y 2z z x y2 mặt phẳng tọa độ Oxy và mặt trên có phương trình là z f ( x, y) , đó thể tích V vật thể tính theo công thức Trường hợp là x y2 V f ( x, y)dxdy dxdy x y dxdy với D là hình tròn x2 + y2 2 D D D x r cos Để tính tích phân trên ta đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,): với J = r, y r sin đó miền đóng D là hình tròn x2 + y2 hệ tọa độ Descarter trở thành miền đóng D’ là hình 0 r chữ nhật hệ tọa độ cực, đó V x y dxdy D 0 2 2 r4 4 1 2 (r cos ) (r sin ) rdrd r 3dr D' 20 2.2 Tích phân ba lớp 2.2.1 Định nghĩa và cách tính tích phân ba lớp 2.2.1.1 Định nghĩa 49 2.8 4 0 (50) TailieuVNU.com Cho hàm số f(x,y,z) xác định miền hữu hạn V không gian R3 Chia miền V cách tùy ý thành n miền nhỏ không dẫm lên Gọi thể tích n miền nhỏ đó là V1, V2, …, Vn Trong miền nhỏ Vi (1 i n) ta lấy điểm tùy ý Mi(xi,yi,zi) và lập n tổng I n f ( x i , y i , z i ).Vi In gọi là tổng tích phân hàm số f(x,y,z) trên miền V n i 1 cho d max d i (trong đó di là đường kính miền nhỏ Vi) mà In dần đến giá trị hữu 1in hạn không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách lấy điểm Mi(xi,yi,zi) trên miền nhỏ Vi, thì giá trị hữu hạn này gọi là tích phân ba lớp hàm số f(x,y,z) trên miền V và ký hiệu là f ( x, y, z)dV ; đó V, f(x,y,z), dV, x, y và z gọi là miền lấy tích phân, hàm số V dấu tích phân, vi phân thể tích, các biến lấy tích phân Như vậy, ta có f ( x, y, z)dV lim I n lim n V max di 0 0i n n f (x , y , z ).V giới hạn này tồn hữu i 1 i i i i hạn và đó ta nói hàm số f(x,y,z) khả tích trên miền V Nếu hàm số f(x,y,z) liên tục miền V thì nó khả tích trên miền V Tích phân ba lớp có đầy đủ các tính chất tích phân hai lớp Vì tích phân ba lớp tồn thì không phụ thuộc vào cách chia miền V, nên ta có thể chia V lưới các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz Khi đó, miền nhỏ Vi (1 i n) nói chung là hình hộp chữ nhật, đó dV = dxdydz nên f (x, y, z)dV f (x, y, z)dxdydz V V Ý nghĩa vật lý tích phân ba lớp Nếu hàm số f(x,y,z) > [xác định và liên tục với (x,y,z)V] là khối lượng riêng điểm (x,y,z) vật thể có thể tích V thì giá trị tích phân ba lớp f ( x , y, z)dxdydz là khối lượng V vật thể Đặc biệt, f(x,y,z) = với (x,y,z)V thì giá trị lớp f ( x, y, z)dxdydz 1.dxdydz dxdydz chính là thể tích vật thể V V tích phân ba V 2.2.1.2 Cách tính tích phân ba lớp hệ tọa độ Descarter Giả sử miền lấy tích phân V giới hạn các mặt có các phương trình z = z 1(x,y), z = z2(x,y) tương ứng Gọi miền phẳng D là hình chiếu V lên mặt phẳng tọa độ Oxy Giả sử z 1(x,y), z2(x,y) là các hàm số liên tục và z1(x,y) z2(x,y) với (x,y)D Nếu từ điểm M(x,y)D vẽ đường thẳng song song với trục tọa độ Oz, đường thẳng này cắt các mặt z = z1(x,y), z = z2(x,y) các điểm P1, P2 tương ứng; điểm M thay đổi miền D thì các điểm P1, P2 thay đổi tương ứng với độ cao P1P2 = z với z1(x,y) z z2(x,y) 50 (51) TailieuVNU.com Khi đó, f(x,y,z) là hàm số liên tục với (x,y,z)V thì tích phân ba lớp f ( x, y, z)dxdydz V z2 ( x ,y ) z2 ( x,y) z1 ( x , y ) z1 ( x , y ) dxdy f (x, y, z)dz Khi tính tích phân f ( x, y, z)dz thì coi các biến x, y là các số D z2 ( x ,y ) f (x, y, z)dz F(x, y) Đặt z2 ( x ,y ) dxdy f (x, y, z)dz F( x, y)dxdy , thì z1 ( x , y ) phân ba lớp D z1 ( x , y ) f ( x, y, z)dxdydz tiếp tục việc tính tích phân hai lớp F( x, y)dxdy đã biết D V Đặc đó việc tính tích D biệt, vật thể b d f a c e là hình hộp chữ nhật {a x b, c y d, e z f } thì f (x, y, z)dxdydz dx dy f (x, y, z)dz V Ví dụ 2.13 Tính tích phân I zdxdydz trên miền V là miền giới hạn các mặt phẳng x = V 0, y = 0, z = và x + y + z = Ta có z = z1(x,y) = 0, z = z2(x,y) = – x – y và gọi D là hình chiếu mặt phẳng x + y + z = lên mặt phẳng tọa độ Oxy thì D = {(x,y)R2 x và y – x}, đó 1 x y 1 x z 1x y dxdy (1 x y) dxdy dx (1 x y) dy I zdxdydz dxdy zdz 2 0 0 V D D D 1 1 1 1 x (1 x y) dx (1 x ) dx (1 x ) 60 60 24 24 2.2.2 Phép đổi biến tích phân ba lớp, tọa độ trụ và tọa độ cầu 2.2.2.1 Công thức đổi biến tích phân ba lớp Xét tích phân ba lớp f ( x , y, z)dxdydz , đó hàm số f(x,y,z) liên tục trên miền đóng V Giả V x x (u, v, w ) sử ta thực phép đổi biến y y(u, v, w ) với các giả thiết z z(u , v, w ) (1) Các hàm x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng cấp x (u, v, w ) x (u, v, w ) x (u, v, w ) y(u, v, w ) y(u, v, w ) y(u, v, w ) z(u, v, w ) z(u, v, w ) , , , , , , , và u v w u v w u v z(u, v, w ) liên tục trên miền đóng V’ = {(u,v,w)R3} nào đấy; w x x (u, v, w ) (2) Phép đổi biến y y(u, v, w ) là ánh xạ 1-1 từ miền V lên miền V’; z z(u , v, w ) 51 (52) x (u, v, w ) u y(u , v, w ) (3) Định thức Jacobi J det u z(u , v, w ) u TailieuVNU.com x (u , v, w ) w y(u , v, w ) miền V’ w z(u, v, w ) w Khi đó ta có f ( x, y, z)dxdydz f x (u, v, w ), y(u, v, w ), z(u, v, w ) J dudvdw V x (u , v, w ) v y(u , v, w ) v z(u , v, w ) v V' Ví dụ 2.14 Tính thể tích vật thể V là miền giới hạn các mặt phẳng {x + y + z = 3, x + 2y – z = 1, x + 4y + z = 2} Ta có thể tích vật thể là V dxdydz , đây vật thể là hình hộp xiên giới hạn các V mặt phẳng {x + y + z = 3, x + 2y – z = 1, x + 4y + z = 2} nên để tính tích phân ba lớp đơn u x y z x u v w giản ta dùng phép đổi biến v x y z y u w đó ta tính định thức w x y z z u v w 1 x x x 2 u u v w y y y 1 Jacobi là J det và miền V’ là v u v w 3 w z z z 1 u v w 1 V dxdydz dudvdw du dv dw 6.2.4 6 3 1 2 V V' 2.2.2.2 Tính tích phân ba lớp tọa độ trụ Tọa độ trụ điểm M(x,y,z) hệ tọa độ Descarter vuông góc Oxyz là ba số (r,,z) đó (r,) là tọa độ cực điểm M’(x,y) (là hình chiếu điểm M xuống mặt phẳng tọa độ Oxy) Khi đó, ta có công thức liên hệ tọa độ Descarter (x,y,z) và tọa độ trụ (r,,z) cùng x r cos r điểm MR là y r sin với 0 2 , còn miền V hệ tọa độ Descarter biến thành miền z z z V’ hệ tọa độ trụ x ,r x , x ,z cos r sin Định thức Jacobi là J det y ,r y , y ,z sin r cos r , đó theo công thức đổi , , , 0 zr z zz biến tích phân ba lớp từ trường hợp tổng quát áp dụng cho trường hợp này là f (x, y, z)dxdydz f (r cos , r sin , z)rdrddz V V' 52 (53) TailieuVNU.com Ví dụ 2.15 Tính I x y dxdydz với V là miền giới hạn mặt trụ x2 + y2 = 2x, y và V các mặt phẳng z = 0, z = a (a > 0) x r cos Đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y,z) sang tọa độ trụ (r,,z) y r sin đó J = r, x2 + y2 = r2 z z Trong hệ tọa độ Descarter hình chiếu vật thể V lên mặt phẳng tọa độ Oxy là miền D là nửa trên hình tròn (x – 1)2 + y2 (y 0) nên hệ tọa độ trụ miền D’ xác định sau: x r cos - Đối với tọa độ r: Thay vào phương trình hình tròn (x – 1)2 + y2 ta r2 y r sin – 2rcos r 2cos; - Đối với tọa độ : /2 - Còn độ cao vật thể V là z a a a 2 cos 2 0 I drd r rdz r drd dz z r drd a r drd a d D' a D' 3 D' D' 2 r a 4 r dr a r4 4 cos d 2 2 2 d 4a cos d 4a cos 2 d a cos 2 cos 2 d 0 0 0 2 2 2 3 cos 4 cos 4 3 a 1 cos 2 d a cos 2 d a d cos 2d (2) 2 cos 2 3a 3 cos d ( ) a sin 2 sin 4 0 2 0 2 2.2.2.3 Tính tích phân ba lớp tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M(x,y,z) hệ tọa độ Descarter vuông góc Oxyz là ba số (r,,) đó r = OM, là góc trục Ox và OM ' (M’ là hình chiếu M lên mặt phẳng tọa độ Oxy), là góc trục Oz và OM Khi đó, ta có công thức liên hệ tọa độ Descarter (x,y,z) và tọa độ cầu x r sin cos r (r,,) cùng điểm MR3 là y r sin sin với 0 , còn miền V hệ tọa độ z r cos 0 2 Descarter biến thành miền V’ hệ tọa độ cầu 53 (54) TailieuVNU.com x ,r x , x , sin cos r cos cos r sin sin Định thức Jacobi là J det y ,r y , y , sin sin r cos sin r sin cos r sin , , , , cos r sin zr z z đó theo công thức đổi biến tích phân ba lớp từ trường hợp tổng quát áp dụng cho trường hợp này là f ( x, y, z)dxdydz f (r sin cos , r sin sin , r cos )r sin drdd V V' Ví dụ 2.16 Tính I z dxdydz với V là miền giới hạn x2 + y2 + z2 4, z V Đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y,z) sang tọa độ cầu (r,,) x r sin cos 3 y r sin sin đó J = r sin, z = r cos z r cos Trong hệ tọa độ Descarter hình chiếu vật thể V lên mặt phẳng tọa độ Oxy là miền D là hình vành khăn x2 + y2 (ứng với z = 0), nên hệ tọa độ cầu miền V’ xác định sau: x r sin cos - Đối với tọa độ r: Thay vào các bất phương trình x2 + y2 + z2 ta y r sin sin r r 2; - Đối với tọa độ : /2 vì z 0; - Đối với tọa độ : 2 2 1 r I drd r cos .r sin d Trong đó miền D’ là D' cos r drd D' r drd 0 cos sin d D' r drd 0 cos d(cos ) D' 2 1 r 63 63 5 r drd d r dr 2 6 4 D' 40 12 1 2.2.2 Ứng dụng hình học tích phân ba lớp 2 2 2.2.2.1 Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể là V dxdydz V 2.2.2.2 Tính khối lượng vật thể Nếu vật thể có khối lượng riêng điểm (x,y,z) là f(x,y,z) thì khối lượng vật thể là m f ( x, y, z)dxdydz V Ví dụ 2.17 Giả sử có vật thể là hình chóp tam giác giới hạn các mặt phẳng {x + y + z =1, x = 0, y = 0, z = 0} (a) Tính thể tích hình chóp tam giác này; 54 (55) TailieuVNU.com (b) Vật thể có khối lượng m bao nhiêu khối lượng riêng điểm (x,y,z) vật thể là f(x,y,z) = xy (a) Ta có z = z1(x,y) = 0, z = z2(x,y) = – x – y và gọi D là hình chiếu mặt phẳng x + y + z = lên mặt phẳng tọa độ Oxy thì D = {(x,y)R2 x và y – x}, đó dz z 1 x y V dxdydz dxdy V D 2 0 y xy y 1 x 1 x y dxdy (1 x y)dxdy dx (1 x y)dy D D 1 x 0 1 1 1 dx x x dx x x x 2 0 2 0 xydz xyz 1 x y (b) Ta có m xydxdydz dxdy V D D 1 x y dxdy xy(1 x y)dxdy D 1 x 1 x 1 x 1 2 3 2 dx xy ( x y ) dy dx ( xy x y xy ) dy xy x y xy dx 0 0 0 0 0 2 1 11 ( x 3x 3x x )dx x x x x 60 62 120 Ví dụ 2.18 Tính thể tích vật thể V giới hạn các mặt x2 + y2 = hz, z = h Vật thể giới hạn paraboloit z = (x2 + y2)/h và giới hạn trên mặt phẳng z = h Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng tọa độ Oxy là hình phẳng D là hình tròn x2 + y2 h2 x r cos Đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y,z) sang tọa độ trụ (r,,z): y r sin đó J = r và miền V’ z z xác định sau: x r cos - Đối với tọa độ r: Thay vào phương trình hình tròn x2 + y2 h2 ta r2 h2 y r sin r h; - Đối với tọa độ : 2 x r cos - Đối với tọa độ z: Thay vào phương trình mặt z = (x2 + y2)/h vật thể ta y r sin z = r2/h, còn phương trình mặt trên vật thể là z = h 55 (56) 2 h 2 h h V dxdydz rdrddz d dr rdz d rz r h V V' 0 r2 h h 2 TailieuVNU.com r2 dr d r h dr h 0 h hr r h h h 2 h3 h 0 4h d 0 d 2 0 2 Bài tập 2.1 Tính các tích phân hai lớp trên miền tương ứng (a) I xydxdy , D = {(x,y) R2 | y = 1, y = 3, y = x, y = x + 1} D (b) I ( x y)dxdy , D = {(x,y) R2 | y = 0, y = x2, y + x = 2} D (c) I xydxdy , D = {(x,y) R2 | xy = 1, xy = 3, y2 = 2x, y2 = 4x} D xy (d) I e x y dxdy D = {(x,y) R2 | x 0, y 0, x + y 1} D (e) I x y dxdy , D = {(x,y) R2 | x2 + y2 2Rx (R > 0)} D (f) I x y dxdy , D ( x, y) R x y 4 D y2 x y2 x D ( x , y ) R 1 dxdy , 2 2 a b a b D 2 (h) I ( x y)dxdy , D = {(x,y) R | (x 3) ( y 2) } (g) I D (i) I x y dxdy , D = {(x,y) R2 | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} D (j) I (2 x y)( x y)dxdy , E là hình vuông ABCD có các đỉnh A(1,0); B(3,1); C(2,3); E D(0,2) 2.2 Đổi thứ tự lấy tích phân các tích phân sau 2 x2 (a) dx f ( x , y)dy (c) dx 2y (b) dy f ( x, y)dx 2x 1 1 y 2 y (d) dy f ( x, y)dy 2x x f (x, y)dx 2.3 Tính diện tích các hình phẳng giới hạn các đường (a) {y = x2, x = y2} (b) {x = 4y – y2, x + y = 6} (c) {xy = 1, x + y = 5/2} (d) {y2 = 2x, y2 = 3x, x2 = y, x2 = 4y} 16 x 8x x 2.4 Đổi thứ tự tính tích phân I dx 1 x f (x, y)dy và tính I với f(x,y) = 3(x +y) 2.5 Tính tích phân I dx sin( y )dy 56 (57) TailieuVNU.com 2.6 (a) Tính tích phân I x y z dxdydz , miền V là hình hộp chữ nhật xác định các bất V đẳng thức {0 x a, y b, z c} Tính thể tích miền V dxdydz , miền V là miền giới hạn các mặt phẳng tọa độ và V (1 x y z ) mặt phẳng x + y + z = Gọi điểm gốc hệ tọa độ là O, và các điểm A, B, C tương ứng là các điểm giao các trục tọa độ Ox, Oy, Oz với mặt phẳng x + y + z = Tính diện tích tam giác ABC và thể tích miền V – chính là thể tích tứ diện OABC So sánh kết tính với kết tính theo công thức cổ điển (b) Tính tích phân I (c) Tính tích phân I zdxdydz , miền V là nửa hình cầu giới hạn các mặt z = và v z R x y Tính diện tích xung quang và thể tích miền V So sánh kết tính với kết đã biết trường trung học 2 (d) Tính tích phân I x dxdydz , miền V là hình cầu x2 + y2 + z2 R2 Tính diện tích xung V quanh và thể tích hình cầu V So sánh kết tính với kết đã biết trường trung học (e) Tính tích phân I x y z dxdydz , miền V là hình cầu x2 + y2 + z2 x Tính diện V tích xung quanh và thể tích hình cầu V So sánh kết tính với kết đã biết trường trung học 57 (58) Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT TailieuVNU.com 3.1 Tích phân đường loại 3.1.1 Định nghĩa tích phân đường loại Bài toán vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại Giả sử mặt phẳng tọa độ Oxy có sợi dây AB mảnh (chỉ có độ dài, còn tiết diện không đáng kể - coi không có kích thước) có khối lượng riêng điểm (x,y)AB biểu diễn hàm số f(x,y) đơn trị, liên tục và không âm Yêu cầu tìm khối lượng m sợi dây AB Để tính m, ta thực sau: Chia tùy ý AB thành n cung nhỏ không dẫm lên các điểm A A1, A2, …, An-1, An B và ký hiệu độ dài cung nhỏ Ai-1Ai là si (1 i n) Trên cung Ai-1Ai lấy tùy ý điểm (xi,yi), cung Ai-1Ai đủ nhỏ thì ta có thể coi giá trị f(xi,yi) không đổi trên cung Ai-1Ai; đó, khối lượng cung nhỏ Ai-1Ai là mi f(xi,yi).si Như vậy, cung Ai-1Ai (1 i n) đủ nhỏ thì có thể coi khối lượng sợi dây AB là m = m1 + m2 + … + mn f(x1,y1).s1 + n f(x2,y2).s2 + … + f(xn,yn).sn = f ( x i , y i ).s i i 1 n Tổng f ( x i , y i ).s i có độ chính xác cao (tức là giá trị biểu thức này càng gần khối lượng i 1 thực m sợi dây AB) n càng lớn và tất các si (1 i n) càng bé Do đó, khối lượng m n sợi dây AB giới hạn (nếu có) tổng f ( x i , y i ).s i n cùng với độ dài cung i 1 n nhỏ si (1 i n) bé dần 0, tức là m lim f ( x i , y i ).s i đó max s i 0 1in i 1 Định nghĩa tích phân đường loại Cho đường cong phẳng L là cung AB thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy và hàm số f(x,y) xác định, đơn trị và liên tục với (x,y)AB Chia tùy ý cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên các điểm A A1, A2, …, An-1, An B và ký hiệu độ dài cung nhỏ Ai-1Ai là si (1 i n) Trên cung n Ai-1Ai lấy tùy ý điểm (xi,yi) và lập tổng I n f ( x i , y i ).s i i 1 Nếu n cho max s i mà In I là giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào 1in cách chia cung AB và cách lấy điểm (xi,yi) trên cung nhỏ Ai-1Ai thì giá trị hữu hạn I gọi tích phân đường loại hàm số f(x,y) trên cung AB (hay trên đường cong L) và ký hiệu là n I f ( x, y)ds f ( x, y)ds lim I n lim f ( x i , y i ).s i AB n L 0 i 1 Khi đó hàm số dấu tích phân f(x,y) gọi là khả tích trên cung AB (hay trên đường cong L), còn ds gọi là vi phân cung Nếu hàm số f(x,y) đơn trị và liên tục với (x,y)L thì nó khả tích trên đường cong L Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa tích phân đường loại trên đường cong L không gian chiều, tức là I f ( x , y, z)ds L 3.1.2 Tính chất tích phân đường loại Tích phân đường loại không phụ thuộc vào cách chọn hướng cung AB, mà phụ thuộc vào cung AB và hàm số f(x,y), tức là f ( x , y)ds f ( x , y)ds AB BA Các tính chất khác tích phân đường loại giống các tính chất tích phân xác định 58 (59) TailieuVNU.com 3.1.3 Cách tính tích phân đường loại (1) Nếu cung phẳng AB cho phương trình y = y(x) với a x b thì b f (x, y)ds f x, y(x ) y' (x ) dx AB a tương tự, cung phẳng AB cho phương trình x = x(y) với c y d thì d f (x, y)ds f x ( y), y x ' ( y) dy AB c x x ( t ) (2) Nếu cung phẳng AB cho dạng tham số với t thì y y( t ) f (x, y)ds f x (t ), y(t ) x ' (t ) y' (t ) dt 2 AB x x ( t ) (3) Nếu cung AB không gian chiều cho dạng tham số y y( t ) với t z z ( t ) thì f ( x , y, z)ds f x ( t ), y( t ), z( t ) x ' ( t ) y' ( t ) z' ( t ) dt 2 AB Ví dụ 3.1 Tính I xds với OB là cung đường parabol y = x2 từ điểm O(0,0) đến điểm OB B(2,4) Cung OB là nằm trên đường parabol y = y(x) = x2 với x Ta có y’(x) = 2x I xds OB 2 x y' (x ) dx x 4x dx 0 2 1 1 x d ( x ) x d (4 x ) x d (1 x ) 20 80 80 1 1 17 17 (1 x ) d (1 x ) (1 x ) 80 1 12 2 Ví dụ 3.2 Tính I xyds với AB là cung đường ellipse AB x y2 nằm góc vuông a b2 thứ hệ tọa độ Descarter vuông góc Oxy x x ( t ) a cos t x ' ( t ) a sin t Phương trình tham số cung AB là với t /2 Ta có y y( t ) b sin t y' ( t ) b cos t 2 2 ab cos 2t cos t I (a cos t )( b sin t ) (a sin t ) (b cos t ) dt sin t a b2 dt 2 ab 2 u t a b2 b2 a cos 2t dt Đặt u = cos2t thì và du = -2sin2tdt 2 u 1 t sin t 1 ab a b2 b2 a ab I u du 2 a b2 ab a b b a u 2 2(a b ) 2 2 1 1 a b2 b2 a 1 ab(a b ) ab(a ab b ) 3(a b) 3(a b ) 59 a b2 b2 a u d u (60) TailieuVNU.com Ví dụ 3.3 Tính I ( x y z )ds với L là đường xoắn ốc có phương trình tham số là L x x ( t ) a cos t y y( t ) a sin t với z z( t ) bt a b 0 t 2 Trên đường xoắn ốc L ta có x2(t) + y2(t) + z2(t) = (accost)2 + (asint)2 + (bt)2 = a2 + b2t2 và [x’(t)]2 + [y’(t)]2 + [z’(t)]2 = (-asint)2 + (acost)2 + b2 = a2 + b2 I ( x y z )ds 2 L 2 a b t 2 2 a b dt a b 2 2 a b t dt 2 b2t3 2 a b a b a t (3a 4 ) 0 3.1.4 Ý nghĩa vật lý và ý nghĩa hình học tích phân đường loại 2 Nếu hàm số dấu tích phân f(x,y) > (đường cong phẳng L) f(x,y,z) > (đường cong không gian L) xác định và liên tục với điểm trên đường cong, biểu thị khối lượng riêng đường cong điểm (x,y) đường cong phẳng điểm (x,y,z) đường cong không gian, thì khối lượng m đường cong L là m f ( x , y)ds m f ( x , y, z)ds (ý nghĩa vật lý) Đặc biệt, L L f(x,y) = thì ds (L là đường cong phẳng) f(x,y,z) = thì L ds (L là đường cong không L gian) là độ dài đường cong L (ý nghĩa hình học) 3.2 Tích phân đường loại hai 3.2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai Bài toán vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại hai Cho chất điểm M(x,y) di chuyển theo cung phẳng AB tác dụng lực F F( x, y) biến thiên liên tục dọc theo cung AB từ A đến B, tức là hàm số F(x,y) > liên tục dọc theo cung AB Yêu cầu tính công W di chuyển chất điểm lực F( x, y) từ điểm đầu A đến điểm cuối B cung Giả sử véc tơ F( x , y) có các thành phần P(x,y), Q(x,y) trên các trục tọa độ Ox, Oy Để tính công W, ta thực sau: Chia tùy ý cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên các điểm A A1, A2, …, An-1, An B Trên cung Ai-1Ai lấy tùy ý điểm (xi,yi) và ký hiệu xi, yi là các thành phần trên các trục tọa độ Ox, Oy véc tơ A i 1 A i Khi đó, cung Ai-1Ai đủ nhỏ thì có thể coi cung này là thẳng và là véc tơ A i 1 A i , còn lực F có thể coi là không đổi và F( x i , yi ) Do đó, ký hiệu Wi là công lực F tác dụng điểm (xi,yi) làm di chuyển chất điểm M trên cung Ai Ai thì Wi F( x i , y i ).A i 1 A i P( x i , y i ).x i Q( x i , y i ).y i Như vậy, cung Ai-1Ai (1 i n) đủ nhỏ thì có thể coi công W = W1 + W + … + W n n P(x , y ).x i i 1 i i Q( x i , y i ).y i n Tổng P( x i , y i ).x i Q( x i , y i ).y i có độ chính xác cao (tức là giá trị biểu thức này i 1 càng gần công W) n càng lớn và tất các xi (1 i n) và yi (1 i n) càng bé Do đó, công 60 (61) TailieuVNU.com n W giới hạn (nếu có) tổng P( x i , y i ).x i Q( x i , y i ).y i n cùng với max x i và 1i n i 1 max y i 1i n Định nghĩa tích phân đường loại hai Cho các hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định và liên tục trên cung phẳng L = AB Chia tùy ý cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lên các điểm A A1, A2, …, An-1, An B Trên cung nhỏ Ai-1Ai lấy tùy ý điểm (xi,yi), gọi hình chiếu véc tơ A i1A i lên các trục tọa độ Ox, Oy tương ứng là n xi, yi Lập tổng I n P( x i , y i ).x i Q( x i , y i ).y i , n cho max x i và 1i n i 1 max y i mà tổng In I là giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách 1i n lấy điểm (xi,yi) trên cung nhỏ Ai-1Ai thì giá trị hữu hạn I gọi tích phân đường loại hai các hàm số P(x,y), Q(x,y) trên cung AB (hay trên đường cong L) và ký hiệu là I P( x , y)dx Q( x , y)dy P( x , y)dx Q( x , y)dy AB L Khi đó các hàm số P(x,y), Q(x,y) gọi là khả tích trên cung AB (hay trên đường cong L) Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) đơn trị và liên tục với (x,y)L thì chúng khả tích trên đường cong L Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa tích phân đường loại hai trên đường cong L không gian chiều, tức là các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) đơn trị và liên tục với (x,y,z)L thì chúng khả tích trên đường cong L, tức là I P( x , y, z)dx Q( x , y, z)dy R ( x , y, z)dx L 3.2.2 Tính chất tích phân đường loại hai Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào chiều lấy tích phân từ điểm A đến điểm B hay từ điểm B đến điểm A vì hình chiếu véc tơ A i1A i lên các trục tọa độ đổi dấu véc tơ này đổi chiều, tức là P( x , y)dx Q( x , y)dy P( x , y)dx Q( x , y)dy AB BA Quy ước Nếu đường lấy tích phân đường loại hai là đường cong kín L (điểm đầu A trùng với điểm cuối B), thì ta quy ước chiều dương trên đường L là chiều cho người trên đường L theo chiều thấy miền giới hạn đường L bên tay trái Ký hiệu tích phân đường loại hai dọc theo đường cong kín L theo chiều dương là P( x , y)dx Q( x , y)dy và theo chiều âm là L P( x, y)dx Q( x, y)dy L Các tính chất khác tích phân đường loại hai giống các tính chất tích phân xác định 3.2.3 Cách tính tích phân đường loại hai (1) Nếu đường cong phẳng L cho phương trình y = y(x) với a x b thì dy = y’(x)dx b nên P( x , y)dx Q( x , y)dy Px , y( x ) Qx , y( x ) .y' ( x )dx , ngược lại x = x(y) với c x d L a d thì dx = x’(y)dy nên P( x , y)dx Q( x , y)dy Px ( y), y .x ' ( y) Qx , y( x ) dy L c 61 (62) TailieuVNU.com x x ( t ) (2) Nếu đường cong phẳng L cho dạng tham số với t thì y y( t ) dx x ' ( t )dt nên P( x , y)dx Q( x , y)dy Px ( t ), y( t ) .x ' ( t ) Qx ( t ), y( t ) .y' ( t )dt dy y' ( t )dt L x x ( t ) (3) Nếu đường cong không gian L cho dạng tham số y y( t ) với t thì z z ( t ) dx x ' ( t )dt dy y' ( t )dt nên P( x , y, z)dx Q( x , y, z)dy R ( x , y, z )dz L dz z' ( t )dt Px (t ), y(t ).z(t ).x ' (t ) Px (t ), y(t ).z(t ).y' (t ) R x (t ), y(t ).z(t ).z' (t )dt Ví dụ 3.4 Tính I xydx ( y x )dy với L là đường cong từ điểm O(0,0) đến điểm A(1,1) có L phương trình là (a) y = x2, (b) x = y2, (c) y = x3 xydx ( y x )dy x.x (a) y = y(x) = x y’(x) = 2x với x I OA 0 2 xydx ( y x )dy y y.2 y ( y y ) dy OA ( x x ).2x dx 3 3x x dx x x ; 12 4 (b) x = x(y) = y2 x’(y) = 2y với y I 1 1 17 2 y y y dy y y y ; 30 5 (c) y = y(x) = x3 y’(x) = 3x2 với x I xydx ( y x )dy OA x.x 3 1 1 ( x x ).3x dx x 3x 3x dx x x x 0 20 5 x y2 Ví dụ 3.5 Tính I xdy ydx trên đường L là đường ellipse từ điểm A(a,0) a b L x a cos t Phương trình tham số đường ellipse là với t 2 y b sin t 2 dx x ' ( t )dt (a sin t )dt I xdy ydx (a cos t )( b cos t ) (b sin t )( a sin t )dt Ta có dy y' ( t )dt (b cos t )dt L 2 ab dt 2ab Ví dụ 3.6 Tính I ( y z )dx xyzdy x 2dz trên đường L là đường cong không gian có L phương trình tham số là {x = t, y = t2, z = t3 với t 1} theo chiều tăng tham số t dx x ' ( t )dt 1.dt dt 1 3 5 Ta có dy y' ( t )dt 2tdt I (3t 2t )dt t t 35 7 dz z' ( t )dt 3t dt 62 (63) TailieuVNU.com 3.2.4 Ý nghĩa vật lý tích phân đường loại hai Tích phân đường loại hai là công lực thay đổi F( x, y) P( x, y) i Q( x, y) j (trong mặt phẳng) F( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R ( x, y, z) k (trong không gian) sản lực này di chuyển chất điểm M từ điểm A đến điểm B trên đường cong AB (trong mặt phẳng không gian) 3.3 Công thức Green 3.3.1 Công thức Green Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục và các đạo hàm riêng cấp chúng liên tục trên miền phẳng D là miền liên thông, bị chặn và có biên L gồm hay nhiều đường cong kín rời Q( x, y) P( x, y) dxdy gọi là đôi Khi đó ta có P( x, y)dx Q( x , y)dy x y D L công thức Green Nhận xét Công thức Green là công thức liên hệ tích phân hai lớp và tích phân đường loại hai Ví dụ 3.7 Tính ( x arctan x y )dx ( x 2xy y 2e y )dy trên đường tròn L có phương trình là L 2 x + y = 2y P( x , y) y y P( x, y) x arctan x y Q( x , y) P( x , y) Ta có Mặt khác, y x y Q( x, y) x 2xy y e Q( x , y) y x Q( x , y) P( x , y) dxdy dxdy S x y D D L Theo ý nghĩa hình học tích phân hai lớp trên miền phẳng D thì S chính là diện tích hình phẳng D theo công thức Green ta có P(x, y)dx Q(x, y)dy Ta thấy D là hình tròn x2 + y2 2y hay x2 + (y – 1)2 = 1, hình tròn này có bán kính nên có diện tích S = .12 = Suy ( x arctan x y )dx ( x 2xy y e y )dy L Hệ Q( x, y) P( x , y) P( x , y) Q( x , y) dxdy dxdy x y y x D D L (2) Nếu đường cong kín L là biên miền phẳng D thì diện tích S miền D tính công thức S xdy ydx L Chứng minh P( x , y)dx Q( x , y)dy P( x , y)dx Q( x , y)dy L L (1) Vì P( x , y)dx Q( x , y)dy Q( x , y) P( x , y) dxdy D x y L (1) P(x, y)dx Q(x, y)dy 63 (64) TailieuVNU.com P( x , y) y 1 Q( x, y) P( x , y) P ( x , y ) y (2) Ta lấy và thay vào công thức x y Q( x, y) x Q( x, y) x Q( x , y) P( x, y) dxdy 2 dxdy 2S , từ đây suy Green ta được: xdy ydx x y D D L S xdy ydx L Ví dụ 3.8 Tính ( x y3 )dx ( x y3 )dy trên đường tròn L có phương trình là x2 + y2 = L Gọi D là miền giới hạn đường tròn L, đó D = {(x,y)R2 x2 + y2 1} P( x , y) y 3y P( x, y) x y3 Q( x, y) P( x, y) Ta có 3x 3y , thay vào công 3 x y Q( x, y) x y Q( x, y) 3x x 3 thức Green ta I ( x y )dx ( x y3 )dy 3(x y2 )dxdy 3 ( x y2 )dxdy L D D x r cos 0 r J r và x2 + y2 = r2 với miền D' Đổi biến sang tọa độ cực ta y r sin 0 2 2 3 2 r 2 I 3 ( x y )dxdy 3 r rdrd d r dr D D' 0 0 2 2 Ví dụ 3.9 Tính ( x y )dx ( x y )dy trên đường L là biên OAB với O(0,0), A(0,1) L và B(1,0) theo chiều âm P( x, y) y y P( x, y) x y Q( x, y) P( x , y) Ta có 2x y , thay vào công 2 x y Q( x , y) x y Q( x, y) 2x x thức Green ta I ( x y2 )dx ( x y )dy 2(x y)dxdy 2 ( y x )dxdy trên miền D là L D D OAB: Có cạnh OA nằm trên đường thẳng x = 0, cạnh OB nằm trên đường thẳng y = và cạnh AB nằm trên đường thẳng x + y = 64 (65) 1 x Do đó 1 x TailieuVNU.com y 3x 1 I ( y x )dxdy dx ( y x )dy xy dx x dx 2 2 0 D 0 0 0 1 1 x3 x 1 1 2 x 2. 0 2 2 3.3.2 Điều kiện để tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào đường lấy tích phân Qua các ví dụ đã xét, ta thấy tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào hai đầu mút đường cong mà còn phụ thuộc vào chính dạng đường cong Tuy nhiên, ta thấy tích phân đường loại hai (đối với đường cong phẳng) phụ thuộc vào hai đầu mút đường cong mà không phụ thuộc vào dạng đường cong ví dụ 3.10 sau đây Ví dụ 3.10 Tính I (x y )dx 2xydy trên cung OA từ điểm O(0,0) đến điểm A(2,2) theo OA (a) đoạn thẳng OA; (b) đoạn thẳng OB với B(2,0), theo đoạn thẳng BA (a) Theo giả thiết, thì đoạn thẳng OA với O(0,0) và A(2,2) có phương trình y = x (0 x 2) nên y x dy = dx, đó sau thay (0 x 2) vào biểu thức dấu tích phân tích phân I ta dy dx x2 x 10 ; I ( x x )dx x.xdx ( x 3x )dx 0 OA 2 (b) Ta có I (x y )dx 2xydy OA (x y )dx 2xydy OB (x y )dx 2xydy BA Theo giả thiết thì đoạn thẳng OB với O(0,0) và B(2,0) có phương trình y = (0 x 2) nên dy y = 0, đó sau thay (0 x 2) vào biểu thức dấu tích phân tích phân dy x2 ( x y ) dx xydy ( x y ) dx xydy ( x ) dx xy xdx xdx ta 0 OB OB OB OB 2 Còn đoạn thẳng BA với B(2,0) và A(2,2) có phương trình x = (0 y 2) nên dx = 0, đó sau x thay (0 y 2) vào biểu thức dấu tích phân tích phân ( x y )dx xydy ta dx BA y2 (x y )dx 2xydy BA (2 y ).0 2.2 ydy BA ydy 0 ydy BA Suy I (x y )dx 2xydy 10 OA Vậy với điều kiện nào thì tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào dạng đường lấy tích phân mà phụ thuộc vào hai đầu mút đường lấy tích phân Như ta thấy định lý đây, các nhà toán học đã chứng minh Q( x, y) P( x, y) là điều kiện cần và đủ để để tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào đường x y lấy tích phân, đồng thời điều kiện này là điều kiện cần và đủ để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp hàm số u(x,y) nào Định lý Giả sử các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp chúng miền đơn liên (là miền liên thông, bị chặn và có biên L gồm đường cong kín) D nào đó Khi đó mệnh đề sau là tương đương với nhau: 65 (66) TailieuVNU.com Q( x, y) P( x, y) (1) với (x,y)D; x y (2) P( x , y)dx Q( x , y)dy với đường cong kín L nằm miền D; L (3) P(x, y)dx Q(x, y)dy (AB là cung nằm miền D) phụ thuộc vào hai đầu mút AB A, B mà không phụ thuộc vào dạng cung AB; (4) Biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp hàm số u(x,y) nào xác định trên miền D Hệ Nếu biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp hàm số u(x,y) miền D R2 thì P( x, y)dx Q(x, y)dy u (x B , y b ) u (x A , y A ) dọc theo đường nối điểm A đến điểm B AB nằm miền D (tương tự công thức Newton – Leibnitz) Hệ Nếu D = R2 thì biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp hàm số u(x,y) xác định công thức y x u ( x , y) P( x , y )dx Q( x , y)dy với (x0,y0) tùy ý thuộc miền D; x0 y0 y x y0 x0 u ( x , y) Q( x , y)dy P( x , y)dx với (x0,y0) tùy ý thuộc miền D (x0,y0) chọn để việc tính toán các biểu thức toán học cho đơn giản, hay chọn là điểm gốc tọa độ xy P( x , y) ye my x Ví dụ 3.11 Cho các hàm số với m là tham số (a) Tìm giá trị Q( x , y) xe xy 2m xy m để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp hàm số u(x,y) nào đấy; (b) Với giá trị m tìm (a), xác định hàm số u(x,y) mà du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy (a) Theo định lý trên, để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần cấp hàm Q( x, y) P( x, y) số u(x,y) nào thì các hàm số P(x,y), Q(x,y) phải thỏa mãn điều kiện với x y Q( x, y) P( x, y) (x,y)D, cụ thể là e xy xyexy 2m y e xy xyexy 2my my m y x y m m(1 m) y với (x,y)D m 1 P( x , y) ye xy 0.y x ye xy x (b) - Với m = thì Q( x , y) xe xy 2.0 2.xy xe xy x y x x0 y0 y Khi đó u ( x , y) P( x , y )dx Q( x , y)dy P( x ,0)dx Q( x , y)dy 0.e x x y x y x dx xe xy dy xdx e xy d ( xy) Thử lại du( x, y) 0 x x e xy y 0 x2 e xy u ( x, y) u ( x, y) dx dy x ye xy dx xe xy dy P( x, y)dx Q( x, y)dy x y P( x , y) ye xy (1).y x ye xy x y - Với m = -1 thì Q( x , y) xe xy 2.( 1) xy xe xy xy 66 (67) y x TailieuVNU.com y x Khi đó u ( x , y) P( x , y )dx Q( x , y)dy P( x ,0)dx Q( x , y)dy x0 0.e x x y0 y xy xy x y x dx xe xy dy xdx xe dy x ydy 2 x y x y e xy d ( xy) x y y 0 x2 e xy y 0 xy x2 xy e xy u ( x, y) u ( x, y) dx dy x y ye xy dx 2xy xe xy dy x y P( x , y)dx Q( x , y)dy Thử lại du( x, y) Nhận xét Nếu tích phân đường loại hai không phụ thuộc dạng đường lấy tích phân thì ta có thể chọn đường lấy tích phân cho việc tính toán trở nên đơn giản xy xy Ví dụ 3.12 Tính I dx dy trên cung AB với A(1,1), B(2,2) x y x y2 AB P( x , y) x xy y xy P ( x , y ) y ( x y ) x y2 Q( x , y) P( x , y) Ta có nên tích phân 2 x y Q( x , y) x y Q( x , y) x xy y x x y2 (x y2 )2 xy xy I dx dy cần tính không phụ thuộc vào dạng vào dạng đường nối điểm A với x y x y2 AB điểm B Để việc tính toán đơn giản, ta chọn đường lấy tích phân là đoạn thẳng AB có phương trình x = y (1 y 2) dx = dy Do đó, thay x = y và dx = dy vào biểu thức dấu tích phân thì ta yy yy 2y dy I dx dy dy dy ln y ln 2 2 y y y y 2y 2y y AB AB Ví dụ 3.13 Tính I xy dx x ydy trên cung AB với A(0,1), B(3,4) 2 AB P( x , y) y xy P( x, y) xy Q( x, y) P( x , y) Ta có nên tích x y Q( x, y) x y Q( x, y) 2xy x I xy 2dx x ydy cần tính không phụ thuộc vào dạng đường nối điểm A với điểm B phân AB Để việc tính toán đơn giản, ta chọn đường lấy tích phân là các cạnh AC và CB ACB với C(3,1), đó ta I xy2dx x ydy xy2dx x ydy xy2dx x ydy AB AC CB Ta có, phương trình đoạn thẳng AC là y = (0 x 3) và phương trình đoạn thẳng CB là x = y (1 y 4) Suy dy = (0 x 3) và dx = (1 y 4) Do đó, thay (0 x 3) và dy 67 (68) TailieuVNU.com x dx (1 y 4) vào biểu thức dấu x2 I xy dx x ydy xy dx x ydy xdx ydy AC CB 2 tích y2 phân tương ứng ta 9.8 72 2 3.4 Tích phân mặt loại 3.4.1 Định nghĩa tích phân mặt loại Cho mặt cong S không gian R3 và hàm số f(x,y,z) xác định với (x,y,z)S Chia S thành n mặt cong nhỏ không dẫm lên có diện tích tương ứng S1, S2, …, Sn Trên mặt cong nhỏ thứ i (1 i n) lấy điểm tùy ý (xi,yi,zi) và gọi di là đường kính mặt cong nhỏ thứ i (1 i n) n Lập tổng I n f ( x i , y i z i )Si , n cho max d i , mà In I là giá 1i n i 1 trị hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia mặt cong S thành n mặt cong nhỏ và cách chọn điểm (xi,yi.zi) trên mặt cong nhỏ thứ i (1 i n), thì I gọi là tích phân mặt loại hàm số f(x,y,z) trên mặt cong S và ký hiệu là I f ( x, y, z)dS , đó f(x,y,z) và dS gọi tương ứng là S hàm dấu tích phân và vi phân diện tích mặt cong Nếu S là mặt cong trơn là mặt liên tục và có véc tơ pháp tuyến biến thiên liên tục (véc tơ pháp tuyến điểm M mặt S là véc tơ vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc mặt S điểm M) và hàm số f(x,y,z) liên tục với (x,y,z)S thì tích phân mặt loại tồn 3.4.2 Tính chất tích phân mặt loại Tích phân mặt loại có các tính chất giống các tính chất tích phân hai lớp 3.4.3 Cách tính tích phân mặt loại Trong không gian cho mặt cong S Giả sử hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng tọa độ Oxy là miền đóng và bị chặn D Giả sử S biểu diễn phương trình z = z(x,y) với z(x,y) z( x, y) z( x, y) là hàm số đơn trị, liên tục với (x,y)D và có các đạo hàm riêng liên tục với , x y (x,y)D Nếu đường thẳng song song với trục tọa độ Oz cắt mặt cong S không quá điểm và hàm số f(x,y,z) liên tục với (x,y,z)S thì tích phân mặt loại tính công thức z( x , y) z( x , y) S f (x, y, z)dS D f x, y, z(x, y) x y dxdy Ví dụ 3.14 Tính I zdS trên mặt S là paraboloit tròn xoay x2 + y2 = 2z với z S x y2 và hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng tọa độ Oxy là hình tròn D có phương trình x2 + y2 Mặt cong S biểu diễn phương trình z z( x, y) 68 (69) TailieuVNU.com x y2 z( x, y) z( x, y) 1 x y dxdy 2x x và y y nên I zdS y x S D Ta có x r cos J r và miền D’ xác định sau: Đổi biến (x,y) sang tọa độ cực (r,): y r sin x r cos - Đối với tọa độ r: Thay vào phương trình hình tròn x2 + y2 ta r2 y r sin 0r 2, - Đối với tọa độ : 2, r x y2 r2 2 x y dxdy r r drd d r dr Do đó I 2 D D' 2 2 r r d (r ) 2 (1 r 1)(1 r ) d (1 r ) 2 (1 r ) (1 r ) d (1 r ) 0 2 8(6 1) 2 2 2 (1 r ) (1 r ) 15 5 0 Ví dụ 3.15 Tính I z ( x y )dS trên mặt S là phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2, x 0, y 0, S z (a > 0) Mặt cong S biểu diễn phương trình z z( x, y) a x y và hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng tọa độ Oxy là phần tư hình tròn D có phương trình x2 + y2 a2 z( x, y) 2x x z( x , y) y và tương tự 2 2 2 x a x y y a x y a x y2 Ta có x2 y2 dxdy nên I z ( x y )dS (a x y )( x y ) a x y2 a x y2 S D 2 2 2 2 a a x y ( x y )dxdy D x r cos J r và miền D’ xác định sau: Đổi tọa độ (x,y) sang tọa độ cực (r,): y r sin 69 (70) TailieuVNU.com x r cos - Đối với tọa độ r: Thay vào phương trình hình tròn x2 + y2 a2 ta r2 a2 y r sin 0ra, - Đối với tọa độ : /2, Do đó I a a x y ( x y )dxdy a 2 2 D D' a a r r rdrd a d r a r dr 2 a a 2 a r a r dr r a r d(r ) (a r a )(a r ) d(a r ) 4 a a a a a a 4a a a 2 2 2 2 2 ( a r ) d ( a r ) a ( a r ) d ( a r ) 0 0 15 15 3.4.4 Ý nghĩa vật lý và ý nghĩa hình học tích phân mặt loại Nếu mặt cong S có khối lượng riêng điểm (x,y,z)S f(x,y,z) thì khối lượng m mặt cong S là m f ( x, y, z)dS (ý nghĩa vật lý) Đặc biệt, f(x,y,z) = thì S dS là diện tích S S mặt cong S (ý nghĩa hình học) 3.5 Tích phân mặt loại hai 3.5.1 Khái niệm mặt định hướng Trong không gian R3 cho mặt cong trơn S Mặt S gọi là mặt hai phía theo đường cong đóng nằm mặt S không có điểm chung với biên S thì hướng pháp tuyến mặt S không thay đổi Nếu trên mặt S có đường cong đóng mà theo đường cong này hướng pháp tuyến đổi ngược lại thì mặt S gọi là mặt phía Mặt hai phía gọi là mặt định hướng được, còn mặt phía gọi là mặt không định hướng Ở đây ta xét các mặt định hướng Một ví dụ điển hình mặt phía là dải Mobius: Lấy băng giấy hình chữ nhật ABCD và xoắn băng giấy này nửa vòng theo chiều dài gắn điểm C với điểm A, điểm D với điểm B Khi điểm M di chuyển vòng trên dải Mobius, xuất phát từ điểm MO thì lúc gặp lại điểm MO véc tơ n đổi hướng ngược lại Giả sử S là mặt định hướng và gọi n n ( x, y, z) là véc tơ pháp tuyến mặt S điểm M(x,y,z)S (véc tơ pháp tuyến là véc tơ vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc mặt S điểm M), đó hướng mặt S xác định là hướng n Như vậy, S là mặt kín và định hướng thì xác định phía trong, phía ngoài; còn S là mặt không kín thì xác định phía trên, phía 70 (71) TailieuVNU.com 3.5.2 Định nghĩa tích phân mặt loại hai Trong không gian R3 cho mặt cong S định hướng được, giả sử véc tơ f ( x , y, z) có ba thành phần P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) là véc tơ xác định trên S, tức là f ( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R ( x, y, z) k Chia S thành n mặt cong nhỏ không dẫm lên có diện tích tương ứng S1, S2, …, Sn Trên mặt cong nhỏ thứ i có diện tích Si (1 i n) lấy điểm tùy ý (xi,yi,zi) và gọi di là đường kính mặt cong nhỏ thứ i (1 i n) Ký hiệu n n ( x i , y i , z i ) là véc tơ pháp tuyến đơn vị điểm (xi,yi,zi) và S S n n Lập tổng I n f ( x i , y i , z i ) Si , n cho max d i , mà In I là 1i n i 1 giá trị hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia S thành n mặt cong nhỏ và cách chọn điểm (x i,yi.zi) trên mặt cong nhỏ thứ i (1 i n), thì I gọi là tích phân mặt loại hai hàm số f ( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R ( x, y, z) k trên mặt cong S và ký hiệu là I f ( x, y, z) S P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R ( x, y, z)dxdy S S Nếu S là mặt định hướng và liên tục tức là có véc tơ pháp tuyến tương ứng biến thiên liên tục (véc tơ pháp tuyến điểm M mặt S là véc tơ vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc mặt S điểm M) và các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục với (x,y,z)S thì tích phân mặt loại hai tồn 3.5.3 Tính chất tích phân mặt loại hai Nếu đổi hướng mặt cong S thì tích phân mặt loại hai trên mặt cong S đổi dấu Tích phân mặt loại hai có các tính chất giống các tính chất tích phân hai lớp 3.5.4 Cách tính tích phân mặt loại hai Tích phân mặt loại hai tính cách đưa tích phân hai lớp Trước tiên ta xét tích phân R (x, y, z)dxdy Giả sử mặt cong S có phương trình là z = f(x,y) S f ( x, y) f ( x, y) liên tục trên hình phẳng D là hình chiếu , x y vuông góc mặt cong S lên mặt phẳng z = tức là mặt phẳng tọa độ Oxy; đó: với hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng + R (x, y, z)dxdy R x, y, f (x, y)dxdy véc tơ pháp tuyến n lập với trục tọa độ Oz S D góc nhọn; + R (x, y, z)dxdy R x, y, f (x, y)dxdy véc tơ pháp tuyến n lập với trục tọa độ Oz S D góc tù Các tích phân P( x , y, z)dydz , S Q(x, y, z)dzdx tính tương tự S Ví dụ 3.16 Tính I xdydz ydzdx zdxdy trên S là phía ngoài mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 S 71 (72) TailieuVNU.com Vì phương trình mặt cầu và biểu thức dấu tích phân không đổi hoán vị vòng quanh x, y, z nên ta có xdydz ydzdx zdxdy I 3 zdxdy S Ta có S S S zdxdy zdxdy zdxdy với S1, S2 là nửa trên, nửa mặt cầu và có phương S S1 S2 trình tương ứng là z R x y zdxdy R x y dxdy R x y dxdy S S1 S2 Hình chiếu vuông góc mặt cầu xuống mặt phẳng tọa độ Oxy là hình tròn D có phương trình 2 x + y R2 tuyến Vì véc tơ pháp tuyến nửa trên mặt cầu lập với trục tọa độ Oz góc nhọn và véc tơ pháp nửa mặt cầu lập với trục tọa độ Oz góc tù nên R x y dxdy R x y dxdy và S1 D R x y dxdy R x y dxdy S2 D đó I 3 zdxdy 6 R x y dxdy S D Để tính tích phân trên, ta đổi tọa độ (x,y) sang tọa độ cực (r,) và sau biến đổi ta 2 R 0 I d R r rdr 4R 3.6 Mối quan hệ các tích phân bội, đường và mặt 3.6.1 Công thức Green Ở 3.3 ta đã biết công thức Green là công thức liên hệ tích phân hai lớp và tích phân đường loại hai Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục và các đạo hàm riêng cấp chúng liên tục trên miền phẳng D là miền liên thông, bị chặn và có biên L gồm hay nhiều đường cong kín rời Q( x, y) P( x, y) dxdy đôi thì P( x, y)dx Q( x , y)dy x y D L Hệ Diện tích S miền phẳng D có biên là đường cong kín L tính công thức S xdy ydx L 3.6.2 Công thức Stokes Công thức Stokes là công thức liên hệ tích phân đường loại hai trên đường cong kín L không gian với tích phân mặt loại hai trên mặt S định hướng được, giới hạn đường biên L Giả sử mặt định hướng S trơn mảnh, biên L nó là đường cong kín trơn khúc, đồng thời các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục và có các đạo hàm riêng cấp liên tục trên mặt S thì P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R ( x, y, z)dz L R ( x , y, z) Q( x, y, z) Q( x , y, z) P( x , y, z) P( x, y, z) R ( x , y, z) dydz dxdy dzdx y z z x x y S 72 (73) TailieuVNU.com Công thức Stoker là kết mở rộng công thức Green không gian R2 sang không gian R3 Từ công thức Stoker suy điều kiện cần và đủ để tích phân đường không gian không phụ thuộc R ( x, y, z) Q( x, y, z) P( x, y, z) R ( x, y, z) vào đường lấy tích phân là và , y z z x Q( x, y, z) P( x, y, z) Điều kiện này là điều kiện cần và đủ để P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + x y R(x,y,z)dz là vi phân toàn phần cấp hàm số u(x,y,z) nào 3.6.3 Công thức Ostrogradsky Công thức Ostrogradsky là công thức liên hệ tích phân mặt loại hai lấy trên mặt ngoài mặt cong kín S với tích phân ba lớp trên miền V có biên là mặt cong kín S Giả sử V là miền giới nội, đóng không gian R3 có biên là mặt cong kín S, trơn mảnh; các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục và có các đạo hàm riêng cấp liên tục miền V thì P( x , y, z) Q( x, y, z) R ( x , y, z) dxdydz S P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R (x, y, z)dxdy x y z V Hệ Thể tích V vật thể giới hạn mặt cong kín S tính công thức: V xdydz ydzdx zdxdy S P( x , y, z) 1 x P( x , y, z) x Q( x , y, z) Chứng minh Ta lấy Q( x , y, z) y và thay vào công thức Ostrogradsky y R ( x, y, z) z R ( x , y, z) 1 z (1 1)dxdydz 3 dxdydz 3V V xdydz ydzdx zdxdy S xdydz ydzdx zdxdy S V V 3.7 Ứng dụng phép tính tích phân hình học 3.7.1 Tính độ dài đường cong tích phân đường loại f (x, y)ds (L là đường cong phẳng) f ( x , y, z )ds (L là đường cong không gian) là độ dài L L đường cong L Xem cách tính tích phân đường loại mục 3.1.3 Chương 3.7.2 Tính diện tích hình phẳng 3.7.2.1 Tính diện tích hình phẳng tích phân lớp (a) Diện tích hình thang cong giới hạn đường cong y = f(x) (a x b) và các đường thẳng y = 0, x b = a, x = b là S f ( x )dx a Tương tự, diện tích hình thang cong giới hạn đường cong x = g(y) (c y d) và các đường thẳng x d = 0, y = c, y = d là S g( y)dy c 73 (74) TailieuVNU.com (b) Diện tích hình giới hạn hai đường cong y = f1(x), y = f2(x) [0 f1(x) f2(x) với a x b] và các b đường thẳng x = a, x = b là S f ( x ) f1 ( x )dx a Tương tự, diện tích hình giới hạn hai đường cong x = g1(y), x = g2(y) [0 g1(y) g2(y) với c y d] và các đường thẳng y = c, y = d là d S g ( y) g1 ( y)dy c x x ( t ) (c) Nếu đường cong cho phương trình tham số ( t ) thì diện tích hình y y( t ) thang cong giới hạn đường cong đó với các đường thẳng x = a, x = b và đoạn [a,b] trên trục tọa độ Ox là S y( t ) x ' ( t )dt , đó a = x(), b = x() và y(t) t[,] 3.7.2.2 Tính diện tích hình phẳng tích phân hai lớp Diện tích miền phẳng D thuộc mặt phẳng Oxy là S dxdy , xem cách tính tích phân hai lớp D mục 2.1.1.2 Chương 3.7.2.3 Tính diện tích hình phẳng tích phân đường loại hai Diện tích miền phẳng D có biên là đường cong kín L tính công thức S xdy ydx (hệ công thức Green) L 3.7.3 Tính diện tích mặt cong 3.7.3.1 Tính diện tích mặt tròn xoay tích phân lớp (a) Nếu cung đường cong trơn, liên tục cho phương trình y = y(x) (a x b) b quay quanh trục Ox thì diện tích mặt tròn xoay tính công thức S 2 y [ y' ( x )]2 dx a Tương tự, cung đường cong trơn, liên tục cho phương trình x = x(y) (c y d) d quay quanh trục Oy thì diện tích mặt tròn xoay tính công thức S 2 y [ x ' ( y)]2 dy c x x ( t ) (b) Nếu cung đường cong trơn, liên tục cho phương trình tham số y y( t ) ( t ) quay quanh trục Ox thì diện tích mặt tròn xoay tính công thức S 2 y( t ) [ x ' ( t )]2 [ y' ( t )]2 dt Tương tự, cung đường cong trơn, liên tục cho x x ( t ) phương trình tham số ( t ) quay quanh trục Oy thì diện tích mặt tròn xoay tính y y( t ) công thức S 2 x ( t ) [ x ' ( t )]2 [ y' ( t )]2 dt 3.7.3.2 Tính diện tích mặt cong tích phân hai lớp Xem chi tiết 2.1.3.2 Chương 3.7.3.3 Tính diện tích mặt cong tích phân mặt loại 74 (75) TailieuVNU.com Xem chi tiết 3.4.3 Chương 3.7.4 Tính thể tích vật thể 3.7.4.1 Tính thể tích vật thể tích phân lớp (a) Tính thể tích vật thể theo diện tích thiết diện vuông góc với trục tọa độ Nếu diện tích thiết diện vật thể tạo mặt phẳng vuông góc với trục Ox là hàm số S(x) (a x b) thì thể tích vật thể nằm các mặt phẳng x = a, x = b (vuông góc với Ox) b tính công thức V S( x )dx a Tương tự, diện tích thiết diện vật thể tạo mặt phẳng vuông góc với trục Oy là hàm số S(y) (c y d) thì thể tích vật thể nằm các mặt phẳng y = c, x = d (vuông d góc với Oy) tính công thức V S( y)dy , diện tích thiết diện vật thể c tạo mặt phẳng vuông góc với trục Oz là hàm số S(z) (e z f) thì thể tích vật thể f nằm các mặt phẳng z = e, z = f (vuông góc với Oz) tính công thức V S(z)dz e (b) Tính thể tích vật thể tròn xoay Nếu hình thang cong giới hạn đường cong y = y(x) (a x b) và các đường thẳng y = 0, x = a, x = b quay quanh trục tọa độ Ox thì thể tích vật thể tròn xoay tạo tính công thức b V y ( x )dx Tương tự, hình thang cong giới hạn đường cong x = x(y) (c y d) và a các đường thẳng x = 0, y = c, y = d quay quanh trục tọa độ Oy thì thể tích vật thể tròn xoay tạo d tính công thức V x ( y)dy c Nếu hình giới hạn các đường cong y = y1(x), y = y2(x) với y1(x) y2(x) (a x b) và các đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục tọa độ Ox thì thể tích vật thể tròn xoay tạo tính b công thức V y 22 ( x ) y12 ( x ) dx Tương tự, hình giới hạn các đường cong x = x 1(y), a x = x2(y) với x1(y) x2(y) (c y d) và các đường thẳng y = c, y = d quay quanh trục tọa độ Oy d thì thể tích vật thể tròn xoay tạo tính công thức V x 22 ( y) x 12 ( y) dy c 3.7.4.2 Tính thể tích vật thể tích phân hai lớp Xem chi tiết mục 2.1.3.3 Chương 3.7.4.3 Tính thể tích vật thể tích phân mặt loại hai Thể tích V vật thể giới hạn mặt cong kín S tính công thức: xdydz ydzdx zdxdy (hệ công thức Ostrogradsky) S 3.7.4.4 Tính thể tích vật thể tích phân ba lớp V Thể tích vật thể là y y1 zdx , xem cách tính tích phân ba lớp các mục 2.2.1.2., 2.2.2 Chương 75 (76) Bài tập TailieuVNU.com 3.1 Tính các tích phân đường loại (a) x y ds , L là đoạn thẳng OA với O(0,0), A(2,4) L (b) x y ds , L là biên tam giác OAB (OABO) với O(0,0), A(1,1) và B(-1,1) L (c) xyds , L là biên hình chữ nhật OABC (OABCO) với O(0,0), A(4,0), B(4,2) và L C(0,2) (d) xyds , L là biên hình vuông |x| + |y| = a (a > 0) L x t (e) yds , L xác định y t 2 với ≤ t ≤ L z t 3 3.2 Tính các tích phân đường loại (a) 5( x y ) 24 xy (z 1) 4ds , L là giao tuyến mặt trụ x2 + y2 = với mặt phẳng L 2x - 3y + z = (b) x ds , L là giao tuyến mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 (a > 0) với mặt phẳng x + y + z = L 3.3 Tính khối lượng sợi dây có phương trình x x a (a) là đường cong phẳng y e a e a với x a (a > 0), biết khối lượng riêng 2 điểm (x,y) là f ( x, y) y x a cos t (b) là đường xoắn ốc không gian y a sin t với t 2, a = b = 1, biết khối lượng z bt riêng điểm (x,y,z) là f ( x, y, z) x y z 3.4 Tính các tích phân đường loại hai (a) ( x y) dx ( x y) dy với A(0,0), B(2,2) và C(4,0) ABC (b) ydx ( y x )dy trên cung phẳng L là cung đường parabol y = 2x – x2 nằm phía trên L trục Ox theo chiều kim đồng hồ (c) ( x y )dx ( x y )dy trên L là đường y = – 1 – x với x theo chiều tăng x L x a (1 sin t ) (d) (2a y)dx xdy trên L là đường với t 2 và a > y a (1 cos t ) L x y2 (e) ( x y)dx ( x y)dy trên biên L đường ellipse a b L ( x y )dy xydx trên cung OA là nửa đường tròn x2 + y2 = 2y phía x nối từ điểm 2 OA x y O(0,0) đến điểm A(0,2) (f) 76 (77) TailieuVNU.com 3.5 Tính tích phân đường loại hai ( xy 1)dx x ydy trên đường nối từ điểm A(1,0) đến điểm B(0,2) AB y2 3.6 Tính trực tiếp các tích phân đường loại hai sau, kiểm tra kết công thức Green: (a) (2xy x )dx ( x y )dy trên L là đường cong kín tạo hai cung parabol y = x2, x = y2 theo chiều dương: (a) 2x + y = 2; (b) 4x + y2 = 4; (c) x L (b) (2x y )dx ( x y )dy trên L là đường tròn x2 + y2 = y )dx ( x y )dy trên ba cạnh OAB với O(0,0), A(1,0) và B(0,1) L (x (c) OABO 3.7 Tính các tích phân đường loại hai y x (a) xy y dy xy x dx trên L là ba cạnh ABC với A(-1,0), B(1,-2) và C(1,2) 2 2 L (b) (xy x y)dx (xy x y)dy trên L là đường tròn x + y2 = ax (a > 0) L 2(x (c) y )dx (4 y 3) xdy trên hai cạnh OA (O A), AB (A B) OAB với OAB O(0,0), A(1,1) và B(0,2) x y 3x y 3y x dx dy 3.8 Cho tích phân đường loại hai I y x x y L (a) Tích phân này có phụ thuộc vào đường lấy tích phân không? x t cos t (b) Tính tích phân này trên cung AB cho dạng tham số với t y sin t theo chiều tăng tham số ứng (t = ứng với điểm đầu A và t ứng với điểm cuối B) (mx y)dx (nx y)dy 3.9 Tìm các tham số m, n để tích phân đường loại hai I không phụ x y2 AB thuộc vào dạng đường lấy tích phân 3.10 Tìm các tham số m, n để tích phân đường loại hai I ( x a )( y b) (n m)by amy dx ( x a ) ( y b) 2(n 1)ax dy với đường L cong kín L và với giá trị a và b ( x y)dx ( x y)dy 3.11 Tìm tham số m để biểu thức là vi phân toàn phần cấp hàm số (x y ) m u(x,y) nào đó 3.12 Chứng minh biểu thức 6xeydx + (3x2 + y + 1)eydy là vi phân toàn phần cấp hàm số u(x,y) nào đó.Tìm hàm số u(x,y) 3.13 Xác định hàm số u(x,y) thỏa mãn du = 2xy3dx + (3x2y2 + cosy)dy 3.14 Tính các tích phân mặt loại (a) ( x y z )dS , S là biên hình lập phương {0 ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ a, ≤ z ≤ a (a > 0)}; S (b) 2x y z dS , S là phần mặt phẳng S tám thứ hệ tọa độ Descarter vuông góc Oxyz 77 x y z nằm góc vuông phần (78) Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TailieuVNU.com 4.1 Các khái niệm 4.1.1 Một số bài toán đơn giản dẫn đến phương trình vi phân Bài toán Cho vật thể có khối lượng m rơi tự không khí vào lúc không có gió Giả sử sức cản không khí tỷ lệ với vận tốc rơi v(t) vật thể thời điểm t với hệ số tỷ lệ là k > Tìm v(t) Với giả thiết bài toán, vật rơi thì F là lực tổng hợp các lực tác dụng lên vật thể gồm có: Lực hút trái đất mg (g là gia tốc rơi tự do) và lực cản không khí kv(t), hai lực này là ngược chiều Theo định luật Newton ta có mw(t) = F, đó w(t) là gia tốc rơi vật thể và F = dv( t ) mg – kv(t) Từ đây, ta nhận phương trình mw(t) = mg – kv(t) với w ( t ) v' ( t ) , hay dt mv’(t) = mg – kv(t), để xác định v(t) Bài toán Tìm phương trình y = f(x) đường cong phẳng, biết tiếp tuyến điểm đường cong cắt trục tung điểm khác có tung độ hai lần tung độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) điểm (x0,y0) (x0,f(x0)) là y – y0 = f’(x0)(x – x0) hay y = y0 + f’(x0)(x – x0) Giao điểm tiếp tuyến với trục tung (x = 0) có tung độ y = y0 + f’(x0).(0 – x0) = y0 - f’(x0).x0 Theo giả thiết thì y = 2y0, suy 2y0 = y0 - f’(x0).x0 hay y0 = -f’(x0).x0 Vì (x0,y0) là điểm nên không tính tổng quát ta có thể viết y = -f’(x).x = -xy’ hay y y' là phương trình để xác định phương trình y = f(x) đường cong x 4.1.2 Định nghĩa phương trình vi phân và nghiệm nó Khi nghiên cứu các tượng tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế, … không phải xác định quy luật liên hệ biến độc lập với hàm số phải tìm, có thể xác định mối liên hệ hàm số phải tìm với (các) đạo hàm nó, đó có thể không có có biến độc lập (xem Bài toán và Bài toán 2) (n) y Phương trình liên hệ biến số độc lập x, hàm số y = y(x) phải tìm và các đạo hàm y’, y”, …, nó, gọi là phương trình vi phân Cấp cao đạo hàm hàm số y = y(x) có phương trình vi phân, gọi là cấp phương trình vi phân Như vậy, trường hợp tổng quát nhất, phương trình vi phân cấp n có dạng sau đây: F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = đây F là hàm đã cho có nhiều (n + 2) biến mà thông thường nó phải thỏa mãn số điều kiện định tính liên tục và tính khả vi Hàm số y = y(x) gọi là nghiệm phương trình vi phân F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = nó thỏa mãn các điều kiện: (1) y = y(x) có các đạo hàm y’,y”, …, y(n) khoảng (a,b) nào đó; (2) y = y(x) vào hàm số F(x,y,y’,y”, …, y(n)) thì F(x,y,y’,y”, …, y(n)) với x(a,b) Đồ thị hàm số y = y(x) là nghiệm phương trình vi phân F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = 0, gọi là đường cong tích phân phương trình đó Giải phương trình vi phân F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = là tìm tất các nghiệm y = y(x) nó Quá trình tìm nghiệm phương trình vi phân gọi là tích phân phương trình vi phân 4.2 Phương trình vi phân cấp 4.2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp là F(x,y,y’) = 78 (79) TailieuVNU.com Nếu giải phương trình trên y’ thì phương trình vi phân cấp có thể viết dạng dy y’ = f(x,y) hay f ( x, y) , đó (x,y)D R2, gọi là phương trình vi phân cấp giải dx đạo hàm Bài toán Cauchy Tìm nghiệm y = y(x) phương trình vi phân y’ = f(x,y) thỏa mãn điều kiện ban đầu y( x ) x x y hay y(x0) = y0, đó (x0,y0)R2 Định lý (sự tồn và nghiệm bài toán Cauchy) Giả sử hàm số f(x,y) cùng với đạo f ( x, y) hàm riêng xác định và liên tục miền D mặt phẳng tọa độ Oxy, giả sử (x 0,y0)D y Khi đó, lân cận nào đó x0, tồn nghiệm y = y(x) phương trình y’ = f(x,y) mà y(x0) = y0 Về mặt hình học, định lý trên khẳng định rằng, với các giả thiết và điều kiện đã nêu, lân cận nào đó điểm (x0,y0)D R2 tồn đường cong tích phân phương trình vi phân y’ = f(x,y) qua điểm (x0,y0) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân y’ = f(x,y) là hàm số y = (x,C), đó C là số tùy ý, thỏa mãn các các điều kiện sau: (1) thỏa mãn phương trình vi phân y’ = f(x,y) với C; (2) với (x0,y0) các giả thiết và điều kiện định lý trên thỏa mãn, có thể tìm giá trị C = C0 cho hàm số y = (x,C0) thỏa mãn điều kiện ban đầu y( x ) x x y Về mặt hình học, nghiệm tổng quát phương trình vi phân y’ = f(x,y) biểu diễn họ đường cong tích phân y = (x,C) phụ thuộc vào tham số C Nghiệm riêng phương trình vi phân y’ = f(x,y) là hàm số y = (x,C0) nhận cách cho tham số C nghiệm tổng quát giá trị xác định C0 Lưu ý (1) Có ta không tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y’ = f(x,y) dạng tường minh y = (x,C) mà tìm hệ thức có dạng (x,y,C) = xác định nghiệm tổng quát dạng ẩn Khi đó, hệ thức (x,y,C) = gọi là tích phân tổng quát phương trình vi phân y’ = f(x,y) Trong trường hợp này, hệ thức (x,y,C0) = nhận cách cho tham số C tích phân tổng quát giá trị xác định C0, gọi là tích phân riêng (2) Phương trình vi phân y’ = f(x,y) có thể có số nghiệm không thuộc nghiệm tổng quát, đó, nghiệm này gọi là nghiệm kỳ dị Trong chương này, ta không xem xét các nghiệm kỳ dị Ví dụ 4.1 Có thể dễ dàng kiểm tra phương trình vi phân y' y có nghiệm tổng quát là y(x) = sin(x + C) với C là số Tuy nhiên, hàm số y(x) = là nghiệm phương trình vi phân xét, nghiệm này không thể suy từ nghiệm tổng quát với số C nào Như vậy, nghiệm y(x) = là nghiệm kỳ dị phương trình vi phân xét 4.2.2 Phương pháp giải số phương trình vi phân cấp đơn giản Nói chung, không tồn phương pháp thống nào để tìm nghiệm phương trình vi phân y’ = f(x,y) dạng có thể có hàm số f(x,y) 4.2.2.1 Phương trình vi phân có biến số phân ly Phương trình vi phân y’ = f(x,y) gọi là phương trình vi phân có biến số phân ly nó có thể biến đổi dạng f(x)dx = g(y)dy 79 (80) TailieuVNU.com Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế phương trình f(x)dx = g(y)dy ta f (x)dx g( y)dy +C hay F(x) = G(y) + C, đó F(x) là nguyên hàm hàm số f(x), G(y) là nguyên hàm hàm số g(y), còn C là số tùy ý Ví dụ 4.2 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y' ( x 1) y x ( y 1) ( x 1) y dy ( x 1) y hay có thể biến đổi dạng (x + 1)ydx = x(y – 1)dy x ( y 1) dx x ( y 1) Khi đó, x và y 0, chia hai vế phương trình trên cho xy ta 1 1 1 1 1 dx 1 dy Do đó 1 dx 1 dy C x ln x y ln y C hay x – y + lnxy x x y y = C là nghiệm tổng quát phải tìm, đó C là số tùy ý Phương trình y' Ví dụ 4.3 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x(1 + y2) + y(1 + x2)y’ = Biến đổi phương trình vi phân đã cho dạng x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = Chia hai vế phương trình vi phân vừa nhận cho tích (1 + x 2)(1 + y2) ta x y x y ln(1 x ) ln(1 y ) dx dy dx dy C C1 với C1 là x2 y2 x2 y2 2 ln C số tùy ý nên có thể đặt C1 thì có thể viết nghiệm tổng quát vừa tìm là (1 + x2)(1 + y2) = C Ví dụ 4.4 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân exdx – (1 + ex)ydy = với điều kiện ban đầu y(0) = Chia hai vế phương trình vi phân trên cho + ex ta ex ex y2 x dx ydy dx ydy C ln(1 e ) C với C là số tùy ý Thay điều kiện ex ex ban đầu y(0) = vào nghiệm tổng quát vừa tìm ta C ln , đó nghiệm riêng cần tìm 2 x 1 e y ln y ln là ln(1 e x ) 2 a x b1 y c1 a b1 det a 1b a b1 Lưu ý Phương trình vi phân có dạng y' f a b a x b y c 2 2 có thể biến đổi phương trình vi phân có biến số phân ly nhờ phép đổi biến t = a1x + b1y Ví dụ 4.5 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (x + y + 2)dx + (2x + 2y – 1)dy = 1 1 xy2 nên đổi Phương trình vi phân đã cho tương đương với y' , ta có det 2x y 2 biến t = x + y dy = dt – dx, đó phương trình vi phân đã cho trở thành (t + 2)dx + (2t – 1)(dt – dx) = (3 – t)dx + (2t – 1)dt = Khi t 3, chia hai vế phương trình cho t – ta 2t 2t dx dt dx dt C dx dt C x 2t ln t C 3 t 3 t t 3 Quay lại biến x, y ta nghiệm tổng quát x + 2y + 5lnx + y – 3 = C 4.2.2.2 Phương trình vi phân Hàm số f(x,y) gọi là hàm số bậc m f(x,y) = mf(x,y) Phương trình vi phân y’ = f(x,y) gọi là phương trình vi phân nó có thể biến đổi dạng P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, đó các hàm số P(x,y), Q(x,y) là các hàm số cùng bậc 80 (81) TailieuVNU.com Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) là các hàm số cùng bậc m thì phương trình P(x,y)dx + y Q(x,y)dy = có thể biến đổi dạng y' f Thật vậy, ta có P(x,y)dx + Q(x,y)dy = x y y y y m P x ( 1), x P x , x x P 1, P 1, P ( x , y) x x x y x y' f y y y m Q( x , y ) y x Q x , x x Q 1, Q 1, Q x ( 1), x x x x x Phương pháp giải Đặt y = tx, phương trình vi phân biến đổi phương trình vi phân có biến số phân ly Ví dụ 4.6 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (x2 + 2xy)dx + xydy = Trong phương trình vi phân đã cho, hai hàm số P(x,y) = x + 2xy, Q(x,y) = xy là hàm số cùng bậc (bậc 2), nên có thể đặt y = tx dy = xdt + tdx Khi đó, phương trình vi phân đã dx tdt dx tdt cho trở thành x2(t + 1)2dx + x3tdt = 0 C x ( t 1) x ( t 1) dx ( t 1)dt dx dt dt x (t 1)2 C x t (t 1)2 C ln x ln t t C với C là số tùy ý y Thay t vào nghiệm tổng quát vừa tìm được, ta nghiệm tổng quát phương trình vi x x phân đã cho là ln x y C với C là số tùy ý xy Ví dụ 4.7 Tìm dạng gương hội tụ tất các tia sáng song song vào điểm Gương cần phải có dạng mặt tròn xoay có trục song song với phương các tia tới Lấy trục này làm trục Ox và tìm phương trình đường cong y = y(x) mà quay nó quanh trục Ox tạo thành mặt cần tìm Lấy gốc O hệ tọa độ Oxy điểm mà các tia sáng hội tụ vào Ký hiệu tia tới là KM, tia phản xạ là MO Kẻ tiếp tuyến TT1 và pháp tuyến MN điểm M đường cong y = y(x) phải tìm Khi đó, dễ thấy MOT là tam giác cân có đỉnh O nên OM = OT, với OM x 2M y 2M ; còn OT xác định theo phương trình đường tiếp tuyến với đường cong y = y(x) điểm M(xM,yM), cụ thể sau: Ta có phương trình đường tiếp tuyến với đường cong y = y(x) điểm M(xM,yM) là y – yM = y’(xM).(x – xM) Đường tiếp tuyến này cắt trục Ox điểm T(x T,0) nên – yM = y’(xM) (xT – xM), suy yM OT x T x T xM y' ( x M ) yM Từ OM = OT x 2M y 2M x M , vì M có tọa độ (xM,yM) là điểm trên y' ( x M ) đường cong nên, không tính tổng quát, có thể coi điểm M có tọa độ (x,y), đó ta có phương y trình vi phân x y x để tìm y = y(x) y' Ta biến đổi phương trình vi phân vừa tìm dạng x x y dy ydx , để việc biến đổi các biểu thức đơn giản, ta xem y là biến, còn x = x(y) là hàm số y Dễ thấy phương trình này là phương trình vi phân nhất, nên để tìm nghiệm nó ta đặt x = ty dx = tdy + ydt và đó ta ty t y y dy y( tdy ydt) Nếu y thì phương trình trên trở thành 81 (82) dy t 1dy ydt y TailieuVNU.com dt dy dt ln C với số C Tích phân các biểu y t2 1 t2 1 thức đẳng thức trên ta ln y ln t t ln C y C t t với số C Trở biến x và y ban đầu ta x x y y2 với số C Sau biến đổi đẳng C C thức trên ta y 2C x với số C 2 Như vậy, đường cong phải tìm là đường parabol, còn gương có dạng paraboloit tròn xoay Ví dụ 4.8 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân y' = /2 y y sin với điều kiện ban đầu y(1) x x y y y sin f nên phương trình đã cho là phương trình vi phân Đặt y = tx, x x x dy = xdt + tdx Khi đó, phương trình vi phân đã cho trở thành xdt = sintdx dt dx dt dx t t ln C ln tan ln x ln C ln tan ln Cx t arctan(Cx ) sin t x sin t x 2 với số C Trở biến x và y ban đầu ta nghiệm tổng quát y = 2xarctan(Cx) Thay điều kiện ban đầu y(1) vào nghiệm tổng quát y = 2xarctan(Cx) ta arctan C arctan C C , đó nghiệm riêng phải tìm là y = 2xarctanx a x b1 y c1 a b1 det a 1b a b1 Lưu ý Phương trình vi phân có dạng y' f a b2 a x b2 y c2 Vì y' x u có thể biến đổi phương trình vi phân nhờ phép đổi biến đó (,) y v a 1x b1 y c1 nghiệm hệ phương trình a x b y c Ví dụ 4.9 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (2x + y + 1)dx + (x + 2y – 1)dy = 2 1 2x y nên đổi , ta có det x 2y 1 2 x u 1 2 x y x u biến với là nghiệm hệ phương trình Do đó y v x y y v Phương trình vi phân đã cho tương đương với y' dx du và phương trình vi phân đã cho trở thành (2u + v)du + (u + 2v)dv = dy dv Dễ thấy rằng, phương trình vừa nhận là phương trình vi phân nên ta có thể đổi biến v = tu dv = udt + tdu và phương trình vi phân xét đưa dạng phương trình vi phân du (2t 1)dt du (2t 1)dt du d( t t 1) C có biến số phân ly u t t 1 u t t C1 u t2 t 1 ln u ln( t t 1) C1 ln u t t C1 u t t eC1 u ( t t 1) e 2C1 với số C1 tùy ý 82 (83) TailieuVNU.com Quay lại các biến u, v ta u uv v e C1 , quay lại các biến x, y ban đầu, ta nghiệm tổng quát x y xy x y e 2C1 hay x y xy x y C với số C e C1 4.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính Phương trình vi phân y’ + p(x)y = q(x) đó p(x), q(x) là các hàm số liên tục với x(a,b), gọi là phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) Nếu q(x) với x(a,b) thì phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) nói trên trở thành y’ + p(x)y = gọi là phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) nhất, còn q(x) thì phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) nói trên gọi là phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không Định lý Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không [y’ + p(x)y = q(x)] nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) tương ứng [y’ + p(x)y = 0], cộng với nghiệm riêng nào đó phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không [y’ + p(x)y = q(x)] Phương pháp giải Phương pháp Bernoulli Tìm nghiệm phương trình y’ + p(x)y = q(x) dạng tích hai hàm số u(x)v(x) tức là y(x) = u(x)v(x) y’ = u’v + uv’ u’v + uv’ + p(x)uv = q(x) u[v’ + p(x)v] + u’v = q(x) Chọn hàm v(x) cho v’ + p(x)v = 0, phương trình này là phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) hàm v(x) Giả sử v(x) 0, chia hai vế phương trình v’ + p(x)v = cho dv dv v(x) ta p( x )dx p( x )dx ln v p( x )dx ln C1 v C1 e p ( x ) dx (với v v p ( x ) dx số C1 0) hay v Ce với C C1 Mặt khác, v(x) = là nghiệm phương trình v’ + p(x)v = 0, nghiệm này ứng với số C = biểu thức v(x) Ce p ( x ) dx Do đó v(x) Ce p ( x ) dx với số C tùy ý, là nghiệm tổng quát phương trình v’ + p(x)v = Chọn v(x) e p ( x )dx (ứng với C = 1) thay vào phương trình u[v’ + p(x)v] + u’v = q(x) ta p ( x ) dx q( x ) q( x ) u.0 + u’v = q(x) u’v = q(x) du dx du dx u q( x )e dx C v( x ) v( x ) p ( x ) dx p ( x ) dx Suy y( x ) u ( x ) v( x ) q( x )e dx C e p ( x ) dx Ce p ( x ) dx e p ( x ) dx q( x )e dx với C là số tùy ý, là nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không y’ + p(x)y = q(x) Như vậy, tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không ta có thể p ( x ) dx thay các hàm số p(x), q(x) vào biểu thức y( x ) q( x )e dx C e p ( x ) dx và tính các tích phân đó; có thể trực tiếp tìm nghiệm y(x) = u(x)v(x) theo các bước trên Ví dụ 4.10 Giải phương trình vi phân y’ – y = sinx p ( x ) dx Thay p(x) = -1 và q(x) = sinx vào biểu thức nghiệm y( x ) q( x )e dx C e p ( x ) dx ta dx y( x ) sin xe dx C e dx sin xex dx C e x , tính tích phân sin xe x dx phương pháp tích 83 (84) TailieuVNU.com e x phân phần ta sin xe dx (cos x sin x ) và thay vào biểu thức y(x) ta y( x ) Ce x (cos x sin x ) x Hoặc tìm y(x) = u(x)v(x) y = u’v + uv’ u’v + uv’ – uv = sinx u(v’ – v) + u’v = sinx dv - Tìm nghiệm phương trình v’ – v = dv – vdx = dx v e x ; v + Thay v(x) = ex vào phương trình u(v’ – v) + u’v = sinx ta u’ex = sinx du = e-xsinxdx e x u e x sin xdx (cos x sin x ) C với C là số tùy ý ex (cos x sin x ) C e x Ce x (cos x sin x ) + Do đó y( x ) u ( x ) v( x ) Phương pháp Lagrange (phương pháp biến thiên số) Để giải phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không y’ + p(x)y = q(x), đầu tiên ta giải phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) tương ứng y’ + p(x)y = Nếu y ta có dy dy phương trình tương đương p( x )dx p( x )dx ln y p( x )dx ln C1 (với số y y C1 0) y C1 e p ( x ) dx hay y Ce p( x )dx với số C C1 Mặt khác, y(x) = là nghiệm phương trình y’ + p(x)y = 0, nghiệm này ứng với số C = biểu thức y(x) Ce p ( x ) dx Do đó y(x) Ce p ( x ) dx với C là số tùy ý, là nghiệm tổng quát phương trình y’ + p(x)y = Tiếp theo, xem C = C(x) là hàm số x, ta tìm C(x) để y( x ) C( x )e p ( x ) dx thỏa mãn phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không y’ + p(x)y = q(x) Muốn vậy, thay y( x ) C( x )e p ( x ) dx vào phương trình y’ + p(x)y = q(x) ta dC C' ( x )e p ( x ) dx C( x )p( x )e p ( x ) dx p( x )C( x )e p ( x ) dx q( x ) q( x )e p ( x ) dx dx p ( x ) dx C( x ) q( x )e dx K với K là số tùy ý p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx e e Suy y( x ) C( x )e q(x )e dx K Ke q(x )e dx với K là số tùy ý, là nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không y’ + p(x)y = q(x) Ví dụ 4.11 Giải phương trình vi phân Ví dụ 4.10 phương pháp Lagrange Phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không tương ứng là y’ – y = dy dy dx dx ln C1 ln y x ln C1 y C1 e x (với số C1 0) hay y Ce x với y y số C C1 Mặt khác, y(x) = là nghiệm phương trình y’ – y = 0, nghiệm này ứng với số C = biểu thức y(x) Cex Do đó y(x) Cex là nghiệm tổng quát phương trình y’ – y = với C là số tùy ý Bây giờ, nghiệm y(x) = Cex xem C = C(x) thì y(x) = C(x)ex y’ = C’(x)ex + C(x)ex và thay vào phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không y’ – y = sinx ta 84 (85) TailieuVNU.com dC C’(x)e + C(x)e – C(x)e = sinx e x sin x dC e x sin xdx dC e x sin xdx dx e x C( x ) (cos x sin x ) K với K là số tùy ý ex x (cos x sin x ) K e x Ke x (cos x sin x ) Như y( x ) C( x )e Ví dụ 4.12 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân (x + 1)y’ + xy = với điều kiện ban đầu y(0) = x Sử dụng phương pháp Bernoulli: Phương trình đã cho tương đương với y' y x 1 x 1 x và q( x ) p( x ) x 1 x 1 p ( x ) dx x Thay p( x ) và q( x ) vào biểu thức nghiệm y( x ) q( x )e dx C e p ( x ) dx x 1 x 1 xdx x 1 xdx e xdx d( x 1) ta y( x ) dx C e x 1 Ta có ln( x 1) ln x nên x 1 x 1 x 1 eln x 1 ln x 1 x dx y( x ) dx C e dx C C 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x ln x x x x2 1 C x2 1 ln x x C x2 1 Từ điều kiện ban đầu y(0) = suy y(0) riêng phải tìm là y( x ) ln x x x2 1 ln C 1 C = Do đó nghiệm Sử dụng phương pháp Lagrange: Phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) tương ứng dy xdx dy xdx là (x2 + 1)y’ + xy = ln C1 ln y ln x 1 ln C1 (với y x 1 y x 1 C số C1 0) hay y với số C C1 Mặt khác, dễ thấy y = là nghiệm x2 1 C phương trình (x2 + 1)y’ + xy = 0, nghiệm này ứng với C = biểu thức y Do đó x2 1 C là nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) y x2 1 Bây giờ, nghiệm y C x 1 xem C = C(x) thì y C( x ) x 1 y' C' ( x ) x 1 Thay y và y’ vào phương trình (x2 + 1)y’ + xy = ta C' ( x ) x dC C( x ) ln x x K với K là số tùy ý Như vậy, y( x ) C( x ) ln x x K x2 1 tuyến tính (cấp 1) không x2 1 85 xC( x ) x2 1 dx x2 1 là nghiệm tổng quát phương trình vi phân (86) Từ điều kiện ban đầu y(0) = suy y(0) riêng phải tìm là y( x ) ln K 02 TailieuVNU.com K = Do đó nghiệm ln x x x 1 Lưu ý Phương trình vi phân y’ + p(x)y = q(x)y đó là số thực (được gọi là phương trình Bernoulli) luôn luôn giải Trường hợp = 0: Phương trình trở thành y’ + p(x)y = q(x) là phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) không đã biết phương pháp giải trên Trường hợp = 1: Phương trình trở thành y’ + p(x)y = q(x)y y’ + [p(x) – q(x)]y = là phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) đã biết phương pháp giải trên Trường hợp và 1: Với y chia hai vế phương trình Bernoulli cho y- ta y-y’ + p(x)y1 - = q(x) Đổi biến phép z = y1 - z’ = (1 – )y-y’, phương trình trên trở thành z’ + (1 – )p(x)z = (1 – )q(x) là phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) đã biết phương pháp giải trên Ví dụ 4.13 Giải phương trình vi phân y' y ( x 1)3 y x 1 1 Nếu y 0, chia hai vế phương trình cho y2 ta y 2 y' y ( x 1)3 x 1 Đặt z = y-1 z’ = -y-2y’, phương trình trở thành z' z ( x 1)3 là phương trình vi phân x 1 tuyến tính (cấp 1) biến z dz 2dx Phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) tương ứng là z' , z0 x 1 dx x đó ln z ln x ln C với số C 0, hay z = C(x + 1)2 Bây coi C = C(x) thì z = C(x)(x + 1)2 và thay vào phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) dC( x ) ( x 1) K không z' x C( x ) với K là số z ( x 1) ta dx 2 x 1 ( x 1) K ( x 1) K ( x 1) ( x 1) y tùy ý Do đó ta có z với K là 2 ( x 1) K ( x 1) số tùy ý Ngoài ra, ta thấy y = là nghiệm phương trình vi phân ban đầu, nghiệm này không suy từ nghiệm tổng quát vừa tìm trên, nên y = là nghiệm kỳ dị Chú ý rằng, tìm nghiệm phương trình Bernoulli cụ thể, không cần biến đổi nó dạng phương trình vi phân tuyến tính mà áp dụng phương pháp Bernoulli phương pháp Lagrange y Ví dụ 4.14 Giải phương trình vi phân y' x y x y Phương trình y' x y là phương trình Bernoulli với = Ta tìm nghiệm nó x phương pháp Lagrange, cụ thể sau: y Phương trình vi phân tuyến tính (cấp 1) tương ứng y' có nghiệm tổng quát x C y với số C tùy ý x 86 (87) TailieuVNU.com C( x ) C' ( x ) C( x ) Khi coi C = C(x) thì y y' và thay vào phương trình vi phân tuyến tính x x x C ' ( x ) C( x ) C ( x ) C' ( x ) C( x ) C( x ) (cấp 1) không ban đầu, ta x2 x x x x x2 x dC( x ) dx dC( x ) dx ln K ln x ln K với số K 0, suy 4 x C(x ) x C(x ) 3C( x ) C( x ) 3 ln K / x Do đó, nghiệm tổng quát cần tìm là y C( x ) x x 3 ln K x 4.2.2.4 Phương trình vi phân toàn phần Phương trình vi phân toàn phần (cấp 1) là phương trình vi phân có dạng P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, đó P(x,y), Q(x,y) là các hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp chúng P( x, y) Q( x, y) miền đơn liên D và thỏa mãn điều kiện y x Theo định lý Chương thì biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần (cấp 1) hàm số u(x,y) nào xác định trên miền D Do đó phương trình P(x,y)dx + Q(x,y)dy = trở thành du(x,y) = u(x,y) = C với C là số tùy ý Để tìm hàm số u(x,y) ta có thể thực hai cách x y x0 y0 Cách Sử dụng công thức đã chứng minh u ( x , y) P( t , y )dt Q( x , t )dt K x y x0 y0 u ( x , y) P( t , y)dt Q( x , t )dt K , đó x0, y0 là hai số chọn tùy ý cho việc tính toán các biểu thức liên quan là đơn giản nhất, còn K là số tùy ý Cách Ta có du( x, y) và u ( x, y) u ( x, y) u ( x, y) dx dy P( x, y)dx Q( x, y)dy P ( x , y) x y x u ( x, y) Q( x , y ) y u ( x, y) u ( x, y) P ( x , y) u ( x , y) dx ( y) P( x, y)dx ( y) với x x (y) là hàm số khả vi tùy ý; tiếp theo, đạo hàm riêng hàm số u(x,y) vừa tìm theo y ta P( x , y)dx u ( x , y) P( x , y)dx d( y) d( y) Q( x , y) Q( x , y ) , từ đây ta tìm y y dy dy y - là, đầu tiên từ hàm số (y) và cuối cùng ta u ( x, y) P( x, y)dx ( y) ; u ( x, y) u ( x, y) Q( x , y ) u ( x , y ) dy ( x ) Q( x, y)dy ( x ) y y với (x) là hàm số khả vi tùy ý; tiếp theo, đạo hàm riêng hàm số u(x,y) vừa tìm theo x ta Q( x , y)dy u ( x, y) Q( x , y)dy d( x ) d( x ) P ( x , y) P( x , y) , từ đây ta tìm x x dx dx x hàm số (x) và cuối cùng ta u ( x, y) Q( x, y)dy ( x ) - là, đầu tiên từ Ví dụ 4.15 Giải phương trình [(1 + x + y)ex +ey]dx + (ex + xey)dy = 87 (88) TailieuVNU.com Ta có P(x,y) = (1 + x + y)e x + e P( x, y) e x e y và Q(x,y) = ex + xey y y Q( x, y) P( x, y) Q( x, y) nên biểu thức [(1 + x + y)ex +ey]dx + (ex + xey)dy là vi ex ey y x x phân toàn phần (cấp 1) hàm số u(x,y) nào đó Để tìm hàm số u(x,y) ta có thể thực hiện: x y x0 y0 Cách Ta có u ( x , y) P( t , y )dt Q( x , t )dt K , chọn x0 = và y0 = ta P(t,0) = x y (1 + t + 0)e + e = (1 + t)e + và Q(x,t) = e + xe u ( x, y) (1 t )e dt (e x xe t )dt K t t x t t (x xe ) ( ye xe x) (x y)e xe K với K là số tùy ý u ( x, y) u ( x, y) Cách Ta có P( x, y) (1 x y)e x e y u ( x, y) dx ( y) x x x y x x x x y x y (1 x y)e e dx ( y) e xe e ye xe ( y) (x y)e xe ( y) với (y) là x x y x y u ( x, y) d( y) d( y) e x xe y Q( x, y) e x xe y ( y) K với y dy dy K là số tùy ý Suy u(x, y) (x y)e x xey K với K là số tùy ý hàm số khả vi tùy ý Do đó, ta có du(x,y) = nghiệm tổng quát phương trình là (x y)e x xey = C với C là số tùy ý P( x, y) Q( x, y) Lưu ý Phương trình P(x,y)dx + Q(x,y)dy = trường hợp có thể đưa y x phương trình vi phân toàn phần (cấp 1) tìm hàm số (x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp nó cho biểu thức (x,y)[P(x,y)dx + Q(x,y)dy] là vi phân toàn phần (cấp 1) hàm số u(x,y) nào đó Khi đó, hàm số (x,y) gọi là thừa số tích phân phương trình P(x,y)dx + Q(x,y)dy = Việc tìm thừa số tích phân (x,y) không phải là bài toán dễ Có hai trường hợp đơn giản mà ta có thể tìm hàm số (x,y), cụ thể sau: - Nếu (x,y) phụ thuộc x, tức là (x,y) = (x) thì (x) xác định từ phương trình P( x , y) Q( x , y) d ln ( x ) y x với vế phải phụ thuộc vào x dx Q( x , y ) - Nếu (x,y) phụ thuộc y, tức là (x,y) = (y) thì (y) xác định từ phương trình P( x , y) Q( x , y) d ln ( y) y x với vế phải phụ thuộc vào y dy P( x , y) Ví dụ 4.16 Giải phương trình (x2 – sin2y)dx + xsin2ydy = P( x, y) Q( x, y) Ta có P(x,y) = x2 – sin2y và Q(x,y) = xsin2y nên phương trình vi phân y x P( x , y) Q( x , y) y x trên không phải là phương trình vi phân toàn phần Tuy nhiên, ta thấy Q( x , y) x 88 (89) TailieuVNU.com d ln ( x ) C phụ thuộc vào x nên có thể tìm thừa số tích phân (x) từ phương trình ( x ) , dx x x không tính tổng quát ta có thể chọn ( x ) x Nhân thừa số tích phân ( x ) với hai vế phương trình (x2 – sin2y)dx + xsin2ydy = x sin y sin y dy và có thể dễ dàng kiểm tra phương trình này là phương ta 1 dx x x trình vi phân toàn phần Để tìm hàm u(x,y) ta sử dụng cách đã trình bày trên sin y sin y Ta có P( x, y) và Q( x, y) x x sin y u ( x , y) sin y u ( x , y) P ( x , y ) u ( x , y ) dx ( y ) Suy x 1 x dx ( y) x x2 x sin y u ( x, y) sin y cos y d( y) ( y) với (y) là hàm số khả vi tùy ý Q( x , y ) x y x dy sin y sin y d( y) K với K là ( y) K với K là số tùy ý Suy u ( x, y) x x x dy số tùy ý sin y Do đó, ta có du(x,y) = nghiệm tổng quát phương trình là x = C với C là x số tùy ý 4.3 Giới thiệu phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân Như đã biết, phương trình vi phân F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = gọi là phương trình vi phân cấp n Nghiệm phương trình này là hàm số y = (x) khả vi n lần và làm cho phương trình đã cho trở thành đồng thức, tức là F[x, ’(x), ”(x), …, (n) (x)] Bài toán Cauchy phương trình này là tìm nghiệm nó cho x = x thì y = y0, y' y , y" y"0 , …, y( n1) y(0n1) , đó x0, y0, y '0 , y"0 , …, y (0n 1) là số mà ta gọi là điều kiện ban đầu ' Hàm số y = (x,C1,C2, …,Cn) gọi là nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp n đã cho chọn tương ứng các số tùy ý C1, C2, …, Cn để hàm số này trở thành nghiệm bài toán Cauchy đã đặt phương trình đã cho Mọi nghiệm nhận nghiệm tổng quát với các giá trị cụ thể các số C 1, C2, …, Cn (nói riêng, nghiệm bài toán Cauchy) gọi là nghiệm riêng phương trình này dy1 dx f1 ( x , y1 , y , , y n ) dy f ( x , y , y , , y ) 2 n Hệ phương trình vi phân dx đó y1, y2, …, yn là các hàm số chưa dy n f ( x , y , y , , y ) n n dx biết biến số độc lập x, gọi là hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp Nếu vế phải hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp là các hàm số tuyến tính y1, y2, …, yn thì đó, hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp gọi là hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp tuyến tính 89 (90) TailieuVNU.com Mọi phương trình vi phân cấp n dạng y(n) = f(x,y,y’,y”,y(n-1)) có thể đưa hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp cách đặt y = y1, y’ = y2, …, y(n-1) = yn ta dy1 dx y dy y dx dy n 1 y n dx dy n f ( x , y1 , y , , y n ) dx Ngược lại, hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp có thể đưa phương trình vi phân cấp cao hàm số chưa biết cách khử các hàm số chưa biết còn lại từ phương trình hệ Giải phương trình vi phân cấp cao đó, tìm các hàm số chưa biết còn lại Phương pháp giải hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp vậy, gọi là phương pháp khử Trong số trường hợp, cách tổ hợp các phương trình hệ, sau hữu hạn phép biến đổi không phức tạp, ta nhận các phương trình dễ tích phân cho phép tìm nghiệm hệ Phương pháp này gọi là phương pháp tổ hợp tích phân Nói chung, có thể giải phương trình vi phân cấp n (hữu hạn) số trường hợp riêng nào đó (1) Phương trình dạng y(n) = f(x) Nghiệm phương trình này tìm tích phân bội n lớp, cụ thể là dy( n 1) y(n) = f(x) f ( x ) dy( n 1) f ( x )dx y ( n 1) f ( x )dx C1 f1 ( x ) C1 , dx y ( n 2) f1 ( x ) C1 dx f ( x ) C1x C2 , … y f n (x) C1 C2 x n 1 x n 2 C n 1x C n , đó f n ( x ) f ( x )dx n (n 1)! (n 2)! n C1 C2 Bởi vì , , … là các đại lượng không đổi nên ta có thể viết nghiệm tổng quát (n 1)! (n 2)! n dạng y( x ) f n ( x ) C1x n 1 C x n 2 C n 1x C n f n ( x ) C k x n k k 1 (2) Phương trình vi phân không chứa hàm cần tìm dạng F(x,y(k),y(k+1),…,y(n)) = Có thể hạ cấp phương trình này cách lấy đạo hàm cấp thấp phương trình đã cho làm hàm số ẩn mới, tức là đặt y(k) = z Khi đó, phương trình trên trở thành F(x,z,z’,…,z(n-k)) = 0, tức là cấp phương trình hạ xuống k đơn vị (3) Phương trình vi phân không chứa biến độc lập dạng F(y,y’,y”, …, y(n)) = Có thể hạ cấp phương trình này cách đặt y’ = z lấy y làm đối số Khi đó, y”, y(3), … biểu diễn qua z dz dz dz (3) và các đạo hàm z theo y các công thức y" z , y z z , … (chúng dy dy dy tính theo quy tắc đạo hàm hàm hợp), đồng thời cấp phương trình hạ xuống đơn vị (4) Phương trình vi phân dạng F(x,y,y’,y”, …, y(n)) = hàm chưa biết và các đạo hàm nó y,y’,y”, …, y(n) Phương trình dạng này cho phép hạ cấp đơn vị phép đổi biến z = y’/y 4.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao và không 90 (91) Phương trình vi phân tuyến tính cấp n là phương trình vi phân có dạng TailieuVNU.com y(n) + a1(x)y(n-1) + a2(x)y(n-2) + … + an-1(x)y’ + an(x)y = f(x), đó các hàm số a1(x), a2(x), …, an(x) là các hàm số đã cho và liên tục với x(a,b) Nếu f(x) với x(a,b) thì phương trình vi phân tuyến tính (cấp n) nói trên gọi là phương trình vi phân tuyến tính (cấp n) nhất, còn f(x) thì phương trình vi phân tuyến tính (cấp n) nói trên gọi là phương trình vi phân tuyến tính (cấp n) không Nếu tất các hàm số a1(x), a2(x), …, an(x) là số, tức là ai(x) = i với i (1 i n) thì phương trình y(n) + 1y(n-1) + 2y(n-2) + … + n-1y’ + ny = f(x) gọi là phương trình vi phân tuyến tính (cấp n) có hệ hệ số số Nếu biết nghiệm riêng y1 phương trình vi phân tuyến tính (cấp n) tương ứng thì phép đổi biến y y1 zdx ta có thể hạ cấp phương trình vi phân tuyến tính (cấp n) không xuống đơn vị và phương trình vi phân nhận biến z là phương trình vi phân tuyến tính (cấp n-1) không 4.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số số dy1 dx a 11 y1 a 12 y a 1n y n dy a y a y a y 21 22 2n n Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp có dạng dx đó các dy n a y a y a y n1 n2 nn n dx hệ số aij (1 j, j n) là các số, gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số số Có thể viết hệ phương trình vi phân tuyến tính a 11 a 12 t dY dY dy1 dy dy n a 21 a 22 AY với , A dx dx dx dx dx a n1 a n có hệ số số dạng ma trận a 1n y1 a 2n y2 Y và y a nn n Có thể giải hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số số mà không cần đưa nó phương trình vi phân cấp cao Bài tập 4.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly (a) x(1 + y2)2dx + y(1 + x2)2dy = (c) y’cos2y – siny = cos y sin y (e) y' cos x sin x (b) (x2 – yx2) y’ + y2 + xy2 = (d) y’ + sin(x+y) = sin(x–y) (g) y’ = x2 +2xy – + y2 (h) y' (f) y’ = cos(x–y) 4.2 Tìm nghiệm riêng các phương trình vi phân cấp (a) x y dx y x dy với y(0) = (b) (1 + e2x)y2dy = exdx với y(0) = (c) sinxdy – ylnydx = với y(0) = (d) (x2 + 1)y’ = y2 + với y(1) = 91 1 xy (92) TailieuVNU.com 4.3 Giải các phương trình vi phân cấp (a) (y – x)dx + (y + x)dy = (b) xdy ydx x y dx (c) xyy’ + x2 – 2y2 = (d) (3x2 + y2)y + (y2 – x2)xy’ = y y (e) x cos ( ydx xdy) y sin ( xdy ydx) x x y2 x y 1 (f) y' (g) y' 2 x y x y3 4.4 Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp (a) 2x(x – 1)y’ + (2x – 1)y + = (c) y'2xy xe x (e) 2ydx + (y2 – 6x)dy = 2y (g) y' ( x 1) với y(0) = ½ x 1 4.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần (a) (x + y + 1)dx + (x – y2 + 3)dy = y2 1 1 x2 dx dy (c) 2 ( x y ) x y ( x y ) (b) x(1 + x2)y’ – (x2 – 1)y + 2x = (d) (1 + x2)y’ – 2xy = (1 + x2)2 (f) xy’ – y = x2arctanx (h) (1 + x2)y’ + xy = với y(0) = (b) 2(3xy2 + 2x3)dx + 3(2x2y + y2)dy = xdx (2x y)dy (d) 0 ( x y) 1 1 x y y y x x (e) sin cos 1dx cos sin dy y x x x y y y y x x3 (f) 3x (1 ln y)dx y dy y 4.6 Giải phương trình vi phân y3 (a) xy x y dx ( x y )dy cách tìm thừa số tích phân dạng α(x) 3 (b) y(1 + xy)dx – xdy = cách tìm thừa số tích phân dạng α(y) 92 (93)