Thông tin tài liệu
1
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ˆ
A
.
P PHU
.
O
.
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INH VI PH
ˆ
AN
1)
2xy
y” = y
2
− 1
HD gia
’
i: y
= p : 2xpp
= p
2
− 1
x(p
2
− 1) = 0
2pdp
p
2
− 1
=
dx
x
⇔ p
2
− 1 = C
1
⇔ p = ±
√
C
1
x + 1
p =
dy
dx
=
√
C
1
+ 1 ⇒ y =
2
3C
1
(C
1
x + 1)
3
2
+ C
2
2)
√
y.y” = y
HD gia
’
i: y
= p ⇒ y” = p
dp
dy
√
yp
dp
dy
= p
p = 0 dp =
dy
√
y
⇒ p = 2
√
y + C
1
⇔
dy
dx
= 2
√
y + C
1
⇒
dx =
dy
2
√
y + C
1
x =
√
y −
C
1
2
ln |2
√
y + C
1
| + C
2
y = c
3)
a(xy
+ 2y) = xyy
HD gia
’
i: a(xy
+ 2y) = xyy
⇒ x(a − y)y
= −2ay
y = 0
a − y
y
dy = −
2a
x
dx ⇔ x
2a
y
a
e
−y
= C
y = 0
4)
y” = y
e
y
HD gia
’
i: y
= p ⇒ y” = p
dp
dy
p
dp
dy
= pe
y
p = 0 :
dp
dy
= e
y
⇔ p = e
y
+ C
1
⇒
dy
dx
= e
y
+ C
1
⇔
dy
e
y
+ C
1
= dx
C
1
= 0
dy
e
y
+ C
1
=
1
C
1
e
y
+ C
1
− e
y
e
y
+ 1
dy =
1
C
1
(y −
e
y
dy
e
y
+ C
1
) =
y
C
1
−
1
C
1
ln(e
y
+ C
1
)
dx
e
y
+ C
1
=
−e
−y
nˆe
´
u C
1
= 0
1
C
1
(y −ln |e
y
+ C
1
|) nˆe
´
u C
1
= 0.
y = C :
5) xy
= y(1 + ln y −ln x) y(1) = e
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2
HD gia
’
i: y
=
y
x
(1 + ln
y
x
) y = zx
xz
= z ln z
• z ln z = 0 ⇒
dz
z ln z
=
dx
x
⇒ ln z = Cx ln
y
x
= Cx ⇔ y = xe
Cx
y(1) = e → C = 1. y = xe
x
6)
y”(1 + y) = y
2
+ y
HD gia
’
i: y
= z(y) ⇒ z
= z
dz
dy
dz
z + 1
=
dy
y + 1
⇒ z + 1 = C
1
(y + 1) ⇒ z = C
1
y + C
1
− 1 ⇔
dy
C
1
y + C
1
− 1
= dx (∗)
• C
1
= 0 ⇒ (∗) y = C −x
• C
1
= 0 ⇒ (∗)
1
C
1
ln |C
1
y + C
1
− 1| = x + C
2
y = C
y = C, y = C − x;
1
C
1
ln |C
1
y + C
1
− 1| = x + C
2
7)
y
= y
2
−
2
x
2
HD gia
’
i: x
2
y
= (xy)
2
− 2 (∗)
z = xy ⇒ z
= y + xy
(∗)
xz
= z
2
+ z −2 ⇔
dz
z
2
+ z −2
=
dx
x
⇔
3
z −1
z + x
= Cx
xy −1
xy + 2
= Cx
3
.
8)
yy” + y
2
= 1
HD gia
’
i: y
= z(y) ⇒ y” = z.
dz
dy
z
1 − z
2
dz =
dy
y
⇔ z
2
= 1 +
C
1
y
2
⇒
dy
dx
= ±
1 +
C
1
y
2
⇔ ±
dy
1 +
C
1
y
2
= dx ⇒ y
2
+ C
1
= (x + C
2
)
2
y
2
+ C
1
= (x + C
2
)
2
9) 2x(1 + x)y
− (3x + 4)y + 2x
√
1 + x = 0
HD gia
’
i: y
−
3x + 4
2x(x + 1)
.y = −
1
√
x + 1
; x = 0, x = −1
dy
y
=
3x + 4
2x(x + 1)
dx =
(
2
x
−
1
2(x + 1)
)dx ⇔ y =
Cx
2
√
x + 1
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3
C
= −
1
x
2
⇒ C = −
1
x
+ ε.
y =
x
2
√
x + 1
(
1
x
+ ε)
10)
y” = e
2y
y(0) = 0
y
(0) = 0
HD gia
’
i: z = y
→ y” = z.
dz
dy
z.
dz
dy
= e
2y
⇔
z
2
2
=
e
2y
2
+ ε
y
(0) = y(0) = 0 ⇒ ε = −
1
2
. z
2
= e
2y
− 1.
z =
dy
dx
=
√
e
2y
− 1 ⇒
dy
√
e
2y
− 1
= x + ε. d¯ˆo
’
i biˆe
´
n t =
√
e
2y
− 1
arctg
√
e
2y
− 1 = x + ε
y(0) = 0 ⇒ ε = 0. y =
1
2
ln(tg
2
x + 1).
11)
xy
+ 2y = xyy
y(−1) = 1
HD gia
’
i:
x(1 − y)y
= −2y y(−1) = 1 y ≡ 0
1 − y
y
dy = −2
dx
x
x
2
ye
−y
= C C =
1
e
x
2
ye
1−y
= 1
12) y = ux
xdy −ydx −
x
2
− y
2
dx = 0. (x > 0)
HD gia
’
i: y = ux; du = udx + xdu x xdu −
√
1 − u
2
dx = 0 u −±1 u ≡ ±1
du
1 − u
2
=
dx
x
arcsin u − ln x = C x > 0
y = ±x; arcsin
y
x
= ln x + C
13)
xy
=
x
2
− y
2
+ y
y(1) = 0
HD gia
’
i:
xy
=
x
2
− y
2
+ y ⇐⇒ y
=
1 −
y
2
x
2
+
y
x
u =
y
x
y = ux y
= xu
+ u
xu
=
√
1 − u
2
⇐⇒
du
√
1 − u
2
=
dx
x
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4
⇐⇒ arcsin u = ln Cx
y(1) = 0 C = 1 y = ±x
14)
y
sin x = y ln y
y(
π
2
) = e
HD gia
’
i:
y
sin x = y ln y ⇐⇒
dy
y ln y
=
dx
sin x
⇐⇒ ln y = C tan
x
2
⇐⇒ y = e
C tan
x
2
y(
π
2
) = e C = 1 y = e
tan
x
2
15)
(x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0
y(0) = 1
HD gia
’
i: x + y = z =⇒ dy = dz − dx
(2 −z)dx + (2z −1)dz = 0 x −2z −3 ln |z −2| = C
x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C
y(0) = 1 C = 2
16) y =
1
z
z = ux
(x
2
y
2
− 1)dy + 2xy
3
dx = 0
HD gia
’
i: y =
1
z
(z
2
− x
2
)dz + 2zxdx = 0 z = ux
(u
2
− 1)(udx + xdu) + 2udx = 0
⇐⇒
dx
x
+
u
2
− 1
u
3
+ u
du = 0
⇐⇒ ln |x| + ln
u
2
+ 1
|u|
= ln C ⇐⇒
x(u
2
+ 1)
u
= C
u =
1
xy
1 + x
2
y
2
= Cy
17)
y
− xy = x + x
3
HD gia
’
i:
y = Ce
x
2
2
.
x
2
2
+ 1
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5
18)
y
− y = y
2
.
HD gia
’
i:
ln |
y
y + 1
| = x + C.
19)
y
+
y
x
= e
x
HD gia
’
i:
y =
C
x
+ e
x
−
e
x
x
20)
y
− y = y
3
.
HD gia
’
i:
C + x = ln |y| − arctgy.
21)
y
=
y
x
+ sin
y
x
y(1) =
π
2
HD gia
’
i: y = zx ⇒ y
= z
x + z
z
x = sin x ⇔
dz
sin z
=
dx
x
⇔ ln |tg
z
2
| = ln |x| + ln C ⇔ tg
z
2
= Cx
tg
y
2x
= Cx; y(1) =
π
2
⇒ C = 1.
tg
y
2x
= x
22) (x − y cos
y
x
)dx + x cos
y
x
dy = 0
HD gia
’
i:
y
x
= z ⇒ y
= z
x + z
x cos z.z
+ 1 = 0 ⇔
cos zdz = −
dx
x
+ C ⇔ sin z = −ln |x| + C
sin
y
x
= −ln |x| + C
23) (y
2
− 1)x
2
y
2
+ y
(x
4
− y
4
) = 0
HD gia
’
i:
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6
y
= (x
4
+ y
4
)
2
⇒ y
1
=
y
2
x
2
; y
2
= −
x
2
y
2
.
y =
x
C
1
x + 1
; x
3
+ y
3
= C
2
24)
y
2
+ x
2
y
= xyy
HD gia
’
i:
y
=
y
2
x
2
y
x
− 1
y
2
= Cxe
y
x
25)
(x + y −2)dx + (x −y + 4)dy = 0
y(1) = 0
HD gia
’
i:
x = u − 1
y = v + 3.
(u + v)du + (u −v)dv = 0
u
2
+ 2uv −v
2
= C
x
2
+ 2xy −y
2
− 4x + 8y = C
26)
(x + y −2)dx + (x −y + 4)dy = 0
HD gia
’
i:
x = X −1
y = Y + 3
(X + Y )dX + (X −Y )dY = 0
Y = uX
dX
X
+
1 − u
1 + 2u − u
2
du = 0
X
2
(1 + 2u − u
2
) = C x
2
+ 2xy −y
2
− 4x + 8y = C
27)
b) y
=
2xy
x
2
− y
2
.
HD gia
’
i: z =
y
z
xz
=
z(1 + z
2
)
1 − z
2
(
1
z
−
2z
1 + z
2
)dz =
dx
x
z
1 + z
2
= Cx, C = 0.
x
2
+ y
2
= C
1
y, C
1
= 0.
28) y
=
2x + y −1
4x + 2y + 5
.
HD gia
’
i: u = 2x + y
du
dx
=
5u + 9
2u + 5
.
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7
10u + 7 ln |5u + 9| = 25x + C.
10y + 7 ln |10x + 5y = 9| − 5x = C.
29)
(x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0
HD gia
’
i: x =
u + 1, y = v − 3,
dv
du
=
u + v
−u + v
v
2
− 2uv −v
2
= C.
y
2
− x
2
− 2xy −8y + 4x = C
1
.
30)
y
=
√
x − y.
(x
2
− y
2
)dy −2xydx = 0.
HD gia
’
i:
D = {(x, y) ∈ R
2
|x − y ≥ δ}
δ > 0
dy
dx
=
xy
x
2
− y
2
z =
y
x
xz
=
z(1 + z
2
)
1 − z
2
.
(
1
z
−
2z
1 + z
2
)dz =
dx
x
z
1 + z
2
= Cx, C = 0.
x
2
+ y
2
= C
1
y, C
1
= 0.
31)
{e
2x
, xe
2x
, x
2
}
(x − y)dy −(x + y)dx = 0;
HD gia
’
i:
y
=
x + y
x − y
z =
y
x
xz
=
1 + z
2
1 − z
.
x
2
+ y
2
= Ce
arctg
y
x
.
32) {cos
2
2x, sin
2
2x, 2}
(x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.
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8
HD gia
’
i:
2 cos
2
2x + 2 sin
2
2x − 2 = 0
y
=
x + y
x − 2y + 1
.
u = x −
1
3
, v = y +
1
3
v
=
u + v
u − 2v
.
√
u
2
+ 2v
2
= Ce
1
√
2
arctg(
√
2
u
v
)
.
(3x − 1)
2
+ 2(3y + 1)
2
= C
1
e
1
√
2
arctg(
√
2
3x−1
3y+1
)
.
33)
y
2
+ x
2
y
= xyy
HD gia
’
i: y = zx → y
= z
x + z
z −1
z
dz =
dx
x
→ z −ln |z| = ln |x| + C
y
x
− ln |
y
x
| = ln |x| + C
34)
y
2
+ x
2
y
= xyy
HD gia
’
i:
y
=
y
2
x
2
y
x
− 1
y
2
= Cxe
y
x
35)
y” cos y + (y
)
2
sin y = y
HD gia
’
i: y = C :
y = C y
= p ⇒ y” = p
dp
dy
y
dp
dy
cos y + p sin y = 1
p = C cos y.
C = y C
1
p =
dy
dx
= sin y + C
1
cos y ⇔
dy
sin y + C
1
cos y
= dx
1
C
2
1
+ 1
ln
tg
y
2
+
1 +
1
C
2
1
−
1
C
1
−tg
y
2
+
1 +
1
C
2
1
+
1
C
1
= x + C
2
36) y
+
1
2x − y
2
= 0
HD gia
’
i: x = x(y) y y
=
1
x
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9
1
x
+
1
2x − y
2
= 0 ⇔ x
+ 2x = y
2
:
x = Ce
−2y
C
(y) = y
2
e
2y
⇒ C(y) =
1
2
y
2
e
2y
−
1
2
ye
2y
+
1
4
e
2y
+ C
x = Ce
−2y
+
1
2
y
2
−
1
2
y +
1
4
37)
xy” = y
+ x
2
HD gia
’
i: y
= p
xp
− p = x
2
p = Cx
→ C(x) = x + C
1
dy
dx
= x(x + C
1
) → y =
x
3
3
+ C
1
.
x
2
2
+ C
2
38)
y
2
+ yy” = yy
HD gia
’
i: p = y
(p = 0)
p
2
+ yp
dp
dy
= yp
⇔ p + y
dp
dy
= y y = 0
dp
dy
+
p
y
= 1
p =
C
y
⇒ C(y) =
y
2
2
+ C
1
p =
y
2
+ 2C
1
2y
⇒
dy
dx
=
y
2
+ 2C
1
2y
⇒
2ydy
y
2
+ 2C
1
= dx
⇒ y
2
= A
1
e
x
+ A
2
.
(yy
)
= yy
⇔ yy
= C
1
e
x
⇔ ydy = C
1
e
x
dx ⇔ y
2
= 2C
1
e
x
+ C
2
39) ye
y
= y
(y
3
+ 2xe
y
) y(0) = −1
HD gia
’
i: y
x
=
1
x
y
x
−
2
y
x = y
2
e
−y
x = y
2
(C − e
−y
)
y(0) = −1 ⇒ C = e.
x = y
2
(e − e
−y
)
40) xy” = y
+ x
HD gia
’
i: y
= p;
p
−
1
x
p = 1
p = Cx C = ln |x| + C
1
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10
⇒ p =
dy
dx
= (ln |x| + C
1
)x ⇒ y =
(ln |x| + C
1
)xdx + C
2
= C
1
x
2
+
x
2
2
ln |x| −
x
2
4
+ C
2
41)
y
+ xy = x
3
HD gia
’
i: y = Ce
−
x
2
2
C(x) = (x
2
− 2)e
−
x
2
2
+ ε
y = εe
−
x
2
2
+ x
2
− 2.
42)
(x
2
− y)dx + xdy = 0
HD gia
’
i:
xy
−y = −x
2
xy
−y = 0
y = Cx
C = −x + ε
y = −x
2
+ εx
43)
y
−
2
x
y =
3
x
2
y(1) = 1
HD gia
’
i: y = Cx
2
; C
=
3
x
4
⇒ C = −
1
x
3
+ ε
y = εx
2
−
1
x
; y(1) = 1 ⇒ ε = 2
y = 2x
2
−
1
x
44)
(x + 1)(y
+ y
2
) = −y
HD gia
’
i: y = 0,
y
+
1
x + 1
.y = −y
2
1
y
= z ⇒ y
= −
z
z
2
= −y
2
z
z
−
1
x + 1
.z = 1.
z = C
1
(x + 1)
C
1
= ln |x + 1| + ε.
z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε)
y = 0
y =
1
(x + 1)(ln |x + 1| + ε)
y = 0
45) 2xy
+ y =
1
1 − x
HD gia
’
i: y
+
1
2x
y =
1
2x(1 − x)
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[...]... Nghi^m t^ ng qua t: a a e o ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr e o nh vi ph^n: a ’ HD giai: xy + ex sin y = C (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^n: NTQ a a ' Giai phu o ng tr nh: ’ HD giai: x2 (x2 + 1) 1 + 2x − ( − 1) = C 2 2 sin y ' nh vi ph^n toan ph^n, nghi^m t^ ng qua t: a a e o Phu o ng tr ' Giai phu o ng tr nh:... Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^n: a a ’ HD giai: 84) (2x + 3x2 y)dx = (3y 2 − x3 )dy ' Giai phu o ng tr nh: ( x2 + x3 y − y 3 = C (x2 + 1) cos y x + 2)dx − dy = 0 sin y 2 sin2 y ∂Q x cos y ∂P = =− ∂y ∂x sin2 y ’ HD giai: TPTQ: y x π P (x, )dx + 2 0 85) 88) (y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − x2 + 2(x sin y − cos y) = C x3 )dy y ' Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^n:... cua phu o ng tr e y + ytgx = cos x ’ HD giai: - ^ Day la phu o ng tr nh vi ph^n tuy^ n t a e nh c^ p 1 a ' Nghi^m t^ ng qua t la: e o y = (C + x) cos x www.VNMATH.com 65) ' nh sau: T m nghi^m cua phu o ng tr e y + 15 y ex = x( x )y 2 x e +1 ’ HD giai: - ^ ' ' Day la phu o ng tr nh vi ph^n Bernoulli va co nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr a e o nh la y=... giai: 91) 1 x2 − 2 (x − y) y dx + dy = 0 ' PTVPTP co t ch ph^n t^ ng qua t: a o ln xy x + =C y x−y ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr e o nh vi ph^n: a (sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = 0 ’ HD giai: 92) ' nh vi ph^n toan ph^n co nghi^m t^ ng qua t la a a e o Phu o ng tr ~ ' Ha y t m th a s^ t ch ph^n cua phu o ng tr u o a nh: x sin(xy) = C (x +... ng tr nh vi ph^n toan ph^n, th a s^ t a a u o ch ph^n: a ' ' th a s^ t u o ch ph^n vao hai v^ cu a phu o ng tr a e nh r^i gia i ra d u o c: o 94) 1 x2 µ(y) = 1 y nh^n a 1 3 x2 ln y + (y 2 +1) 2 = 0 3 ' nh T m nghi^m cua phu o ng tr e ' thoa d u i^ e ’ HD giai: (x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0 ki^n y(0) = 1 e - ^ Day la phu o ng tr nh vi ph^n toan... cos x − sin x) D u 1 2 3 - ^ ' ' b) Day la phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^n T a a ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr a o nh la 3 2 x2 + (x2 − y) 2 = C 3 97) ' ' T m t ch ph^n t^ ng qua t cua ca c phu o ng tr a o nh sau: ’ HD giai: o ch ph^n a Ta t m d u o c th a s^ t u µ(x) = ' dang vi ph^n toan ph^n Khi d nghi^m t^ ng qua t la a a o e o x2... 0 22 www.VNMATH.com ' a) Ki^ m tra h^ phu o ng tr e e nh la d oc l^p tuy^ n t ^ a e nh - ^ ' nh vi ph^n toan ph^n Suy ra t a a ch ph^n t^ ng qua t co dang: a o b) Day la phu o ng tr x2 + y 2 − 2xy = C www.VNMATH.com 1 ` ˆ ˆ ´ BAI TAP PHU O NG TR` INH VI PHAN (tiˆ p theo) e 101) ' Giai phu o ng tr nh: y” + y = x + e−x 2 Phu o ng tr nh d c tru ng λ + λ = 0... nh vi ph^n: a y − 2y = 2 cos2 x ’ HD giai: 2 Phu o ng tr nh d ac tru ng λ − 2λ = 0 ⇐⇒ λ1 nh tuy^ n t e nh thu^n nh^ t tu o ng u ng: a a phu o ng tr ' ' = 0; λ2 = 2 Nghi^m t^ ng qua t cu a e o 2x y = C1 + C2 e T nghi^m ri^ng m e e dang: y ∗ = Ax + B cos 2x + C sin 2x - Du o c 1 1 1 A = − ;B = − ;C = − 2 8 8 V^y NTQ: a y = C1 + C2 e2x − 125) ' ' nh vi ph^n:... 9 ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr e o nh vi ph^n: a y + y = 4x2 ex ' ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh thu^n nh^ t tu o ng u ng: a a ∗ 2 −x ' T m nghi^m ri^ng dang: y = (A1 x + A2 x + A3 )e e e , gia i ra A1 = 2; A2 ’ HD giai: 134) ' ' T m nghi^m t^ ng qua t cua phu o ng tr e o nh vi ph^n: a y = C1 +C2 e−x = −6; A3 = 7 y + 3y + 2y = x sin... y y(0) = 2 ⇒ C = 2 ’ HD giai: 163) ' nh vi ph^n a Giai phu o ng tr ’ HD giai: TPTQ: x x2 + ye y = C 2 y” + y tgx − y cos2 x = 0 ' b ng phe p bi^ n d o i a e ^ Tu o ng tu bai 2 164) ' Cho bi^ u th c: e u ~ Ha y t m ham s^ o h(x) - Dat Q = h(x) 1 1 − ln(x + y))dx + dy x+y x+y ' ' ' a a sao cho bi^ u th c tr^n tro thanh vi ph^n toan ph^n cua e u e m^t ham o ’ . 1
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Ngày đăng: 22/03/2014, 22:20
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