Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH Bài tập chương Bài tập Tìm đoạn li nghiệm phương trình sau: 1) x5 + x − 30 = 2) e2x − x2 − 20 = 3) x2 − ln(x + 1) − 30 = 4) x(x + 1)4 + x(x − 2) − 50 = 5) x2 − sin 3x − 40 = 6) x+1 + (x+1) + (x+1)3 + (x+1)4 = 10 √ 7) x2 + x + − 50 = 8) ln(x2 + 1) + x − 30 = 9) x3 + arctan x − 40 = 10) x1 + cos x − 10 = Bài tập Giải gần phương trình Bài tập phương pháp lặp (lặp bước, đánh giá sai số bước 4, lấy chữ số có nghĩa), biết bước lặp ban đầu chọn trung điểm đoạn li nghiệm Bài tập (*) Cho phương trình x3 − sin x − 30 = (*) có ĐLN [3; 4] a) Tìm hai hàm φ(x) cho phương trình (*) tương đương với phương trình x = φ(x), đồng thời max |φ′ (x)| < x∈[3;4] b) Với hàm φ(x) tìm câu a), giải gần phương trình (*) phương pháp lặp cho sai số không 10−5 , biết bước lặp ban đầu x0 = 3, Với kết tìm được, nhận xét hàm φ(x) cho nghiệm gần tốt √ Bài tập (*) Việc tính gần A với A số ngun dương khơng phương thực phương pháp lặp Chẳng hạn, ta cho A = √ Đặt x = 2, suy x2 − = (*) Dễ dàng thấy phương trình (*) có ĐLN [1; 2], biến đổi phương trình (*) dạng x = x2 + x1 = φ(x) 1) Chứng minh max |φ′ (x)| < x∈[1;2] 2) Phải lặp bước ta nghiệm gần có sai số bé 10−7 ta lấy x0 = 1, Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 3) Với] A[ ∈ Z]>2 , chứng minh phương trình x2 = A (**) có ĐLN [[ ] √ √ A ; A +1 4) Biến đổi phương trình (**) dạng x = |φ′A (x)| < minh √max √ x∈[[ A];[ A]+1] x + A 2x = φA (x) Chứng Bài tập Cho phương trình f (x) = có ĐLN [a; b], chứng minh f ′ (x) f ′′ (x) không đổi dấu [a; b] biết: 1) f (x) = ex − 5x − 30 [a; b] ≡ [1; 2] 2) f (x) = x2 − sin x − 50 [a; b] ≡ [7; 8] 3) f (x) = x + ln(x + 2) − 10 [a; b] ≡ [7; 8] 4) f (x) = x+1 + (x+1) + (x+1)3 − [a; b] ≡ [0; 1] 5) f (x) = x3 + arctan x − 30 [a; b] ≡ [3; 4] 6) f (x) = x(x + 1)5 + x(x + 2) − 50 [a; b] ≡ [1; 2] 7) f (x) = 3x − sin 2x − 30 [a; b] ≡ [3; 4] 8) f (x) = 2x + 3x − 10x − 30 [a; b] ≡ [3; 4] 9) f (x) = x1 + x2 − 40 [a; b] ≡ [6; 7] √ 10) f (x) = x2 + x + − 40 [a; b] ≡ [6; 7] Bài tập Giải gần phương trình Bài tập phương pháp Newton (lặp bước, đánh giá sai số bước 3, lấy chữ số có nghĩa) Bài tập chương Bài tập Tìm chuẩn vector sau: 1) X = (−4; 5; 9)T T 2) Y = ( (2; sin α + cos α; tan α + cot α) với α ∈ (0; π2 ) ) √ 3) Z = 2a; a2 + 1; −2a; (a4 + 2) với a ∈ R 4) U = (ea + e−a ; + a2 ) với a ∈ R>0 Bài tập 8.Tìm chuẩn ma trận sau: 0, 0, −0, 0, −0, 1) A = 0, 0, −0, √sin α cos α 2) B = − với α ∈ (0; π2 ) 1 0, 1 −1 −2 0, 05 0, 3) C = 0, 0, −2, 0, 2, −0, 0, 2 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ( 4) D = ea e−a a ) với a ∈ R≥1 0, 0, x Bài tập Tìm x ∈ R để ∥A∥ < biết A = x 0, 5x 0, 0, 0, 0, Bài tập 10 Cho hệ phương trình Ax = b có nghiệm X nghiệm xấp xỉ X Hãy tính X − X AX − b { 1 x + 31 x2 = 63 1) X = ( 17 ; − 16 )T ; X = (0, 142; −0, 166)T 1 x + x = 168 x1 + 2x2 + 3x3 = 2x1 + 3x2 + 4x3 = −1 X = (0; −7; 5)T ; X = (0, 01; −6, 98; 5, 02)T 2) 3x1 + 4x2 + 6x3 = x1 + 0, 1x2 + 0, 3x3 = 1, 0, 1x1 + x2 + 0, 6x3 = 1, X = (1; 1; 1)T ; X = (1, 01; 0, 98; 0, 95)T 3) 0, 2x1 + 0, 3x2 + x3 = 1, Bài tập 11 Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn (lặp bước, đánh giá sai số bước 3, lấy chữ số có nghĩa): 10x1 + 2x2 + 3x3 = 18 2x1 + 25x2 + 5x3 = 37 1) x1 + 4x2 + 20x3 = 45 3x1 + 20x2 − x3 = 23 8x1 + 3x2 + 40x3 = 11 2) 25x1 + 2x2 + x3 = 27 10x1 + 2x2 + x3 − x4 = 13 x1 + 20x2 + 2x3 + x4 = 23 3) 2x1 + x2 + 25x3 + 2x4 = 28 2x1 + x2 + 3x3 + 40x4 = x1 + x2 + 2x3 + 25x4 = 27 10x1 + 50x2 + x3 − x4 = 59 4) x1 + 3x2 + 40x3 + x4 = 40x1 + x2 + 3x3 − x4 = 40 Bài tập 12 Cho hệ phương trình x − 0, 1y + 0, 3z = 0, 0, 2x + y + 0, 3z = 1, 0, 1x + 0, 2y + z = 0, (1) Nếu sử dụng phương pháp lặp đơn để giải gần hệ phương trình (1) ta phải lặp bước để số không 10−5 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 13 Giải hệ phương trình Bài tập 11 phương pháp Seidel (lặp bước, đánh giá sai số bước 3, lấy chữ số có nghĩa) Bài tập 14 Cho hệ phương trình x1 − 0, 01x2 − 0, 02x3 + 0, 05x4 = 0, 03x1 + x2 − 0, 01x3 + 0, 1x4 = 0, 04x1 + 0, 05x2 + x3 + 0, 04x4 = 0, 01x1 + 0, 02x2 − 0, 07x3 + x4 = (2) Nếu sử dụng phương pháp lặp đơn để giải gần hệ phương trình (2) ta phải lặp bước để số không 10−5 Bài tập chương Bài tập 15 Xây dựng đa thức nội suy dạng Lagrange hàm số y = f (x) cho bảng số liệu: x a) y 10 x 1, 1, 1, b) y x c) y x 1, 1, 1, 1, d) y Bài tập 16 Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton hàm số y = f (x) cho bảng số liệu Bài tập 15 √ Bài tập 17 Cho hàm số f (x) = x + có giá trị mốc x0 = 0; x1 = 1; x2 = 2; x3 = cho bảng sau: x y 1, 4142 1, 7321 2 2, 2361 1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton hàm số f (x) cho bảng số liệu 2) Tính gần f (3) (lấy chữ số có nghĩa) đánh giá sai số kết tìm Bài tập 18 Cho hàm số f (x) = cos x có giá trị mốc x0 = 0, 698; x1 = 0, 733; x2 = 0, 768; x3 = 0, 803 cho bảng sau: Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM x y 0, 698 0, 733 0, 768 0, 803 0, 7661 0, 7432 0, 7193 0, 6946 1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton hàm số f (x) cho bảng số liệu 2) Tính gần f (0, 750) (lấy chữ số có nghĩa) đánh giá sai số kết tìm Bài tập 19 Hàm lỗi (error function) cho công thức erf (x) = √ π ∫x e−t dt Giá trị hàm erf(x) mốc xi = 0, 2; i = 0, cho bảng x y 0, 0 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1256 0, 2417 0, 3407 0, 4187 0, 4754 1) Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton hàm số f (x) cho bảng số liệu 2) Tính gần f (0, 750) (lấy chữ số có nghĩa) đánh giá sai số kết tìm Bài tập 20 Dùng phương pháp bình phương bé xác định a, b để đường thẳng y = ax + b xấp xỉ tốt bảng số liệu Bài tập 15 Bài tập 21 Dùng phương pháp bình phương bé xác định a, b để hàm số y = ax + b sin x xấp xỉ tốt bảng số liệu Bài tập 15 (chỉ cần chọn bảng) Bài tập 22 Dùng phương pháp bình phương bé xác định a, b để hàm số y = aebx xấp xỉ tốt bảng số liệu Bài tập 15 (chỉ cần chọn bảng) Bài tập 23 Dùng phương pháp bình phương bé xác định a, b để hàm số y = axb xấp xỉ tốt bảng số liệu Bài tập 15 (chỉ cần chọn bảng) Bài tập 24 Dùng phương √ pháp bình phương bé xác định a, b để hàm số y = a(x2 + 1) + b x + xấp xỉ tốt bảng số liệu Bài tập 15 (chỉ cần chọn bảng) Bài tập 25 √ Dùng phương pháp bình phương bé xác định a, b để hàm số y = a x2 + + b(x + 1) + xấp xỉ tốt bảng số liệu Bài tập 15 (chỉ cần chọn bảng) Trường Đại Học Cơng Nghiệp TPHCM Bài tập 26 Dùng phương pháp bình phương bé xác định a, b để hàm số y = ax2 + bx + c xấp xỉ tốt bảng số liệu Bài tập 15 (chỉ cần chọn bảng) Bài tập 27 Dùng phương pháp bình phương bé xác định a, b để hàm số y = a(x2 + 1) + b(x + 1) + c xấp xỉ tốt bảng số liệu Bài tập 15 (chỉ cần chọn bảng) Bài tập 28 Độ tuổi trung bình lần đầu kết phụ nữ Nhật Bản từ năm 1950 tới năm 2000 cho bảng số liệu sau: t 1950 1955 1960 1965 1970 1975 f (t) 23, 23, 23, 24, 24, 24, t 1980 1985 1990 1995 2005 f (t) 25, 25, 26, 26, 27, Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất, xác định a, b để đường thẳng y = ax + b xấp xỉ tốt bảng giá trị Với kết tìm được, dự đốn độ tuổi kết lần đầu phụ nữ Nhật vào năm 2005 Bài tập 29 Bảng số liệu sau cho ta biết số dân nước Mỹ (triệu người) khoảng thời gian từ năm 1900 tới năm 2000: t 1900 1910 1920 1930 1940 1950 f (t) 76 89 110 131 150 190 t 1960 1970 1980 1990 2000 f (t) 205 215 230 255 275 Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất, xác định a, b để đường thẳng y = ax + b xấp xỉ tốt bảng giá trị Với kết tìm được, dự đốn dân số nước Mỹ vào năm 2010 Bài tập chương Bài tập 30 Tính gần tích phân sau cơng thức hình thang suy rộng (khơng đánh giá sai số): Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM ∫2 ln (x2 + 5) + x3 dx với n = x ln (2x + 1) 1,4 ∫ x4 − x + 2) √ dx với n = 10 x2 + + 0,4 ) ( ∫2 dx với n = 3) x ln (x + 2) + x +1 0,4 ( ) 2,3 ∫ √ x 4) dx với n = 10 x2 + + ln (x + 1) 1,3 2,2 ∫ √2 5) e x +1 dx với n = 1) 6) 1,4 ∫2 xx dx với n = 10 ∫3 3x2 + 7) dx với n = 10 x +3 Bài tập 31 Tính gần tích phân sau cơng thức hình thang suy rộng (có đánh giá sai số): ∫1 1) x dx với n = 10 ∫3 x3 2) dx với n = x+1 ∫1 3) e−x dx với n = 10 ∫3 e2x 4) dx với n = 10 x e +1 ∫4 √ 5) x dx với n = 10 ∫2 sin 2x 6) dx với n = 10 x ∫3 3x + dx với n = 10 7) x+3 Bài tập 32 Tính gần tích phân Bài tập 30 cơng thức Simpson 1/3 (không đánh giá sai số) Bài tập 33 Tính gần tích phân Bài tập 31 cơng thức Simpson 1/3 (có đánh giá sai số) Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 34 Error function (hàm lỗi) E (x) = √2 π ∫x e−t dt có nhiều ứng dụng xác suất, thống kê kỹ thuật Bằng cách sử dụng công thức Simpson 1/3 với số đoạn chia n = 10, bạn tính gần E (2) (khơng đánh giá sai số) ( 2) ∫x Bài tập 35 Hàm Fresnel S (x) = sin πt2 dt xuất lần đầu lý thuyết nhiễu xạ ánh sáng nhà toán học người Pháp Augustin Fresnel (1788-1827) Gần đây, hàm Fresnel xuất cơng trình thiết kế đường quốc lộ Bằng cách sử dụng công thức Simpson 1/3 với số đoạn chia n = 10, bạn tính gần S (1) (khơng đánh giá sai số) ∫2 4x2 + dx 2x + 1) Tính tích phân I cơng thức hình thang với n = 10 đánh giá sai số kết 2) Phải chia [1; 2] thành đoạn để áp dụng công thức hình thang số đoạn sai số khơng q 10−10 Bài tập 36 Xét tích phân I = ∫3 x3 + x Bài tập 37 Xét tích phân I = dx x+1 1) Tính tích phân I công thức Simson 1/3 với n = 10 đánh giá sai số kết 2) Phải chia [2; 3] thành đoạn để áp dụng công thức Simson 1/3 số đoạn sai số khơng q 10−10 Bài tập chương Bài tập 38 Giải phương trình vi phân sau phương pháp Euler cải tiến: { ′ y =x+y 1) với x ∈ [0; 0, 5]; h = 0, 25; ϵ = 10−4 y (0) = { ′ y = x2 + y với x ∈ [0; 0, 4]; h = 0, 2; ϵ = 10−4 2) y (0) = { ′ xy−1 y = y2 +1 3) với x ∈ [0; 0, 2]; h = 0, 1; ϵ = 10−4 { y ′(0) = y = xy cos(x + y) 4) với x ∈ [0, 2; 0, 4]; h = 0, 1; ϵ = 10−4 y (0, 2) = Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM { 5) √ y′ = x + y + với x ∈ [0, 3; 0, 5]; h = 0, 1; ϵ = 10−4 y (0, 3) = Bài tập 39 Giải phương trình vi phân sau phương pháp Runge-Kutta bậc 4: { ′ y =x+y 1) với x ∈ [0; 0, 5]; h = 0, 25 { y ′(0) =2 y =x +y với x ∈ [0; 0, 4]; h = 0, 2) y (0) = { ′ xy−1 y = y2 +1 3) với x ∈ [0; 0, 2]; h = 0, y (0) = { ′ y = xy cos(x + y) 4) với x ∈ [0, 2; 0, 4]; h = 0, =1 { y ′(0, 2) √ y = x+y+1 5) với x ∈ [0, 3; 0, 5]; h = 0, y (0, 3) = { ′ y = 2x + y Bài tập 40 Cho phương trình vi phân với x ∈ [0; 0, 3] y (0) = Tính y(0, 15) công thức Euler cải tiến với h = 0, 15, cải tiến bước { ′ y = 2x + cos y với x ∈ [0, 2; 0, 4] Bài tập 41 Cho phương trình vi phân y (0, 2) = Tính y(0, 3) cơng thức Euler cải tiến với h = 0, 1, sai số ϵ = 10−4 { ′ y = xy + x + y Bài tập 42 Cho phương trình vi phân với x ∈ y (0) = [0; 0, 3] Tính y(0, 15) cơng thức Runge-Kutta với h = 0, 15 { ′ y = x2 y + y x + với x ∈ Bài tập 43 Cho phương trình vi phân y (0, 2) = [0, 2; 0, 4] Tính y(0, 3) công thức Runge-Kutta với h = 0, ... phương trình vi phân với x ∈ [0; 0, 3] y (0) = Tính y(0, 15) cơng thức Euler cải tiến với h = 0, 15, cải tiến bước { ′ y = 2x + cos y với x ∈ [0, 2; 0, 4] Bài tập 41 Cho phương trình vi phân y (0,... Bài tập 42 Cho phương trình vi phân với x ∈ y (0) = [0; 0, 3] Tính y(0, 15) cơng thức Runge-Kutta với h = 0, 15 { ′ y = x2 y + y x + với x ∈ Bài tập 43 Cho phương trình vi phân y (0, 2) = [0, 2;... công thức Simson 1/3 số đoạn sai số khơng q 10−10 Bài tập chương Bài tập 38 Giải phương trình vi phân sau phương pháp Euler cải tiến: { ′ y =x+y 1) với x ∈ [0; 0, 5]; h = 0, 25; ϵ = 10−4 y