Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê Nguyễn Văn TiếnBài giảng Lý thuyết xác suất thống kê do Nguyễn Văn Tiến biên soạn gồm 5 chương. Nội dung bài giảng trình bày về các biến cố – xác suất – các định lý, biến ngẫu nhiên một chiều – quy luật phân phối xác suất, các quy luật phân phối xác suất thông dụng, biến ngẫu nhiên hai chiều, luật số lớn, lý thuyết mẫu, ước lượng tham số, kiểm định giả thuyết.

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

• 45 tiết=15 buổi=7 chương

• Slide của giảng viên: (bắt buộc)

– Lí thuyết

– Bài tập

– Đề tham khảo

• Tham khảo: (tùy chọn)

– Xác suất thống kê và ứng dụng Lê Sĩ Đồng

– Thống kê Ứng dụng Chu Nguyễn Mộng Ngọc

– Xác suất thống kê Nguyễn Thành Cả

– Xác suất thống kê Phan Khánh Luận

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

• Chương 1: Biến cố – Xác suất – Các định lý

• Chương 2: Biến ngẫu nhiên một chiều – Qui luật phân phối xác suất

• Chương 3: Các qui luật phân phối xác suất thông dụng

• Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều

• Chương 5: Luật số lớn

Kiểm tra giữa kì

• Hình thức: tự luận (50%) + trắc nghiệm (50%)

• Tự luận: chương 1, 2, 3

• Trắc nghiệm: chương 4,5

THỐNG KÊ CƠ BẢN

• Chương 6: Lý thuyết mẫu

• Chương 7: Ước lượng tham số

• Chương 8: Kiểm định giả thuyết

Thi hết học phần

• Hình thức: trắc nghiệm + Tự luận

Yêu cầu giảng viên

• Đến lớp phải học bài

• Phải làm bài tập về nhà

• Phải tham gia ít nhất 12 buổi (được vắng nhiều nhất 3 buổi)

• Kí tên điểm danh trước khi ra khỏi lớp

• Tuân thủ nghiêm ngặt các qui định của giáo viên

về thi cử…

Dặn dò

• Đây là môn học khó

CHƯƠNG 1

BIẾN CỐ – XÁC SUẤT CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

Phép thử ngẫu nhiên

• Khi ném một hòn đá lên trời, chắc chắn hòn đá

sẽ rơi xuống Đây là phép thử không ngẫu nhiên

• Khi tung một cục xúc sắc, ta không biết chắc chắn mặt ngửa có mấy chấm Đây là phép thử ngẫu nhiên

• LT xác suất nghiên cứu các phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên

• Là các thí nghiệm, quan sát mà kết quả của nó

không thể dự báo trước được.

• Kí hiệu: T.

• Ta có thể liệt kê hoặc biểu diễn được tất cả các kết quả của phép thử.

• Ví dụ:

– Tung một đồng xu, quan sát mặt ngửa.

– Gieo 100 hạt giống và quan sát số hạt nảy mầm.

– Quan sát số người vào siêu thị trong một giờ

– ….

Biến cố sơ cấp – Không gian mẫu

• Các kết quả của phép thử được gọi là các biến

Biến cố (sự kiện)

• Khi gieo một con xúc sắc sẽ ra số chấm lẻ nếu kết quả là ra mặt có số chấm thuộc {S, N}1, 3, 5} Như vậy các kết quả (bcsc) này thuận lợi cho sự kiện ra số chấm lẻ

Biến cố (sự kiện)

• Một biến cố (bc) liên quan đến phép thử T là một sự kiện mà việc nó xảy ra hay không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của phép thử T

• Kí hiệu: chữ cái in hoa A, B, C,…, A1, A2,…

• Kết quả w của T được gọi là thuận lợi cho biến

cố A nếu A xảy ra khi kết quả của T là w

• Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A kí hiệu là: ΩA

• T3: tung 10 đồng xu phân biệt.

– Hỏi: có bao nhiêu bcsc? Biểu diễn KG mẫu?

• D=“Nhiều nhất hai ngửa”

• E=“Trời hôm nay không mưa”

• F=“Hôm sau thầy bị ốm”

• G=“Số đồng ngửa gấp đôi số đồng sấp”

Tương đương (bằng nhau)

Biến cố A đgl tương đương với biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại

Biến cố đối

• Biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là biến cố xảy

ra khi và chỉ khi A không xảy ra

Tổng (hợp) hai biến cố

• Cho A, B là hai bc liên quan đến phép thử T Khi

đó, tổng (hợp) của A và B là một biến cố, kí hiệu

A B hay A+B∪B hay A+B

• Bc này xảy ra khi ít nhất một trong hai bc A, B xảy ra

B A

Tổng (hợp) các biến cố

• A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T

• Tổng (hợp) của các bc này kí hiệu:

• Bc này xảy ra khi ít nhất một trong các bc A1, A2,

Tích (giao) hai biến cố

• Cho A, B là hai bc liên quan đến phép thử T Khi

đó, tích (giao) của A và B là một biến cố, kí hiệu A∩B hay A.B

• Bc này xảy ra khi cả hai bc A, B cùng xảy ra

A B

B A

Tích (giao) các biến cố

• A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T

• Tích (giao) của các bc này kí hiệu:

• Bc này xảy ra khi tất cả các bc A1, A2,…,An cùng xảy ra

Hai biến cố xung khắc

• Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc nếu:

Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm Gọi Ak là biến

cố sản phẩm thứ k tốt Biểu diễn các biến cố sau theo Ak.

Có 2 sinh viên đi thi Gọi A là biến cố sinh viên 1 đậu; B là biến

cố sinh viên 2 đậu Biểu diễn các biến cố sau qua A và B.

• C =“cả 2 sv đều thi đậu”;

• D=“không sv nào đậu”

• E=“có ít nhất một người đậu”;

XÁC SUẤT CỦA BC

• Con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện khách quan của biến cố trong phép thử gọi là xác suất của biến cố đó

• Kí hiệu xác suất của bc A: P(A)

• Xác suất không có đơn vị

Định nghĩa cổ điển về xác suất

• Xét phép thử có không gian mẫu gồm hữu hạn

các biến cố sơ cấp đồng khả năng

• Xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A) được định nghĩa bằng công thức sau:

𝑃ሺ𝐴ሻ= n(A)

n(Ω) =

S ố bcsc thuận lợi cho A

S ố bcsc có thể xảy ra

Tính xác suất cổ điển

• Xác định phép thử

• Tính số bcsc của không gian mẫu

• Gọi tên biến cố cần tính xác suất (gọi chính xác)

• Tính số bcsc thuận lợi cho biến cố này

Ví dụ

• 1 Một người gọi điện thoại nhưng lại quên hai số cuối

của số điện thoại cần gọi mà chỉ nhớ hai số đó khác nhau Tìm xác suất người đó quay ngẫu nhiên một lần trúng số cần gọi.

• 2 Một lớp học có 160 sinh viên trong đó có 60 sinh

viên nữ Chọn ngẫu nhiên ra 5 sinh viên, tính xác suất

có 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên chọn được.

• 3 Một hộp có 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh Chọn

ngẫu nhiên 3 quả cầu Tính xác suất chọn được ít nhất một quả cầu đỏ.

Ví dụ

• 4 Một lớp học có 50 sv Tìm xác suất có ít nhất 2 sinh

viên có cùng ngày sinh (Giả sử một năm có 365 ngày)

• Gọi x 1 ,x 2 ,…,x 50 là ngày sinh nhật của 50 sv

• Như vậy mỗi bộ (x 1 ,x2,…,x50) là 1 kết quả

• A: có ít nhất 2 sv có cùng sinh nhật : cả 50 sinh viên

Ví dụ

• Tìm xác suất để trong một nhóm gồm n người tập hợp ngẫu nhiên có ít nhất hai người có cùng ngày sinh (cùng ngày và cùng tháng) Giả sử một năm có 365 ngày.

n P(E) n P(E)

5 10 15 20

0,027 0,117 0,253 0,411

40 50 60 70

0,891 0,970 0,994 0,999

Bảng bài toán ngày sinh

Vì các biến cố đồng khả năng nên      365 365!!365n

Ưu – Nhược điểm

• Không phải thực hiện phép thử

• Nếu kg mẫu vô hạn  tính không được

• Không đồng khả năng  tính không được

Định nghĩa thống kê về xác suất

• Giả sử phép thử T có thể được lặp lại rất nhiều lần trong điều kiện giống hệt nhau Nếu trong n lần thực hiện T có m(A) lần biến cố A xuất hiện thì tần suất xuất hiện của bc A trong n phép thử:

• Khi số phép thử tăng lên vô hạn nếu fn(A) dần tới một con số p thì:

Ví dụ

Người tung

Số lần tung

Số lần sấp

Tần suất Buyffon 4040 2048 0,5069

Định nghĩa thống kê về xác suất

Định nghĩa hình học về xác suất

• Đọc thêm

Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm): Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế

có thể xem rằng trong một phép thử biến cố đó

sẽ không xảy ra

• Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất rất gần 1 thì thực tế có thể xem rằng biến cố

đó sẽ xảy ra trong một phép thử

Ví dụ

• Trong một lớp có 50 sinh viên nhất định có 2 bạn

có sinh nhật trùng nhau Vì biến cố “có ít nhất 2 người có cùng sinh nhật” có xác suất rất lớn P(A)= 0,970374

Ví dụ

• Một lớp có 50 sinh viên Thầy giáo gọi ngẫu nhiên 2 học sinh lên bảng thì cả 2 học sinh đều không thuộc bài Hãy dự đoán xem hôm nay lớp

có bao nhiêu học sinh không thuộc bài

• Giải:

• Giả sử lớp có n học sinh không thuộc bài

• Xác suất gọi được 2 học sinh không thuộc bài

2 2

1 2450

• Nếu các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử T và xung khắc đôi một thì:

• Xác suất của tổng bằng tổng xác suất

Ví dụ

Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1; trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn 8 điểm là 0,45 Tìm xác suất để xạ thủ được

• Nếu các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử T thì:

Ví dụ

• Theo thống kê, trung bình một năm 365 ngày thì có 40 ngày có mưa thật to, 60 ngày có gió thật lớn và 20 ngày có bão (vừa mưa thật to, vừa gió thật lớn) Tính xác suất để một ngày chọn ngẫu nhiên trong năm có thời tiết bất thường

Hai biến cố độc lập

• Hai biến cố độc lập: A và B độc lập nếu

việc A xảy ra hay không xảy ra không ảnh

hưởng đến xác suất của B và ngược lại.

• Hai biến cố không độc lập gọi là phụ

thuộc.

Độc lập từng đôi

• Hệ các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp hai biến cố trong n biến cố đó độc lập với nhau

• Độc lập từng đôi ↔ Ai, Aj bất kỳ độc lập

Công thức nhân xác suất

• Cho các biến cố A1, A2,…,An độc lập toàn phần, cùng thuộc phép thử T Khi đó:

Ví dụ

• Tại giải vô địch Taekwondo thế giới, Việt Nam có hai vận động viên A, B tham gia Khả năng lọt vào vòng chung kết của A, B theo đánh giá lần lượt là 0,9 và 0,7 Biết A và B không cùng bảng trong vòng đấu loại Tính xác suất

• A) Cả hai lọt vào vòng chung kết

• B) Ít nhất một người lọt vào vòng chung kết

• C) Chỉ có A lọt vào vòng chung kết

A B

&

Xác suất điều kiện

• Có những biến cố mà sự xảy ra của chúng có ảnh hưởng đến nhau Việc xuất hiện biến cố này đôi khi ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện của biến cố kia và ngược lại

• Ví dụ: hộp có 3 bi trắng và 1 đỏ Rút 2 lần, mỗi lần một bi, không hoàn lại

A: lần đầu bi trắng B: lần sau bi đỏ

Rõ ràng việc A xuất hiện hay không ảnh hưởng đến xác suất của B

Xác suất điều kiện

• Định nghĩa: Xác suất của biến cố A với giả thiết

là biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất của A với điều kiện B

• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0 Ta có:

i P B A

ii P A iii P B C A P B A P C A P BC A

iv P B A P B A

         

P AB

P B A

P A

Ví dụ

• 3 người vào cửa hàng mua điện thoại iphone 7 Mỗi người muốn mua một cái nhưng cửa hàng chỉ còn đúng 2 cái Chủ cửa hàng làm 3 lá thăm trong đó có 2 lá được đánh dấu Mỗi người rút một lá thăm nếu có đánh dấu thì được mua iphone 7 Chứng minh rằng cách làm trên công bằng cho cả 3 người

Công thức nhân tổng quát

• Cho A1, A2 là hai biến cố trong phép thử T

Công thức nhân tổng quát

• Cho A1, A2,…,An là các biến cố trong phép thử T

Bài tập

1 Một lô hàng có 9 sản phẩm Mỗi lần kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Sau khi kiểm tra xong thì trả lại lô hàng Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra lô hàng như vậy thì tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra.

2 Bắn hai lần độc lập nhau, mỗi lần một viên đạn vào cùng một bia Xác suất bắn trúng đích của viên đạn thứ nhất

là 0,7 và của viên đạn thứ 2 là 0,4.

a) Tìm xác suất để chỉ có một viên đạn trúng bia.

b) Biết rằng chỉ có một viên đạn trúng bia Tính xác suất đó

là viên đạn thứ nhất.

Bài tập

3 Xác suất để động cơ thứ nhất của máy bay trúng đạn là 0,2; để động cơ thứ 2 của máy bay bị trúng đạn là 0,3; còn xác suất để phi công bị trúng đạn là 0,1 Tìm xác suất

để máy bay rơi, biết rằng máy bay rơi khi cả 2 động cơ bị trúng đạn hoặc phi công bị trúng đạn.

4 Có 12 lá thăm trong đó có 5 lá trúng thưởng Hai người

A và B bốc thăm như sau Người A bốc trước không hoàn lại 2 lá Sau đó người B bốc 4 lá ngẫu nhiên.

a) Tính xác suất người B bốc được 2 lá thăm trúng thưởng b) Xác suất bốc được thăm trúng thưởng của ai cao hơn.

Công thức xác suất đầy đủ

Hệ gồm 5 biến cố đầy đủ Hệ gồm 2 biến cố đầy đủ

Hệ biến cố đầy đủ

• Hệ biến cố H1, H2,…,Hn gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện sau:

– Xung khắc từng đôi – Hợp là biến cố chắc chắn

• Hệ biến cố đầy đủ khi thực hiện phép thử thì có

1 và chỉ 1 biến cố trong hệ xảy ra

) , )

Công thức xác suất đầy đủ

• Cho H1, H2,…,Hn là một hệ đầy đủ các biến cố

Ví dụ 1

• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 3 sản phẩm Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm?

Ví dụ 1

• A: “lấy được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm”

• Hi: “lấy được hộp thứ i”

Dễ thất Hi là hệ biến cố đầy đủ (i=1,2,3)

Chú ý

• Nếu phép thử gồm 2 giai đoạn và biến cố A liên quan đến giai đoạn sau thì các kết quả có thể có của giai đoạn đầu chính là một hệ biến cố đầy đủ

a) Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện hàng 3 Tính xác suất chọn được sản phẩm loại B?

b) Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện hàng 3 Tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm loại B trong 2 sản phẩm được chọn?

Hướng dẫn:

- Mấy hành động? Mấy giai đoạn?

- Biến cố cần tính xác suất? Thuộc giai đoạn mấy?

- Hệ biến cố đầy đủ?

Ví dụ 2

Gọi H1 là biến cố lấy được sản phẩm loại B từ hộp 1

H2 là biến cố lấy được sản phẩm loại B từ hộp 2.

Kj là biến cố có j sản phẩm loại B trong hộp 3 (j=3,4,5)

Ta thấy K3; K4; K5 là hệ biến cố đầy đủ.

a) Gọi C là biến cố lấy được sản phẩm loại B trong hộp 3

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

b) Gọi D là biến cố lấy được ít nhất một sản phẩm loại

B từ hộp 3

là biến cố cả 2 sản phẩm đều là loại A.

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ loại I là 90% và của xạ thủ loại II là 80%.

a) Lấy ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên

đạn Tính xác suất viên đạn trúng đích.

b) Lấy ngẫu nhiên 2 xạ thủ và mỗi xạ thủ bắn một viên đạn

Xác suất cả hai viên đều trúng là bao nhiêu?

Ví dụ 2

• b) B0; B1; B2: biến cố có 0;1;2 xạ thủ loại 1 trong 2 xạ thủ chọn được

• G: cả 2 viên đạn đều trúng

• Ta có:

   0  0  1  1  2  2

P G P B P G B  P B P G B  P B P G B

Bài tập

1 Có 2 lô loại 1 và 3 lô loại 2; mỗi lô chứa 5 sản phẩm Lô loại 1 chứa toàn sản phẩm tốt còn lô loại 2 chứa 4 sản phẩm tốt Chọn ngẫu nhiên 2

lô rồi trộn chung các sản phẩm của 2 lô với nhau Sau đó lấy ra ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất lấy được cả 2 sản phẩm tốt?

2 Lô 1 có a phế phẩm và b chính phẩm Lô 2 có c phế phẩm và d chính phẩm Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô 1 cho sang lô 2; sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô 2 cho vào lô 1 Sau

đó từ lại lấy một sản phẩm từ lô 1 Tính xác suất sản phẩm này là sản phẩm tốt

Bài tập

Bài tập

3 Tỉ lệ người dân nghiện thuốc là 30% Tỉ lệ bị viêm họng trong số những người nghiện là 60% Tỉ lệ bị viêm họng trong số những người không nghiện là 20%

a) Lấy ngẫu nhiên một người thì thấy người này bị viêm họng Tính xác suất người này nghiện thuốc lá?

b) Nếu người đó không bị viêm họng Tính xác suất người đó nghiện thuốc

Bài tập

4 Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán ở công ty A 3 lần Xác suất lần đầu bán được hàng là 0,8 Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất lần sau bán được hàng là 0,9 Còn nếu lần trước không bán đươc hàng thì xác suất lần sau bán được là 0,4 Tính xác suất

a) Cả 3 lần đều bán được hàng?

b) Có đúng 2 lần bán được hàng?

Ví dụ 1

• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên ra

3 sản phẩm Kết quả được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm Tính xác suất để các sp đó thuộc hộp 3?

Ví dụ 1

• Công thức Bayes thường dùng với công thức xác suất đầy đủ

• Giúp ta đánh giá lại xác suất của hệ biến cố khi

có một biến cố xảy ra

Ví dụ

• Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng

về một loại sản phẩm định đưa ra thị trường và thấy có:

– 34 người trả lời: “ Sẽ mua ” – 96 người trả lời: “ Có thể sẽ mua ” – 70 người trả lời: “ Không mua ” Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua sản phẩm dựa theo các cách trả lời trên là: 40%; 20% và 1%.

Công thức Bernoulli

Phân tích

Phép thử: lấy 4 bi lần lượt, hoàn lại

Phép thử: gồm 4 giai đoạn (4 phép thử nhỏ hơn)Biến cố: trong 4 bi đã lấy có 3 đỏ (1 vàng)

Gọi A: lấy được bi đỏ trong 1 lần lấy

Ta có: P(A) không đổi

Có 10 thăm, trong đó có 4 thăm có thưởng Sinh

viên A bắt đầu tiên, B bắt sau

a) Hỏi bắt thăm như vậy có công bằng không ?

b) Nếu B được thưởng, tính xác suất A được thưởng

Bài tập