He thuc Vi-Et va ung dung

Giáo viên: Lê Văn Quỹ Trường: THCS Việt Thống Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Hãy viết công thức nghiệm tổng quát phương trình trường hợp  > ? Đáp án: Với  = b2 – 4ac Khi  > 0: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt: −b + ∆ x1 = ; 2a −b − ∆ x2 = 2a ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T Khi phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm nghiệm phương trình ln viết dạng : −b + ∆ −b − ∆ x1 = ; x2 = 2a 2a Hãy tính a) x1 + x2 b) x1.x2 Đáp án: x1 + x2 = −b+ ∆ −b− ∆ −b+ ∆ −b− ∆ − 2b + = = 2a 2a 2a 2a = −b a −b+ ∆ −b− ∆ ( −b )2 − ( ∆ )2 b − ∆ b − b + ac c = = = = = x1 x2 2a 2a 4a 4a 4a a ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T Phrăng–xoa Vi-ét (sinh 1540 - 1603) Pháp -Ông người dùng chữ để kí hiệu ẩn, hệ số phương trình dùng chúng để biến đổi giải phương trình nhờ cách mà thúc đẩy Đại số phát triển mạnh - Ông người phát mối liên hệ nghiệm hệ số phương trình - Ơng người tiếng giải mật mã - Ơng cịn luật sư, trị gia tiếng ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a Bµi tËp 25(Sgk/52): Đối với phương trình sau, kí hiệu x1 x2 hai nghiệm (nếu có) Khơng giải phương trình, điền vào chỗ trống (…) c, 8x2 - x + = a, 2x2 - 17x + = (-1)2 – 4.8.1= -31 < (-17)2 – 4.2.1 = 281 > Δ = Δ = 17 Không x1+ x2 = có giá trị x1+ x2 = Không có giá trÞ x1 x2 = x1 x2 = ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a *T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a + b + c = PT c có nghiệm x1 = 1, cịn nghiệm x2 = ? – SGK: Cho PT: 2x2 - 5x + = a, Xác định hệ số a, b, c tính a + b + c b, Chứng tỏ x1 = nghiệm phương trình c, Dùng định lí Vi-ét để tìm x2 a a, Ta cã a = ; b = -5 ; c = a + b + c = + (-5) + = b, Thay x1= vµo VT cđa PT ta cã: VT = 2.12 - 5.1 + = = VP VËy x1= lµ mét nghiƯm cđa PT c, Theo định lý Vi-ét thỡ: Mà x1 = c x1.x2 = a c ⇒ x2 = = a ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a *T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a + b + c = PT c có nghiệm x1 = 1, cịn nghiệm x2 = ? – SGK: Cho PT: 3x2 + 7x + = a, Chỉ rõ hệ số a, b, c tính a - b + c b, Chứng tỏ x1 = -1 nghiệm phương trình c, Tìm x2 a a, Ta cã a = ; b = ; c = a-b+c= 3-7+4 =0 b, Thay x1= -1 vµo VT cđa PT ta cã: VT = 3.(-1)2 + 7.(-1) + = = VP VËy x1= -1 nghiệm PT c, Theo định lý Vi-ét thì: Mµ x1= -1 ⇒ x2 = − c x1.x2 = a c −4 = a Ti Ế 57: T ĐẠI SỐ HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a *T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a + b + c = PT c có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = a *T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a - b + c = PT c có nghiệm x1 = -1, nghiệm x2 = − a ? – SGK: Tính nhẩm nghiệm phương trình: a) -5x2 + 3x + = b) 2004x2 + 2005x +1 = Có a + b + c = -5 + + = Có a - b + c = 2004 - 2005 + = Vậy x1 = 1; x2 = − Vậy x1 = -1; x2 = − 2004 ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a *T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a + b + c = PT c có nghiệm x1 = 1, cịn nghiệm x2 = a *T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a - b + c = c PT có nghiệm x1 = -1, nghiệm x2 = − a ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a *T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a + b + c = PT c có nghiệm x1 = 1, cịn nghiệm x2 = a *T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a - b + c = c PT có nghiệm x1 = -1, cịn nghiệm x2 = − Tìm hai số biết tổng tích chúng: Bài tốn: Tìm hai số biết tổng chúng S tích chúng P a Gọi số thứ x số thứ hai (S - x) Tích hai số P nên: x(S – x) = P  x2 – Sx + P = (1) Nếu  = S2 – 4P ≥ PT (1) có nghiệm Các nghiệm số cần tìm ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a *T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a + b + c = PT c có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = a *T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a - b + c = c PT có nghiệm x1 = -1, nghiệm x2 = − Tìm hai số biết tổng tích chúng: a Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm PT: x2 – Sx + P = Điều kiện để có hai số S2 – 4P ≥ Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng chúng 27, tích chúng 180 Giải: Hai số cần tìm nghiệm phương trình x2 – 27x + 180 =  = (-27)2 - 4.1.180 = x1 = 15 ; x2 = 12 Vậy hai số cần tìm 15 12 ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a *T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a + b + c = PT c có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = a *T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a - b + c = c PT có nghiệm x1 = -1, cịn nghiệm x2 = − Tìm hai số biết tổng tích chúng: a Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm PT: x2 – Sx + P = Điều kiện để có hai số S2 – 4P ≥ ? – SGK: Tìm hai số biết tổng chúng 1, tích chúng Hai số cần tìm nghiệm PT: x2 – x + =  = (-1)2 – 4.1.5 = - 19 < Vậy khơng có hai số có tổng 1, tích ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định lí VI-ÉT: Nếu x1, x2 hai nghiệm PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì: b + x2 = − x1 c a x1.x2 = a *T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a + b + c = PT c có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = a *T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a - b + c = c PT có nghiệm x1 = -1, cịn nghiệm x2 = − Tìm hai số biết tổng tích chúng: a Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm PT: x2 – Sx + P = Điều kiện để có hai số S2 – 4P ≥ Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm PT x2 – 5x + = Giải: Vì + = 5; 2.3 = nên x1 = 2, x2 =3 hai nghiệm PT cho H­ ng­dÉn­vỊ­nhµ í - Học thuộc định lí Vi-ét cách tìm hai số biết tổng tích chúng - Nắm vững cách nhẩm nghiệm trường hợp đặc biệt: a + b + c = a – b + c = - Bài tập nhà: 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK Chúc thầy cô giáo sức khoẻ, hạnh phúc thành đạt Chúc em học sinh học giỏi, chăm ngoan  ... + = b, Thay x1= vµo VT cđa PT ta cã: VT = 2.12 - 5.1 + = = VP VËy x1= lµ mét nghiƯm cđa PT c, Theo định lý Vi-ét thỡ: Mà x1 = c x1.x2 = a c ⇒ x2 = = a ĐẠI SỐ Ti Ế 57: T HỆ THỨC VI-ÉT: * Định... =0 b, Thay x1= -1 vµo VT cđa PT ta cã: VT = 3.(-1)2 + 7.(-1) + = = VP VËy x1= -1 nghiệm PT c, Theo định lý Vi-Ðt thì: Mµ x1= -1 ⇒ x2 = − c x1.x2 = a c −4 = a Ti Ế 57: T ĐẠI SỐ HỆ THỨC VI-ÉT: