Bài giảng số 12
PHEP TINH TICH PHAN VA UNG DUNG
Cac bai toan về tích phân là một trong những bài tốn lúc nào cũng cĩ mặt trong các đề thi mơn Tốn vào các trường Đại học và Cao đẳng trong những năm
gần đây (2002 — 2009)
Bài giảng này giới thiệu các phương pháp chính để tính tích phân và ứng dụng của tích phân để tìm diện tích hình phẳng và thê tích của khối trịn xoay
§1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM
Để sử dụng được phương pháp này ngồi việc sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm, cịn phải năm vững các phép tính vi phân và biến đổi thành thạo các đăng thức về phép tính vi phân Thi dal: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2009) 3 Tinh tich phan: I= J=— lãi Ta cĩ: =p G —% pe — ~ fax I ~ Ị 1 =In(e* ¬ " +e+l]-2 Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối B - 2008) T _ : —_ d 4 sn[x *) Xx Tính tích phan: |= (< > sin 2x + 2(1+4sinx + cosx) 0 Giải x x
Tacéi=—L | : (sin x —cosx)dx = oe (1+ sinx + cos) si ree) 2 ¡1 +sin2x + 2(sink + cosx)+ | ¥2 5 (1+sinx +cosx)
l
aL _ 4(1 +) 4-32
V2 1+sinx+cosx|p ⁄2\l+/2 2 4
Trang 2Thi dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2006) + sin2xdx 0 Vcos?x +4sin? x Giải Nhận thấy d(cos’x + 4sin’x) = (-2cosxsinx + 8sinxcosx)dx = 3sin2xdx Tt Tinh tich phan: l= x | Vay I= 5 Ilcoss +4sin? x)? d(cos?x +4sin? x) 2 2 À3 cos2x+4sinˆ x|2 | - 1Ảcos xi đem PE _2 oo -1(Jid-2), 3 0 34192 3 Thi du 4: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối D — 2005) TU — Nil 2 Tinh tich phan: l= le" +COS x]cosdx 0 Giải TL TL nt 2 12 2 Ta cĩ: 1 = [eP'cosdx + = Joos2xdx 0 0 0 + 2 n | = axe 7 7 = fe" d(sinx) +7 + sin 2x 2=2'™*l9 ++=e- toi 0 0 0 Thi du 5: (Đề thi tuẫn sinh Đại lọc khối B - 2003) Tính tích phân: I= le 2sin’ ` ạ l+sin2x HẠ x 41 2cia2 4 Tacé I= Ƒ 2sin X dy = mm» j l+sin2x g | +sin2x ; | ‘.d(1+sin2x) | ey 1 =~ |+—_> =—In(1+sin 2x) 4 =—(In2-Inl)=—In2 23 l+sin2x 2 0 2 2 Nhận xét chung:
Phương pháp dùng bảng nguyên hàm thực chất là một phép đổi biến và là một phép đổi biên đơn giản Tuy nhiên, dùng phương pháp này cĩ hai thuận lợi:
Trang 3- Khơng cần thực hiện các phép đổi cận khơng cần thiết
- Cách trình bày đơn giản Xét thêm các thí dụ sau: Thi du 6:
TL
oo, ®(sinx + cosx)dx
Trang 4~ (se) els i= Infra] fies Le e+ fn 14x? fe -l ¬ 0 b = fa[in (x +a)In(x+ b) | a (Theo cơng thức d(uv} = udv + vdu) b = In(x+a)In(x +b) =InÐ.In(a + b) a a Nhận xét: Đây là thí dụ đẹp chứng tỏ tính hiệu quả cao của việc sử dụng phương pháp bảng nguyên hàm
B PHƯƠNG PHÁP ĐỎI BIEN SO
Đơi biên số là một trong những phương pháp quan trọng nhật đề tính nguyên hàm và tích phân Trong mục này chúng tơi trình bày các phương pháp đơi biên số thơng dụng nhât: Loại 1: Sử dụng cơng thức: feud u (x) Ju'(x )dx = free a b Gia str ta can tính tich phan I= Js(x) dx Nếu băng cách nào đĩ ta viết được a
biểu thức dưới dấu tích phân St dưới dạng
f[u(x Hui x)dx = f[ u(x) (x) |d(u(x))
khi đĩ ta cĩ: he) )dx = = (e(w) (u) du , với œ= u(a); B = u(b)
a
Vay bai toan quy vẻ việc tính tích phân mới này đơn giản hơn nhiều so với tích phân ban đầu Phép đổi biến ở đây là t = u(x), và nhớ khi đổi biến thì phải đổi cận lây tích phân Thí dụ I: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối 4 — 2008) Tính tích phân: TL I= xdx cos2x 0 ial Ta cĩ: ‘x `
pa xdx =Ï tan" xdx — : tan! xd(tan x) (1)
0 cos2x li — tan * x}cos? x 9 ! — tan? x
Trang 5sin? x cos2x (do I-tan'x=l=—=—=——) COS X CoS xX v3 Dat t = tan x (khi x = 0, thì t = 0, con khi x = ° thì t= +) Vay tt (1) ta co: dt | tt 141 đa 1 3 (t+1)-(t=1) [= Ja J 2 dt=~ f(t +1}dt—> | (t—1(t+1) 0 0 0 0 v3 ⁄3 33 |3 3 4 ===l3 -t3 =2| Í dt - f dt 319 0 2 5 (t-1) ;(t+]) 2B By fil _1043 ống" 3Ð 27 v3 3 đoạn đầu Sau đĩ việc tính tích phân: I= Ỉ I 0
“thém bot” va str dung bang nguyén ham
Trang 6222 Thí dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2005) Tính tích phân: [= sin 2x cos xdx Cu NIA l+cosx Ta cĩ T1 TL ¬-—- ƒ 2cos? xd (cos x) 0 0 1 (1+cosx) (1+ cosx) ( ) Dat t = cosx (khi x = 0, thit = 1; khi x= = thit = 0) Khi đĩ ta cĩ: 2t(I+t ]+t)+ - l+t aa (+xJ—20+0+2 c= faar-2 fare tt .ụg gitt ,|1 =t| —2t ' š2mn(1+t)| =2In2 - 1 0 0 0 Thí dụ 4: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B - 2006) In$ Tính tích phan: |= ee n3e +2e *—3 - Giải In5 ins ex Ins d{e* Ta cĩ l= I~ | 3 =-|[= ( (1)
nae +26 — cua e2 — —3eŸ*+2 ge ~—3e* +2
Trang 7— -t2 | Vay I= oe) at - us Int 1 as 1 =In2-3 i of it i 5 7G 8 2 2 ;
Loại 2: Đổi biến khi hàm dưới dấu tích phân chứa biểu thức dạng #/f(x)
Trong nhiều trường hợp (chứ khơng phải tất cả các trường hợp) ta cĩ thể dùng phép đổi biến sau đây:
t= FG)
Đây là một trong những phép biến đổi thơng dụng hay gặp Thứ dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối 4 — 2004) 2 Tinh tich phan: | = | xdx ltVx-1- Dat t= Vx—1(khix= 1, thit = 0; khi x =2, thit=-1) Ta cĩ tÌ=x—Ì = 2tdt= dx Vậy : Ít HP I=[————.() 0 3 Taco: ott Loy? " „ nên từ (1) ta cĩ l+t +t ` 1 1=2 fae fares fie—a dt gin l+t 3 0 0 Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại hoc khỗi B — 2004) E +3lnx.In xdx Tính tích phân: I= ¡ x Giai Dat t= V14+3inx (khix=1] SB t=1;khix=3 > t=2) Tacé: t? = 1+ 3inx => 2tdt = 3dx —„ đx _ 2tdt ` x x 3 2 2 tỆC l) at _ 2 4 2 116 Vay [= |-————- t dt— |tˆdt|=—— y BS 3 ai J | 135 Chu ý:
Các bạn hãy so sánh với cách giải cũng của thí dụ này trình bày trong thí dụ 2, loại 1 phần B (phương pháp đổi biến số)
Thi du 3: (Dé thi tuyên sinh Đại học khối 4 ~ 2005)
sin2x + Sinx | Tindeosx
Tính tích phân: I= pe
Trang 8Giải Đặt t= V1+3cosx (khix=0 > t= 2: khix = > > t=1) Ta c6 t? = 14+3cosx => 2tdt =—3sinxdx ; sin x(2cosx + (2 | ng 2 Ta co: = snxƯeosxtl) „2 h = 3 J-2 bự +ldt= -34 vl]+3cosx j3 t1 9¡ Thí dụ 4: 3—-2!nx ¬ Tính tích phan: | = i Giải Đặtt= VI+2Inx (khi x= l thìt=I, khi x= Ve thìt= V2) đX vụ Ta cĩ: tÍ = 1+ 2Inx => tdt= — Vậy ta cĩ: x i ph, u “ha»jaÏ jeu Op Thi du 5: | Tính tích phân: I= fxs | 0 x? +2+21l+x? Giải 3 d(x? +1) Ta cĩ I= | = 2Í In 0 [J2 +1+1] (đặtt= Vx?+1) Đặt u = Xt (khit= I =u=l:t=4=>u=2} Ta cĩ uˆ =t = dt = 2udu Vậy từ (1) ta cĩ: 1% dt 2) (vip 2 2 2 2 " ƒ udu _ Lrục Tụ, - 8026) paw) Zi(+u} ¡(1+u) po i+u j(Iruỳ 2 2 =In(I+u) +—— =InS—1, [ u+lll 2 6 Nhận xét:
Trong thí dụ trên ta sử dụng nhiều phương pháp để tính tích phan | (bảng nguyên hàm, đổi biến số loại 1, loại 2)
Loại 3: Đơi biến khi hàm dưới dấu tích phân cĩ dạng a? —x? hoặc (a” + x)* hoặc Vx? —a?
Trang 9— Khi biểu thức dưới dấu tích phân cĩ chứa biểu thức dưới dạng a?—x? hoặc Vx?—a7 nĩi chung ta sẽ gặp khĩ khăn nếu sử dụng phương pháp đơi biến nĩi trong loại 2 (đặt t = Vx? =a? hoac t= Va? —x? ) Voi tich phân này người ta
đổi biến như sau: ˆ
+ Nếu biểu thức dưới đầu tích phân cĩ dạng a°—X? ta hay dat x = asint hoặc x = acost + Nếu biểu thức đưới dấu tích phân cĩ chứa biểu thức dưới dạng Ýx?-a2 ta a a hay dat x = —— hoac x = —— sint cost
- Khi biểu thitc duéi dau tich phan c6 chira biéu thire dudi dang (a’+x’)* ta
hay đặt: x = tant hoặc x = cott
Thứ dụ 1: (Trích trong đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2002) v§ Tinh tích phân: I= H l6—x°dx 0 Giải Dat x = 4sint (khi x = 0 thì t= 0, khi x= V8 thit= a ) => dx = 4costdt TL T1 4 —— 4 Tacĩ: I= [V16-16sin? t.4cos tắt = [I6cost|cost| dt 0 0 TL 4 =8 [2cos? dt(vì khi 0 <t< thì cost >0) ộ 4 T TL TL 4 4 4 x =8 |(I+ cos2t)dt =8 [dt +8 [2cosdt =2+4sin2t|4 =2x+4 0 0 0 0 Nhận xét: v8 1/ Trong qua trình giải đề thi bat buộc phải tính tích phân I = Ỉ 16—x?dx 0
2/ Mặc dâu hàm dưới dâu tích phân cĩ chứa căn thức, nên nếu ta biên đối giống trong loại 2: t = Va’ —x* thichiic chan sẽ gặp rắc rối (các bạn thử làm xem và giải thích vì sao lại như vậy) Đây chính là thí dụ chứng tỏ rằng khơng phải cứ thấy Vf (x) là thực hiện phép đổi biến số t = f(x)
Trang 10226
Thi du 2:
Tinh tich phan: I=
Trang 11, dt Taco: dx=—— cost
Loại 4: Đơi biến khi biểu thức dưới dấu tích phân cĩ chứa hàm số lượng giác Các phép biến đổi thường dùng với tích phân này là đặt t = sinx, hoặc
t= cos x; t= tan x, hoặc † = cotf x
Trang 12Loại 5: Một số phương pháp đổi biến đặc biệt đề tính tích phân:
Trong mục này chúng tơi giới thiệu vài phép đổi biến đặc biệt (khơng thơng dụng) để tính tích phân với mục đích để các bạn tham khảo thêm
Dang 1: Déi bién x = ~t Phép đổi biến này dùng khi: a 1/ Tinh phan can tinh cĩ dạng: [f(xjax, trong đĩ f(x) là hàm số chẵn hoặc =8 lẻ trên [-a ; a] , ne f (x)dx Y Đà hk yz un ` 2/ Tích phân cĩ dạng: le „ trong đĩ f{x) là hàm sơ chăn trên [—a;a] va +k’ -a
k>0 Khi đĩ ta tách tích phân thành 2 phần: từ -a đến 0 và từ 0 đến a Với tích phân thuộc phân thứ nhất đặt x = -t Thi dul: 1 Tính tích phân: I= fin(x +V1Ex? Jax - Giai Ta cĩ: 1 [= fin( xvi +X * Jax = fin(x+ dive? Jax {n(x vi +X * Jax (1) ¬] -1 Dat x = -t, khi đĩ fln(x view? ar —— fin Sie —rae= fin te fin{te Vie (2) o t+ Jie?
Thay (2) vao (1) ta cd: I=0
Trang 13Dạng 2: Phép thay biến x=a— t
Phép đổi biến này thường dùng để tính các tính phân cĩ cận trên là a, hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức lượng giác và các biểu thức này liên quan đến cận trên a (theo nghĩa chúng cĩ mối liên hệ của các hàm lượng gác của các gĩc liên quan đặc biệt) Vì thế các tích phân này thường cĩ cận trên là 2 ; 2T „TL,
Với các tích phân này, sau khi biến đổi x = a-t sẽ dẫn đến việc giải phương trình đơn giản mà ân số ở đây là tích phan I can tinh
Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Cao đẳng Sư phạm Hà Nội - 2004)
Tính tích phân: | {n2 nn ticn pnan: = { sa X x d 5 sin 2004 c0s704 x Giải 1 , Dat x = 2 => dx =—dt ta co: x 9 s9 2 57004 + =| oa + sin" = in sin””!t + cos eo x 5 ao 205 i204 x + cos 2004 x 2 n Từ đĩ suy ra: 2l = See x = Jax =— sin“” ” x + eos“ “ ^x 2 0 0 ˆ 1 Vậy I= — 4 Thí dụ 2: 2n Tính tích phân: [xcos’ xdx 0 Giải
Dat x = 2m-t => cosx =—-cost va dx = -dt Ta cĩ:
]=- [0 — t)(cos*t)dt = lúa - t)(cos*t) dt 0 2n =2n ` == l=n [cos°tdt (l) * 0 2m Bài tốn quyvẻ tính mœ “feos tdt Dễ thấy m [cos? tdt =0 0 0 (giải như thí dụ 1, loại 4, mục B) Tu (1) suy ra 1=0
Nhận xét: Ta cĩ thê giải lại bài tốn trên bằng cách sử dụng tích phân từng phan bang cach dat u = x; du = cos*xdx
Trang 14C PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẢN
Phương pháp tích phân từng phần cũng là một trong các phương pháp cơ bản nhất đề tính tích phân Cần nhấn mạnh rằng các bài tốn sử dụng tích phân từng phần để tính tích phân nhiều lần xuất hiện trong các để thi tuyên sinh vào Đại học và Cao đẳng trong những năm gần đây
Loại 1: Cac dang | tốn cơ bản của phép lấy tích phân từng phan
Cần nhân mạnh rằng các dạng tốn này chiếm trên 90% các bài tốn sử dụng: phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân trong các đề thi từ 2002 đến 2009 (và 100% trong các dé thi tuyển sinh mơn Tốn vào các trường Đại học khối A, B, D trong những năm đĩ) Cĩ 4 dạng tốn chịnh
b
1 Với tích phân dạng: [P (x)e**dx hoặc P(x) )sin kxdx; Jets )}coskxdx, ở
a a
day p(x) la da thie thi dat u = P(x) ; dv = e**dx (hoặc dv = sinkxdx, )
2/ Với tích phân dạng Jets) in* xdx (c6 thé ép dung véi mét sé trudng hop I , cĩ tích phân dạng: (mx dx), ở đây P(x) là đa thức thì đặt u = In`x, dv = P(x)dx ¡P(x) ) (hoaic dv = P(x) 3/ Với tích phan dang: kh sinœxdx hoặc fe ‘cosBxdx , a a
thì dat u =e , dv=sin adx (hoac dv = cos Bdx)
hoặc u = sin œx (hoặc u = cos Bx), dv = e“dx
Trang 16232 Giải Đặt u =x— 2 => du = dx; v= fo?*dx = Le 1 5-3e* 0-4 1 Ta cĩ: I =F (x -2)e^ ! _i [e?*ax = -(-£ + 2) — | gx 2° 2 4
Thi du 5: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khoi D — 2004)
Trang 17ii Lạy - 23 Vi thé: le” sin3xdx =——e?*cos3x|2 += fe 2X cos3xdx (2) ộ 3 0 3 0 3 + — nr Thay (2) vào (1) ta cĩ: pater 24, ` => [=e =? 3 9 9 9 3 9 13
Chit y: Néu sau khi cé (1) ta dùng phép tích phân từng phần lần thứ hai như sau:
Đặt u = sin3x => du=3cos3xdx; v = fe?*dx = se TL 2 |% Khi đĩ PP” sin 3xdx -5e™ sin3x|? — 0 0 e2Xcos3xdx = alge 3 ) 2 2 ) =e——-hia
Thay (3) vao (1), vaco: l=— 2® + se” vi <> 1=1.(4)
(4) cĩ nghĩa là ta gặp hiện tượng “ 'xoay vịng” tức là sau một loạt phép tốn — ta quay lại đầu bài Do đĩ ta chưa giải quyết được bài tốn
Khi áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần từ hai bước trở lên, nếu khơng cân thận sẽ gặp “hiện tượng xoay vịng” và cân phải tránh nĩ
Loại 2: Phương pháp tích phân từng phần với các dạng tích phân khác Đề sử dụng cĩ hiệu quả phương pháp tính tích phân từng phần khi tính tích phân, điều quan trọng nhất làm sao chọn hàm u một cách thích hợp Phép chọn hàm u phải
đảm bảo được hai điều sau đây:
1/ Dễ dàng tính được [vdu
2/ Thơng thường khi sử dụng cơng thức tích phân từng phần đề tính tích phân, ta đều phải trai qua nhiều bước Vì vậy hàm u cần chọn sao cho trong các bước tiếp
Trang 19§2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHANG
- Diện tích hình phẳng xác định bởi đường cong y = f(x) Cho hình păng giới hạn bởi các đường ay y= f(x), y =0 - y = f(x) X=a,x=b (a <b) Khi đĩ diện tích S của nĩ được b tính bởi cơng thức: S = {If (x}}dx J ( ) O y = y(x) (nĩi riéng néu f(x) > 0 voi b A B V xe [a;b], thì S= [f(x)dx a - Diện tích hình phăng giới hạn bởi hai đường cong: y =f(x):y = g(x) x=a;x=b (a <b) Khi đĩ tích phân của hình phăng được tính bởi cơng thức: S= Ïf(x)~s(x)láx
Cho hình phẳng giới hạn bởi: |
Giải bài tốn tìm diện tích hình phẳng thường cĩ lược đồ chung để giải như sau: - Vẽ hình (nếu thấy cần thiết và dễ vẽ Khí vẽ đường cong chỉ nên vẽ phác hình) - Tìm giao điểm của các đường tạo nên hình phẳng
- Sử dụng các cơng thức đã nêu ở trên
Loại 1: Các bài tốn cĩ thể vẽ phác được hình cần tính diện tích:
Với các bài tốn thuộc loại này việc vẽ hình giúp cho việc nhận diện hình cần
tính để dàng hơn nhiều Dĩ nhiên ta chỉ cần lưu tâm đến hình dáng của hình, nên
việc vẽ hình chỉ cần là vẽ phác mà thơi!
Thứ dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2002)
Tìm diện tích giới hạn bởi các đường y = |x’ - 4x + 3] vay = x+3
Hai đồ thị y = Ix? — — 4x +3| và
-y=x +3 đều rat dé vé, vi thé ta cĩ ngay hình vẽ sau:
Từ hình vẽ ta suy ra hồnh dộ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình: xŸ -4x+3=x 43
(vi nĩ cắt nhau trên phần mà
x7- 4x +3> 0) x= 0 hoặc x = 5
Trang 20Ta cĩ: S= [6+9-(* ~4x +3 |dx 3 +f +3)~(-x? +4x -3) jax + ff +3)-( —4x +3) |dx 3 =x+3 Y» = fe + 5x)dx + it ~3x+ 6)dx 1 +: + 5x)dx = “> (ava) 3 Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khéi B — 2002) 2 2 ; x x Tìm diện tích hình phăng giới hạn bởi các đường: y=.,|4-—— và y=-—= ° ene Yaya y Giải 2 y20 X Taco: y=,/4—-— &é6>3 v2 2 ¬xw.= 16 4 xy yy] ; 2 2 Vậy đơ thị của nĩ là nửa trên của elip 16 + T =1 2 ~ z xX
Dé thay y =—= [Aa parabol, nén ta cé hinh vẽ sau: yy 4/2 p Hồnh độ của giao điểm A, B
Trang 21Thí dụ 3: | 8 ve Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi ¬ “ 2 a cac duong: y= xy =—-3 y= — vay= — i ; 4 x x ye Vẽ phác hình trên cĩ dạng sau: Bằng các xét các phng trỡnh: 2 Đ x2=^x=2; x?=âx=2; 3 xX Xx ỊE x 2 2 ye x 2 _ x 8 x ^^ X -“&x=Ÿ2 và —=— ©x=Ÿ232 4 5 4 x 4 x
Ta suy ra cĩ 3 giao điểm A,B,C với hồnh độ giao điêm lân lượt là: ¥2;2;¥32 Dễ thấy:
2 332 2
S= j(2 2 Jax [2]
¥5 x 5 \* 4
Cac tich phan trén đều tính được một cách dé dang va ta sé cĩ:
S=8In Ÿ⁄4 +2In 1/4 = In4(40)
Loại 2: Các bài tốn tính diện tích hình phẳng mà việc vẽ hình khĩ thực hiện Với các bài tốn loại này chưa thể nhận ra ngay khi nào f(x) > gŒ) (hoặc f(x) < g(x)) Vì thê cách tơt nhất khi tính điện tích S là sử dụng cơng thức:
b
s= Íf(x)ldx,
và xử lí theo cách tính tích phân trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân cĩ chứa
dấu giá trị tuyệt đơi b
Dạng 1: Bỗ sung về tính tích phân dạng: i f (x)| dx
a
Khi giải các loại bài tập này trước hết phải tiến hành xét dấu để phá đi các dấu
giá trị tuyệt đơi (kiên thức hay dùng nhất là sử dụng định lí về dâu của ˆ tam thức bậc
hai, nhị thức bật nhất và sử dụng đường trịn đơn vị đê xét dấu các hàm x 2 lượng giác)
Trang 22Từ bảng xét dấu trên, ta cĩ: I= f(x = x?}dx + fle — x)dx =| 0 1 Thi du 2: TU Tinh tich phan: I = [Vi=sin 2xdx 0 Giải 1 1 1 1 Taco: I= Í [—cos| ——2x ldx= Í 2sin?} ——x ldx 2 4 0 0 3m : _ sẽ [isintldt “4
Dựa vào đường trịn đơn vị ta cĩ ngay:
sint < 0 khi <t<0 va sin t > 0 khi 3m | oo 2 Từ đĩ: |= 2] - [sintdt+ fsintdt }=2V2 nt 4 Đạng 2: Tìm diện tích hình phẳng
Thí dụ: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4 — 2007)
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = (e + 1)x va
y=(l+e)x
238
Giải
Hồnh độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình: (e+ 1)x=(1+e)x @ x(e“-e)=00 x=0vàx= Ì Từ đĩ diện tích S cân tìm được tính theo cơng thức:
1
S= {lie Jx=0+shle= Jxƒc ~e)[dx (1)
Trang 238 TINH THE TICH VAT THE
- Giả sử vật thể sinh bởi hình phăng giới hạn bởi các đường
een và quay quanh trục Ơx Khi đĩ thể tích V của vat thé ay là: x=a;x=b (a<b) V =x [f?(x)ax y =f(x);y =g(x) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi hai đường : | x=a;x=b và đem quay quanh trục Ox Khi đĩ thể tích V của vật thể tạo thành là: b V=x||f?(x)~e7(x)|da a
Thi dul: (Đề thi tuyễn sinh Đại học khối B - 2007)
Cho hình phăng giới hạn bởi các đường y = xÌnx; y = 0 va x = e Dem hinh phăng quay quanh trục Ox Tìm thể tích khối trịn xoay thu được
Giải
Ta tìm giao điểm của y = xỈnx với trục hồnh Hồnh độ của giao điểm la nghiệm của phương trình xInx = 0 <> x = 1 (do x>0) ẹ Vay V= mfx? In? xdx (1) ¢ Tích phan 7 fx? In? xdx duoc tinh theo céng thie tich phân từng phan loai 1 1 Bang phep tinh tuong ty nhu trong thi dy 3, loai 1, phan C, 3 3 — — ta cĩ: fe In? xdx = se =2 Vay từ (1) suy ra V = se =2 (dvtt) Thidu2: yew Cho hinh phang S giới hạn bởi các 2 duong: y = x’; yao và y= Tim x 27 thé tich V khi dem hinh S quay quanh I truc Ox "_ Giải ị n Dễ thấy các giao điểm A, B tương ứng ` yeah cĩ hồnh độ là x = 3 và x =9
9 > 3 9 ` Goi Vi, V2, V3 tuong ứng là thể tích
của các vật thể sinh bởi khi đem cung OA, AB và OB quay quanh Ox Khi đĩ ta cĩ:
Trang 24240 2 dx os (đvtt) 3 2 9 2 9 2 V=V,+V;-—V;=x f(x) axe (2) dx — f) ~ x 27 0 3 0
BAI TAP TU GIAI
Trang 26Bài 20: ae ` “lIn(I+ x) og 3 Tính tích phan: I = + Đáp số- 3In2 _ s13: ; Xx Sử dụng các phép thế đặc biệt tính các tích phân sau: Bai 21: Tính tích phan: 1 = | dx : lì ơi Đáp số: — °N: Bài 22: gs ˆ v Mi+xF Tính tích phân: Ï = | 5 dx ; Xx : 3/2-2v3 Dap so: (2+ /5)(/5—1)+ 392 v3 3 Bai 23: Tinh tich phan: [= lườ: Dap so: ny3 yx +x" +] 18 Bai 24: v2 2 x;d , Tq ] Tính tích phân: | - Đáp số: ——— 5 Vi-x? § 4 Bài 25: 5 Tinh tich phan: I = {( X+2{-|x-2|)dx Đáp số: 8 -3 ` Bài 26:
Tìm điện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y = x? + 4x + 5 và hai tiếp
tuyến của (P) tại điểm A (1; 2); B(4;5) năm trên (P) Đáp số: = (ava) Bai 27: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin|x| vay = ‘Ix Dap so: 4+ 1° (dvdt) Bai 28:
Cho hình phẳng tạo bởi hai đường y = 2x-x” và y = 0 Tim thé tích vật thé khi đem hình phẳng quay quanh trục Ox
242