CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b), nếu trong khoảng đó ta có: F(x) = f(x). +Giả sử trên khoảng (a, b) hàm y = f(x) có một nguyên hàm F(x) thì mọi hằng số C: F(x) + C cũng là nguyên hàm của y = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a, b). +Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là F(x) và k là một hằng số thì hàm số: y = k.f(x) có nguyên hàm là k.F(x) trên (a, b). +Giả sử trên (a, b) có hàm f(x), g(x), h(x) có các nguyên hàm tương ứng là: F(x), G(x), H(x), thì hàm số y = f(x) + g(x) h(x) có nguyên hàm là: F(x) + G(x) H(x). +Từ đạo hàm ta có nguyên hàm các hàm cơ bản sau:
Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học MỤC LỤC PHẦN TRANG MỤC LỤC NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN II CÁC BÀI TẬP LUYỆN: .4 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 15 I CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT .15 II BÀI TẬP LUYỆN: .15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 23 I - LÍ THUYẾT .23 II - BÀI TẬP 25 BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN 26 I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 26 II - BÀI TẬP 27 ĐẠI SỐ TỔ HỢP 27 I - LÝ THUYẾT 27 II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP .29 III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON 33 Tài liệu luyện thi đại học môn Tốn Trang Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm f(x) khoảng (a, b), khoảng ta có: F'(x) = f(x) +Giả sử khoảng (a, b) hàm y = f(x) có nguyên hàm F(x) số C: F(x) + C nguyên hàm y = f(x) với x thuộc khoảng (a, b) +Mọi nguyên hàm f(x) (a, b) F(x) k số hàm số: y = k.f(x) có nguyên hàm k.F(x) (a, b) +Giả sử (a, b) có hàm f(x), g(x), h(x) có nguyên hàm tương ứng là: F(x), G(x), H(x), hàm số y = f(x) + g(x) - h(x) có nguyên hàm là: F(x) + G(x) - H(x) +Từ đạo hàm ta có nguyên hàm hàm sau: x α +1 y = f(x) = xα → F(x) = +C α +1 y = f(x) = → F(x) = ln x +C x y = f(x) = sinx → F(x) = -cosx +C y = f(x) = cosx → F(x) = sinx + C y = f(x) = → F(x) = -cotgx + C sin x y = f(x) = → F(x) = tgx + C cos x y = f(x) = ex → F(x) = ex + C ax x y = f(x) = a → F(x) = +C ln a +Mọi hàm liên tục đoạn có nguyên hàm đoạn Người ta kí hiệu họ ngun hàm: F(x) + C = ∫ f (x ).dx Vi phân: Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) hàm số liên tục có đạo hàm y' = f'(x) khoảng (a, b) Xét điểm x ∈ (a, b) tùy ý Tại điểm cho số gia ∆x, cho x + ∆x ∈ (a, b), tích số gia f'(x).∆x gọi vi phân hàm số y = f(x) x tương ứng với số gia ∆x +dy = df(x) = f'(x).∆x ⇔ dy = y'dx Ví dụ: +d(x2) = 2x.dx + d(sinx) = cosxdx -Nếu y = y(u) u = u(x) → dy = y'(u).du = y'(u).u'(x).dx = y'u(x).u'(x).dx Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học Ví dụ: y = (2x+5)3 → dy = (2x + 5)2.dx Tính chất tích phân: ' + ∫ f ( x ).dx = f ( x ) + ∫ f (u ).du = F(u ) + C + ∫ a.f ( x )dx = a.∫ f ( x )dx + ∫ (f ( x ) + g( x ))dx = ∫ f ( x )dx + ∫ g ( x )dx + ∫ (f ( x ) − g( x ))dx = ∫ f ( x )dx − ∫ g ( x )dx Giả sử F(x) có đạo hàm f(x) từ suy ra: ∫ d(F( x)) = F( x) + C Công thức Newton - Lepnit: b ∫a f ( x ).dx = F(b) − F(a ) Định nghĩa tích phân xác định: +Giả sử hàm số y = f(x) liên tục có giá trị khơng âm xác định khoảng (a, b), hình chắn phía y = f(x) phía trục Ox đường thẳng x = a, x = b y x b +Để tính diện tích hình thang cong người ta chia đoạn [a, b] thành đoạn nhỏ điểm x0, x1, , xn Ta gọi ∆xi = xi - xi-1 Từ điểm xi, dựng đường thẳng song song với trục Oy hình thang cong chia làm nhiều hình thang cong nhỏ +Trong đoạn ∆xi chọn điểm εi tung độ yi ứng với điểm εi yi = f(εi) suy ra, ứng với đoạn nhỏ đựng hình chữ nhật có kích thước (x i - xi-1); f(εi) hình chữ nhật là: δi = f(εi) (xi - xi-1) Suy diện tích tồn phần hình cong là: a Tài liệu luyện thi đại học môn Tốn Trang Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học n S = S1 + S2 + + Sn = ∑ Si +Nếu n lớn ∆xi nhỏ độ xác lớn n S = Lim ∑ Si n →∞ i =1 Giới hạn phía phải kí hiệu là: n b Lim ∑ Si = ∫ f ( x )dx n →∞ a i =1 +Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định đoạn [a, b] Chia đoạn [a, b] thành n đoạn điểm (không thiết phải cách nhau) a = x0, x1, , xn = b Đặt ∆i = xi - xi-1 (1 ≤ i ≤ n) Gọi số lớn kí hiệu Max∆i Trong đoạn [xi-1, xi] chọn điểm εi tùy ý: xi-1 ≤ εi ≤ xi Lập tích f(εi).∆i đoạn chia n b Lim Lập tổng ∑ f (ε i ).∆x i → ∫a f ( x )dx = Max∆ →0 ∑ Si i i =1 Để tính tích phân theo định nghĩa ta thường chia thành đoạn nhau: ∆xi = xi - xi-1 = (b-a)/n = h Lấy điểm εi đầu mút phải (hoặc trái) đoạn εi = a + (i-1).h (trái) εi = a + i.h (phải) +Tính chất tích phân xác định: b b C.f ( x )dx = C ∫ f ( x )dx ∫a a b b b ∫a [f (x ) ± g( x )]dx = ∫a f (x )dx ± ∫a g(x )dx -Nếu f(x) ≤ g(x) thì: b ∫a b f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx a -Nếu m, M giá trị lớn nhỏ hàm f(x) thì: b M (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ m(b − a ) a II CÁC BÀI TẬP LUYỆN: DẠNG 1: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ TÍNH CHẤT: ∫ (e ∫ x + 1) dx e x + e − x − 2dx Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn ∫e ∫ + x dx x x dx x Trang Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học ∫ cos xdx ∫ ∫ sin xdx ∫ sin ∫ 2 x a − x dx 1+ x − x2 11 ∫ 13 ∫ 15 ∫ sin x cos 17 ∫ 19 ∫ 21 ∫ 23 ∫ 25 ∫ 27 ∫ 29 ∫ dx (1 − x ) ( x+ ) dx x xdx dx x + 2x + | − x |2 dx x x m dx (a + bx ) dx x cos (1 + ln x ) + tg x dx + tgx dx x ( x + 1) (1 + e x ) dx + e2x Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn tg xdx x cos x.dx x3 dx x4 +1 10 ∫ 12 ∫ (ax 14 ∫( 16 ∫ sin + b) dx x + 23 x ) dx xdx (1 + x ) dx x (1 + x ) 18 ∫ 20 ∫ (a 22 ∫ x x + 2.dx 24 ∫ sin x dx + cos x 26 ∫ 28 ∫ x + b x ) dx ex dx e 2x + x6 + x5 + x4 + dx x6 + Trang Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Giả sử tính tích phân f(x)dx (1) +Đặt t = ϕ(x), lấy vi phân để tính dx theo dt t +Biến đổi f(x) theo t +Đưa (1) dạng: ∫ f (t )dt = F( t ) + C (2) +Thay t biểu thức nguyên hàm ϕ(x) Chú ý: Nếu (1) tích phân xác định (2) tích phân xác định cận từ ϕ(a) đến ϕ(b), khơng có bước cuối Bài tập: ∫ x (1 − x ) dx ∫ ∫ 3x + dx x sin 4x dx cos 2 x + 4 ∫ x (1 − x )dx ∫ x x (1 + ln x )dx x3 − x dx ∫ x + 4x + 4x + cos x dx ∫ sin x + cos x dx 11 ∫ x ln x ln(ln x ) ln x dx 13 ∫ x + ln x 15 ∫ 17 ∫ 19 ∫ 21 ∫ 23 ∫ + x3 dx x x dx 1+ x sin x dx x + cos dx cos x dx x2 + a Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn sin x cos x dx ∫ + cos x sin x dx ∫ sin x + cos x arctg x dx 10 ∫ (1 + x ) x sin x + cos x dx 12 ∫ sin x − cos x 14 ∫ 16 ∫ 18 ∫ 20 ∫ 22 ∫ 24 ∫ + x6 dx x dx (1 − x ) / dx (x + + x ) dx x cos x dx sin x x2 −1 dx x4 +1 Trang Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học 25 ∫ cos 27 ∫ sin 29 ∫ + cos x dx 31 ∫ 33 ∫ 34 ∫ 35 ∫ 37 xdx 26 ∫ tg x.dx x cos xdx 28 ∫ 30 ∫ 32 ∫ x sin x dx + cos x cos x dx cos x + sin x x2 + dx 2x + x sin x ∫ 39 ∫ 41 ∫ sin x dx cos x + sin x cos x dx + cos x sin x cos x a cos x + b sin x dx (a ≠ b ≠ 0) + x dx 36 ∫ 38 ∫ 1+ x ln x dx ( x + 1) ∫ cos x dx cos x + sin x x 1− e dx + ex sin x − sin x cot gx.dx sin x x sin x dx + cos x Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn x3 40 dx Trang Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Các vấn đề lý thuyết: +Định lý: Cho hai hàm u, v liên tục đoạn [a, b] ta có: b b ∫a udv = u.v |a − ∫a vdu b +Để tính tích phân f(x)dx: -Phải biến đổi tích phân f(x)dx dạng tích phân u.dv -Tính du v -Tính tích phân v.du +Các dạng thường gặp: a ∫ P( x ).Ax.dx (P(x) đa thức x, Ax: ex, ax, sinx, cosx ) Thì ta đặt u = P(x), dv = Ax.dx b ∫ P( x ).Ax.dx (P(x) đa thức x, Ax: arsinx, arccosx, arctgx ) Bài tập: ∫0 ∫ x cos xdx 1 ∫0 xarctgxdx ∫ ln xdx x.e x dx ∫ e x sin xdx ∫ ∫ cos(ln x)dx ∫ ∫ x (arctgx ) dx 11 ∫e 13 ∫ 15 ∫ 17 ∫ 19 ∫ 21 ∫ arcsin x.arccos x.dx 2x sin xdx dx dx (1 + x ) x8 dx ( x − 1) x e x sin x.dx 2 a − x dx Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn x dx cos x arcsin x dx 1+ x x ln( x + + x ) 10 ∫ 12 ∫ (arcsin x ) 14 ∫ 16 ∫( ln x ) dx x 18 ∫ x + b dx 20 ∫ arcsin e x dx ex 22 ∫ x.arctgx ln(1 + x )dx 1+ x 2 dx dx dx (a + x ) 2 Trang Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 23 25 ∫ ∫ x7 dx (1 + x ) 24 26 x arctgx dx 1+ x2 x arctgx dx 1+ x2 ∫ x ln( x + x + 1) dx (1 − x ) ∫ x sin x dx x arccos x 28 ∫ ∫ cos x.ln(1 + cos x).dx 30 ∫ 31 ∫ 32 ∫ 33 ∫ cos(ln x).dx 34 ∫ sin(ln x).dx 35 ∫ 36 ∫ sin( 37 ∫e 38 ∫ 39 ∫ x.e −x / dx 40 ∫ ln(1 + x ).dx 41 ∫ x ln( x + x + 1)dx 27 ∫ 29 x arccos x.dx arctgx dx x (1 + x ) −2 x cos 3x.dx 42 Tìm a để: ∫0 [a 2 dx 1− x x.e arctgx dx (1 + x ) / arcsin x dx x2 x ).dx x ln x.dx ] + (4 − 4a ).x + 4x dx = 12 Tài liệu luyện thi đại học môn Tốn Trang Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học DẠNG 4: TÍCH PHÂN CÁC LOẠI HÀM SỐ: Hàm hữu tỷ: f (x) dx bậc f(x) nhỏ g(x) g(x ) +Nếu bậc f(x) lớn bậc g(x) chia đa thức đưa phân số tối giản +Nếu bậc f(x) nhỏ bậc g(x) phương trình hàm hữu tỷ cho đưa hàm hữu tỷ đơn giản phương pháp cân hệ số cách sau: A Bx + C = + Tương đương với: (ax + b)(a ' x + b' x + c' ) ax + b a ' x + b' x + c' A N = + + n x−a (x − a ) (x − a) n +Các dạng thường gặp tính tích phân xác định: − α +1 A dx = A ( x − a ) −α d( x − a ) = A ( x − a ) Tích phân ∫ ∫ (x − a )α − α +1 A d(x − a ) dx = A.∫ = A ln | x − a | Tích phân ∫ (x − a) x−a dx Tích phân ∫ tùy theo ax2+bx+c = có nghiệm hay khơng ax + bx + c du x − a = ln Nếu có nghiệm đưa dạng: ∫ u − a 2a x + a a Dạng tổng quát: Tính tích phân ∫ Nếu khơng có nghiệm đưa dạng sau: b Bài tập luyện: 2x − x + dx ∫ x + 3x + 3x + 5x − 17 x + 18x − dx ∫ ( x − 1) ( x − 2) dx ∫ x.( x + 1) x5 − x dx ∫ x +1 x4 +1 dx ∫ x − 3x + 2x x2 +1 dx 11 ∫ ( x − 1) ( x + 3) Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn ∫ du u = arctg u +a a a x +1 dx ( x + 1)( x + 9) 2x dx ∫ (1 + x ).(1 + x ) dx ∫ 10 x.( x + 1) x4 +1 dx ∫ x +1 x5 dx 10 ∫ x + 3x + 1− x4 12 ∫ dx x +1 ∫ Trang 10 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học dx dx I2 = ∫1 I3 = ∫0 ( n = 1, 2, ) (1 + x n ) n + x n x + x3 36 ĐHTHNGUYÊN 2000: 37ĐH DƯỢC 2000: 38 ĐHNNI 2000: I1 = I= ∫0 π/ + sin(sin x + nx ).dx (n ∈ Z) sin x x e dx + cos x ∫0 dx 2π I = ∫1 x.(1 + x ) ; I2 = π/ ∫0 x.tg x.dx dx ∫0 + sin x + cos x π/ cos 2x 40 ĐH NGOẠI THƯƠNG 2000: ∫0 (sin x + cos x + 2)3 dx dx 41 CĐSPHN 2000: I1 = ∫−1 x+4+ x+2 π / sin x + cos x dx I2 = ∫0 sin x + cos x x2 −1 dx 42 ĐHQG - A – 2001: ∫ ( x + 5x + 1)( x − 3x + 1) π/ 39 ĐH LÂM NGHIỆP 2000: ∫x 43 ĐHSPHN - B – 2001: − x dx π 1+cos x 44 ĐHSP VINH - A – 2001: a) ln (1 + sin x ) ∫ + cos x π b) dx x sin x ∫π cos x dx − 45 ĐHSP VINH - D - 2001 π ∫ − sin 2x dx 46 ĐHNN – 2001: 47 ĐHGTVT – 2001: ∫ (1 − x − x 2 ) dx π cos x − sin x ∫ (cos x + sin x) dx Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 21 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học π 2 48 ĐH KIẾN TRÚC – 2001: ∫ sin x dx π π 49 ĐH TL – 2001: ln(1 + tgx )dx 50 ĐHNNI – 2001: ∫ 51 ĐHNNI - B - 2001 a) dx ∫ (1 + x ) b) −1 52 ĐHTN - A – 2001: 1+ ∫ 10 53 ĐH DƯỢC – 2001: 54 ĐHNT - A – 2001: π ∫ cos x ∫ sin x dx π cos x dx sin x + cos x x2 + dx x4 − x2 + ∫ x lg π xdx sin x ∫ ( sin x + cos x )dx 55 ĐHTM – 2001: 56 ĐHAN – 2001: 57 HVKTQS – 2001: e −2 nx ∫ + e x dx Với n∈ N xdx ∫ x1 b a − x2 ∫ (a + x ) dx Với a, b tham số cho trước 58 ĐH Y HN – 2001: ∫ x − 1dx 59 ĐHSPKT TPHCM - A – 2001: π ∫ cos 60 ĐHSP TPHCM - A – 2001: ∫x n xdx Với n số nguyên dương − x dx 61 ĐHNT TPHCM - A - 2001 Tìm họ nguyên hàm f(x) = 62 ĐHQG TPHCM - A - 2001 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán cot gx + sin x Trang 22 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học π π sin xdx cos x J = ∫ sin x + cos x ∫ sin x + cos x dx 0 a) Tính I - 3J I + J b) Từ kết tính giá trị I, J Đặt I = 5π K= cos xdx sin x ∫ π cos x − 63 CĐSPHN – 2001: dx ∫ (e x + 1)(x + 1) −1 ∫ 64 TSĐH - A – 2003: 65 TSĐH - B – 2003: dx x x2 + π − sin x ∫ + sin 2x dx 66 TSĐH - A – 2004: x ∫ + x − dx e + ln x ln x dx x 68 TSĐH - A – 2005:69 TSĐH - B - 2005 67 TSĐH - B – 2004: ∫ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I - LÍ THUYẾT 1) DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG a) Cho hàm số y = f(x), liên tục [a, b] Ta biết diện tích S thang cong giới hạn đồ thị đường thẳng x = a, x = b trục b a S = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx O Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn y = f(x) A b a khơng âm hình f(x), hồnh là: y A' a B B' b x Trang 23 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học +Nếu f(x) âm [a, b] diện tích y cong A'B'BA diện tích hình A'B'B1A1 hình đối xứng hình cho qua trục hồnh ta có: S = SA'B'BA = SA 'B'A1B1 = O b B1 A1 A' B' a b b x A ∫ − f ( x ) dx = ∫ f ( x) dx a hình thang thang cong thang cong B a b) Từ cơng thức tính diện tích hình thang cong, ta có diện tích hình phảng giới hạn hai đường thẳng x = a, x = b đồ thị hai hàm số y = f1(x) y2 = b f2(x) liên tục [a, b] cho công thức: S = ∫ f1 (x ) − f ( x ) dx a Để tính diện tích S theo cơng thức trước hết ta phải tìm nghiệm phương trình f1(x) - f2(x) = thuộc [a, b] Giả sử α, β: a ≤ α < β ≤ b ta có: β α S= b ∫ f1 (x ) − f ( x) dx + ∫ f1 ( x) − f ( x) dx + ∫ f1 ( x ) − f ( x) dx (*) β α a β Để tính tích phân ∫ f1 ( x) − f ( x) dx ta ý voiứ x ∈ (α, β) f1(x) - f2(x) α ≠ Vì f1(x) f2(x) liên tục (α, β) nên f1(x)-f2(x) mang dấu Nếu f1(x)-f2(x) > thì: β β β α α α ∫ f1 ( x) − f ( x) dx = ∫ (f1 ( x) − f ( x))dx = ∫ (f1 (x ) − f (x ))dx Nếu f1(x)-f2(x) < thì: β β β α α α ∫ f1 ( x) − f ( x) dx = ∫ (f (x ) − f1 (x ))dx = ∫ (f1 (x ) − f (x ))dx Vậy trường hợp ta có: β β α α ∫ f1 ( x) − f ( x) dx = ∫ (f1 (x ) − f (x ))dx Do (*) trở thành: α b S = ∫ f1 (x ) − f ( x ) dx = a β a α ∫ (f1 (x ) − f (x ))dx + ∫ (f1 (x ) − f ( x ))dx + b ∫ (f1 (x ) − f (x ))dx β Tài liệu luyện thi đại học môn Tốn Trang 24 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x3, y =0, x = -1, x = Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng nằm đường: f1(x) = x3 - 3x f2(x) = x c) Diện tích hình trịn elip 2) Thể tích vật thể a) Giả sử hình phẳng giới hạn đường y = f(x), x = a, x = b, y = quay xung quanh trục ox tạo thành vật thể tròn xoay T Thiết diện vật thể T với mặt phẳng vng góc với ox điểm x hình trịn bán kính y (y = f(x)) nên diện tích thiết diện S(x) = πy Vậy: b V = π∫ y dx a Ví dụ: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh phép quay xung quanh trục ox hình giới hạn trục ox đường y = sinx (0 ≤ x ≤ π) b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) g(y) hàm số liên tục [a, b] Nếu hình giới hạn đường: x = g(y), y = a, y = b, x = quay xung quanh trục oy thể tích vật thể trịn xoay sinh tính theo cơng thức: b V = π∫ x dy a Ví dụ: Tính tiếp tuyến vật thể sinh phép quay xung quanh trục oy hình x2 giới hạn đường: y = , y = 2, y = 4, x = II - BÀI TẬP Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) x = 0, x = y = 0, y = 5x4 + 3x2 + b) y = x2 + 1, x = y = c) y = x2 + 2, y = 3x d) y = 4x - x2, y = e) y = lnx, y = 0, x = e f) x = y3, y = 1, x = π g) x = , x = π, y = 0, y = cosx h) y = x(x - 1)(x - 2), y = i) xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a (a > 0) k) y = ex, y = e-x, x = Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - 2x + 2, tiếp tuyến điểm M(3, 5) oy Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 25 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = -x + 4x - tiếp tuyến điểm M1(0, -3) M2(3, 0) TSĐH - B - 2004 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: x2 x2 y = 4 TSĐH - A - 2002 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x − 4x + , y = x + y= 4− Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục ox: a) y = 0, y = 2x - x2 π b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = c) y = sin2x, y = 0, x = 0, x = π x d) y = x.e , y = 0, x = 0, x = e) y = sinx, y = 0, x = 0, y = π x y2 g) + = a b h) y = 2x2, y = x3 x i) y = x e , x = 1, x = 2, y = k) y = lnx, x = 1, x = 2, y = Tính thể tích vật thể giới hạn đường xung quanh: a) Trục ox b) Trục oy y = x , y = 0, x = quay BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN b f(x) ≥ [a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ a b b a a f(x) ≥ g(x) [a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx b m ≤ f(x) ≤ M [a, b] ⇒ m(b - a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M(b - a) a Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 26 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học II - BÀI TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP I - LÝ THUYẾT 1) Qui tắc cộng qui tắc nhân : a) Qui tắc cộng • Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y cách chọn đối tượng x không trùng với cách chọn đố tượng y thì có m+n cách chọn đối tượng cho • Dưới dạng tổng quát: Nếu có m cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2 mn cách chọn đối tượng xn cách chon đối tượng x i không trùng với cách chọn đối tượng x j (i≠ j; i, j = 1, 2, n) có m + m2 + + mn cách chọn đối tượng cho Ví dụ 1: có sách khác khác hỏi có cách chọn Ví dụ 2: từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác : b) Qui tắc nhân Ví dụ: Từ tỉnh A đến tỉnh B bằng: Tàu hỏa, tàu thủy, máy bay, ôtô Từ tỉnh B đến tỉnh C tàu hỏa, máy bay, ôtô Muốn từ tỉnh A tới tỉnh C bắt buộc phải qua tỉnh B Hỏi có cách từ tỉnh A tới tỉnh C? • Nếu có m cách chọn đối tượng x với cách chọn đối tượng x có n cách chọn đối tượng y ta có m.n cách chọn cặp đối tượng (x, y) • Tổng qt: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, với cách chọn đối tượng x1 có m2 cách chọn đối tượng x2 Sau với cách chọn x x2 có Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 27 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học m3 cách chọn đối tượng x3 Cuối với cách chọn x 1, x2, x3, , xn-1 có mn cách chọn xn, ta có m1m2 mn cách chọn dãy x1, x2, , xn 2) Hoán vị a) Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử (n≥1) Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử b) Số hốn vị n phần tử Định lí: Kí hiệu số hốn vị n phần tử Pn, ta có: Pn = n(n-1)(n-2) 3.2.1 = n! 3) Chỉnh hợp a) Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử Mỗi gồm k (1≤k≤n) phần tử thứ tự tập hợp A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A Ví dụ 1: Cho A = {a, b, c} tìm số chỉnh hợp chập từ phần tử A Ví dụ 2: Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số khác mà chữ số lẻ b) Số chỉnh hợp chập k n phần tử Định lí: Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k từ n phần tử A k ta có: n n! A k = n ( n − 1) (n − k + 1) = n ( n − k )! 4) Tổ hợp a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử A gọi tổ thợp chập k n phần tử cho Ví dụ: Có thầy giáo tham gia hỏi thi Mỗi phịng thi gồm hai giám khảo Hỏi có cách ghép thầy thành đôi để hỏi thi? b) Số tổ hợp chập k n phần tử: Định lí: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k n phần tử C k ta có: n n! Ck = n k!(n − k )! Ví dụ 1: Có 20 đội bóng tham gia thi đấu tính điểm Thể lệ thi hai đội gặp lần Hỏi phải tổ chức trận đấu? Ví dụ 2: Có đường chéo hình thập giác lồi? c) Các hệ thức: • C k = C n −k n n • C k −1 + C k −1 = C k n −1 n n • A k = C k k! n n Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 28 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 5) Nhị thức newton a) Công thức nhị thức newton: (a + b) n = C a n + C n1a n −1b + + C k a n −k b k + + C n b n n n n n = ∑ Cn a k n −k bk k =0 b) Các tính chất: • Số số hạng cơng thức n + • Tổng số mũ a b số hạng số mũ nhị thức n • Số hạng tổng quát có dạng: C k a n −k b k Đây số hạng thứ k + khai n triển nhị thức • Các hệ số khai triển cách số hạng đầu cuối • n = (1 + 1) n = C + C1 + + C k + + C n n n n n • = (1 − 1) n = C − C1 + + (−1) k C k + + (−1) n C n n n n n c) Tam giác pascan II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP Từ chữ số 1, 5, 6, lập số tự nhiên có chữ số Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giữ giống nhau? Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5? Từ thành phố A đến thành phố B có đường, Từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Khơng có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có đường từ thành phố A đên thành phố D? Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình bày kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn? Biết chất lượng kịch, điệu múa, hát Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập được: a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, chữ số khác b) số tự nhiên chẵn gồm chữ số, chữ số khác Có số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau? Cho số 1, 2, ,4, 5, 6, Tìm số tự nhiên gồm chữ số lấy từ số cho: a) Chữ số b) Các chữ số khác Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 29 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học c) Các chữ số khác chia hết cho d) Các chữ số khác chia hết cho 10 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta thành lập số có chữ số, chữ số khác thỏa mãn: a) Các số số lẻ b) Các số chia hết cho c) Trong thiết phải có số d) thiết phải có số 11 Từ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần 12 Cho chữ số 1, 2, 3, 4, có số gồm chữ số khác có hai chữ số khơng đứng cạnh 13 Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập nên từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi có số: a) Bắt đầu từ số b) Bắt đầu 23 c) Không bắt đầu 345 d) không nhỏ 234 14 Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau: a) Là số chẵn b) Một chữ số phải 15 (HVCNBCVT TPHCM - 98)Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, thành lập số có chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt chữ số 16.Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Từ chữ số lập số chẵn có chữ số, cho số đó, chữ số có mặt lần 17 (ĐHQGTPHCM - 99) Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a) có tập X A thỏa mãn điều kiện X chưa khơng chứa b) Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A mà không 123 18 (HVNH TPHCM - 99) Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số nếu: a) Năm chữ số đứng kề b) Các chữ số xếp tùy ý 19 (ĐH KIẾN TRÚC - 98) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số lập số chẵn có chữ số, cho số đó, chữ số có mặt lần 20 HVQS - 2000 Một lớp học sinh có 20 em có 14 nam nữ Hỏi có cách thành lập đội gồm em học sinh có: Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 30 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học a) Số nam số nữ b) Ít có nữ 21 ĐHQG TPHCM - 2000 Một thầy giáo có 12 sách đơi khác nhau, có sách văn học, sách âm nhạc sách hội họa Ông muốn lấy đem tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em a) Giả sử thầy giáo muốn tặng cho học sinh sách thuộc hai thể loại văn học âm nhạc Hỏi có tất cách tặng.(6048 cách) b) Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, thể loại văn học, âm nhạc hội họa lại Hỏi có tất cách.(579600 cách) 22 QGTPHCM - 98 Từ 12 học sinh ưu tú trường trung học, người ta muốn chọn đồn đại biểu có người ( gồm trưởng đồn, thư kí ba thành viên) dự trại hè quốc tế Hỏi có cách chọn đồn đại biểu nói trên.(15840 cách) 23 ĐH LUẬT - 99 Một đồn tàu có toa chở khách, toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi: a) Có cách xếp vị khách lên toa.(81 cách) b) Có cách xếp vị khách lên tàu để có toa có vị khách nói trên.(24 cách) 24 ĐH HUẾ - 99 Người ta viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng a) Có số lẻ gồm chữ số thành.(288 số) b) Có số chẵn gồm chữ số thành.(312 số) 25 ĐHSP VINH - 99 Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Từ chữ số nói lập số, số gồm chữ số đôi khác không chia hết cho 10.(1260 số) 26 ĐHQGHN - B - 2000 Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số, số gồm chữ số khác mà không chia hết cho (96 số) 27 ĐH HUẾ - A - 2000 Một lớp học có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác nhau: a) Nếu phải có hai nữ b) Nếu phải chọn tùy ý, 28 ĐH HUẾ - D - 2000 Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho ta lập được: a) Bao nhiêu số chẵn có chữ số chữ số khác đơi một.(156 số) b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có chữ số chữ số khác đôi một.(36 số) Tài liệu luyện thi đại học môn Tốn Trang 31 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học c) Có số chia hết cho 9, có chữ số chữ số khác đôi một.(16 số) 29 ĐH Y HN - 2000 Có nhà tốn học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Cần lập đồn cơng tác gồm người nam nữ, có nhà tốn học nhà vật lý Hỏi có cách?(90 cách) 30 ĐHTN - A - 2000 Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người, cho: a) Có nam người đó.(5400 cách) b) Có nam nữ người đó.(12900 cách) 31 ĐHTN - D - 2000 Từ chữ số 2, 3, tạo số tự nhiên gồm chữ số, có đủ mặt chữ số trên.(150 số) 32 ĐHSP II - 2000 Có thể lập số gồm chữ số từ số 1, 2, 3, 4, 5, chữ số có mặt hai lần, cịn chữ số khác có mặt lần.(10080 số) 33 HVKTQS - 2000 Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, hai người địa điểm B, người trực đồn Hỏi có cách phân công.(1260 cách) 34 ĐHGTVT - 2000 Một lớp học có 20 học sinh, có hai cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị sinh viên trường cho người có cán lớp.(324 cách) 35 ĐHCS - 2000 Có số lẻ gồm chữ số chia hết cho 9.(50.000 số) 36 ĐHQG TPHCM - A - 2000 a) Có số chẵn gồm chữ số đôi khác nhau, chữ số chữ số lẻ.(42.000 số) b) Có số gồm chữ số đơi khác nhau, có chữ số lẻ chữ số chẵn( Chữ số phải khác 0).(64.800 số) 37 ĐHQG TPHCM - A - 2001 a) Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0), Trong có mặt chữ số 0, khơng có mặt chữ số 1.(33.600 số) b) Có số tự nhiên gồm chữ số ( chữ số khác 0), biết chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần.(11.340 số) 38 ĐH HUẾ - A - 2001 Có số tự nhiên gồm chữ số, cho khơng có chữ số lặp lại lần (8.676 số) 39 ĐH HUẾ - D - 2001 Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 32 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mít tinh tai trường với yêu cầu có nam lẫn nữ Hỏi có cách chọn 40 ĐHKTQD - 2001 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác phải thiết có mặt chữ số (1.560 số) 41 ĐH KIẾN TRÚC TPHCM - 2001 a) Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một.(648 số) b) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đơi khác nhau?(3000 số) 42 ĐHNNI - B - 2001 Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Có thể lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần.(544.320 số) 43 HVKTQS - 2001 Có 16 học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh khá.(3.780 cách) 44 TSĐH - B - 2002 Cho đa giác A1, A2, , A2n (với n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường trịn O Biết tam giác có đỉnh 2n điểm A 1, A2, , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1, A2, , A2n Tìm n?( n = 8) 45 TSĐH - B - 2004 Trong mơn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi trên(khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON Chứng minh rằng: A k = A k −1 + kA k −1 n n n −1 Chứng minh rằng: A n + + A n +1 = k A n + k n +k n +k n Khai triển: (1 + x + x + x ) = a + a 1x + a x + + a 15 x15 a) Tính hệ số a10 = ? b) Tính tổng: T = a + a + a + + a 15 S = a o − a + a − − a 15 Khai triển: ( x − 2)100 = a o + a 1x + a x + + a 100 x100 a) Tính hệ số a97? b) Tính T = a o + a + a + + a 100 c) Tính S = a + 2a + + 100a 100 Khai triển: (1 + 2x + 3x )10 = a o + a 1x + a x + + a 20 x 20 a) Tính hệ số a4? Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 33 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học b) Tính tổng: S = a + a + a + + a 20 Khai triển: (1 + x − 3x ) n = a o + a 1x + a x + + a n x n + Tính tổng: S = a + a + a + + a n Khai triển: (1 + x + x )1996 = a o + a 1x + a x + + a 3992 x 3992 a) Tính tổng S = a + a + a + + a 3992 b) Tính tổng S = a − a + a − + a 3992 c) Chứng minh S = a + 2a + 2 a + + 3992 a 3992 2401 ĐHTL - II - 2000 Cho đa thức: P(x) = (1 + x ) + (1 + x )10 + + (1 + x )14 Có dạng khai triển là: P(x) = a o + a 1x + a x + + a 14 x14 Hãy tính hệ số a9 Đa thức P(x) = (1 + x ) + 2(1 + x ) + 3(1 + x ) + + 20(1 + x ) 20 viết dạng: P(x) = a o + a 1x + a x + + a 20 x 20 Tìm a15? x 12 10 Trong khai triển: ( − ) Tìm hệ số số hạng chứa x4? x 11 Cho biết hệ số số hạng thứ khai triển nhị thức: ( x x+ 36 Tìm số hạng thứ 7? x n ) x 18 ) số hạng độc lập x? x3 13 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức newton của: ( x + )12 x 14 Hãy tìm số hạng đứng khai triển sau: a) (a + ab) 31 12 Hãy tìm khai triển nhị thức: ( x + b) (a + ab) 30 15 Tìm số hạng hữu tỉ khai triển: ( − 15 ) 17 Trong khai triển sau có số hạng hữu tỉ ( + )124 18 Tính hệ số x 25 y10 khai triển ( x + xy)15 19 Xác định hệ số xn khai triển: (1 + x + x + + nx n ) 10 20 Tìm hạng tử đứng khai triển: ( + x ) x 21 Tìm hạng tử số nguyên khai triển: ( + ) 22 Tìm số nguyên dương bé cho khai triển: (1 + x) ncó hai hệ số liên tiếp có tỉ số 15 Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 34 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 23 Xác định số n cho khai triển nhị thức (x + 2) n hạng tử thứ 11 số hạng có hệ số lớn n −1 24 Tìm số nguyên dương n cho hạng tử thứ khai triển: (2 + 4−n ) 240 3n 25 Cho biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức: 2nx + 64 2nx Tìm hạng tử khơng chứa x n 26 Cho biết ba hạng tử khai triển x + có hệ số số x hạng liên tiếp cấp số cộng Tìm tất hạng tử hữ tỉ khai triển cho x 27 Tìm số nguyên dương x, biết khai triển: + tỉ số hạng tử thứ 3 kể từ hạng tử đầu hạng tử thứ kể từ hạng tử cuối 28 Tìm giá trị thực số thực x, cho khai triển của: m x + tổng hạng tử thứ 135 tổng hệ số hạng tử cuối x −1 22 29 Tìm giá trị x cho hạng tử thứ khai triển: ( x + x lg x ) 1.000.000 30 Chứng minh khai triển [(s − 2) x + nx − s]( x + 1) n hệ số x8 C s−2 n n-1 n-2 31 Tìm hệ số x x khai triển: 1 1 Pn = ( x + )( x + )( x + ) ( x + n ) 2 2 32 Xét khai triển: ( lg(10−3x ) + ( x −2) lg ) m Cho biết hạng tử thứ 21 hệ số thứ 2, khai triển số hạng thứ 1, cấp số cộng Tìm x? 33 Tìm hệ số xm khai triển: (1 + x ) k + (1 + x ) k +1 + + (1 + x ) n Xét trường hợp m < k m ≥ k 34 Khai triển: P( x ) = (1 + x )12 thành dạng: P(x) = a o + a 1x + a x + + a 12 x12 Tìm max( a o , a1 , , a12 ) 35 Tính giá trị biểu thức sau: a) A = C + 2C1 + 2 C + + C 5 b) B = C + C1 + C + + C n n n n n Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 35 ... ĐỀ THI MỘT SỐ TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐHQG - D/99: dx ∫ e x − 4e −x Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 17 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học ĐHBK -99: Cho hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x a Tìm học. .. a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M(b - a) a II BÀI TẬP LUYỆN: +) Tính tính phân xác định sau: Tài liệu luyện thi đại học mơn Tốn Trang 15 Tích phân tồn tập - Luyện thi Đại học 3π ∫0 sin x.sin 2x.sin 3x.dx 4x... cot gx.dx sin x x sin x dx + cos x Tài liệu luyện thi đại học môn Tốn x3 40 dx Trang Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Các vấn đề lý thuyết: +Định