Tích phân toàn tập luyện thi đại học

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b), nếu trong khoảng đó ta có: F(x) = f(x). +Giả sử trên khoảng (a, b) hàm y = f(x) có một nguyên hàm F(x) thì mọi hằng số C: F(x) + C cũng là nguyên hàm của y = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a, b). +Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là F(x) và k là một hằng số thì hàm số: y = k.f(x) có nguyên hàm là k.F(x) trên (a, b). +Giả sử trên (a, b) có hàm f(x), g(x), h(x) có các nguyên hàm tương ứng là: F(x), G(x), H(x), thì hàm số y = f(x) + g(x) h(x) có nguyên hàm là: F(x) + G(x) H(x). +Từ đạo hàm ta có nguyên hàm các hàm cơ bản sau: Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học MỤC LỤC PHẦN TRANG MỤC LỤC 1 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 2 I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 2 II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN: 4 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 15 I. CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 15 II. BÀI TẬP LUYỆN: 15 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 23 I - LÍ THUYẾT 23 II - BÀI TẬP 25 BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN 26 I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 26 II - BÀI TẬP 27 ĐẠI SỐ TỔ HỢP 27 I - LÝ THUYẾT 27 II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP 29 III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON 33 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 1 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b), nếu trong khoảng đó ta có: F'(x) = f(x). +Giả sử trên khoảng (a, b) hàm y = f(x) có một nguyên hàm F(x) thì mọi hằng số C: F(x) + C cũng là nguyên hàm của y = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a, b). +Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a, b) là F(x) và k là một hằng số thì hàm số: y = k.f(x) có nguyên hàm là k.F(x) trên (a, b). +Giả sử trên (a, b) có hàm f(x), g(x), h(x) có các nguyên hàm tương ứng là: F(x), G(x), H(x), thì hàm số y = f(x) + g(x) - h(x) có nguyên hàm là: F(x) + G(x) - H(x). +Từ đạo hàm ta có nguyên hàm các hàm cơ bản sau: 1. y = f(x) = x α → F(x) = 1 x 1 +α +α + C 2. y = f(x) = x 1 → F(x) = xln +C 3. y = f(x) = sinx → F(x) = -cosx +C 4. y = f(x) = cosx → F(x) = sinx + C 5. y = f(x) = xsin 1 2 → F(x) = -cotgx + C 6. y = f(x) = xcos 1 2 → F(x) = tgx + C 7. y = f(x) = e x → F(x) = e x + C 8. y = f(x) = a x → F(x) = aln a x +C +Mọi hàm liên tục trên một đoạn nào đó đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Người ta kí hiệu họ nguyên hàm: F(x) + C = ∫ dx).x(f 2. Vi phân: Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f(x) là một hàm số liên tục và có đạo hàm y' = f'(x) trên khoảng (a, b). Xét một điểm x ∈ (a, b) tùy ý. Tại điểm cho số gia ∆x, sao cho x + ∆x ∈ (a, b), thì tích số gia f'(x).∆x gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x tương ứng với số gia ∆x. +dy = df(x) = f'(x).∆x ⇔ dy = y'dx. Ví dụ: +d(x 2 ) = 2x.dx + d(sinx) = cosxdx. -Nếu y = y(u) và u = u(x) → dy = y'(u).du = y'(u).u'(x).dx = y' u(x) .u'(x).dx Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 2 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học Ví dụ: y = (2x+5) 3 → dy = 3. (2x + 5) 2 .dx 3. Tính chất của tích phân: + )x(fdx).x(f ' =       ∫ + ∫ += C)u(Fdu).u(f + ∫ ∫ = dx)x(f.adx)x(f.a + ∫ ∫ ∫ +=+ dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f( + ∫ ∫ ∫ −=− dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f( Giả sử F(x) có đạo hàm là f(x) từ đó suy ra: ∫ += C)x(F))x(F(d 4. Công thức Newton - Lepnit: ∫ −= b a )a(F)b(Fdx).x(f 5. Định nghĩa tích phân xác định: +Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và có giá trị không âm xác định trên khoảng (a, b), hình chắn phía trên bởi y = f(x) và phía dưới bởi trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b. +Để tính diện tích hình thang cong người ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ bởi các điểm x 0 , x 1 , , x n . Ta gọi ∆x i = x i - x i-1 . Từ các điểm x i , dựng các đường thẳng song song với trục Oy khi đó hình thang cong được chia làm nhiều hình thang cong nhỏ. +Trong mỗi đoạn ∆x i chọn một điểm ε i khi đó tung độ y i ứng với điểm ε i là y i = f(ε i ) suy ra, nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ đựng hình chữ nhật có kích thước là (x i - x i-1 ); f(ε i ) thì được mỗi hình chữ nhật đó là: δ i = f(ε i ) . (x i - x i-1 ). Suy ra diện tích toàn phần hình cong là: Tài liệu luyện thi đại học môn Toán 0 x y a b Trang 3 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học S = S 1 + S 2 + + S n = ∑ n 1 i S +Nếu n càng lớn thì ∆x i càng nhỏ và độ chính xác càng lớn. S = ∑ = ∞→ n 1i i n SLim . Giới hạn phía phải được kí hiệu là: ∫ ∑ = = ∞→ b a n 1i i n dx)x(fSLim . +Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a, b]. Chia đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm (không nhất thiết phải cách đều nhau) a = x 0 , x 1 , , x n = b. Đặt ∆ i = x i - x i-1 (1 ≤ i ≤ n). Gọi số lớn nhất trong các kí hiệu đó là Max∆ i . Trong mỗi đoạn [x i-1 , x i ] chọn một điểm ε i tùy ý: x i-1 ≤ ε i ≤ x i . Lập tích f(ε i ).∆ i trên mỗi đoạn chia. Lập tổng ∫ ∑∑ = →∆ =→∆ε b a n 1i i 0Max ii SLimdx)x(fx).(f i Để tính tích phân theo định nghĩa ta thường chia thành các đoạn bằng nhau: ∆x i = x i - x i-1 = (b-a)/n = h. Lấy điểm ε i là đầu mút phải (hoặc trái) mỗi đoạn. ε i = a + (i-1).h (trái) ε i = a + i.h (phải) +Tính chất của tích phân xác định: ∫ ∫ = b a b a dx)x(fCdx)x(f.C ∫ ∫∫ ±=± b a b a b a dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ -Nếu f(x) ≤ g(x) thì: ∫∫ ≤ b a b a dx)x(gdx)x(f -Nếu m, M là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x) thì: ∫ −≤≤− b a )ab(mdx)x(f)ab(M II. CÁC BÀI TẬP LUYỆN: DẠNG 1: SỬ DỤNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ TÍNH CHẤT: 1. ∫ + dx)1e( 3x 2. dx2e xx ∫ 3. ∫ −+ − dx2ee xx 4. ∫ + dx x1 x 2 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 4 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 5. ∫ xdxcos 2 6. ∫ xdxtg 2 7. ∫ xdxsin 3 8. ∫ dx.xcos.xsin 2 9. dx.xa.x 22 ∫ − 10. ∫ + dx 1x x 4 3 11. ∫ − −+ dx )x1( xx1 32 2 12. ∫ + dx)bax( 32 13. dx) x 1 x( 3 + ∫ 14. dx)x2x( 2 3 + ∫ 15. ∫ xdxcosxsin 2 16. ∫ xdxsin 5 17. dx 2x2x 1 2 ∫ ++ 18. ∫ + + dx )x1(x )x1( 2 2 19. dx. xx |x1| 2 ∫ − 20. ∫ + dx)ba( 2xx 21. ∫ + dx )bxa( m 3 2 22. dx.2x.x 3 32 ∫ + 23. ∫ + )xln1(cos.x dx 2 24. ∫ + dx xcos21 xsin 25. ∫ + + dx tgx1 xtg1 2 26. ∫ + dx 4e e x2 x 27. ∫ + )1x(x dx 2 28. ∫ + +++ dx 1x 2xxx 6 456 29. ∫ + + dx e1 )e1( x2 2x Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 5 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Giả sử tính tích phân của f(x)dx (1). +Đặt t = ϕ(x), lấy vi phân để tính dx theo dt và t. +Biến đổi f(x) theo t. +Đưa (1) về dạng: ∫ += C)t(Fdt)t(f (2) +Thay t trong biểu thức nguyên hàm bằng ϕ(x). Chú ý: Nếu (1) là tích phân xác định thì (2) là tích phân xác định cận từ ϕ(a) đến ϕ(b), khi đó không có bước cuối. Bài tập: 1. ∫ − dx)x1.(x 82 2. dx 4x2cos x4sin 2 ∫ + 3. ∫ + dx x 5x3 4. ∫ − dx)x21(x 43 5. ∫ + dx)xln1.(x x 6. ∫ + dx xcos1 xcos.xsin 2 3 7. ∫ +++ − dx 1x4x4x xx 246 3 8. ∫ + dx xcosxsin xsin 9. ∫ + dx xcosxsin xcos 10. ∫ + dx x)x1( xarctg 11. ∫ )xln(ln.xln.x dx 12. ∫ − + dx xcosxsin xcosxsin 3 13. ∫ + dx xln1x xln 14. dx x x1 6 ∫ + 15. dx x x1 4 3 ∫ + 16. ∫ − 2/32 )x1( dx 17. ∫ + dx x1 x 18. ∫ ++ 22 )x1x( dx 19. ∫ + dx 2 x cos1 xsin 2 20. ∫ xcos.x dx 21. ∫ xcos dx 22. ∫ xsin dx 23. ∫ + ax dx 2 24. ∫ + − dx 1x 1x 4 2 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 6 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 25. ∫ xdxcos 5 26. dx.xtg 6 ∫ 27. ∫ xdxcosxsin 3 28. ∫ + dx xcos49 xsinx 2 29. ∫ + dx xcos1 xsinx 2 30. ∫ + dx xsinxcos xcos 31. ∫ + dx xsinxcos xsin 32. dx 12 4x x 2 ∫ + + 33. ∫ + dx x2cos2 xcos 34. ∫ + dx xsinbxcosa xcosxsin 2222 (a ≠ b ≠ 0) 35. dxx1 2 ∫ + 36. ∫ + dx x1 x 3 2 3 37. ∫ + − dx e1 e1 x x 38. ∫ + dx )1x( xln 2 39. dx.gxcot. xsin xsinxsin 3 3 3 ∫ − 40. dx xsinxcos xcos 44 4 ∫ + 41. dx xcos2 xsinx 2 ∫ + Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 7 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Các vấn đề lý thuyết: +Định lý: Cho hai hàm u, v liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có: ∫∫ −= b a b a b a vdu|v.uudv +Để tính tích phân f(x)dx: -Phải biến đổi tích phân f(x)dx về dạng tích phân của u.dv. -Tính du và v. -Tính tích phân của v.du. +Các dạng thường gặp: a. ∫ dx.Ax).x(P (P(x) là một đa thức của x, Ax: e x , a x , sinx, cosx ) Thì ta sẽ đặt u = P(x), dv = Ax.dx. b. ∫ dx.Ax).x(P (P(x) là một đa thức của x, Ax: arsinx, arccosx, arctgx ) 2. Bài tập: 1. ∫ 1 0 x dxe.x 2. ∫ 1 0 xarctgxdx 3. ∫ xdxcosx 2 4. ∫ xdxln 5. ∫ xdxsine x 6. ∫ dx xcos x 2 7. ∫ dx)xcos(ln 8. ∫ + dx x1 xarcsin 9. ∫ dx)arctgx(x 2 10. ∫ + ++ dx x1 )x1xln(.x 2 2 11. dxxsine 2x2 ∫ 12. ∫ dx)x(arcsin 2 13. ∫ + dx )x1( dx 22 14. ∫ + 222 )xa( dx 15. ∫ − dx )1x( x 34 8 16. ∫ dx) x xln ( 3 17. ∫ dx.xsinex x2 18. dx.bx 2 ∫ + 19. dxxa 22 ∫ − 20. dx e earcsin x x ∫ 21. ∫ dx.xarccos.xarcsin 22. ∫ + dx)x1ln(.arctgx.x 2 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 8 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 23. ∫ + dx )x1( x 24 7 24. dx )x1( )1xxln(.x 22 2 ∫ − ++ 25. ∫ + dx x1 arctgx.x 2 4 26. dx.xsin.x ∫ 27. dx x1 arctgx.x 2 2 ∫ + 28. ∫ − dx x1 xarccos.x 2 3 29. ∫ + dx).xcos1ln(.xcos 30. ∫ + dx )x1( e.x 2/32 arctgx 31. ∫ dx.xarccos.x 2 32. dx x xarcsin 2 ∫ 33. ∫ dx).xcos(ln 34. ∫ dx).xsin(ln 35. ∫ + dx )x1(x arctgx 22 36. dx).xsin( 3 ∫ 37. ∫ − dx.x3cos.e x2 38. ∫ dx.xln.x 3 39. ∫ − dx.e.x 2/x 40. ∫ + dx).x1ln( 41. ∫ ++ dx)1xxln(.x 2 42. Tìm a để: [ ] 12dxx4x).a44(a 1 0 32 =+−+ ∫ Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 9 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học DẠNG 4: TÍCH PHÂN CÁC LOẠI HÀM SỐ: 1. Hàm hữu tỷ: a. Dạng tổng quát: Tính tích phân dx. )x(g )x(f ∫ bậc của f(x) nhỏ hơn g(x). +Nếu bậc f(x) lớn hơn bậc g(x) thì chia đa thức đưa về phân số tối giản. +Nếu bậc f(x) nhỏ hơn bậc g(x) thì phương trình hàm hữu tỷ đã cho đưa về hàm hữu tỷ đơn giản hơn bằng phương pháp cân bằng hệ số bằng cách sau: 'cx'bx'a CBx bax A )'cx'bx'a)(bax( 1 22 ++ + + + = +++ Tương đương với: nn )ax( N ax A )ax( 1 − ++ − = − +Các dạng thường gặp khi tính tích phân xác định: Tích phân ∫ α − dx )ax( A = ∫ +α− − =−− +α− α− 1 )ax( .A)ax(d)ax(.A 1 Tích phân ∫ ∫ −= − − = − |ax|ln.A ax )ax(d .Adx )ax( A Tích phân ∫ ++ cbxax dx 2 tùy theo ax 2 +bx+c = 0 có nghiệm hay không. Nếu có nghiệm thì đưa về dạng: ∫       + − = − ax ax ln. a2 1 au du 22 Nếu không có nghiệm thì đưa về dạng sau: 2 2 1 . du u arctg u a a a = + ∫ b. Bài tập luyện: 1. ∫ +++ +− dx 2x3x3x 3xx2 23 2 2. ∫ ++ + dx )9x)(1x( 1x 22 3. dx )2x()1x( 5x18x17x5 3 23 ∫ −− −+− 4. ∫ ++ dx )x1).(x1( x2 22 5. ∫ + )1x.(x dx 2 6. ∫ + 210 )1x.(x dx 7. ∫ + − dx 1x xx 8 5 8. ∫ + + dx 1x 1x 6 4 9. ∫ +− + dx x2x3x 1x 23 4 10. ∫ ++ dx 2x3x x 24 5 11. dx )3x()1x( 1x 3 2 ∫ +− + 12. dx 1x x1 6 4 ∫ + − Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 10 [...]... pháp tích phân từng phần b Bài tập luyện: sin x + 2 cos x − 3 dx dx 1 ∫ 2 ∫ sin x − 2 cos x + 3 3 + 5 sin x + 3 cos x 2 x x cos xdx 3 ∫ 4 ∫ sin x.sin sin dx 2 3 sin 2 x + 4 sin x cos x Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 11 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 5 ∫ 7 ∫ 9 ∫ cos 4 x dx sin 3 x dx 4 6 8 sin 3 x cos 5 x 13 ∫ 15 ∫ 17 ∫ 19 ∫ 21 ∫ sin 23 ∫ 25 ∫ cos 27 ∫ 29 ∫ 31 ∫ 33 ∫ 35 ∫ 6 3 Tích phân. .. ) ) 2 dx x + x2 + x +1 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 14 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 1 Công thức newtown - lepnit: b ∫a f ( x ).dx = F(b) − F(a ) = F(x ) |a b 2 Một số chú ý trong phương pháp đổi biến: β b -Phải đổi cận: Đặt t = ϕ(x) ⇒ ∫a f ( x )dx = ∫α g( t )dt α = ϕ(a); β = ϕ(b) 3 Công thức tính tích phân từng phần: b b ∫a udv = uv... cos x.ln 1 − x dx 7 5 3 π / 4 x − 3x + 7 x − x + 1 dx ∫−π / 4 cos 2 x π/ 2 1 ∫−1 ln(x + 1 + x 2 )dx ĐỀ THI MỘT SỐ TRƯỜNG ĐẠI HỌC 1 ĐHQG - D/99: dx ∫ e x − 4e −x Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 17 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 2 ĐHBK -99: Cho hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x a Tìm học nguyên hàm của hàm số g(x) π / 2 g( x ) b Tính: ∫−π / 2 x dx e +1 3 ĐHTN A/99: Chứng minh với mọi n... I(t) + I(-t) = 0 (∀ t ∈ R) 8 ĐHTCKT - 99: Tính các tích phân sau: π / 3 cos x + sin x dx a ∫π / 4 3 + sin 2x 4 1x +1 b ∫ 6 dx 0 x +1 π / 2 sin x + 7 cos x + 6 dx c ∫0 4 sin x + 3 cos x + 5 d π ∫0 x.cos 4 x.sin 3 x.dx 9 ĐHCĐ 99: Tính các tích phân sau: ln a dx a ∫0 ex + 1 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 18 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học π/ 2 dx b ∫0 1 + sin 2x c π/ 2 ∫0 ( 2x − 1).cos... ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I - LÍ THUYẾT 1) DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG a) Cho hàm số y = f(x), liên tục và trên [a, b] Ta biết rằng diện tích S thang cong giới hạn bởi đồ thị của đường thẳng x = a, x = b và trục b a S = ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx O Tài liệu luyện thi đại học môn Toán y = f(x) A b a không âm của hình f(x), các hoành là: y A' a B B' b x Trang 23 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học +Nếu f(x)... (x ) − f 2 ( x ))dx + b ∫ (f1 (x ) − f 2 (x ))dx β Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 24 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3, y =0, x = -1, x = 2 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đường: f1(x) = x3 - 3x và f2(x) = x c) Diện tích hình tròn và elip 2) Thể tích của các vật thể a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các... a b b a a + f(x) ≥ g(x) trên [a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx b + m ≤ f(x) ≤ M trên [a, b] ⇒ m(b - a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M(b - a) a II BÀI TẬP LUYỆN: +) Tính các tính phân xác định sau: Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 15 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 1 3 3π ∫0 sin x.sin 2x.sin 3x.dx 4x ∫2 3 +1 dx 2 x 3 dx 5 ∫1/ 2 x dx ∫π / 6 sin 2 x.cos 2 x 9 ∫−3| x π/3 3 2 2 cot g 2 x ∫π / 4 cos 2... 0) k) y = ex, y = e-x, x = 1 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3, 5) và oy Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 25 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = -x 2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm M1(0, -3) và M2(3, 0) 4 TSĐH - B - 2004 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x2... một lần 20 HVQS - 2000 Một lớp học sinh có 20 em trong đó có 14 nam và 6 nữ Hỏi có bao nhiêu cách thành lập đội gồm 4 em học sinh trong đó có: Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 30 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học a) Số nam và số nữ bằng nhau b) Ít nhất có một nữ 21 ĐHQG TPHCM - 2000 Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3... số đó khác nhau từng đôi một.(36 số) Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 31 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học c) Có bao nhiêu số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau từng đôi một.(16 số) 29 ĐH Y HN - 2000 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam Cần lập đoàn công tác gồm 3 người cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lý Hỏi có bao nhiêu cách?(90 cách) . ] 12dxx4x).a44(a 1 0 32 =+−+ ∫ Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 9 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học DẠNG 4: TÍCH PHÂN CÁC LOẠI HÀM SỐ: 1. Hàm hữu tỷ: a. Dạng tổng quát: Tính tích phân dx. )x(g )x(f ∫ . ∫ + + dx e1 )e1( x2 2x Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 5 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Giả sử tính tích phân của f(x)dx (1). +Đặt t = ϕ(x), lấy vi phân để tính. BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP 29 III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON 33 Tài liệu luyện thi đại học môn Toán Trang 1 Tích phân toàn tập - Luyện thi Đại học NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định