Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân Vấn đề 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng: Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x a, x b, y f(x), y g(x) với b a b S f ( x) g ( x) dx a Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đường: y 3x , y x Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a) y x2 x 4, y x b) y x3 x 8x 1, y c) y x2 x 2, y x x d) y e) y ln x, y x e f) y e 2 x , y e x , x x2 y x2 g) Parabol y x x 8, tiếp tuyến đỉnh Parabol trục tung h) y x3 3x tiếp tuyến với đường cong điểm có hoành độ x i) y x sin x, y 0, x 0, x 2 k) y ln x , y 0, x , x e e l) y (e 1) x, y (ex 1) x Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y 2x , y x2 x Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a) y x x tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ điểm M ( ;-1) 2 b) y x x , y x3 c) y x , y x e) y x , y x2 27 ,y x d) y x2 , y x, y f) y 5x2 , y 0, x 0, y x Bài 3: Chứng minh với m đồ thị hàm số y x cắt đường thẳng y mx hai điểm phân biệt Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn đường nhỏ Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400 Page Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân Bài 4: Xét hàm số y x đoạn 0;1 Giả sử m giá trị thuộc 0;1 Gọi S1 diện tích giới hạn đường x , y m2 y x , S2 diện tích giới hạn đường y x , y m2 x CMR với giá trị m 0;1 ta có S1 S2 II Thể tích tròn xoay Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn đường x a, x b, y 0, y f(x) với a b Khi hình phẳng quay xung quanh Ox tạo vật thể tròn xoay tích b V f ( x) dx a Ví dụ 3: Tính thể tích khối xoay giới hạn đường sau quay quanh trục Ox x2 ( y 2)2 Ví dụ 4: Tính thể tích tròn xoay sinh đường sau quay quanh Ox: y x x2 y Bài 5: Tính thể tích tròn xoay giới hạn đường sau quay quanh 0x b) y x sin x , y 0, x 0, x a) y x ln x , y 0, x 1, x e c) y sin x cos x , y 0, x , x e) y x ln x3 , x 1, y d) x2 y 8, y x f) y x2 x 6; y x x Bài 6: Cho parabol (P): y = x2 Gọi (d) tiếp tuyến (P) điểm có hoành độ x = Gọi (H) hình giới hạn (P), (d) trục hoành Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) quay quanh trục Ox Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với a b Khi hình phẳng quay xung quanh Oy tạo vật thể tròn xoay tích b V g ( y ) dy a Bài 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn đường y e x ; y x Khi quay quanh a) 0x b) 0y Bài 8: Tính thể tích tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh 0y a) y x ; x y ; b) y x ; y x; y ; c) y x x ; y Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400 Page