PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A KIEN THU’C CAN NHO’
Phương trình bậc hai là phương trình có dạng:
ax”+bx+c0(az 0)
1 Giải phương trình bậc hai ax? + bx +c =0
Dat A= b’—4ac, \'=b”— ac voi b= 2b"
¬ Nếu A <0 hoặc A'<0 thì phương trình vô nghiệm
Nếu A=0 hoặc A'=0 thì phương trình có nghiệm kép “ n
` 2a a Nếu A >0 hoặc A'>0 thì phương trình có hai nghiệm là:
-b> VA —bi JA —p- Ja" —b*+ Ja! : ha 2a y a a 2a Chú ý:
— Điều kiện phương trình có hai nghiệm là A >0 hoặc A'>0
~ Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt là A >0 hoặc A'>0 — Điều kiện phương trình có nghiệm kép là A=0 hoặc A'=z0
— Khi giải phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng biểu thức A hoặc A' Trong
một số trường hợp đặc biệt, ta có thể sử dụng mối liên hệ giữa các hệ số để tính
' nghiệm mà không phải tính A hoặc A':
+ Nếu a+b+c=0 thì phương trình luôn có hai nghiệm là 1 và <,
a
Trang 22 Định lí Vi-ét và ứng dụng a) Định lí thuận Nếu phương trình bậc hai ax” + bx + c -:0 có hai nghiệm x¡, x2 thi: A>0 Điều kiện phương trình có hai nghiệm cùng dấu là ° 0° > Điều kiện phương trình có hai nghiệm dương là A>0 Điều kiện phương trình có hai nghiệm âm lài + P >0 S<0
Điều kiện phương trình có hai nghiệm trái dấu lài ac < 0.)
Nhận xét : Khi ac <0 thì A = bỀ - 4ac >0 nên phương trình có hai nghiệm phân ra ` Cc es yk biệt x;, xạ và X,.X, =— <0, Suy ra xy, x; trái dâu , ¬ a b) Định lí đảo Nếu hai số u, v có u+v::S và uv::P thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai X”— SX + P=0
Nhận xét: Ta có thế tính được hai số khi biết tổng và tích của chúng
E MỘT SÓ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong kì thi tuyển sinh vào
} lớp 10 Trong phân này, học sinh cân chú ý kĩ năng giải các phương trình bậc
hai, kĩ năng giải các điêu kiện về nghiệm của phương trình bậc hai, kĩ năng sử dụng định lí Vi-ét đễ giải các bài toán vê biểu thức nghiệm của phương trình bậc
Trang 3Ví dụ 1 Giải các phương trinhsau _ a) 2x?-+5x—1=0 b) -4x?+2x+1=0 c) x? +8x4+12=0 d) -2x? +6x+1=0 e) 7x? - 2010x + 2003 = 0 g) 5x? + 2009x +- 2004 0 h) 3x? + 18x + 28 - 0 Lời giải a) 2x? +5x-1=0 có A =8ˆ -4.2.(-1) = 33,VA = v33 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x, =—S a 33 St v33 b) -4x? + 2x +1=0 có a =(v2) -4(-4).1=18, VA - V18: 37.2 3V2 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 2-3/2 V2 =2 +32 _ -2 X4 TEL we eters EE rey Xo > —— —————, -8 2 -8 4 c) x2+8x+12=0 có A'<4? -1.12=4>vA' =2 Phương trình có 2 nghiệm phan biét: x, = ca 2 = By Xy = 442 s2, d) 2x? 46x 11-0 66 A'= 3? —(-2) 1= 11-9 Va" = V11 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt -3~ V11 r1 _=8+v11- _3- v11: xX, = —————— 1Œ mm ee ee 2 27 n2 2 e) 7x? - 2010x + 2003 - 0
a+b+c=7 2010 + 2003 - 0 phương trình có 2 nghiệm x, - 1,x; = 20) 7
g) a-b+c-:5 2009 + 2004 - 0 phương trình có 2 nghiệm:
-2004
xX, = —, Xo = ean ee
Trang 4Ví dụ 2 Cho phương trình 2xŸ - 10x +1=0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x,,x; phân biệt
b) Không sử dụng công thức nghiệm, hãy tính giá trị của các biểu thức sau: _ v2 2 B= xy +X> _ v3 3 D=x; +X G=|x,~x,]
b) Sử dụng định lí Vi-ét, bién đỗi biéu thức theo xị + X5,X;X> Lời giải a) Sử dụng biểu thức A'
Trang 5c- X71, ¿>1 6-04 +2) +02 — 1x; + 2) Xy+2° x,+2 (x,+2)(x; + 2) CXỈ+Xy S21 X3 3X; c2 XỈ t X tt X;) 4 — xX,+2(XitX,)+4 — XX;+2(XitX;¿)+4 ; 8? ~2.1+8-4 _ tre] ~ 2X; +(Xi+xa) 4 5 2216 _ X,X_ +2(X,+X,)+4 7 15544 6 so ~ 29° Ví dụ 3 Cho phương trình x” - x~1=0 có hai nghiệm phân biệt X4, X> Tinh gia trị của biểu thức xỷ + xš Hướng dẫn: Sử dụng định lí Vi-ét Lời giải Áp dụng định lí Vi-ét x, + xạ =1,x;x; =—T Ta cô x? 4x2 =(x, +X) - 2x,x, =P -2.(-1)= 3, 3 3 2 2 Xp + Xp = (X, + x;)(xi + X5 xix, ) = (X, + X;) (x +X, Ỷ — Bx Xp | ¬ |? — 3.(-9)] =4 - 5 5 2 2 3 3 2,3 2,3 => XP + X35 =(Xx; + x3 (x + x3) - x} Xã —X2X) = (9 + x3 )(9 +x2)- Xi X2 (X: +X) = -3.4—(-1) 1211
Chi y: Ta co thé tinh téng các lũy thừa bậc cao của một phương trình bậc hai
thông qua tỗng các lũy thừa bậc nhỏ hơn
*⁄ 5 m+n m m n n mvn nvụm
Với m>n ta có xị”" +X¿ =(x + xf" )(x} +xz]—Xi X2 —XiX¿
m m n n a mn m-n
Trang 6Ví dụ 4 Cho phương trình x?—6x + 2m+1z0 a) Tìm m để phương trình có một nghiệm là -3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x„,x; Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=(x, =1)” +(x; - TỶ
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tim m để phương trình có nghiệm kép
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu g) Tìm m dé phương trình có hai nghiệm trái dấu
h) Tìm m để phương trình có hai nghiệm X,,x; thoả mãn: xf (x, +1)+ x2 (x, + 1) - 68
¡) Tìm m để phương trình có hai nghiệm X;,x; thoả mãn 2x, —x; =15
k) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x,,x„ thoả mãn x? =x, —4
I) Tìm m để phương trình có hai nghiệm X,,X; khác 0 thoả mãn: 1 - + = =
XX,
m) Tìm m để phương trinh co hai nghiém x,,x, thod man x? + x? <72
Trang 7Ví dụ 5 Cho phương trình: x? + 2(m + 1)x + mỶ 1=0
a) Tim rm dé phương trình có hai nghiệm dương b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Trang 9Ví dụ 7 Cho phương trình (m + 1) xŸ 2(m 1)x + m+3::0 Tìm m để phương
trình có hai nghiệm x;,x; Tìm hệ thức liên hệ giữa x¡ và xạ không phụ thuộc vào m Sử dụng định li V-ét Lời giải Điều kiện dé phương trình có hai nghiệm x,,x, là: ME met A'>0 (m -1Ỷ` -(m+3)(m+1)>0 mz~1 m+~-1 | <> 2 2 > m? ~2m41-(m? + 4m+3)>0 ~ [m2 2m41- m? 4m-3>0 an one me" <> <> <> ~: -6m-.2>0 6m < 2 m< - 3 Áp dụng định li Vi-ét, ta có: 2m.2 2(m+1) 4 4 m+1 m+1 m+ì m+3_ (m+1)+2 2 X‡X; s: " vn oe " m+ m+ m+4 Xyt Xo D> X,+Xy + 2XX, 2 ‘ i rat 2 ] “ m 1) x? - 2mx + 3 Ví dụ 8 Cho phương trình ( n )x 2mm _— 0 X —
a) Giải phương trình với m = 2
Trang 10(m-1)xŸ - 2mx + 3 x-1#0 b) eereireeieeemii OES 2 x-1 (m1) x” - 2mx + 3 =0 x #1 = (m~1)xŸ - 2mx + 3 =0 (m -1)x? - 2mx +3
Phương trình ©- “` -——— =0có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi X—
phương trình (m — 1) x?~2mx +3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ
khi m thoả mãn hệ điều kiện: m-1z0 mei A'=m’ -3(m-1)>0 <>4A'=m?-3m+3>0 (m-1).? -2m1+340 |m-1~-2m:3z0 mei mei 2 ơ > [m cam + 1]+3>0â [m-3] +3»0< me \ 2 4) 4 2 4 mxz2 2-mz0 mz2 Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét x; + x; = 2m X;.X; =~ 3 m-†1 m-†1 X;(Xị =2) + Xạ(X; - 2) = X? + Xổ = 2(Xị + X;}) =(X,+x;¿}” - 2x,X; - 2(x, + Xp) (2Ì -a 3 ;.2m _4m°~6(m-1)-4m(m-1) -2m+6 _m~-1 "m1 m-1 (m1) (m-t) 2m +6 X,(X,— 2) + x, (X%) 2) = O<> mm Ti =0<>-2m+6::0<»m: 3 (thoả mãn)
Ví dụ 9 Cho phương trình x” v/2011x+1=0 có hai nghiệm x,, x„; phương
Trang 11Lời giải
Ap dụng định lí Vi-ét, ta có
Xi + Xa 42011, X‡X; = T1 Xs + X; = 42012, XaX„ ::
(Xi X;)(X; - X;)(Xị £ X;)(X; + X;): (x; ~X3)(% + X4) | (x; -x;)(x; + x,)|
(x, X:)(X; tX¿)?: XYX_ X QM qt XX qo XQXq ET XyX_ t XYXq 1 XX, X2X: (XX) (Xt Xq) XK Xq_ KX qt XpXqoo XyXq ST AYXg + X_Xq (1< XaX; = XI:
(x,- X;)(x;- X;)(X;ị t X¿)(X; X ag) (GXq XX q)(XXq XX)
(XX) XE X2(XaX¿) XP (Xa) + (XQ) XZ KAZ L Xã
-lx tỷ} (xi txệ): (x, rX,4) 2x5, IŒ tx¿} 2X,
-|(Wa012} 2] '(/201} 2
Chú ý: Trong biêu thức về trái, ta nhóm các nhân tử để xuất hiện nhiêu tích có giá trị bằng 1, khi đó việc biến đỗi trở nên đơn giản
-2012 -2011-1 Ì
Ví dụ 10 Cho phương trình x? 8x +5m +2 <0 Tim m dé phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia Hướng dẫn: | Sử dụng định li Vi-ét Lời giải A'=( 4Ÿ -(Em+2)-:14- 5m Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x,,x; là A'>0<>14- 5m>0<>»m< “ Theo định lí Vi-et ta có x; + x; : 8 (1),x;x; :: 5m + 2(2) Gid swe x, = 3x, (1) > 3x, + xX, = 8 > xX, = 2-9 x, 6
(2) => 5m +2= 6.2 -> 5m =10 => m= 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m=2
` Chú ý Bằng cách giải sử dụng định lí Vi-ét, học sinh có thể chứng minh được kết
quả tổng quát sau: Cho các số a,b,c, k (az0).Điêu kiện đễ phương trình
ax?+bx+c :0 có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là
Trang 12
Ví dụ 11 Cho phương trình xÏ-.mx+8=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này bằng bình phương của nghiệm kia Lời giải A - m”-.32 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: A>0<»m”.32>0<› m? >32<>|m| > 4A2 Giả sử phương trình có hai nghiệm x,,x, thỏa mãn x, = Xã Theo định lí Vi-ét, ta có X+X.em_ |x2+x,=m X2 + X; =m m=6 | cw => J a c> 2 <> X‡X; = 8 |x2.x, =8 x: =8 Xo = 2
Giá trị m = 6 thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghiệm Vậy m = 6 Ví dụ 12 Cho hai phương trình xŸ+ 2x m:.0(1, x?t2mx 1 :0(2)
a) Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm
b) Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung _
Lời giải
a) Phương trình (1) có A, =T4m (1) cé nghiém <> A, >O<>m>-1
Phương trình (2) có A, =m? 41>0 => (2) ludn co nghiém
Kết luận m>- 1
b) Gia sử hai phương trình có nghiệm chung là xạ Ta có
X1 2x, -m:0, xã +2mxạ -1- 0 ->( x6 + 2X, ~ 1) (6 + 2Xp ~ m) :0
c>2mxạ -2xạ+m- 1-0<›(m- 1)(2xạ +1)=0<»m-:1 hoặc xạ - `
Xét m - 1, hai phương trình đã cho trở thành phương trình x7 + 2x 1-0
hai phương trình đã cho có hai nghiệm chung là -1+ 4/2, 1 V2
Trang 13Ví dụ 13 Tìm điều kiện của a, b để hai phương trình sau tương đương
x?+2ax -b+ 40 (1), x? +2bx + a=0 (2)
Lời giải
Phương trình (1) có A; = a” + b 4 Phương trình (2) có A,- bˆ- a
Hai phương trình tương đương khi và chỉ khi các số a, b thỏa mãn một trong hai trường hợp sau: A, <0 a+b-4<0 Trường hợp 1: Hai phương trình vô nghiệm <> ' <> * X A, <0 b”-a<0 Trường hợp 2: Hai phương trình có cùng tập nghiệm khác rỗng A,>0 <> Man Điều kiện dé hai phương trình có nghiệm là: +: A,>0_ |b°-a>0
Trang 14Lời giải a) x? +(2m+6)x+m+2=0 2 5 25 3 5) 3 ¬ =mˆ+2m.—+— +—-=| m+~| +—>0, với mọi m 2 4 4 2 4 Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt b) x? -2m’x +m? +4m-5=0, A’ =m1-|m? + 4m - 5) 2 A'= m3 -mÊ Am +5 = m 2mˆ2 +1+ m? - 4m +4 = (m - 1) +(m~2) Ta có (mÊ ~1)` >0, (m~2)Ï >0 =» A' =(mÊ ~1) +(m~2) 20, 2 ¬- (m-1) =0 [m?-120 [m@=1, Dau ‘=’ xay ra <> <© > hệ vơ nghiệm (m-2}” =0 m-2=0 m=2
=> A'>0 với mọi m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 15 Cho các số a, b, c Chứng minh rằng trong ba phương trình sau, có ít nhật một phương trình có nghiệm: x? -2ax + 2b -1=0 (1), x? -2bx +2c -1=0 (2), x? -2cx +2a—~1=0 (3) Hướng dẫn: Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ Lời giải Phương trình xŸ 2ax + 2b -1= 0 (1) có A, =a? -2b +1 Phương trình x” 2bx + 2c -1=0 (2) có A; =b? - 2c +1
Phương trình x” - 2cx +2a -1=0 (3)có A, =c”-2a+1
Ta có A¿+ A; +A¿ =a?~2b+1+ bŸ -2e +1+c2- 2a +1
=8? -2a+ 1+ bŸ—2b+1+c? ~2e+1=(a-= 1Ÿ” +(b~1) +(e- 1 >0
Suy ra trong ba số Ai,A,,A; có ít nhát một số lớn hơn hoặc bằng 0