Chương 4: Dạng toàn phương

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 ThS. Nguyễn PhươngChia sẻ: cheap_12 | Ngày: 08072014Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 Dạng toàn phương trình bày những nội dung chính: giá trị riêng vectơ riêng; chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao; dạng toàn phương, đưa dạng toán phương về dạng chính tắc; dạng toán phương xác định dấu.

Chương 4: DẠNG TOÀN PHƯƠNG Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 28 tháng 10 năm 2013 1 1 Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng 2 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Định nghĩa chéo hóa Các bước chéo hóa ma trận vuông Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 3 Dạng toàn phương. Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange Phương pháp Jacobi 4 Dạng toàn phương xác định dấu. Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester 2 Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa Định nghĩa - Cho ma trận A ∈ M n (R). Số thực λ được gọi là trị riêng của A nếu tồn tại vector 0  x ∈ R n nếu A[x] = λ[x]. - Vector x  0 thỏa A[x] = λ[x] được gọi là vector riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ. Ví dụ 1:Với A =  4 −2 1 1  , x = (2; 1), ta được A[x] =  4 −2 1 1  2 1  =  6 3  = 3  2 1  = 3[x] Vậy x = (2; 1) là vector riêng của A ứng với trị riêng λ = 3. Tính chất Nếu A có vectơ riêng x ứng với trị riêng λ thì kx, k  0 cũng là vectơ riêng ứng với trị riêng λ. Nếu A có trị riêng λ thì λ m là trị riêng của A m . Nếu A có trị riêng λ và |A|  0 thì λ −m là trị riêng của A −m . 3 Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa Định nghĩa Cho ma trận vuông A = (a ij ) cấp n, ma trận đơn vị cấp n: I. - Ma trận đặc trưng của A là A −λI =               a 11 − λ a 12 . . . a 1n a 21 a 22 − λ . . . a 2n . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nn − λ               - Đa thức đặc trưng của A là định thức của ma trận đặc trưng (là một đa thức λ), det(A −λI). - Phương trình đặc trưng của ma trận A là det(A − λI) = 0. Ví dụ 2: Cho A =  1 2 3 4  , ta có đa thức đặc trưng det(A −λI) =      1 −λ 2 3 4 − λ      = λ 2 − 5λ −2 4 Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng - Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A −λI) = 0. Các nghiệm tìm được là các giá trị riêng cần tìm. - Bước 2: Giả sử λ 0 là giá trị riêng. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A −λ 0 I)X = 0. Nghiệm không tầm thường của phương trình này là vectơ riêng cần tìm. Ví dụ 3: Cho A =  4 −2 1 1  . Tìm giá trị riêng và vector riêng của A. Giải. Phương trình đặc trưng là det(A −λI) = 0 ⇔      4 −λ −2 1 1 − λ      = 0 ⇔ λ 2 − 5λ + 6 = 0 Suy ra λ 1 = 2 và λ 2 = 3 là hai trị riêng của A. + Ứng với λ 1 = 2: + Ứng với λ 2 = 3: 5 Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng Ví dụ 4: Cho A =         0 0 1 0 1 0 1 0 0         . Tìm giá trị riêng và vector riêng của A. Giải. Phương trình đặc trưng:         −λ 0 1 0 1 −λ 0 1 0 −λ         = 0 ⇔ (1 −λ)(λ 2 − 1) = 0 ⇒ λ 1 = −1, λ 2 = 1 là hai trị riêng của A. + Với λ 1 = −1, ta có: A −λ 1 I =         1 0 1 0 2 0 1 0 1         −→         1 0 1 0 1 0 0 0 0         ⇒  x 1 + x 3 = 0 x 2 = 0 ⇒ x = α(1; 0; −1) (α  0) là vetor riêng của A. 6 Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng + Với λ 2 = 1, ta có: A −λ 2 I =         −1 0 1 0 0 0 1 0 −1         −→         −1 0 1 0 0 0 0 0 0         ⇒ x 1 − x 3 = 0 ⇒ x = (α; β; α) là vetor riêng của A. Không gian riêng Giả sử λ là giá trị riêng của ma trận A. Gọi tập hợp các vector riêng ứng với λ và vector không là E(λ). E(λ) được gọi là không gian riêng ứng với λ. Ví dụ 4: E(−1) =  (1; 0; −1)  ; dimE(−1) = 1 E(1) =  (1; 0; 1), (0; 1; 0)  ; dimE(1) = 2 7 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Định nghĩa chéo hóa Định nghĩa - Hai ma trận vuông cùng cấp A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P −1 AP. - Ma trận vuông cấp n được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận đường chéo D, tức là, tồn tại ma trận P khả nghịch sao cho P −1 AP = D. Khi đó, ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A. Ví dụ: Hai ma trận A =  1 0 6 −1  và B =  −1 0 0 1  đồng dạng nhau vì có ma trận P =  0 1 1 3  khả nghịch thỏa B = P −1 AP. Ví dụ: Ma trận A =         0 0 0 0 1 0 1 0 1         chéo hóa được, vì có ma trận P =         1 0 0 0 1 0 −1 0 1         thỏa P −1 AP =         0 0 0 0 1 0 0 0 1         8 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Các bước chéo hóa ma trận vuông - Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A −λI) = 0 để tìm trị riêng thực của A. + Trường hợp A có trị riêng phức thì ta kết luận A không chéo hóa được. + Trường hợp A có n trị riêng thực thì A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2. + Trường hợp A có k trị riêng thực λ i (i = 1, . . . , k) với λ i là nghiệm bội n i của phương trình đặc trưng. i) dim E(λ i ) = n i , ∀i, ta kết luận A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2. ii) tồn tại dim E(λ i ) < n i , ta kết luận A không chéo hóa được. - Bước 2: Tìm cơ sở của các không gian riêng E(λ i ). - Bước 3: Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của E(λ i ). Khi đó, P −1 AP = D với D là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính lần lượt là λ i (mỗi λ i xuất hiện liên tiếp n i lần). 9 Chéo hóa ma trận. Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A =         1 −1 0 2 −1 0 1 2 3         Giải. det(A −λI) =         1 −λ −1 0 2 −1 − λ 0 1 2 3 −λ         = (3 −λ)(1 + λ 2 ) Phương trình det(A −λI) = 0 không đủ 3 nghiệm thực nên A không chéo hóa được trên R. Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A =  −3 2 −2 1  Giải. Phương trình đặc trưng det(A −λI) = 0 ⇔ (λ + 3)(λ −1) + 4 = 0 ⇔ (λ + 1) 2 = 0 ⇔ λ = −1 (bội 2) (A −λI)X = 0 ⇔  −2 2 −2 2  x 1 x 2  =  0 0  ⇔  −2x 1 + 2x 2 = 0 −2x 1 + 2x 2 = 0 ⇔ x 1 = x 2 ⇒ dim E(−1) = 1 < 2 ⇒ A không chéo hóa được. 10 . Chương 4: DẠNG TOÀN PHƯƠNG Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email:. trận A là det(A − λI) = 0. Ví dụ 2: Cho A =  1 2 3 4  , ta có đa thức đặc trưng det(A −λI) =      1 −λ 2 3 4 − λ      = λ 2 − 5λ −2 4 Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm. được gọi là vector riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ. Ví dụ 1:Với A =  4 −2 1 1  , x = (2; 1), ta được A[x] =  4 −2 1 1  2 1  =  6 3  = 3  2 1  = 3[x] Vậy x = (2; 1) là vector riêng