chương 4 dạng song tuyến tính dạng toàn phương

Trang 1 )(xfx  ),(),( yxfyx     n ji jiij yxayxf 1, ),(               nnnn n n Bij aaa aaa aaa aA )( 21 22221 11211 Chương 4 : DẠNG SONG TUYẾN TÍNH –DẠNG TOÀN PHƯƠNG 4.1. Dạng song tuyến tính 4.1.1. Định nghĩa  Dạng tuyến tính: Cho V là không gian véc tơ trên IR, xét ánh xạ f: V IR Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì f(x) được gọi là dạng tuyến tính trên V.  Dạng song tuyến: Xét ánh xạ f: V x V  IR f(x,y) được gọi là dạng song tuyến trên V nếu ánh xạ f tuyến tính đối với x khi y không đổi và tuyến tính đối với y khi x không đổi, nghĩa là:  f(x 1 +x 2 ,y) = f(x 1 ,y) + f(x 2, y)  f( x,y) =  f(x,y)  f(x,y 1 +y 2 ) = f(x,y 1 ) + f(x,y 2 )  f(x,y) = f(x,y) * Dạng song tuyến f(x,y) gọi là đối xứng nếu : f(x,y) = f(y,x) , x,y  V 4.1.2. Biểu diễn dạng song tuyến Cho f(x,y) là dạng song tuyến trên V và (e) = { e 1 , e 2 ,… ,e n } là một cơ sở của V. Khi đó, f(x,y) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng : Trong đó: a ij = f(e i ,e j ) x = (x 1 ,x 2 ,…,x n ) y = (y 1 , y 2 ,…,y n ) Trang 2 nji ,1,  j n ji iij xxaxxfxQ    1, ),()( 2 112112 2 111 2 2)( nnnnnnn xaxxaxxaxaxQ   22 222 2 111 )( nnn xaxaxaxQ  Ma trận gọi là ma trận của dạng song tuyến f(x,y) trong cơ sở (e). o Nếu a ji = a ij , thì ta nói dạng song tuyến f(x,y) đối xứng. o Dạng song tuyến f(x,y) đối xứng  Ma trận A đối xứng. 4.2. Dạng tòan phương 4.2.1. Định nghĩa Khi f(x,y) là dạng song tuyến đối xứng trên V, thì f(x,x) ( thay y bằng x) được gọi là dạng toàn phương trên V. Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng : A = 11 12 1 12 22 2 12 . . . n n nn nn aa a aa a aa a       Ví dụ 1 Ma trận của dạng toàn phương Q(x) = x 1 2 +3x 2 2 +6x 3 2 -2x 1 x 2 +4x 2 x 3 +6x 1 x 3 là: 113 132 326 A        Ví dụ 2 Tìm dạng toàn phương khi biết ma trận của nó là : A = 21 3 11 0 30 5       Dạng toàn phương cần tìm: 22 2 1231213 () 2 5 2 6Qx x x x xx xx  . 4.2.2. Dạng chính tắc của dạng toàn phương Nếu a ij = 0 khi i  j thì Trang 3 ji n ji ij xxaxQ    1, )( ji nji iji n i ii xxaxaxQ    1 2 1 2)( )(')( 1 2 `11 xQxxQ   )(')( 2 2 `221 xQxxQ   3121 2 3 2 2 2 1 6442)( xxxxxxxxQ  Đây là dạng chính tắc của dạng toàn phương ( chỉ chứa các bình phương ) .Ma trận của dạng toàn phương ở dạng chính tắc là một dạng ma trận chéo. A = 11 22 0 0 0 0 . . . 0 0 nn a a a       4.2.3. 4.2.3 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange  Dạng toàn phương  Vì a ij = a ji nên ta có thể viết Bước 1 : Nhóm các số hạng có chứa x 1 , thêm bớt để có một bình phương đủ : trong đó Q 1 (x) chỉ chứa x 2 , x 3 ,…, x n Bước 2 : Biến đổi Q 1 (x) như trên : Trong đó, Q 2 (x) chỉ chứa x 3 , x 4 ,…, x n  Tiếp tục như thế, nhiều nhất sau n bước Q(x) sẽ là tổng các bình phương, nghĩa là có dạng chính tắc. Ví dụ 1 Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc Giải Bước 1: 222 112132 3 () 4 6 2 4Qx x xx xx x x    22222 1 123 23 23 2 3 22 2 123 2 233 [ 2 (2 3 ) (2 3 ) ] (2 3 ) 2 4 ((23))2 12 5 x xx x x x x x x x xxx x xxx              Bước 2: 22 2 123 2233 () ( (2 3 )) 2( 6 ) 5Qx x x x x xx x     Trang 4 22 222 123 22333 3 222 123 23 3 ((23))2( 2.39 9)5 ( (2 3 )) 2( 3 ) 13 x xx x xxx x x xxx xx x             Đặt 11 2 3 22 3 33 (2 3 ) 3 X xxx Xx x Xx          Vậy dạng chính tắc cần tìm là: 22 2 12 3 () 2 13QX X X X  . Ví dụ 2 Đưa về dạng chính tắc : Q(x) = x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 Giải Vì ()Qx không chứa các số hạng bình phương nên ta đổi biến 112 212 33 x yy x yy xy         Khi đó ()Qx trở thành: 22 1132 () 2Qy y yy y . Bây giờ ta biến đổi Q(y) về dạng chính tắc 2 222 222 1133321323 () 2 ( )Qyy yyyyy yy yy   . Ta thấy Q(y) đã có dạng chính tắc.  Đặt 113 22 33 X yy Xy Xy         Vậy dạng chính tắc cần tìm là: 222 123 ()QX X X X . 4.2.4 Phân loại dạng toàn phương 1. Dạng toàn phương Q(x) được gọi là xác định dương ( hoặc xác định âm ) nếu Q(x) > 0 , x  R n , x  0 ( hoặc Q(x) < 0 , x  R n , x  0) 2. Dạng toàn phương Q(x) được gọi là nửa xác định dương ( hoặc nửa xác định âm ) nếu Q(x)  0 , x  R n và x o  0 sao cho Q(x o ) =0 ( hoặc Q(x)  0 , x  R n và x o  0 sao cho Q(x o ) = 0 ). 3. Định lý 1. Cho A là ma trận của dạng toàn phương Q(x) và i  ( i = 1, n ) là các định thức con chính của A .  Dạng toàn phương Q(x) xác định dương  i  > 0 ( i = 1, n )  Dạng toàn phương Q(x) xác định âm  i  < 0 với n lẻ và i  > 0 với n chẵn . Trang 5 2 332 2 23121 2 1 683422)( xxxxxxxxxxQ  Ví dụ 1 Xác định dấu dạng toàn phương  Ta có: 212 13 4 246 A          . Suy ra: 12 3 21 2; 5; 2 13 A        . Vì 123 0; 0; 0   , nên Q(x) xác định dương. Ví dụ 2 Tìm các giá trị của  để dạng toàn phương sau xác định dương 22 2 12 3 12 13 23 () 5 2 2 4Qx x x x xx xx xx      Ta có: 11 12 12 5 A           . Suy ra: 22 12 3 1 1; 1 ; 5 4 1 A           . Q(x) xác định dương: 1 2 2 2 3 10 0 11 4 01 0 0 4 5 0 5 0 540                                Vậy với 4 0 5   thì Q(x) xác định dương. 4. Định lý 2 a. Cho dạng tòan phương Q(x) có dạng chính tắc Q(x) = ,2 ,2 ,2 11 2 2 nn x xx     Q(x) xác định dương   i > 0 ( i = 1, n )  Q(x) xác định âm   i < 0 ( i = 1, n ) b. Cho dạng tòan phương Q(x) có dạng chính tắc Q(x) = ,2 ,2 ,2 11 2 2 rr x xx    ( r < n )  Q(x) nửa xác định dương   i > 0 ( i = 1, r )  Q(x) nửa xác định âm   i < 0 ( i = 1, r ) Trang 6 Ví dụ Đưa các dạng tòan phương sau đây về dạng chính tắc , xác định dấu và chỉ ra phép biến đổi tọa độ tương ứng a. Q(x) = x 1 2 +5x 2 2 +10x 3 2 -2x 1 x 2 +4x 2 x 3 +4x 1 x 3 b. Q(x) = -x 1 2 -2x 2 2 +  x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 2 x 3 -4x 1 x 3 .     n ji jiij yxayxf 1, ),(               nnnn n n Bij aaa aaa aaa aA )( 21 22221 11211 Chương 4 : DẠNG SONG TUYẾN TÍNH –DẠNG TOÀN PHƯƠNG 4. 1. Dạng song tuyến tính 4. 1.1. Định nghĩa  Dạng tuyến tính: Cho V là không gian véc tơ trên IR,. f là ánh xạ tuyến tính thì f(x) được gọi là dạng tuyến tính trên V.  Dạng song tuyến: Xét ánh xạ f: V x V  IR f(x,y) được gọi là dạng song tuyến trên V nếu ánh xạ f tuyến tính đối với. của dạng song tuyến f(x,y) trong cơ sở (e). o Nếu a ji = a ij , thì ta nói dạng song tuyến f(x,y) đối xứng. o Dạng song tuyến f(x,y) đối xứng  Ma trận A đối xứng. 4. 2. Dạng tòan phương 4. 2.1.