chương 3 ánh sáng tuyến tính

Ma trận của ánh xạ tuyến tính : f: Rn  Rm được gọi là ma trận chính tắc.. Cách tìm giá trị riêng và vector riêng Bước 1: Lập ma trận đặc trưng AI.. Định nghĩa Ma trận vuông cấp n

Trang 1

Chương 3: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

3.1 Khái niệm

3.1.1 Định nghĩa

1 Định nghĩa Cho V,W là hai không gian vectơ tùy ý Ánh xạ f:V  W

được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thỏa hai tính chất sau đây:

(i) f(x+y) = f(x) + f(y) , x,y  V (ii) f(kx) = kf(x) , x  V , k  R

2 Ví dụ Cho ánh xạ f : R3  R2 xác định bởi

f(x1,x2,x3) = (2x1,x2-x3), (x1,x2,x3)  R3

Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính

3 Phép đồng cấu, đẳng cấu

Phép đồng cấu

Ánh xạ tuyến tính f : V  W gọi là phép đồng cấu của V lên W

 Nếu W  V thì gọi là tự đồng cấu

 Nếu f là đơn ánh thì f được gọi là đơn cấu

 Nếu f là toàn ánh thì gọi là toàn cấu

Phép đẳng cấu

Ánh xạ tuyến tính f : V  W gọi là phép đẳng cấu của V trên W nếu f là 1

song ánh

3.1.2 Tính chất

 Cho ánh xạ tuyến tính : f : V  W

a/ f(Ov) = Ow

b/ f(-x) = -f(x)

c/ f(x-y) = f(x) – f(y)

d/ f(1x1, 2x2+…+nxn ) = 1f(x1) + 2f(x2) +… + nf(xn)

 Cho V, W là các không gian véctơ và f,g là các ánh xạ tuyến tính:

Ta định nghĩa:

a) (f+g)(x) = f(x) +g(x) b) (kf) (x) = kf(x)

W V g W V

Trang 2

Các ánh xạ f+g, kf cũng là ánh xạ tuyến tính

 Cho ánh xạ tuyến tính f V: W; g: WZ

 Ánh xạ hợp: g.f : V  W xác định bởi:

(g.f)(x) = g[f(x)], cũng là ánh xạ tuyến tính từ V vào Z

3.2 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính

 Ảnh của f

 Cho ánh xạ tuyến tính f: V  W

 Ảnh của f, ký hiệu Imf là tập hợp:

Imf = { y  W / x  V, y =f(x) }

 Ta thấy Imf =f(V)

 Hạt nhân của f

 Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W

 Hạt nhân của f , ký hiệu Kerf là tập hợp :

Kerf = { x  V / f(x) = Ow }

Vi dụ: Cho f là ánh xạ không : V  W

 Ta thấy x  V , f(x) = Ow, nên:

Kerf = V và Imf = { Ow }

3.2.2 Tính chất

 Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W

 Kerf là không gian con của V

 Imf là không gian con của W 3.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Cho 2 không gian véc tơ hữu hạn chiều V và W với dim V = n, dim W = m

 Giả sử (u) và (v) là cơ sở của V và W:

(u) = { u1,u2 ,…,un } , (v) = { v1,v2 ,…,vm }

 Cho ánh xạ tuyến tính f: V  W

x y =f(x)

 Tọa độ của x đối với cơ sở (u) trong V:

x/(u) = (x1,x2,…,xn)





Trang 3

 Tọa độ của y = f(x) với cơ sở (v) trong W

f(x)/(v) = (y1,y2,…,ym)

 Tồn tại ma trận A cấp mxn liên hệ giữa các toạ độ trên :

[f(x)/(v) ] = A [x/(u)]

 Định nghĩa Ma trận A thỏa đẳng thức trên gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V  W đối với cơ sở (u) trong V và cơ sở (v) trong W

 Ma trận này được xác định như sau:

A = [[f(u1)/(v)], [f(u2)/(v)] …[f(u3)/(v)]]

Trường hợp riêng

V = Rn, W=Rm có các cơ sở chính tắc tương ứng là : (e) ={e1, e2,…,en}, (e’)={e’1, e’2,…,e’m} Ma trận của ánh xạ tuyến tính : f: Rn  Rm được gọi là

ma trận chính tắc

A = [[f(e1)] [f(e2)] …[f(en)]]

Ví dụ 1 Cho ánh xạ tuyến tính f: R2  R2 xác định bởi

f(x1,x2) = (x1+2x2, x1-x2 ) Tìm ma trận chính tắc

Ghi chú Ma trận A có các hàng tương ứng là các hệ số của các tọa độ

véctơ f(x1,x2 )

Ví dụ 2 Cho ánh xạ tuyến tính f : R 4  R3 xác định bởi

f(x1,x2, x3,x4) = (x1- x2+x3+x4, x1+2x3-x4, x1+x2+3x3-3x4)

R4 có các cơ sở (u) = {u1, u2, u3, u4} với u1 = (1,0,0,0) , u2 = (1,1,0,0) ,

u3 = (1,1,1,0) , u4 = (1,1,1,1) và R 3 có cơ sở chính tắc

Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 3 Cho ánh xạ tuyến tính f : R 2  R3 xác định bởi

f(x1,x2) = (2x1,x1+ x2, x1-2x2)

R2 có cơ sở chính tắc (e) = { e1, e2 }

R3 có cơ sở (u) ={ u1, u2 , u 3 } với u1=(1,1,1) ,u2 =(1,1,0) , u3 =(1,0,0) Tìm

ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 4 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R2 xác định bởi

f(x1,x2,x3) = (x1+2x2+x3,x1+ 5x2 + x3)

Trang 4

Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở (u) ={ u1, u2 , u 3 } trong

R3 và (v) ={v1,v2} trong R2 Biết rằng :

u1=(1,1,1) ,u2 =(1,1,0) , u3 =(1,0,0)

v1=(1,3) , v2=(-1,2)

3.4 Sự đồng dạng

3.4.1 Ma trận đồng dạng

 Cho A và B là 2 ma trận vuông cùng cấp n

 A và B đồng dạng  P khả đảo cấp n : B=P-1AP

3.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính qua phép đổi cơ sở

 Ma trận chuyển cơ sở

Cho không gian véc tơ V có 2 cơ sở là (u) = {u1,…,un}

và (v) ={ v1, v2 , v 3 } Ma trận chuyển cơ sở từ (u) sang (v) là:

P= [[v1/(u)][v2/(u)]…[vn/(u)]]

 Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : V  V (toán tử tuyến tính) , V là

không gian véc tơ dim V = n Giả sử V có 2 cơ sở là (u) và (v) Nếu A là ma trận của f đối với cơ sở (u) và A’ là ma trận của f đối với cơ sở (v) thì ta có : A’=P-1AP trong đó P là ma trận chuyển cơ sở từ (u) sang (v) ( Ta thấy A’ đồng

dạng với A)

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2  R2 xác định bởi

f(x1,x2) = (x1+x2,-2x1+ 4x2)

a Tìm ma trận chính tắc của f

b Tìm ma trận của f đối với cơ sở (u) ={ u1, u2 } với u1 =(1,1) và

u2=(1,2)

3.5 Giá trị riêng – Vectơ riêng

Cho V là không gian véctơ có n chiều và f: V  V là toán tử tuyến tính

 Số  được gọi là trị riêng của f nếu tồn tại vectơ x  V , x  0 sao cho f(x) = x

 Vectơ x  V , x  0 thỏa f(x) = x được gọi là vectơ riêng của f tương ứng với trị riêng 

 Nếu A là ma trận của ánh xạ tuyến tính thì số thực  được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại vector n chiều x 0 sao cho: A x. . x

Trang 5

Nhận xét Từ phương trình A x. . x  (AI x)  0có nghiệm x 0

suy ra AI  0 Khi đó AI được gọi là ma trận đặc trưng,

0

AI  được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A

3.5.2 Cách tìm giá trị riêng và vector riêng

Bước 1: Lập ma trận đặc trưng AI

Bước 2: Giải phương trình đặc trưng AI  0 Ta được các giá trị riêng:

1, ,2

  

Bươc 3: Thay từng giá trị riêng   k vào phương trình AI  . x  0 Nghiệm của hệ phương trình là vector riêng của A ứng với GTR  k

Ví dụ 1 Tìm giá trị riêng và vector riêng của ma trận 1 3

 Ma trận đặc trưng: 1 3



 

 Phương trình đặc trưng:

Với 1 1, giải hệ phương trình

1

0 3



       



    

Vậy vector riêng ứng với GTR   1 là: x( ,0); R\{0}

Với 12, giải hệ phương trình

2

3 3

0 0





 

       



Ví dụ 2 Tìm giá trị riêng và vector riêng của các ma trận

a

2 0 0

0 2 2

A

  

b

1 3 1

3 5 1

3 3 1

B

   

  

c

1 2 5

0 2 4

1 0 1

C

  

d

0 1 0

4 4 0

2 1 2

D

  

  

Giải

a Ma trận A

Trang 6

 Ma trận đặc trưng:

0 2 2





2

0 0 2 2 0 (2 ) (2 ) 4 0

0 2 2





          

 0 (2 )( )(4 ) 0 2

4









      

 



0

2 0 0 0 0 2 2 0 ; \{0}

0 2 2





  



 

        



 

    

Vậy vector riêng ứng với GTR  0 là: x(0; ;   ), R\{0}

Với 2 2, giải hệ phương trình

0 0 0 0 0 0 2 0 0 ; \{0}





  



 

        



 

    

Vậy vector riêng ứng với GTR 2 2 là: x( ;0;0), R\{0}

0

2 0 0

0 2 2







 

          



 

Vậy vector riêng ứng với GTR 3 4 là: x(0; ; ),  R\{0}

b Ma trận B

0 0 5



 

    

Trang 7

0 2 3 0 0 (3 )(3 )(5 ) 4(5 ) 0

0 0 5



 

            



5 (bôi 2)







2 2 0







 

          



 

Vậy vector riêng ứng với GTR  1 là: x( ; ;0),  R\{0}

2 2 0 0 2 2 0 0

0 0 0





 



 

          



 

( ,  R\{  0})

Vậy vector riêng ứng với GTR 2 5 là:

x     R   

c Ma trận C

1 0 1





2

0 (bôi 2)

0 0 2 4 0 ( 4) 0

4

1 0 1













1 2 5 0 0 2 4 0 2 ; \{0}

1 0 1





  



 

         



 

    

Vậy vector riêng ứng với GTR 10 là: x( ; 2 ;    ), R\{0}

Trang 8

3

3 2 5 0 0 2 4 0 2 ; \{0}

1 0 3







 

          



 

Vậy vector riêng ứng với GTR 2 2 là: x(3 ; 2 ; ),   R\{0}

d Ma trận D

1 0

4 4 0

2 1 2





    

   

1 0

0 4 4 0 0 ( )(4 )(2 ) 4(2 ) 0

2 1 2





            

Với  2, giải hệ phương trình

2 1 0 0 4 2 0 0 2 ;( , \{ + 0})

2 1 0









 

          



 

Vậy vector riêng ứng với GTR  2 là:

x     R   

3.6 Chéo hóa ma trận

Nhận xét Nếu A là ma trận chéo thì việc tính A k, k N rất dễ dàng

Ví dụ Nếu

1 0 0

0 2 0

0 0 3

A

  

thì

k

A

Vấn đề Đưa một ma trận vuông bất kì về dạng đường chéo như thế nào?

1 Định nghĩa

Ma trận vuông cấp n A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận vuông cấp n không suy biến T và ma trận đường chéo D sao cho T AT 1 D Khi đó ta nói T là ma trận làm chéo hóa A hay A được chéo hóa bởi ma trận T và

D là ma trận đồng dạng với A

Trang 9

Ví dụ Ma trận 8 5

  chéo hóa được Thật vậy với

2 0

  thì

1

   

2 Điều kiện chéo hóa ma trận

Nếu ma trận A có n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được

Ngược lại A chéo hóa được khi và chỉ khi A có n giá trị riêng kể cả bội và

số chiều của tất cả các không gian con riêng bằng số bội của giá trị riêng tương ứng

3 Cách chéo hóa ma trận

Bước 1: Giải phương trình đặc trưng để tìm các giá trị riêng  i

Bước 2: Ứng với mỗi  , giải hệ phương trình i Ai I x  0 Lập không gian nghiệm W( ) của phương trình i

Bước 3: Lập ma trận T với cột thứ i là tọa độ của vector cơ sở của W( ) i

và ma trận đường chéo D, trong đó phần tử nằm trên đường chéo và cột i là  i

Ví dụ Hãy chéo hóa các ma trận A, B, C, D trong ví dụ ở phần 3.5.2

a Ma trận A

 Với 10, ta có: W(0) {(0; ;- )|   R}

Khi đó:  x W(0) x (0; ;  )(0;1; 1) Ta chọn một cơ sở củaW(0)

là: u1(0;1; 1)

 Với 2 2, ta có: W(2) {( ;0;0)|  R}

Khi đó:  x W(2) x ( ;0;0) (1;0;0) Ta chọn một cơ sở của W(2) là:

2 (1;0;0)

 Với 3 4, ta có: W(4) {(0; ; )|   R}

Khi đó:  x W(4) x (0; ; )  (0;1;1) Ta chọn một cơ sở của W(4) là:

3 (0;1;1)

Vậy ma trận A chéo hóa được với:

0 1 0

1 0 1

T

  

  

và

0 0 0

0 2 0

0 0 4

D

  

b Ma trận B

 Với  1, ta có: W(1) {( ; ;0)|   R}

Trang 10

Khi đó:  x W(1) x ( ; ;0)  (1;1;0) Ta chọn một cơ sở củaW(1) là:

1 (1;1;0)

 Với 2 5 (bội 2), ta có: W(5) {(- ; ; )| ,      R}

Khi đó:  x W(5)  x (   ; ; ) (  ; ;0) (0;0; )  Ta chọn hai cơ sở của W(5) là: u2  ( 1;1;0) và u3 (0;0;1)

Vậy ma trận B chéo hóa được với:

1 1 0

0 0 1

T



  

và

1 0 0

0 5 0

0 0 5

D

  

c Ma trận C

 Với 10 (bội 2), ta có: W(0) {( ; 2 ;     ) | R}

Ta chọn một cơ sở củaW(1) là: u1(1; 2; 1)

 Với 2 2 (bội 2), ta có: W(2) {(3 ; 2 ; ) |    R}

Ta chọn một cơ sở của W(2) là: u2 (3; 2;1)

Vì dim (0) dim (2) 2W  W   n 3 nên C không chéo hóa được

d Tương tự ma trận D không chéo hóa được vì dim (2) 2W   n 3

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

1 Cho ánh xạ f : R2  R2 xác định bởi f(x1,x2) = (x1+2x2,x1-x2)

a Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính

b Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f

c Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u1,u2} với u1=(1,1) ,

u2=(1,0)

2 Cho ánh xạ f : R3 R2 xác định bởi f(x1,x2,x3) = (2x1+x2-x3,x1+x2-3x3)

a Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính

b Tìm ma trận chính tắc của f

c Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u1,u2, u3} với

u1=(1,1,1) , u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) = {v1,v2} với

v1=(1,2) ,v2=(0,2) trong R2

3 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 R2 xác định bởi f(x1,x2,x3) =

(x1+2x2+x3,x1+5x2+x3)

a Tìm ma trận chính tắc của f

Trang 11

b Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u1,u2, u3} với

u1=(1,1,1) , u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) ={v1,v2} với

v1=(1,3) ,v2=(-1,2) trong R2

4 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :

a A = 2 1

0 3

  b B =

3 4

2 1

  c C =

1 2

2 4

5 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :

a A =

3 3 2

1 1 2

3 1 0

  

   

b B =

2 1 0

0 1 1

0 2 4

  

c C =

2 2 1

1 3 1

1 2 2

6 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận sau :

a A =

2 1 3

0 3 0

1 0 2



  

   

b B =

5 0 0

1 5 0

0 1 5

c C =

0 1 0

4 4 0

1 1 2

 

  

7 Các ma trận sau đây có chéo hóa được hay không ?

a A =

0 1 1

0 0 2

0 0 1

b B =

2 2 2

2 3 2

4 2 4

  

c C =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

8 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 R3 với f(x1,x2,x3) = (x1 +x2 +x3, x1 +x2 +x3

,x1 +x2 +x3)

a Tìm ma trận chính tắc A của ánh xạ f

b Ma trận A có chéo hóa được hay không ? Nếu có hãy làm chéo A

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	227,07 KB