DUONG THANG VUONG GOC VOI MAT PHANG

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. Lí Thuyết 1. Định nghĩa. Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P). 2. Điểu kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định lí. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. 3. Tính chất a. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước. b. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước. 4. Sự liên quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song a. i 1 ) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. i 2 ) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. b. i 1 ) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia i 2 ) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. c. i 1 ) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a. i 2 ) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với đường thẳng khác thì chúng song song với nhau. 4. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc a. Định nghĩa. Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P). b. Định lí ba đường vuông góc Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không thuộc (P) đồng thời không vuông góc với (P). Gọi b / là hình chiếu vuông góc của b lên (P). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b / . c. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) * Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa d và (P) bằng 90 0 * Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa d và hình chiếu d / của nó lên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). B. Bài tập 1. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mp(ABC). a. Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC. 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SA = SC và SB = SD. a. Chứng minh: SO ⊥ (ABCD). b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh: IJ ⊥ (SBD). 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. a. Chứng minh: BC ⊥ (SAB); CD ⊥ (SAD); BD ⊥ (SAC). b. Chứng minh: AH ⊥ SC; AK ⊥ SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK đồng phẳng. c. Chứng minh: HK ⊥ AI. 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều. Gọi I là trung điểm đoạn BC. a. Chứng minh: BC ⊥ (AID). b. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH ⊥ (BCD). 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (ABC). Chứng minh: a. BC ⊥ (OAH). b. H là trực tâm tam giác ABC. c. 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a. Tính các cạnh của tam giác SIJ. Chứng minh: SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB). b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ. Chứng minh: SH ⊥ AC. c. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a. 7. Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = 2a . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a. Chứng minh: SH ⊥ (ABCD). b. Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD. 8. Cho hình vuông ABCD . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S khác với H. Chứng minh: a. AC vuông góc với (SHK). b. CK ⊥ DH, CK ⊥ SD. 9. Cho hình lập phương ABCD.A / B / C / D / . Gọi E, F , M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, A / D / , AB và CC / . a. Chứng minh bốn điểm D, E, F, B / nằm trên một mặt phẳng. b. Chứng minh: MN ⊥ (DEB / F). 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 6a . Tính góc của: a. SC và (ABCD) b. SC và (SAB) c. SB và (SAC) d. AC và (SBC). 11. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O; SO ⊥ (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết rằng MN hợp với (ABCD) góc 60 0 . a. Tính MN và SO. b. Tính góc của MN và (SBD).