Tìm hiểu và trình bày một hoặc một vài mô hình phát triển dân số của quần thể sinh vật trong các Điều kiện môi trường khác nhau

Khi đó tốc độ tăng trưởng của quần thể là: N =rÄ 1.1 Từ nghiệm trên, ta thấy, dân số của quần thể tăng không giới hạn khi £ tăng.. Điều này cho thấy tác động của tình trạng quá đông đúc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUONG DAI HOC BACH KHOA KHOA CO KHi

BAO CAO BAI TAP LGN

PHƯƠNG PHÁP TINH (MT1009)

Dé tai bai tập lớn:

TIM HIEU VA TRINH BAY

MOT HOAC MOT VAI MO HINH

PHAT TRIEN DAN SO CUA QUAN THE SINH VAT

TRONG CAC DIEU KIEN MOI TRUGNG KHAC NHAU

Lép 'PN0I - Nhóm 4 Giảng viên: Phùng Trọng Thực

TP Hồ Chí Minh, Tháng 11/2023

3 thoa Có khí

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUONG DAI HOC BACH KHOA KHOA CO KHi

BAO CAO BAI TAP LGN

PHƯƠNG PHÁP TINH (MT1009)

TP Hồ Chí Minh, Thang 11/2023

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 1/24

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 2/24

Mặc dù N có giá trị nguyên nhưng việc coi Ñ là hàm trơn không phải là một hạn chế nghiêm trọng Vì vậy, để việc tính toán diễn ra đơn giản hơn, ta coi ý là một hàm trơn

Xét môi trường sống kín (không có di cư và nhập cư) Mỗi cá thể của quần thể sinh sản với cùng tỉ lệ bình quân đầu người r

Khi đó tốc độ tăng trưởng của quần thể là: N =rÄ (1.1)

Từ nghiệm trên, ta thấy, dân số của quần thể tăng không giới hạn khi £ tăng Điều này là vô lý trên thực

tế đối với + lớn

Khi N lớn, trong quần thể sẽ xuất hiện sự canh tranh về không gian sống và nguồn lực Điều đó làm hạn chế tốc độ tăng trưởng bình quân đầu người

Chính vì thế, mô hình này cần được cải thiện để cho ra kết quả chính xác hơn khi £ có giá trị lớn

như bằng 0 hay tăng trưởng đã bão hòa Cải tiến hợp lí cho tình lmống trên đó là xem xét tốc độ tăng

Có thể thay thế r thành rị1 — NO) (1.3)

Khi đó ta cé cong thtte (1.1) duge viét lai thanh N’ = rN[1 — 2] (1.4)

Đây được gọi là phương trình logistic Vi N > 0 déi véi N nim trong khoang 0 va K, do dé, theo thai gian, NV chuyén động tiệm cận về phía ® trừ khi ban đầu nó ở một trong những điểm dừng này (0 và

N() bằng K là nghiệm của 1.4 Do đó, không có quỹ đạo nào có thể vượt quá giá trị K nếu nó bắt đầu

từ bên dưới hoặc trên giá trị này do tính duy nhất được giả định của các quỹ đạo

(bằng 0 hoặc K)

Dat u(t) = N(t) — N

Khi đó, khai triển Taylor bậc 1 cho ta xấp xỉ: ƒ(N) = ƒ(N)+ dinh,

Nếu lấy ƒ(W) =rN[1~ #|, thì ƒ(N) = 0 Hơn nữa, #' = Ñ”, ta được phương trình tuyến tính hóa tương ứng với phương trình 1.4: u’ = r[l — (22 )j}u (1.5)

Khi N = 0, thay vào 1.5, ta được: 0 = ru,

nghiệm của nó tăng theo cấp số nhân khi r > 0 Điều này cho thấy số 0 thực sự không ổn định Mặt khác, N = K cho: u! = —ru,

Và trong trường hợp này, œ có xu hướng tiến về 0 khi £ tăng nên K dường như là ổn định Những hiểu biết định tính này hoàn toàn được chứng mỉnh bằng cách giải phương trình 1.4 một cách rõ ràng Biến đổi 1.4 rồi lấy nguyên hàm, ta được:

Bài tập lốn Phudng phap tinh - TNO1 Nhém 4 Trang 3/24

Nit) = Với Œ là hằng số

Growth and Decay

và tăng trưởng chậm hơn sau đó (Hình 1) Điều này cho thấy tác động của tình trạng quá đông đúc và cạnh tranh khi dân số tăng lên và nó mang lại kết quả gần giống với những gì người ta quan sát thực tế hơn so với mô hình đơn giản hơn 1.1

Nếu việc di cư được cho phép, đặt # > 0 biểu thị dồng chảy ra bình quân đầu người và #2 không đổi Ví

0.05 Hoặc nếu W biểu thị mức độ cá trong hồ và tỷ lệ đánh bắt là một trên mười con cá thì # là 0.10 Bởi vì dòng chảy ra ngoài làm giảm dân số nên 1.4 phải được sửa đổi:

N N'=rN (1 — x) —EN (1.7)

hoặc tái đàn)

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 4/24

Giả định rằng tốc độ tăng trưởng bình quan dau ngudi gidm khi N ting do tinh trang quá đông đúc và cạnh tranh Tuy nhiên, có thể hình dung rằng một quần thể bị ảnh hưởng bởi môi trường của nó theo những cách hoàn toàn khác nhau Ví dụ, những loài cá bơi theo đàn dường như được bảo vệ tốt hơn trước những kẻ săn mỗi so với khi chúng bơi một mình Ý tưởng về số lượng an toàn này gợi ý rằng tăng trưởng bình quân đầu người có thể tăng theo W đối với các giá trị nhỏ của dân số vì đám đông lớn hơn

sẽ nâng cao cơ hội sống sót Tuy nhiên, khi ý đủ lớn, tác động của tình trạng quá đông bắt đầu được cảm nhận và tốc độ tăng trưởng bắt đầu giảm Gọi ƒ NI ) là tốc độ tăng trưởng Tất cả những gì chúng

liệu

ta cần giả định bây giờ là tỷ lệ bình quân đầu người —C tăng cùng với Ñ khi N nho hon một số giá trị

ẨÑ và giảm sau đó Phương trình 1.4 sau đó tổng quát hóa thành:

N’= f(N) (L8)

Một tình huống điển hình được thể hiện trong Hình 2 khi nó được so sánh với trường hap logistic Mat khả năng khác là số lượng cá thể trong quần thể quá ít sẽ gây bất lợi Khi môi trường sống rộng lớn, số lượng nhỏ có thể dẫn đến sự tuyệt chủng vì không có đủ cá thể để giao phối Để mô hình bị kịch này, hãy giả sử tốc độ tăng trưởng âm đối với N nhỏ hơn giá trị tới hạn Ñ nào đó Một trường hợp điển hình được phác họa trong Hình 3, trong đó sự tăng trưởng chỉ mang tính logistie đối với N > Ñ

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 5/24

Hình 3: 7í lệ phái triểu T2 @m đi uới N < N

sử khả năng tăng trưởng của, quần thể dao động theo mùa do sự khác biệt về ánh sáng mặt trời và nhiệt

|| Pop | 379 | 423 | 472] 523] 610] 738] 995 | 1231 | 1457 | 1783 ||

[ Year || 1590 | 1900] 1910] 1920] 1930] 1940] 1950 [ 1960| 1970| 1980 | 1990 |

Bài tập lốn Phudng phap tinh - TNO1 Nhém 4 Trang 10/24

eo Khoa Co khi

2 The Struggle for Life, I

2.1 Cơ sở lý thuyết

Chúng ta đã xem xét động lực tăng trưởng của một dân số đơn lẻ Những ý tưởng này hiện được mở rộng

để bao gồm hai dân số tương tác với nhan, mức độ của chúng tại thời điểm ¿ là N¡(#) va No(t) Cac mô hình được thảo luận dựa theo công trình của Volterra và Lanchester, cùng với những mô hình khác, và hiện nay đã trở thành những mô hình cổ điển Có rất nhiều cách trình bày về công trình này, và chúng tôi chỉ giới hạn ở phần tổng quan nhanh về một vài trong số nhiều cách có thể có

Ngầm hiểu trong mỗi mô hình là có một định luật bảo toàn hoạt động Nếu bỏ qua thực tế là các quần thể có thể tự sinh sản (là thuật ngữ nguồn) và cũng có thể chết (thuật ngữ chìm), thì sự thay đổi rồng về quan thể trong một môi trường khép kín chỉ có thể là do đồng chảy xuyên qua các ranh giới môi trường Day là một diễn đạt lại nguyên lý bảo toàn khối lượng nêu trong Phần 1.4 Bằng cách thêm vào các nguồn và bớt đi các phần chìm, người ta có thể viết các phương trình mô tả tốc độ thay đổi của mật độ dân số

Ví dụ 4.1 (Động vật ăn thịt - Con mỗi

Ð; ăn Pị và được gọi là kẻ săn mỗi Khi Pị phong phú, ?› có thể tăng số lượng, nhưng trong trường hợp không có ị, kế săn môi sẽ chết đi (giả sử P\ là nguồn thức ăn duy nhất của P;) Hãy giả sử rằng nếu P, được tự nhiên sinh sản mà không có sự săn bắt, nó sẽ tăng trưởng theo quy luật tự nhiên, trong khi ?›, không có sự tiếp cận với \, giảm đi với một tỷ lệ không đổi trên mỗi cá nhân e > 0 Tuy nhiên, trong trường hợp có tương tác lẫn nhau, tốc độ tăng trưởng của con môi phải giảm đi trong khi tốc độ tăng trưởng của kẻ săn mồi tăng lên

Để mô hình hóa thuật ngữ tương tác, người ta giả định rằng sự gap gd giữa hai loài xảy ra như một trò chơi "trốn tìm" và tỷ lệ thuận với tổng số cách mà ¡ và Ƒ› có thể gặp nhau Nghĩa là, sự tương tác tỷ

lẹ thuận với tích của mức độ dân số Ñ¡ và Ä; Tổng hợp những giả định hợp lý này lại với nhan thành các mô hình

Mô hình (4.21) giả định một môi trường sống khép kín với chỉ hai loài và không có sự can thiệp từ bên ngoài Trong thực tế, có những yêu tố khác can thiệp Một số con mỗi có thể trốn tránh kẻ săn, kẻ săn

có thể có các nguồn thức ăn khác, và kẻ săn có thể ăn được lượng thức ăn không giới hạn Trong trường hợp này, người ta phải mô hình hóa tác động của cảm giác no

e œ là tỷ lệ theo từng cá nhân mà kẻ săn mỗi bắt con mỗi

e Ø là tốc độ tăng trưởng theo từng cá nhân từ kết quả của kẻ săn môi bắt được con môi Thuật toán

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint

t = np.linspace(0,5000,num=1000) # unitless time (maybe weeks or months?)

# params

r = 0.08

Bài tập lốn Phudng phap tinh - TNO1 Nhém 4 Trang 11/24

def sim(variables ,t,params):

# speciesi population level

ăn cùng một chất dinh dưỡng hoặc các loài giun nhỏ ăn rong rêu

Bay gid, chúng ta hãy đường đẳng tốc thể hiện điều gì trong mặt phẳng W\, W; Chúng ta chọn mô hình cạnh tranh 4.22 Rõ ràng có bốn điểm cân bằng có thể xây ra:

Hình 8: [soclines for the competition model 4.22

Xét tình huống được mô tả trong Hinh 8 Gia sit giá trị của ¡ đã được xAc dinh va Ny nam phia trên đường được xác định bởi W{ = 0 Nhìn vào Công thức 4.22, ta thấy rằng N/ < 0 Điều ngược lại xây ra nếu W¿ nằm phía dưới đường đó Tương tự, nếu Ñ¿ nằm phía trên đường đồng mức Ná = 0, thi Nộ < 0,

và ngược lai khi No nim phia dưới Kết hợp các tình huống trên, ta được Hình 9

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 14/24

va NS <0 khi No > LD Mot kết quả tương tự xẩy ra khi No = 0 Bay gid ching ta đã có đủ thông tin

để vẽ hướng của quỹ đạo như trong Hình 10 Trong quá trình làm như vậy, hãy nhớ rằng các quỹ đạo

di qua các đường đẳng tốc một cách mượt mà theo các hướng dọc và ngang được chỉ ra Điều này cho chúng ta biết các mũi tên trong Hình 10 phải nến cong như thế nào

"Trong vi dụ hiện tại, khá rõ rằng trạng thái cân bằng không tầm thường là một điểm đứng yên và do đó

nó không ổn định Điều này cho thấy rằng trừ khi có mặt phẳng ổn định của Ä, tất cả các quỹ đạo đều được phân tách thành những quỹ đạo hướng tới 1 hoặc li Tùy thuộc vào giá trị ban đầu của Ất

va Nj, một trong hai quần thể cuối cùng sẽ chết Điều này đôi khi được gọi là nguyên tắc loại trừ cạnh tranh trong mô hình sinh thái vì nó cho thấy rằng hai loài cạnh tranh mạnh mẽ không thể cùng tồn tại trong cùng một môi trường sống

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 15/24

3 thoa Có khí

Để hiểu ý nghĩa của sự cạnh tranh mạnh mẽ, hãy xem trường hợp đặc biệt trong đó tốc độ tăng trưởng

(Mi = N›), yếu tố tự giới hạn trong thuật ngữ logistie là — Mˆ?r/K, trong khi yếu tố biểu thị sự hạn chế

do cạnh tranh là —œW?, hoặc —ØNš Tuy nhiên, từ Hình 8, a va Ø đều vượt quá r/K cho thấy rằng một trong số chúng tiêu thụ thức ăn một cách tham lam hơn loài còn lại, hoặc nó để lại chất thải độc hại đối với loài kia, hoặc nó thành công trong việc đe dọa đối thủ của mình Như những mâu thuẫn gay gắt cạnh tranh loại trừ một trong hai loài hoặc với các loài khác nhau cũng thuộc trường hợp này Tuy nhiên, trong trường hợp của Hình 8d, điều ngược lại xây ra Ở đây, sự cạnh tranh ở mức độ nhẹ vì a và

B nhỏ hơn do đó trạng thái cân bằng bây giờ là một điểm ổn định, có thể cùng tồn tại Hai trường hợp còn lại có thể được phân tích theo cách tương tự

Trường hợp cho hai quần thể ban đầu cân bằng để hai loài chung sống hòa hợp: Thuật toán

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint

t = np.linspace(0,1000,num=1000) # unitless time (maybe weeks or months?)

def sim(variables ,t,params):

# speciesi population level

9.8 3 9.6 3

9.8 4 9.6 3

Time 4<» $Q=

Hình 11: Mé phéng cho m6 hinh đếu tranh trong Thường hợp cho hai quần thể bạn đều cân bằng để bai loài chưng sống hòa hợp

Trường hợp cho hai quần thể không cần bằng quần thể này át quần thể kia, dẫn đến quần thể này tăng tới giới hạn, quần thể kia tuyệt chủng

Thuật toán

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint

t = np.linspace(0,1000,num=1000) # unitless time (maybe weeks or months?)

Bài tập lốn Phudng phap tinh - TNO1 Nhém 4 Trang 17/24

def sim(variables ,t,params):

# speciesi population level

tố này lại cho ra mô hình:

from scipy.integrate import odeint

Bài tập lốn Phudng phap tinh - TNO1 Nhém 4 Trang 19/24

def sim(variables ,t,params):

# speciesi population level

Vì vậy, đối với chiến đấu truyền thống, mô hình trở thành:

Nb = —bN, — BN,

Tất cả các mô hình được xem xét trong phần này đều là trường hợp đặc biệt của một biểu thức tổng quát liên quan đến hầu hết các số hang bac hai trong N, va No Vi ly do này, nó được gọi là mô hình bậc hai:

Thật khó để nói nhiều về mô hình bậc hai, những ít nhất một tính chất quan trọng được tiết lộ ngay lập tức Đầu tiên, hãy quan sát trục tọa độ biểu diễn nghiệm của phương trình 4.25 Ví dụ, nếu M¡ = 0, thì tồn tại một nghiệm trên trục tung với bất kỳ giá trị ban đầu của No nao Tucng tự, điều này cũng đúng trên trục hoành khi vai trò của M¡ và W¿ được hoán đổi Theo đó nếu W = (ẤW¡, M) bắt đầu ở góc phần

tư thứ nhất, thì vì tính duy nhất của quỹ đạo không có nghiệm nào của phương trình 4.25 có thể vượt

Bài tập lốn Phương pháp tính - TNO1 Nhóm 4 Trang 21/24