Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều

27 Bang 3.1 Nang lượng chính xác tinh bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho trạng thái co ban Is k =0, m =0 ứng với các giá trị khác nhau của từ Bang 3.2 Năng lượng chính xác tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẢO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VAT LÝ

Dé tai:

PHUONG PHAP TOAN TU FK TIM NGHIEM

SO CHINH XAC CHO BAI TOAN EXCITON 2D

TRONG TU TRUONG DEU

Nganh: SU PHAM VAT LY

MA SO: 102

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC

ThS Hoang Đỗ Ngọc Tram

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

Lời cảm ơn

Trong quá trình thực hiện luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân,tôi

đã nhận được sự giúp đỡ và động viên nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô và bạn bẻ:

- Trước hết tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên Bộ môn Vật lý lý

thuyết trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ và truyền đạt

những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong quá trình thực hiện luận văn.

- Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ThS Hoàng Đỗ Ngọc Tram - giáo

viên hướng dẫn luận văn này — người da tận tình hướng dẫn, động viên vả tạo mọi

điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn.

- Xin cảm ơn gia đình và bạn bẻ đã luôn ủng hộ tôi trong suốt thời gian học

cũng như trong thời gian thực hiện luận văn.

- Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Hội đông khoa học đã xét duyệt và

cho những nhận xét vô cùng quý báu dé luận văn được hoàn chỉnh hon.

Dù đã cô gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế

và thiếu sót Kinh mong nhận được sự góp ý phê bình xây dựng từ phía thầy cô,

bạn bè.

Xin chân thành cảm ơn!

Tp Hỗ Chí Minh, tháng 05 năm 2013.

tro

MỤC LỤC

Chương 1: TONG QUAN VEEXCITON coi 10

DM IEXGI[OT:sscieziistiopstipitiisti211021004131033103110315051183918858364858555531388138ã43833858585051383 10

VOW T0 SW isc cssscssssssacessscsssesscestscasisesscesssessscsssosssessssctssosscessscesscssveiese 10

1.1.2 Khii mi@m o.2 ccc cce cee ceecceeccceecceecceecseecececeseeessecseeceaseseeesecessceeees II

l/1,3: PhẩN¡ÏDftc:iociooiiioaiioitiiiiiiatitiiti14116511035108111311338516811561104858635143/186ã586 13

a hố 15

1.2 Phương trình Schridinger cho exciton hai chiều trong từ trường 16

1.2.1 Toán từ Hamilton của exciton trong từ trường l6

1.2.2 Toán tử Hamilton của bài toán đối với hệ quy chiếu khối tâm 1§

Chương 2:PHƯƠNG PHAP TOÁN TU FK s52 22t 2x 2112111711122 21

2.1 Giới thiệu về phương pháp toán tử và các bước giải 21

2.2 Phương pháp toán tử FK cho bai toán hệ nguyên tử, phân tử 30

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ EK -2-22-©22£2Cz£ECSE222c2xzecvxeecrvec 35

GðTIITBATTOANIESCTTDNODNraanannaareaeeaarnairoa-ayaaananpỹansa2Ð

PRONG TO TRUONG HE L0 os62s4416012001210120601238121140012891438106012886212081218123818012804231062 35

3.1 Phương pháp toán từ FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường 35

Phụ lục 4: Chứng minh các toán tử tạo thành đại số kín cuc 55Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử $= exp|~r(M *+M + Ny} 57

Phụ lục 6: Tim bộ ham sóng cơ sở cho bai toán exciton ò si 59

Phụ luc 7: Các thành phần ma trận của toán tử Hamilton 62

V00) 2000/00 004/008 65

tro

DANH MỤC HÌNH ẢNH, ĐÒ THỊ

Hình 1.1 Quang phỏ của exciton trong đồng (Ï) oXỈL - - 2:55 5sccczz22zz2222 II

Hình 1.2 Các mức nang lượng của exciton trong bán dẫn .- II

Hình 1.3 Có 3 dang exciton: exciton trung hòa X„, exciton âmX” va exciton

GONE XX cccototioiiioiiisiiiisiiiE5105152510141123151561365518188631363188551515803856518855885 12

Hình 1.4 Exciton Mott-Wannier va exciton Frenkel óc <<<<<s< l4

Hình 1.5 Dạng thé của bán dẫn GaAs/GaAsAl co cccccccccirsrrrrres 14

Hinh 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ sự LON tại của eX€ÏtOn so c2 22s l6Hình 2.1 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi

điều hòa ứng với trạng thái cơ bản œ =0 -cccccco-cc- 28Hình 2.2 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi

điều hòa ứng với trạng thái kích thích m= 4 - ¿5:55 29

Hình 3.1 Các mức năng lượng của exciton được vẽ ứng với các giá trị khác nhau

Của tỪ tƯỜng nhau 5iiỹ8ï5 535385 585386804505851565ã8Ẻ 44

Hình 3.2 Các mức năng lượng của exciton được vẽ trong vùng từ trường có

VS, :ii6ii1051105153610163)4034193413881887868587843184158453988195313835334338231885859949195513341834 45

DANH MỤC BANG BIEU

Bang 2.1 Phuong pháp toán từ FK cho trạng thai cơ ban =0 của dao động tử phi

et ỚNẢẢợẢNẢỶẢỶnn ao 26

Bang 2.2 Phương pháp toán tử FK cho trạng thai kích thích =4 của dao động tử

phi diGu Oa tan 27 Bang 3.1 Nang lượng chính xác tinh bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái co ban Is (k =0, m =0) ứng với các giá trị khác nhau của từ

Bang 3.2 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 2 p- (kK =O mt = —]) - Si 42

Bảng 3.3 Nang lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

MỞ ĐẦU

1 Cùng với sự phát triển của khoa học, vật lý cũng có những bước phát triển mới.

Các thiết bị đo đạc được chế tạo ngảy cảng tinh vi và chính xác hon, nhiều phươngpháp giải các bài toán lượng tử được tìm ra; kết qua lý thuyết ngày càng tiến ganhơn đến kết quả thực nghiệm Một trong những phương pháp cho phép tìm nghiệm

số chính xác đó là phương pháp toán tử Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư Feranchuk và Komarov ở đại học tông hợp Belarus xây dựng (xem công trình [2] và các tai liệu trích dẫn) Phương pháp này thường được gọi là phương pháp toán tử FK (viết tắt tên hai giáo sư Feranchuk và Komarov) Phương pháp toán

tử FK được xây dựng trên cơ sở kế thừa những ưu điểm của phương pháp lý thuyết

nhiễu loạn và phương pháp biến phân, đồng thời tận dụng những ưu thé của biểu

điển đại số trong cơ học lượng tử dé tiện lợi trong quá trình tính toán Phương pháp

này đã được áp dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý

nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường và được áp dụng

trong nhiều công trình như [2], [3] [5] [10]

Ý tưởng chính của phương pháp toán tử FK dựa trên tư tưởng của lý thuyếtnhiễu loạn là tách toán tử Hamilton thành hai phan: phần chính có nghiệm chính xác

và phần còn lại là nhiễu loạn, tuy nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn ở chỗ việcphân chia toán tử Hamilton không dựa vào yếu tó vật lý mà đơn thuần dựa vào hình

thức của các toán tử trong toán tử Hamilton Qua các công trình đã áp dung, phương

pháp toán tử FK thể hiện ưu điểm nỗi bật là đơn giản hóa quá trình tính toán Việc

tính các tích phân phức tạp được thay thé bằng các phép tinh đại số đơn giản thé

hiện qua bài toán đao động tử điều hòa, phi điều hòa, exciton trung hòa, exciton

trong từ trường { I], [2], [7] [9].

Hiện nay khoa học kỹ thuật phát triển, các nhà vật lý ngày cảng quan tâm

đến các hệ thấp chiều và các vật liệu kích cỡ nano bằng các phương pháp như kỹ

thuật nuôi cấy tinh thẻ (Molecular Beam Epitaxy, viết tắt là MBE), kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (Metal Organic Chemical Vapor Deposition, viết tắt là MOCVD)

[9] [12] Trong các mô hình thấp chiều tạo ra từ thực nghiệm, loại tinh thẻ nhiều

5

lớp bán dan GaAs/Al,Gs).,As được sử dụng nhiều nhất do nó thỏa mãn yêu cầu

nghiêm ngặt khi cay ghép và dé dang thay đi tinh chất và nồng độ của từng loại hạt tải điện khi thay đổi chi số x Trong tinh thé này, vùng GaAs đóng vai trò như hỗ thế va vùng Al,Gs¡.„As đóng vai trò như bức tường thế Chuyển động của điện tử bị giới hạn và được xem như chuyên động trong không gian hai chiều.

Sự xuất hiện những mũi nhọn trong phô hap thụ của chất bán dan đã chứng

tỏ sự tồn tại của exciton, một trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trông Exciton

nhận được nhiều sự quan tâm của các nha vật lý vi nhiều lí do Dau tiên, exciton tổn

tại trong bán dẫn và chất cách điện mà không tôn tại trong kim loại, người ta đã tìm

thay exciton trong các tinh thé halogen kiềm (vào những năm 30), tinh thé phân tử(vào những năm 40), tinh thé bán dẫn (vào những nam 50) va cả trong các tinh thê

ion, tinh the khí hiểm và một số liên kết đất hiểm Thứ hai, quang phổ exciton

thường có cấu trúc rõ nét và cho phép nghiên cứu lý thuyết một cách chỉ tiết Thứ

ba, lý thuyết exciton không đơn giản có thể hiểu được bằng cách áp dụng lý thuyết

nguyên tử hay sơ đồ vùng Block và exciton có sơ đồ năng lượng giả Hydro [5],

[15] Nghiên cứu cho thay nhiêu hiệu ứng quang điện xảy ra đặc biệt khi có sự tồn

tại của exciton trong bán dẫn khi có từ trường ngoài như hiệu ứng Stark, sự thay di tính dan điện, hiệu ứng tách vạch Zeeman trong từ trưởng [18], [12] Phô năng

lượng và hàm sóng của exciton trong từ trường chính vì vậy cần được tính toán với

độ chính xác ngày càng cao Exciton hai chiều (2D) trong từ trường là một đối

tượng nghiên cứu quan trọng cả thực nghiệm lẫn lý thuyết [5] [15] [13] [16] [9].

Trong công trình [16], bài toán exciton trong từ trưởng được giải bằng

phương pháp biến phân kết hợp với phân tích theo chuỗi 1/N, còn trong công trình (15] đã dùng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn có tính tới tiệm cận hàm sóng Cả hai công trình này đều cho các kết qua chính xác đến bay chữ số thập phân với các

trạng thái cơ ban Is cũng như các trạng thái kích thích 2p ~, 3đ~ Có thé thay là việc

tăng độ chính xác băng số và áp dụng cho các trạng thái kích thích cao hơn khôngphải dễ dàng Vì vậy việc giải tìm nghiệm số chính xác của bài toán với độ chính

xác cao hơn không những cho trạng thái cơ ban mà còn các trạng thái kích thích với

độ chính xác cao chính có ý nghĩa quan trọng Ngoài ra bài toán này còn được giải

bằng phương pháp toán tử FK trong công trình gan đây [10]

6

Trong phương pháp toán tử, khi biêu diễn toán tử Hamilton qua các toán tử

sinh hủy, đối với các bài toán mà thành phan tương tác có dạng đa thức của các biến

số động lực, ví dụ như bai toán dao động tử phi điều hòa, thì việc vận dụng tương

đối đơn giản Đôi với các bài toán hệ nguyên tử có tương tác Coulomb có chứa biêu

thức tọa độ ở mau, dé có thé áp dụng phương pháp, can phát triển thêm Trong công

trình [10] sử dụng phép biến đôi Levi-Civita đã khắc phục được khó khăn trên và đã tìm được nghiệm số chính xác đến 20 chữ số thập phân Phép biến đôi Levi-Civita

cho phép đưa các bai toán đang xét về dang bai toán dao động tử phi điều hòa Bàitoán này đã được giải bằng phương pháp toán tử FK và có kết quả chính xác Tuynhiên, khi áp dụng phép biến đổi này, năng lượng E không còn là trị riêng của toán

tử Hamilton nữa, mà nó trở thành một thành phân của toán tử nảy Khi đó ta sử

dụng một trị riêng hình thức Z với giá trị không đôi, và năng lượng E được xác định

thông qua phương trình Z( E) =hẳng số.

Đối với các bài toán như exciton trung hỏa, việc giải phương trình giản tiếp

như vậy có thé thực hiện được Tuy nhiên, đối với các bài toán phức tạp hơn như

bai toán exciton âm, việc xác định năng lượng một cách gián tiếp như vậy không thuận lợi bằng VIỆC giải trực tiếp đặc biệt là khi xây dựng giải thuật dé tìm nghiệm

số, Trong trường hợp này, ta có thé sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phan tọa

độ ra khỏi mẫu số, phương pháp toán tử FK vẫn áp dụng được một cách hiệu quả

mà không cần phải thông qua một biến hình thức nào khác, mặc dù khối lượng tính toán ban đầu sẽ tăng lên đáng ké so với việc sử dụng phép biến đôi Levi-Civita.

Phép biến đôi Laplace đã được áp dụng cho bài toán exciton âm [4] và bài toán

exciton trung hòa [7], nhưng chưa được ap dụng cho bai toán exciton trung hỏa

trong từ trường Bài toán này đã có kết quả chính xác bằng số khi sử dụng phép biếnđôi Levi-Civita Dé so sánh phép biến đôi Laplace với phép biến đôi Levi-Civita, tôi

sử dụng phép biến đôi Laplace cho bai toán exciton 2D trong từ trường vả thực hiện

đề tài: “Phuong pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton

2D trong từ trường đều `.

2 Mục tiêu của luận văn là áp dụng phương pháp toán tử FK kết hợp với phép

biến đổi Laplace tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton hai chiều trong từ

trường đều Căn cứ vào mục tiêu đã đề ra, luận văn gồm có những nội dung cơ bản

sau:

- Tim hiểu tông quan về exciton.

- Tim hiéu phương pháp toán tử FK và các van dé khi áp dụng phương pháp

nay cho các bài toán hệ nguyên tử, phan tử.

- Tim nghiệm số chính xác cho bài toán exciton trung hòa trong từ trường

cho trạng thái cơ bản và một SỐ trạng thái kích thích.

Phương pháp nghiên cứu:

- Tìm kiếm tài liệu, đọc, phân tích, tông hợp.

- Tinh toán dé xây dựng phương trình Schrédinger cho exciton 2D trong từ

trường.

- Sir dụng ngôn ngữ lập trình Fortran đẻ tìm nghiệm số chính

& + a x :

3 Cau trúc luận văn gôm có ba chương

Chương 1: Tổng quan về exciton

Trong chương này, tôi giới thiệu sơ lược vẻ quá trình phát hiện exciton, một

trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trồng: phân loại và tinh chat của exciton Sựtồn tại của exciton đã làm xuất hiện các mũi nhọn trong pho hap thụ của chất bándan Khi có mặt từ trường exciton thể hiện mot số tính chất như: hiệu ứng Hall, sự

giao thoa của các mức lượng tử, sự tách vạch từ trường, hiện tượng ngưng tụ Bose.

Các thông tin về tính chất quang, điện, năng lượng liên kết của exciton dưới tác

động của trường ngoài góp phan làm rõ hơn các tinh chất của các chất bán dẫn, có ý nghĩa trong việc tạo ra các cấu trúc thấp chiều với tính chất định sẵn, đây chính là

mục tiêu hàng đầu của công nghệ vật liệu hiện nay Do đó, việc giải phương trìnhSchrödinger cho exciton trong từ trường dé xác định phố năng lượng của excitontrong từ trường với độ chính xác cao là cần thiết Dé bắt đầu công việc nghiên cửu

thì tôi đã xây dựng lại phương trình Schrédinger cho exciton trung hòa 2D trong từ

trường đều

Chương 2: Phương pháp toán tử FK

Trong chương này tôi giới thiệu lại phương pháp toán tử FK và các bước

giải cơ bản thê hiện thông qua bài toán dao động tử phi điều hòa Phương pháp toán

tử có ưu điểm nôi bật là đơn giản quá trình tính toán nên được áp dụng trong nhiều

§

công trình Tuy nhiên, phương pháp toán tử cho bai toán nguyên tử, phân tử cũng

gặp phải một số van dé khó khăn như: thé tương tác Coulomb chưa biến động lực ởmẫu, dạng chuẩn của toán tử, xây dựng bộ hàm sóng cơ sở, cách chọn tham SỐ @.

Từ đó mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới về phương pháp toán tu.

Chương 3: Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường

đều

Đây là phần trọng tâm của luận văn, tôi áp dụng phương pháp toán tử kết

hợp với phép biến đôi Laplace giải bai toán exciton 2D trong từ trưởng đều Kết quả

là nghiệm số chính xác cho bài toán, xác định được năng lượng của exciton ở trạngthái cơ bản và một số trạng thái kích thích trong từ trường với cường độ bất kỳ Cáckết quả tính toán được đưa ra với độ chính xác đến hai chữ số thập phân đỗi với

trạng thái cơ bản va trạng thái kích thích đến năm hoặc bảy chữ số thập phân Các

kết quả được so sánh với các công trình [10]

4 Phần kết luận sẽ trình bày các kết quả đạt được từ việc áp dụng phương pháp

toán tử cho bai toán exciton hai chiều trong từ trường đều và hướng phát trién tiếp

theo của dé tài.

5 Phần phụ lục là các tính toán chỉ tiết cho các công thức trong nội dung luận văn

Chương 1: TONG QUAN VE EXCITON

Trong chương này tôi giới thiệu sơ luge về quá trình phat hiện ra exciton,

khái niệm, phân loại va tính chất của exciton Sau đó xây dựng lại phương trình Schrödinger cho exciton trung hòa hai chiều trong từ trường.

1.1 Exciton

1.1.1 Lịch sử

Năm 1907, phô hap thụ đầu tiên của exciton đã được Becquerel tìm thay trong thực nghiệm ở tinh thé khí hiểm, và vào năm 1929 do Obreimov và De Haas

tim ra trong tinh thé phân tứ [13].

Năm 1931, khái niệm exciton được dé xuất lần đầu tiên bởi Yakov

Frenkel, khi ông mô tả sự kích thích của các nguyên tử trong một mạng tinh thé của

chat cách điện Ong dé xuất rằng trạng thái kích thích này sẽ có thê di chuyên giống

như hạt trong mạng tinh thẻ ma không có sự dịch chuyển điện tích Vào thời điểm

đó, việc mô ta các dai năng lượng trong tinh thê dựa trên sơ đồ Bloch, rút ra tử

phương pháp Hartree-Fock, chưa xét đến sự tương quan của các electron [17], [14].

Năm 1937, một mô hình exciton khác được đề xuất boi hai nhà khoa học

Nevill Francis Mott và Gregory Wannier, được gọi là exciton Wannier-Mott.

Exciton này ging như nguyên tử Hydro và tôn tại trong chat bán dan

Năm 1951, lần đầu tiên Gross đã phát hiện một quang phô giống Hydro bao

gồm các vạch hấp thụ hẹp khi nghiên cứu tỉnh thẻ đồng (I) oxit (hình 1.1) Gross va

các đồng nghiệp đã phát hiện ra một số tinh chat khác thưởng của exciton trong điện

trường và từ trường, vai trò của exciton trong việc hình thành khả năng phát quang

vả quang dan [17], [14].

Năm 1958, Lampert dự đoán sự ton tại của các cấu trúc exciton mang điện

[11] Khái niệm exciton được sử dụng rộng rãi trong những quá trình vật lý (như

hiện tượng quang điện, sự hình thành các khuyết tật bức xạ sự phát quang ) trong tỉnh thể, polymer và cả vật liệu sinh học Thực nghiệm đã xác nhận sự ton tại của

exciton trong chat bán dẫn tinh thé của phan từ, chất cách nhiệt và ion [17] [14]

10

Phé năng lượng của exciton âm cũng được quan sát sau đó vào những năm

90 trong giéng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử và lỗ trồng

rat lớn

RE

Hình 1.1 Quang phổ của exciton trong đồng (I) oxit,

hiển thị các phan của quang phỏ nhìn thấy được màu vàng cam [17]

1.1.2 Khái niệm

Trong bán dẫn thông thường, độ sai khác năng lượng E, giữa dải dẫn và dải

hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo đải từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả

kiến Một photon có năng lượng &@> E, có thé kích thích một điện tử trong dải

hóa trị nhảy lên dải dẫn và dé lại trong dai hóa trị một lỗ trồng thé hiện như mộtđiện tích đương Sau đó, electron trong vùng dẫn hút lỗ trong nó tạo ra bởi lựcCoulomb Lực hút nảy tạo ra một sự cân băng năng lượng én định Khi đó, electron

và lỗ trỗng không biéu hiện như là những hạt mang điện tự do nữa mà “hành xử”

như chúng là một cặp hạt không thé tách rời Người ta gọi trạng thái liên kết giữa

clectron và lỗ trống trong trường hợp này được xem như là một giả hạt gọi là

Các quan sát cho thấy có nhiều dang exciton Khi sự kết hợp xảy ra giữamột điện tir và một lỗ trắng ta có exciton trung hòa X„ Khi hai điện tử kết hợp với

một 16 trong thi exciton có điện tích âm gọi là exciton âm X~ Và cũng có trường

hợp khi hai lỗ trắng kết hợp với một điện tích tạo ra một exciton đương X* Trong giới hạn luận văn này chi dé cập đến exciton trung hòa Khi ta nói exciton thì được

biểu là exciton trung hòa.

đương hay âm cho ta hình ảnh ion phân ti H; hay nguyên tử Heli.

Các exciton tương đối bền vững và có thời gian sông vào khoảng vài trăm

ps đến ns Do hiệu ứng màn chắn của thé tương tác Coulomb trong chất bán dan và

khối lượng hiệu dụng nhỏ của điện tử và lỗ trống Cho nên mỗi exciton có năng

lượng liên kết nhỏ hơn và kích thước của nó khác nhiều so với nguyên tử Hydro.

Trong một số trường hợp kích thước của các exciton có thé từ vai angstrom đến vai

ngàn angstrom và thậm chí gấp hàng ngàn lần hằng số mạng (xem công trình [4] và

các tải liệu trích dẫn).

1.1.3 Phân loại

Exciton thẻ được chia làm hai loại, tùy thuộc vào các tính chất của vật liệu

đang xét.

* Trong chất cách điện

Hang số điện môi của chất cách điện rat lớn nên điện tử và lỗ trống tương

tác với nhau ở khoảng cách phân tw Cac exciton tôn tại trong chất cách điện có bánkính nhỏ, gan bằng kích thước 6 sơ cấp Loại exciton này được gọi là exciton

Frenkel, đặt theo tên của J Frenkel (còn gọi là exciton phân tử hay exciton bán kính

nhỏ) Do kích cỡ nhỏ, tương tác Coulomb lớn và ít bị ảnh hưởng bởi trường mạng

nên năng luợng liên kết của nó lớn (trung bình 1.5 eV) Exciton Frenkel thường

được tim thay trong các tinh thé halogenua kim loại kiềm và trong các tỉnh thê hữu

cơ phân tử bao gồm các phân tử thơm, chăng hạn như polycyclic hydrocarbon

thơm và hydrocarbon thơm đa vòng.

* Trong chat ban dan

Trong chat ban dẫn, điện tử va lỗ trong vẫn tương tác với nhau nhưng các

điện tử có thé tương tác tự do khắp không gian mạng, còn các lỗ tréng tương ứngcũng có thé di chuyển giữa các nút mạng Vì vay, exciton có bán kính lớn rat nhiềulan hằng số mạng tinh thê Mô hình exciton này được đề xuất bởi hai nhà khoa học

Nevill Francis Mott và Gregory Wannier, được gọi là exciton Wannier-Mott (còn

gọi là exciton bán kính lớn hay exciton lớn) Năng lượng liên kết của exciton

thuờng nhỏ hơn nhiêu so với năng lượng của Hydro (mức trung bình là 0.1 eV)

[17] Exciton loại này thuờng được tìm thấy trong tinh thể đồng hóa trị ExcitonWannier-Mott thường được tìm thấy trong các tinh thé ban dẫn có khe năng lượng

nhỏ và hằng số điện môi cao, nhưng cũng đã được xác định trong chất lỏng, chăng

hạn như chất lỏng xenon.

13

small binding energy large binding energy

moves freely through crystal localized on one lattice site

Hình 1.4 Exciton Mott-Wannier va exciton Frenkel.

Trong những năm gan đây có nhiều nghiên cứu về chat bán dẫn có cấu trúc

giới hạn vì tính ứng dụng của chúng trong các thiết bị điện tử và quang điện tử Phát

triển gần đây trong công nghệ cấu trúc nano đã cho phép một để nghiên cứu “hành

vi" của điện tử và các tạp chất trong bán hai chiều (giếng lượng tử) (15], [16] Bán

dẫn GaAs/GaAsAl được quan tâm nghiên cứu vì cấu trúc đặc biệt của nó Day vingdẫn GaAsAl cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên phần bù vùng dẫn tạo

thành một bức tường thẻ Dối với điện tử, hệ bán dẫn nảy tạo thành một the nang có

Hình 1.5 Dang thé của bán dẫn GaAs/GaAsAl [5]

Trong các thiết bị kích cỡ nano, các lớp ban dẫn đủ mỏng va bức tường thé

có thé xem là cao vô hạn Lúc nảy ta có một hệ khí điện tứ chuyền động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs Thực nghiệm quan sát được

phố năng lượng gián đoạn của khí điện tử Diều này chỉ có thé giải thích bởi sự ton

tại một cầu trúc có trạng thái liên kết là exciton, di chuyên tự do hai chiều trong bán

14

dẫn Exciton đã được phát hiện rất lâu nhưng đến nay exciton van được đặc biệt

quan tâm nghiên cứu Vì việc nghiên cứu phô năng lượng của exciton cho ta nhiều

thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi các chất này

được đặt trong từ trường Các thông tin vẻ tính chất quang, điện, năng lượng liênkết của exciton đưới tác động của trường ngoài góp phan làm rõ hơn các tính chấtcủa các chất bán dẫn, có ý nghĩa trong việc tạo ra các cau trúc thấp chiều với tính

chất định sẵn, đây chính là mục tiêu hàng đầu của công nghệ vật liệu hiện nay Các

nghiên cứu này có những ứng dụng đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ

thấp chiều kích cỡ nano Ngoài GaAs, hiện nay nghiên cứu được mở rộng với các chất liệu bán dẫn khác (InAs/GaSb, InGaAs/InP, GaN, SiO2 ) [5].

1.1.4 Tính chất

Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi Exciton trung hòa tham gia vận chuyên năng lượng nhưng không tạo ra dòng điện.

Ve mặt cau trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó

có bán kính lớn hơn và năng luợng liên kết nhỏ hơn.

Việc tạo ra các mức exciton trong vùng cam (exciton Mott-Wannier) rất

giống với việc tạo ra các mức tap trong ban dan Ở mức cơ ban năng lượng liên kết exciton trùng với mức năng lượng tạp chat donor nhóm V hoặc các bán dẫn nguyên

tô nhóm IV như Si, Ge (cỡ 0.005eV).

Không phải chí có một mức exciton mà có cả một dai các mức exciton gián

đoạn Pho hap thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dai các vạch như pho hap thụ

của Hydro.

Sự tôn tại của exciton được chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát hiện

một vùng phô hap thụ gan bờ hap thụ cơ bản vẻ phía bước sóng dai với các mũinhọn (peak) hap thụ (ở nhiệt độ thấp) ma không làm thay đôi nòng độ hạt dẫn Phé

vạch đạng giống như nguyên tử Hydro đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng

cam rộng như CdS, Hgl;, CdI;, CuO›, [2]

15

Năng lượng photon(eV)

Hình 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại cua exciton [2]

1.2 Phương trình Schrédinger cho exciton hai chiều trong từ trường

1.2.1 Toán tử Hamilton của exciton trong từ trường

Toán tử Hamilton cho điện tử và 16 trong trong từ trường:

; (1.1)

1 fs e—) 1.33 e +——| P,+—A, | +—m, 077 -Z——_.,

2m, € 2 £ r„ —n,|

trong đó: số hang thứ nhất và ba là động năng của điện tử và lỗ trống,

số hạng thứ hai và bon là động năng chuyên động xoáy ốc dưới tác dụng

của từ trường,

số hang thứ năm là thé năng tương tác giữa điện tử va lỗ trống

với A là thế vectơ của từ trường.

Khi có từ trường, toán tử động lượng của hạt lúc này lap + LA (với q là điện tích

c

của hat), vi vay chúng ta can khai triển các số hạng thứ nhất và ba của toán tử

Hamilton (1.1) và rút gọn Tiếp theo, ta đưa toán tử Hamilton của bài toán về hệ quy

chiều khối tâm đẻ thuận lợi cho quá trình tính toán Sau đó, đưa toán tứ Hamilton về

dang không thứ nguyên.

16

Mà ô, =-¡ihV,,Â, =A nên

Ap, =-AihV in 4,25 aZea 2|

Vậy toán tử Hamilton của điện tử và lỗ trồng:

1.2.2 Toán tir Hamilton của bài toán đối với hệ quy chiếu khối tâm

2m, ôr 2m, Or, 2M OR” 2môr

Toán tử Hamilton ở (1.2) được viết lại như sau:

a-(-2 oF Que Or 2 2 \2/c 2 uc ch +—MøˆR? hal eB ) Poi -z (13)

Đặt 2Q = ta CÓ:

Hic

H afr Bel ny Mo2R +30{ 2) em ƒ -5—= (1.4)

2M 2 2 2ˆ\2 2c ` — e|r|

Tach toán tứ Hamilton ở (1.4) thành hai phan:

ñ 5 -:Ft +2Me¿ Thành phần này đặc trưng cho chuyên động của

“ải “

khỗi tâm có khối lượng M, có dạng giống toán tử Hamilton của dao động tử điều

hoà va đã tìm được nghiệm [1].

H, - £43 (2) pt SBE =Z- Thành phần H, đặc trưng cho 2, 2 (2 2£ Ì a

chuyển động tương đối của electron và lỗ tréng trong trường thé Coulomb với khối

lượng rút gọn /.

19

Đưa thành phần toán tử Hamilton H, về dang không thứ nguyên ta được:

Ở đây, E là năng lượng liên kết giữa electron và lỗ trống, đơn vị của năng

lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng R* = ,e*/282e°, đơn vị độ dai là bán kính

Bohr hiệu dụng a” =£#?/e°¿: Cường độ từ trường không thứ nguyên z được xác

định băng biéu thức: z = #œø_ /2R*, trong đó œø =eB/e là tan số chuyên động

xoáy ốc với B là cường độ từ trường; yz, £ lần lượt là khối lượng rút gọn hiệu dụng

của cặp electron-lỗ trống va hằng số điện môi; Z là số điện tích của lỗ trống, trongtrường hợp exciton ta có Z =1 Trong công trình nay ta xét trong miễn thay đôirộng của từ miễn từ trường yếu đến từ trường mạnh

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK

Trong chương này tôi giới thiệu sơ lược về phương pháp toán tử Các bước giải một bai toán bằng phương pháp toán từ được thé hiện qua bai toán đơn giản 1a dao động tử điều hòa Khi áp dụng phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ phan tử,

nguyên tử chúng ta cũng cần lưu ý một số vấn đề như: toán tử Hamilton chứa biến

động lực ở mẫu, dang chuân của toán tử, cách xây dựng bộ hàm sóng cơ sở và cách

chọn tham số tự do dé tốc độ hội tụ của bài toán là ti ưu.

2.1 Giới thiệu về phương pháp toán tử và các bước giải

Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm

1979 Phương pháp toán tử FK được ứng dụng thành công cho nhiều bài toán khác

nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn và lý truyết trường [2] [5] Qua các

nghiên cứu và ứng dụng vào một số bài toán cụ thể, phương pháp toán tử FK đã thể hiện một số ưu điềm như sau:

Chỉ sử dụng các tính toán thuần đại số Toán tử Hamilton của bài toán được

đưa về các toán tử sinh hủy nên chúng ta không cần tính các tích phân phức

tạp Vì vậy có thê sử dụng các chương trình tính toán trên biêu tượng như Matlab, Mathematica, để tự động hóa quá trình tính toán.

Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngoài có cường độ bat kì

Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miễn

thay đôi tham số trường ngoài

Các bước giải một bài toán bằng phương pháp toán tử FK được trình bày

qua ví dụ bài toán đao động tử phi điều hòa Ta xét bài toán đao động phi điều hòa

với toán tử Hamilton có dang sau:

Ñ =-L< + ˆự cây", (2.1)

2dx 2

với hệ số phi điều hòa 4 > 0 Bài toán này có dạng chuyển động trong hồ thé và có

các mức năng lượng giản đoạn.

Bước một: Chuyên H về dang ñ(â',â.2.@}, với toán từ â' (toán tử

sinh), @(toan tử huỷ) được định nghĩa như sau:

a=jJS[t+z)=|3(**z£)

2 wo? 2 wdx}

(2.2)

Ở day, ø là tham số thực đương được đưa thêm vào dé tối ưu quá trình tính toán

Dễ dàng tính được hệ thức giao hoán

[2.2 ] =ââ” =â*â =l (2.3)

(xem phy luc 2)

Hệ thức (2.3) giúp chúng ta đưa các toán tử về dang chuẩn, nghĩa là toán tử sinh

nằm ở phái bên trái, toán từ huy năm ở phía bên phải Từ đây về sau ta xem đó là

dạng chuẩn của toán tử (xem mục 2.2).

(2.1) về dang chuẩn như sau:

ñ =1 (raat) TS |ât+(á') |+ 2 |2(@a) +24'4+1|

4a 4o 40° (2.5)

A ag as\4 A+ 34 A+ A} A+ 2 a2 ,

+4 +(â*) +4(4*) â+4ã*â'+6(â ) +6â |

Bước hai: Tach toán từ Hamilton ở phương trình (2.5) thành hai thành phan

như sau:

+ Phan thứ nhất là # (@°4,A,e) chứa các toán tử trung hòa, nghĩa là các

số hạng chứa sô toán tử sinh va sô toán tử hủy băng nhau:

HOM = “S0 (2aa+i)+ 24) 2(aa)' +28'á+1], (2.6)

rmte

+ Phan còn lại là V® (4°,4,2,0).

Trong lý thuyết nhiễu loạn, ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phầnÑ=l,+Ÿ dựa vào yếu tô vật lý; trong đó thành phan A, có nghiệm của bài toán

dao động tử điều hòa và thành phần V được xem là nhiễu loạn liên quan đến tương

tác trường ngoài Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn được áp dụng với điều kiện

V << A, ứng với những giá trị 4 phù hợp Đối với phương pháp toán tử, việc táchtoán tử Hamilton chỉ dựa trên hình thức của các số hạng chứ không dựa vào ý nghĩa

vật ly của bài toán thé hiện ở chỗ 2 không chỉ có trong phan nhiễu loạn V mà có cả

trong phần H, Vi vậy, phương pháp này có thé áp dụng cho các dạng hệ vật lý

khác nhau Ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: phần chính

HoM (ââ.A.eœ} chỉ chứa các toán tử trung hòa nên có nghiệm chính xác mà chúng

ˆ

ta sẽ dé dàng xây dựng dưới day; riêng thành phần V°"% (â*.â.4.} đóng vai trò

“nhiễu loạn” Hệ số trường ngoai 4 có mặt trong cả phần chính va phần nhiễu loạn

Toán tử Hamilton không phụ thuộc vào tham sốø„ nên ø được gọi là tham số tự

đo Phân chính và phân nhiều loạn phụ thuộc vào tham sô tự do ø và ø có vai trò

điều chỉnh V°" (â*.â.4.@} dé dam bao điều kiện lý thuyết nhiễu loạn Ir << |#.:

Bước ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc không bằng cách giải phương trình:

nov (4°4,A.0)|y") = FE yh (2.7)

Toán từ #/” (â*â.A.«} giao hoán với toán tr đ*â nên nghiệm của (2.7) là:

Ll /„.\

|n(@)) = Tl )' |) (2.8)

với nghiệm cơ ban: â(ø) 0) =0; (0|0) =Í.

Ta chứng minh được: â*â|n) =n|n).

ầ% ae Pa (0) _ OM _l+ø` 2 3A 2n‡+2 2

Từ đó, ta có: E\” =(n|Hý” |n) (2n+1)+ PP (2n +2n+ 1) (2.9)

Điều kiện xác định ø: ——=(), (2.10)

Co

Suy ra: (2n+1)@* —(2n +1)@-6A(2n? +2n +1)=0 (2.11)

Bước bon: Phương pháp toán tử FK tim nghiệm số chính xác:

Hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng F}” có dang:

Chú ý rằng ở đây chúng ta không cần sử dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho

Ø=l Ngoài ra các giá trị E/*,C“' tương ứng với các bước lặp khác nhau chứ

không phải là bồ chính như trong phương pháp lý thuyết nhiễu loạn.

Các yếu tô ma trận viết lại như sau:

sa | Gp tn 8) MOOD ` (2.17)

4o 4a

Vo ned = " (n+4)(n+3)(n+2)(n+l) (2.18)

Chú y các yêu tô ma trận khác không thu được có tính đôi xứng W„ =V,

Hệ phương trình (2.13)-(2.14) có thẻ được giải theo quy trình sau: Đầu tiên,

thế C¿”' vào phương trình (2.14), khi đó ta thu được một phương trình an số E/”

Giải phương trình đó rồi thé nghiệm E/°” thu được va Cl” ban đầu vào phương

trình (2.14) để xác định C⁄“°”, Tiếp đó, ta lại thé CÍ”"” vào phương trình (2.13) và

lặp lại quá trình tính toán cho đến khi giá trị năng lượng E°” đạt được độ chính xác

theo yêu cầu Quá trình nảy sau đó lại được lặp lại cho vòng lặp (s + 2) kế tiếp.

Bang 2.1 Phương pháp toán tử FK cho trạng thai cơ bản n =0 của dao động tử phi

0.5072620492 | 0.5326424823 | 0.559146495 | 0.6379948737 | 0.8848112845

0.5072620448 | 0.5326427790 | 0.559146278 | 0.637991440M | 0.8847892918 0.5072620453 | 0.5326427553 | 0.559146329 | 0.6379917786 | 0.8847943659 0.5072620452 | 0.5326427551 0.559146328 | 0.6379918013 | 08847946861

Bang 2.2 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích =4 của dao động tử

phi điều hòa [2]

Hình 2.1 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động

tử phi điều hòa ứng với trạng thái cơ bản „=0 Phương pháp toán tử ứng với trạng

thái cơ bản cho kết quả hội tụ tốt hơn phương pháp lý thuyết nhiều loạn Ứng với

các giá trị khác nhau của 2 phương pháp toán tử đều cho kết quả hội tụ Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn chi cho kết quả hội tụ với 4 nhỏ, với giá trị 4=0.1 tuy

van còn nhỏ hơn giới hạn nhiễu loạn các bộ chính bậc ba trở lên đã cho kết qua sai.

Với A>0.3 lý thuyết nhiễu loạn không còn phù hợp nữa trong khi phương pháp

toán tử vẫn cho kết quả hội ty tốt

Vùng laps Vong laps

Hình 2.2 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao

động tử phi điều hỏa ứng với trang thái kích thích n =4 Lý thuyết nhiễu loạn chokết quả hội tụ với giá trị 2 = 0.01 Với 2 rất nhỏ 2 =0.03 lý thuyết nhiều loạn đã

cho kết quả phân kì Phương pháp toán tử ứng với các giá trị 4 khác nhau vẫn cho

kết quả hội tụ

Bang phương pháp toán tử, ta tìm được nghiệm chính xác cho giá trị 2 bất

ki, không chi trạng thái cơ bản mà cho ca các trạng thái kích thích ø Nghiệm chính

xác và hội tụ đến 10 chữ số thập phân sau dau phây Mặc dù tham số tự do được

chọn chưa phải tối ưu, ta thấy nghiệm thu được có tốc độ hội tụ cao Như vậy, ta thấy phương pháp toán tử FK cho ta nghiệm chính xác bằng số với giá trị tham số

nhiều loạn bat kì Đối với bài toán dao động tử phi điều hòa, sơ đồ vòng lặp cho kếtquả hội tụ về nghiệm chính xác nhanh hơn dùng thuyết nhiễu loạn đề tính bỗ chính

năng lượng và tài nguyên tính toán cho mỗi bậc vòng lặp ít hơn so với mỗi bậc

nhiều loạn Từ truớc đến nay, trong các công trình áp dụng phương pháp toán tử FK

thì sơ đồ vỏng lặp được mặc định sử dụng mặc dt chưa có tuyên bố nảo về Sự so

sánh giữa hai sơ đồ Trong luận văn này tôi sẽ sử dụng sơ đỏ vòng lặp dé giải bài

toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường

2.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử, phân tử

`Khi áp dụng phương pháp toán tử FK đề giải một bải toán hệ nguyên tử, phan tử cụ thé cần lưu ý một số van dé sau:

(a) Biến động lực ở mau số: bước đầu tiên dé áp dụng phương pháp toán tử là

đưa toán tử Hamilton của bài toán đang xét về các toán tử sinh hủy Việc biểu diễn qua các toán tử sinh hủy được thực hiện một cách dễ đảng khi toán tử Hamilton có

dang đa thức của các biến số động lực ví dụ như bài toán dao động tử phi điều hòa

Tuy nhiên, đối với các bài toán về nguyên tử, phân tử thì các số hạng biểu diễn

tương tác Coulomb đều chứa phan tọa độ ở phía mẫu số, một số trường hợp các

biến động lực này còn nằm trong dấu căn, gây khó khăn trong việc đưa toán tử

Hamilton về biểu điền đại số Dé vận dung cho các bài toán hệ nguyên tử khi tương

tác Coulomb có biéu thức tọa độ nằm ở mẫu số ta có thê sử dụng phép biến đôi

Levi-Civita [2], [10] hay Laplace đã được áp dụng trong công trình [7].

Phép biến đôi Levi-Civita hay còn gọi là phép biến đôi tuyến tính bình

phương được định nghĩa như sau:

x=u°-y

2.19

| y=2uv

cho phép chuyên đổi từ không gian hai chiều (x;y) sang không gian hai chiều

(u,v) Trong phép biến đổi này khoảng cách trong không gian (x;y) được đưa về

bình phương khoảng các trong không gian (⁄;v) theo công thức:

r=\|x`+y? =uˆ+vẺ, (2.20)

phép biến đồi tọa độ này có Jacobien khác | như sau:

dxdy = 4(wˆ + v°)duan (2.21)

Vi vậy Jacobien sẽ xuất hiện như là một trong số trong công thức tích vô hướng của

hai vecto trạng thái khi chuyên từ không gian (x,y) sang không gian (u,v) Điều

này có nghĩa nếu toán tử K nào đó là hermite trong không gian (x,y) thì toán tử

K =4(u°+vŸ)K sẽ hermite trong không gian (w.v) Chính vì vậy dé cho bảo toàn

tính hermite cho toán tử Hamilton qua phép biến đổi (2.19) ta cần viết phương trình

Schrédinger lại như sau:

30

r(H —E)W(r)=0 (2.22)

Trong không gian (w,9) phương trình này trở thành;

H W(u.v)=ZW(u.v) (2.23)

Ta thấy trong phương trình (2.23) có sự đổi chỗ của Z và E với vai trò trị riêng

Năng lượng E không còn là trị riêng nữa mà nó đóng vai trò như một tham số.

Trong khi đó Z trở thành trị riêng của phương trình (2.22).

Công thức phép biến đôi Laplace được biểu điển như sau:

a (2.24)

Đây là phép biến đôi trực tiếp đưa biến động lực lên ma không cần phải thông qua

một biến hình thức nao khác, mặc du khối lượng tinh toán ban dau sé tăng lên đáng

kê so với việc sử dụng phép biến đôi Levi-Civita Phép biến đôi Laplace sẽ được áp

dụng cho bài toán trong luận văn này.

(b) Dạng chuẩn của toán tử sinh hủy: dạng chuẩn của toán tử được định

nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu

thức, toán tử sinh luôn vẻ phía bên trái của biéu thức và các toán tử trung hòa ở

giữa Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc

tính toán trong các bai toán chứa nhiều loại toán từ được dé dang hơn rất nhiều

Thue vậy, khi biểu biến tat cả trạng thái qua trạng thái cơ bản |O(@)) thi loi dung

tinh chat a\0(@)) =0, ching ta sẽ biểu diễn tat cả trạng thái còn lại qua biểu thức

chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng.

Trường hợp các toán tử sinh, húy với số mũ lũy thưa: ta chi can áp dung công

thức giao hoán tử: [4*.¿] =â*â-ââ* =1= ââ* =1+ â*â, thì có thé đưa toán tử về

dang chuẩn thường được áp dụng khi các biêu thức toán tử có dạng như các đa thức.

31

Vi dụ: Đưa toán tử 4? (a) về dạng chuẩn Ta có:

Trường hợp hàm e mũ của các toán tứ sinh, jaiy: khi vận dụng phép biến đổi

như trên sẽ gặp khó khăn Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa vềdạng chuân sẽ có bậc lũy thừa rất cao Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đôi

khác như dưới đây.

Vị dụ: £Ê “4

` a + # a al a ` a h , ;s A A ` J‹ a

Vi ta có hệ thức giao hoán lb Gi | =1 nên từ đây các toán tử đ, a" và số một tạo

thành một đại số kin Như vậy ta có thé viết:

t(ä*~â|

e\ eh OF @MOgs92~ F(t) (2.25)

Tìm các ham số f(r), g(t), h(r) theo các bước sau:

Bước một: Lấy đạo hàm hai về của (2.25) theo ¢ rồi nhân cho F7! (:) vả thu gọn

các số hạng ta được:

â*+â= ƒ (t)â' +h'(t)+ g'(r)e (5 ae" (2.26)

Bước hai: Sử dụng công thức:

Abe = bs[A6]+—[4[AB]}+—[4[4 [48] ]} + (2.27)

Ta có: ef OF Ge SO