Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều theo tham số tự do

Tuy nhiên, phương trình này chỉ có thể xác định nghiệm giải tích chính xác của nó trong một số rất ít trường hợp đơn giản như bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa; còn lại đa s

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tai này, bên cạnh sự nỗ lực của bản than, em luôn nhận được sự

động viên, quan tâm và giúp đỡ từ thầy cô, gia đình và bạn bè,

Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, giáo viên hướng dẫn luận văn này — cô đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi

cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn tất luận van.

Em cũng xin chân thành cam ơn các thầy cô trong khoa, đặc biệt các thầy cô trong tổ Vật

lý lý thuyết đã tan tình truyền đạt những kinh nghiêm, kiến thức quý báu trong suốt khóa học, đó

là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận van.

Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ em trong suốt thời gian học cũng như trong

thời gian tiến hành luận vẫn.

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học đã xét duyệt và cho những nhận

xét võ cùng quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót.

Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình xây dựng từ phía thầy cô, bạn bè.

Em xin chân thành cảm ơn.

Tp Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2013

MỤC LỤC

NUNG EM hgniiaiiiiininiiiiiiniiiiiiiiiiitiiitiiiniiiiiniiiiisiitiiiiiiiiiiiitiiatitsiiastiiiinaaisse 4

MỞ ĐÀU 6

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT cscs S2s2SSE22SEEE2EESEE211771127311721122112 122 c0 12

1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger 12

1.2.5 Phương trình Schridinger cho exciton 2D trong từ trường đều 24

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU GIẢI BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIEU

TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU 2-22 22 E12 2211211121112 111111 112 c0 28

2.1 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều 2§

2.2 Kết quả - Phân tích 2-© 2222222 E22EEEEEEEEEE22EE21177311721222112 212 c0 33

Chương 3: VAI TRÒ CUA THAM SỐ TỰ DO DOI VỚI SỰ HỘI TỤ CUA

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ 2-22: 2222212221222 212211211 c6 36

3.1 Vai trò tham số tự do @ đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử 36

3.2 Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ vào tham số tự do với bài toán dao động

tử phi điều hòa bậc bốn 222222222322 122 122117211721722 722222 e2 38 3.3 Khao sát bài toán exciton 2D trong từ trường đều 40

3.3.1 Khảo sát tốc độ hội tu của bài toán theo các giá trị @ khác nhau40 3.3.2 Điều kiện dé chọn tham số tự đo tối tu -222-©5525555z+- 50

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIEN CUA DE TÀI 3

TÀI LIEU THAM KHẢO 222-222 2 E2 9E21022222122211 2111211721121 211.212 xe, 54

Phụ lục 1:Các toán tử sinh - hủy mật chiều -525222 5s S22 57 Phụ lục 2: Dạng chun của ton tir cccccccscccssssesssesseesssessnessncsssessseens 60

Phụ lục 3: Đưa Hamiltonian về dạng không thứ nguyên - 63

Phụ lục 4:Các toán sinh - hủy hai chiều 222222322322 E32 322 322 x2 xe 65

Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử $= exp|=r(W' +M+ N)} Tả 6§

Phụ lục 6:Các thành phần ma trận cho bài toán exciton 2D trong từ trường

70

MO DAU

Trong những năm gan đây, các nha vật lý quan tâm nhiều đến các cấu trúc

thấp chiều do tính ứng dung cao cũng như các hiệu ứng đặc biệt của nó [10, 20]

Trong các mô hình thấp chiều đó, loại tinh thé nhiều lớp bán dẫn GaAs/GaAlAsđược sử dụng tương đối phô biến Trong tỉnh thé này do đáy vùng dẫn

AI Gai As (x<0.45) cao hon so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên vùng chứa

GaAs hoạt động như hồ thế trong khi vùng chứa Al,Ga,_,Ás đóng vai trò là bức

tường thé Đặc biệt kỹ thuật nuôi cấy tinh thé tiên tiễn như kĩ thuật cay chùm phân

tử (MBE: Molecular Beam Epitaxy) cho phép tạo ra các lớp bán dẫn GaAs rat mỏng

(cỡ nm) thì bức tường thé có thé xem là cao vô hạn Lúc này, các hạt tải cua GaAs

sẽ cùng bị nhốt trong lớp GaAs dọc theo bề rộng: electron bị giam nhốt trong vùng

dẫn trong khi các lỗ trông bị nhốt trong vùng hóa trị đầy và ta có một hệ khí điện tử

chuyên động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs Do là

khí điện tử tự do cho nên về nguyên tắc phổ nang lượng đo được là phô liên tục Tuy nhiên, thực nghiệm quan sát được phô năng lượng gián đoạn của khí điện tử và đặc biệt phô hap thụ của bán dẫn xuất hiện những đỉnh hap thụ lạ Điều này chi có

thé giải thích bởi sự ton tại của trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trong tao thanh

gia hat exciton [8].

Exciton là trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống thông qua tương tác

tĩnh điện, trạng thái này là một giá hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong

mạng nhưng không lan truyền điện tích Ngày nay, thực nghiệm chứng tỏ sự ton tại của exciton đã được phát hiện trong các hau hết các loại tinh thé điện môi và bán dẫn [16, 19] Tuy nhiên, các hệ exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp và những hiệu ứng của nó được quan tâm nhiều nhất trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm do tính ứng dụng cao của nó Ngoài ra các nghiên cứu cho thấy đây là vật liệu thuận lợi dé quan sát và nghiên cứu phô năng lượng exciton (16, 19, 22]; đặc biệt hệ

exciton hai chiều trong bán dan nhiêu lớp còn có những hiệu ứng, đặc tính vật lý thú

vị như: hiệu ứng Hall, sự tách vạch trong điện trường và từ trường, hiện tượng

ngưng tụ Bose, [18, 22, 23] Khi nghiên cứu phô năng lượng của exciton, ta thu

được nhiêu thông tin về tính chất quang tính chất điện của bán dan, đặc biệt là khi các chất này được đặt trong từ trường Các nghiên cứu này có những ứng dụng đặc

biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ thấp chiều kích cỡ nano Vì thé, bài toán

exciton trong từ trường là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, mang tính thời sự và đang

thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu

Như chúng ta đã biết, ở thế giới vi mô, phương trình Schrödinger đóng vai

trò trung tâm, quan trọng trong cơ học lượng tử; đây là phương trình động lực học

giúp ta giải quyết các bài toán chuyên động của hạt vi mô Tuy nhiên, phương trình

này chỉ có thể xác định nghiệm giải tích chính xác của nó trong một số rất ít trường

hợp đơn giản như bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa; còn lại đa số các

bài toán hệ lượng tử thực đều phải sử dụng các phương pháp tinh gan đúng hoặc các

phương pháp số để tìm hảm riêng và trị riêng Một trong những phương pháp gần

đúng cô điển được nhiều người biết đến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn Ý

tưởng chính của phương pháp nảy la dựa vào yếu tố vật lý của bài toán, tách toán tử

Hamilton thành hai phan: thành phan thứ nhất được xem là phần chính có thê tìm

nghiệm chính xác, thành phần còn lại được xem là nhiễu loạn Phương pháp lý thuyết nhiều loạn đã chứng tỏ hiệu qua của nó qua nhiều bài toán khác nhau; nhưng

nó chỉ giải quyết được những bài toán thỏa điều kiện là thành phần nhiễu loạn đủ

nhỏ so với thành phần chính, đối với những bài toán không thỏa điều kiện này (bài

toán phi nhiễu loạn) thì không thẻ áp dụng được phương pháp này Bài toán exciton

trong từ trường với độ lớn của từ trường cùng thang so với thế Coulomb là một bài

toán phi nhiễu loạn không thê tìm được nghiệm giải tích chính xác.

Phương pháp toán từ FK được đưa ra năm 19§2 đẻ giải quyết những bài

toán phi nhiều loạn nêu trên bởi một nhóm giáo sư ở đại học Belarus [11] Ý tưởng

chính của phương pháp toán tir FK dựa trên tư tưởng của lý thuyết nhiễu loạn là

tách Hamiltonian thành hai phần: phan chính có nghiệm chính xác và phan còn lại

là nhiễu loạn, tuy nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn ở chỗ việc phân chia

Hamiltonian không dựa vào yếu tố vật lý mà đơn thuần dựa vào hình thức của các

toán tử trong Hamiltonian Điểm đặc biệt là trong phương pháp còn đưa vào một

tham số tự do, có vai trò hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của chuỗi bố chính cho năng lượng

và hàm sóng Quy trình giải của phương pháp toán tử FK gồm bốn bước cơ bản: (1)

biểu diển Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy Dirac a (@), a(@):

A(x, pì-> N(â.â*,œ) ở đây tham số tự do @ được đưa vào thông qua các toán tử

ALA

sinh, hủy; (2) tách Hamiltonian ra làm hai phan, thành phan HO" (4 â, o) giao

hoán với toán tử G'@ (thành phan trung hòa) được xem là phan chính, phan còn lại

Lá [Ta ,&, o) xem là nhiễu loạn: A(4,@*.@) = HO" (a a, @Ì+ +9 (a* 4, @Ì với

†0M (á

cách tách này 7 a'a, o) luôn có nghiệm là dao động tử điều hòa; (3) chọn tham

Aen

số tự do @ sao cho HOY (a°é, @) là thành phần chính của Hamiltonian và từ đây ta

có nghiệm riêng của #“(4*â, @) là nghiệm gan đúng bậc zero; (4) xem

VTM (â*,â.œ} là thành phần nhiễu loạn và tính các bô chính bậc cao theo các sơ đồ

thích hợp Khi nghiên cứu và áp dụng cho những bài toán cụ thé, phương pháp toán

tử FK đã chứng tỏ những ưu điểm của nó như : Khi áp dụng phương pháp ta chỉ sử

dụng các phép biến đổi thuần đại số, vì vậy giúp đơn giản hóa việc tính toán các yeu

tỗ ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt;

ngoài ra phương pháp này cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có

cường độ bất kì và xác định được giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong

toàn miền thay đổi tham số trường ngoài [5] Phương pháp toán tử FK đã được ápdụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau như: đao động tử phi điềuhòa, bài toán polaron trong vật lý chất ran, các bài toán hệ nguyên tử [2-5, 7, 12]

Chính vì vay, sự lựa chọn phương pháp toán tử dé giải bài toán exciton trong từ

trường là hợp lí và đã được thực hiện trong nhiều công trình trước đây [2-5]

Khi áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho các

bài toán hệ nguyên tử, phân tử, chúng ta gặp khó khăn la dang thể tương tácCoulomb có biéu thức chứa tọa độ ở mẫu số Dé giải quyết van dé này, ta có thể sửdụng phép biến đối Levi-Civita hoặc Laplace Trong công trình [5] đã sử dụngthành công phép biến đôi Levi-Civita dé giải bài toán exciton hai chiều trong từ

trường với kết quả nghiệm số thu được chính xác đến 20 chữ số sau dau phay Tuy

nhiên, khi áp dụng phép biến đồi này thì năng lượng E không còn là trị riêng củatoán tử Hamilton nữa mà được xác định gián tiếp thông qua việc giải phương trìnhZ(E) = const với Z là một trị riêng hình thức có giá trị không đôi Đối với các bàitoán phức tạp hơn như bài toán exciton âm, chúng tôi nghĩ rằng việc xác định nănglượng một cách gián tiếp như vậy không thuận lợi bằng việc giải trực tiếp Trongtrưởng hợp này, ta có thé sử dụng phép biến đổi Laplace dé đưa phan tọa độ ra khỏimẫu số; lúc này phương pháp toán tử FK vẫn áp dụng được một cách hiệu quả màkhông can phái thông qua một biên hình thức nào khác Trong luận văn nay, tác giả

sử dụng phép biến đổi Laplace cho bài toán exciton 2D trong từ trường dé tiếp tục

khảo sát tính hiệu quả khi áp dụng phép biến đôi nay trong phương pháp toán tử

Một trong các van dé quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử FK đó la

vai trò của tham số tự do w Với mỗi giá trị khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài

toán là khác nhau và khi chọn œ tối ưu thì bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm

chính xác Ngoài ra, độ chính xác của nghiệm gan đúng cũng phụ thuộc vào việc

chọn lựa œ Vì vậy, việc chọn lựa tham số @ rất có ý nghĩa vì cho phép ta tiết kiệm

được nhiêu tài nguyên tính toán Trong các công trình [7, 11, 12] đã sử dụng cách

chọn @ là dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc của vào tham sé tự

điều hòa Tuy nhiên, đối với bài toán exciton 2Ð trong từ trường đều, việc khảo sát

œ chưa được tiền hành và thử nghiệm điều kiện đã nêu trong công trình [6]

9

Chính những lý do thực tiễn trên đã thúc đây tôi thực hiện luận văn “Khao

sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ

trường đều theo tham số tự do” với mục tiêu là khảo sát sự hội tụ của phương

pháp toán tử cho bài toán cụ thé đang có tính thời sự: bài toán exciton hai chiềutrong từ trường đều theo tham số tự do Luận văn chỉ giới han ở đối tượng là

exciton trung hoà.

Mục tiêu được thực hiện thông qua các nội dung nghiên cứu sau:

© Tìm hiệu về phương pháp toán tử.

© Tìm hiểu về exciton và bài toán exction 2D trong từ trường đều

¢ Giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều bằng phương pháp toán tử

® Khao sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D

trong từ trường đều theo tham số tự do @

Đề thực hiện luận văn, tôi đã sử dụng phương pháp nghiên cứu:

¢ Tìm kiếm, đọc, đánh giá, phân tích và tong hợp tài liệu.

¢ Lập luận, tính toán dé xây dựng phương trình Schrodinger cho exiton

2D trong từ trường đều.

© Tính toán, biến đổi các phép tính toán tử để đưa phương trình

Schrodinger cho exiton 2D trong từ trường déu về dạng không thứ nguyên, đạng toán tử sinh huỷ 2 chiều và về đạng chuẩn.

e St dụng ngôn ngữ lập trình Fortran dé tìm nghiệm số.

1 Cấu trúc

Ngoài phan mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương nay gồm hai phần Phan đầu tiên giới thiệu tong quan về phương pháp toán tử FK qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa Trong đó ta lần lượt

10

trình bày về ý tướng phương pháp thé hiện qua các bước giải, ưu điểm của phương pháp và lưu ý một số van dé khi sử dụng phương pháp toán tử Phan hai trình bay tông quan về exciton: lịch sử, khái niệm phân loại, tính chat của exciton và phương

trình Schrödinger cho exciton trung hoà 2D trong từ trường.

Chương 2: Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều trong từ

trường đều

Trong chương nay ta sẽ áp dụng phương pháp toán tir giới thiệu ở chương

1 dé giải trực tiếp cho bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường đều Talần lượt tiến hành các bước giải tương tự như trong chương 1 dé tìm nghiệm chínhxác bằng số cho bài toán, chỉ khác là ở đây ta sử dụng các toán tử sinh - hủy hai

chiều Điểm lưu ý là trong phan này là dé giải quyết vấn đề khó khăn khi dang thé

tương tác Coulomb có biêu thức chứa tọa độ ở mẫu số chúng tôi đã dùng phép biến

đôi Laplace như trong công trình [7].

Chương 3: Vai trò tham số tự do trong phương pháp toán tử

Chương 3 là các kết quả chính của luận văn Trong chương này, chúng ta sẽ

phân tích cụ thé hơn vai trò của tham số œ đối với việc tối ưu hóa quá trình tính

toán Dé minh họa, chúng tôi giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ theo tham số

@ với bài toán cụ thé là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn khi áp dụng

phương pháp toán tử FK [6] Sau đó, chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn là

khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ

trường đều Trong phan này chúng tôi tiễn hành khảo sát lần lượt tốc độ hội tụ của

bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích với trường hợp độ lớncường độ từ trưởng nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiền hành thử nghiệm một số điều

ta a 4 kk ` a £ 4 a

kiện dé chon lựa giá tri tham so tôi ưu và đưa ra một so kết luận.

Trong phần kết luận ta đưa ra các kết quả thu được trong luận văn và hướng

phát triên đề tài.

HI

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYET

Trong chương này ta sẽ giới thiệu phương pháp toán tử FK giải phương trình

Schrédinger: các bước giải, ưu điểm những van dé khi sử dụng phương pháp toántử; đồng thời ta cũng trình bày tông quan về exciton: khái niệm, phân loại, tính chất

và phương trình Schrédinger cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều

1.1 Phương pháp toán tw giải phương trình Schrédinger

Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử FK đã xuất hiện vào những

năm 1979 Tuy nhiên, phương pháp toán tử FK đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi

nhóm của giáo sư Feranchuk I D và Komarov L I ở trường Dai học Belarus [11]

và sau đó được áp dụng thành công cho nhiều bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rin cũng như các bài toán lý thuyết trường [2, 4, 12].

Qua nghiên cứu và khai thắc trong các bài toán cụ thê đó, phương pháp toán tử

đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:

¢ Don giản hóa việc tính toán các yếu tổ ma trận phức tạp mà thông

thường phải tính tích phân của các ham đặc biệt: các tính toán được

thực hiện trong quá trình áp dụng phương pháp đều là các biến đôi các

thuần đại SỐ

e Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ

bat ki

e Cho phép xác định giá tri nang lượng va ca ham sóng của hệ trong

toàn miền thay đôi tham số trường ngoài.

Ý tưởng của phương pháp toán tử FK thê hiện qua bốn bước giải mà ta sẽ

trình bảy sau đây trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa một chiêu.

Xét phương trình Schrödinger cho đao động tử phi điều hòa:

12

Bước một: Chuyển toán tử Hamilton vẻ biêu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng

cách đặt biến số động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau:

(1.3)

2\" ow 20 wddx}

Ở đây toán tử â được gọi là “toán tử hủy", â" được gọi là “toán tử sinh” và

@ là tham số tự do được đưa thêm vao dé tối ưu quá trình tính toán Chúng ta gọi là

tham số tự đo vì Hamitonian của hệ thực chất không phụ thuộc vào giá trị của ø.

Ta dé dàng thu được hệ thức giao hoán:

(â.â* =1 (1.4)

Hệ thức nay sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dang chuẩn, nghĩa 1a các

toán tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử hủy năm vẻ phía bên phải, thuận lợi

cho các tinh toán đại số sau này Từ đây vẻ sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của

toán tứ (xem thêm Phụ lục 2).

Thế (1.3) vào (1.2) và sử dụng (1.4), ta được biéu thức dang chuẩn của toán

từ Hamilton như sau:

13

H= i 24" +1)+ 1o b “(ay | 4 |2(a'aŸ +2â a+]

+Aalat +(a*)' +4(á* ) a+4ara +6(a*) +64 | (15)Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (1.5) thành hai thành phần như sau:

^~+^

- Phần thứ nhất là A?" (â"â.2.ø)] chỉ chứa các thành phan ô=â*â, cácthành phần này được gọi là các toán tử "trung hòa”, nghĩa là các số hạng chứa số

toán tử sinh và sô toán tử hủy băng nhau:

How =1+® (sã'â+1)+ sọ | 2(44) +28'â+1] (1.6)

- Phan còn lại ta kí hiệu la V (â*,á, Â,e}.

Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách toán tử

Hamilton thành hai thành phan: thành phan A?” (a'4,4.@) có nghiệm chính xác

mà chúng ta sẽ dé dàng xây dựng dưới day; riêng thành phần V" (â”.â.4.} được

xem như thành phần “nhiễu loạn" sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ" dé thỏa điều kiệncủa lý thuyết nhiều loạn thông qua việc chọn tham SỐ @

Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:

Ho" (@°4,2,0)|y) = ca lw) ; (1.7)

a

£ T ^+^ + : £ “- F * Ata os ta 2 3%

Ta thay Ho“ (â*â ^.«o) giao hoán với toán tử =4 và nghiệm của nó de

dàng xây dựng như sau:

|n(@)) = sale Ï|0 (1.8)

lá

Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac dé định nghĩa, khi đó nghiệm

(1.8) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chan không” (vacuum)

điều này có nghĩa là trạng thái (1.10) là nghiệm riêng của toán tử # = â'â, từ đó có

thé thay rằng nó cũng chính là nghiệm riêng của toán tử H, (a 'â,À,@] Ta có:

2

Lee (2n+1)+ 34 (an? +2n+1) (1.11)

4ø 4z”

l2) _

là năng lượng gan đúng bậc không tim được phụ thuộc vào tham số ø Như đã nói

đây là tham số được đưa vào đẻ tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác định œ từ điều

đang xét, điều kiện (1.12) dẫn tới phương trình dé xác định @ như sau:

Phương trình này cũng phù hợp với điều kiện | >>|lV| Với bài toán chúng ta

(2n +1)ø` =(2n +1)@-62(2n? + 2n +1]=0 (1.13)

15

Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số:

Đến đây chúng ta có thé sử dụng sơ 46 của lý thuyết nhiễu loạn dé tính các

bổ chính bậc cao N goài ra, do tính hội tụ của OM rất cao và chúng ta có tham SỐ tự

do @ đề điều khiến tốc độ hội tụ, ta có thé sử dụng phương pháp vòng lặp đẻ giải tìm nghiệm số Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đỗ sau:

với điều kiện ban đầu là CÍ”=0, (j#n) Chú ý rằng ở đây chúng ta không can sử

dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho @ =1 Ngoài ra các giá trị EL”, cy’ tương

ứng với các bước lặp khác nhau chứ không phái là bỗ chính.

Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ dé lý thuyết nhiễu

loạn được định nghĩa như sau:

Hạ = | “ự, OA, ,(x)áx,V„ = llR ¿(@)Ê y, (x) dx (1.15)

hay Hy =(k|AO ky, V„=(/|Ý k); (1.16)

các phân tử ma trận này có thé tính một cách dễ dang bang các biến đôi thuần đại số

nhờ các hệ thức (1.4), (1.9) Dé tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau:

minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số nhờ các hệ thức (1.4) và (1.9) và cụ

các phan tử ma trận khác thu được dựa vào tinh đối xứng V._=V

Bang 1.1: Phương pháp toán tử FK cho trạng thai cơ bản 0 =0 [5].

Bang 1.1 minh họa cho nghiệm chính xác của bài toán dao động tử phi

điều hòa ở trạng thái cơ bản =0 khi dùng phương pháp toán tử FK Như đã nói ở

trên, mặc dù phương pháp toán tử được giới thiệu thông qua ví dụ của bài toán dao

động tử phi điều hòa, nhưng sơ đồ tính toán của nó không phụ thuộc vào dang cụ thê của toán tử Hamilton, đo đó có thê áp dụng cho một nhóm rộng rãi các bài toán.

Tuy nhiên, cần lưu ý đến việc chọn tham số @ vì ứng với mỗi giá trị @ khác nhau

thì tốc độ hội tụ của bài toán là khác nhau Điều kiện (1.12) trong một số bài toán

không cho tốc độ hội tụ cao Vì vậy việc tìm ra được điều kiện để chọn lựa tham số

tự do @ tôi ưu sao cho bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác là cần thiết

và rất có ý nghĩa.

Ngoài việc chọn tham số @ tốt để tốc độ hội tụ bài toán nhanh vẻ giá trị

chính xác khi áp dụng phương pháp toán tir FK giải phương trình Schrödinger cho

các bài toán phức tạp hơn như các bài toán hệ nguyên tử phân tử, do một số đặc điểm riêng chúng ta gặp một số van đề cần nghiên cứu và giải quyết như: dang thé

tương tác Coulomb có biêu thức chứa tọa độ ở mẫu SỐ ; việc đưa các toán tử vẻdang “chuẩn” (normal) dé tính toán các yếu tô ma trận trong các sơ đồ tính bổ chính

bậc cao ; việc xây dựng bộ ham sóng cơ sở đảm bao là nghiệm của dao động tử điều hòa đảm bảo tính đối xứng của bài toán và đồng thời thuận lợi cho việc tính toán;

cuối cùng là việc lựa chọn sơ đỏ thích hợp dé bài toán hội tụ nhanh về nghiệm chính

xác Bài toán exciton trong từ trường khi sử dụng phương pháp toán tử FK cũng gặp

phải những van đề trên mà ta sẽ trình bày rõ hơn trong những phan sau

18

1.2 Tổng quan về exciton

1.2.1 Lịch sir

Thực nghiệm cho thay sự xuất hiện các đỉnh (peak) lạ trong phô hap thụ ở

tinh thé khí hiếm và trong tinh the phân tử (xem [22]) Dé giải thích điều này, năm

1931, khái niệm exciton lần đầu tiên được Frenkel tiên đoán và sau đó được tiếp tục nghiên cứu phát triển trong các công trình tiếp theo của ông Trong các công trình

của mình, Frenkel giới thiệu exciton như một sóng kích thích điện tử trong các tinh

thé khí hiểm Mô hình exciton của ông phù hợp khi mô ta các exciton trong chất

cách điện, về sau các exciton loại này được gọi là exciton Frenkel hay còn gọi là

exciton phân tử (xem [19, 22]).

Đến năm 1937, Wannier va Mott đưa ra mô hình exciton mới được tạo thành bởi tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trồng, tương tự như nguyên tử hydro, phù

hợp khi mô tả các exciton trong bán dẫn Exciton loại này sau được đặt tên là

exciton Wannier (xem [19, 22]) Sau đó, phô hấp thụ của exciton

Mott-Wannier được Gross tìm thay đầu tiên trong thực nghiệm vào năm 1951 trong tinh

thé Cu,O (xem [16]).

Nam 1958, Lampert néu ra kha nang tồn tại các trạng thái exciton phức tạp

mang điện, ví dụ như exciton âm là trạng thái liên kết của hai electron với một lỗ trong [17] Đến những năm 90 thì thực nghiệm đã quan sát được phố năng lượng của exciton âm trong giếng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử

và 16 trống rất lớn [15].

Ngày nay, bằng chứng về sự tôn tại của exciton đã được phát hiện trong cáchầu hết các loại tinh thê điện môi (alkali halide, naptalene, benzene), bán dan (Ge,

GaAs, CdS, Cu2O, CuCl), va cả trong polymer [16, 19].

Các quan sát cho thay có nhiều dang exciton: khi su kết hợp xảy ra giữa một

điện tử và một lỗ trồng ta có exciton trung hòa, khi hai điện tử kết hợp với một lỗ

19

trồng thì exciton có điện tích âm (exciton âm), và cũng có trường hợp khi hai lỗ

trồng kết hợp với một điện tử tạo ra một exciton đương Trong giới hạn của luận

văn này chi đề cập đến trường hợp exciton trung hòa.

1.2.2 Khái niệm

Trong bán dan thông thường, độ rộng của vùng cam E, giữa vùng dẫn và vùng hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo đài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh

sáng khả kiến Một photon có năng lượng ho > E, có thé kích thích một điện tử

trong vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn và để lại trong vùng hóa trị một /6 trồng théhiện như một điện tích dương Một điện tử dẫn liên kết với một lỗ trống bởi tương

tác Coulomb sé tạo ra một hệ tương tự nguyên tử hydro, tuy nhiên năng lượng liên

kết của nó nhỏ hơn nhiều va kích thước lớn hơn nhiều lần so với nguyên từ hydro.lộ) giới hạn mật độ thấp, khi đó ta có thể bỏ qua hiệu ứng nhiều hạt, cặp điện tử - lỗtrồng được coi như một giả hạt tự do gọi là exciton

Hình 1.1: Các mức năng lượng exciton [5].

Như vậy, exciton là trạng thái liên kết giữa một điện tử và một lỗ trong thông

qua tương tác tĩnh điện (tương tác Coulomb) trong chất bán dẫn hoặc điện môi

20

Trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong mạng nhưng không lan truyền điện tích.

1.2.3 Phân loại

Exciton được phần làm hai loại tùy thuộc vào tính chất của vật liệu đang xét:

¢ Exciton Mott-Wannier: Trong chat bán dan, hang số điện môi tương

đôi lớn gây ra thé chắn, làm giảm tương tác Coulomb giữa điện tử và

lỗ trong Trong trường hợp này, mặc dù vẫn tương tác với nhau nhưng

các điện tử có thê tương tác tự do khắp không gian mạng, còn các lỗ trồng tương ứng cũng có thẻ đi chuyển giữa các nút mạng Điện tử và

lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn hơn nhiều lần hằng số

mạng Khi đó, thé năng của mang tinh thé sẽ tác động đáng ké đến

chuyên động của điện tử và lỗ trồng, làm giảm khối lượng hiệu dụng

của chúng; lại cộng thêm thể chắn của môi trường mạng nên năng

lượng liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng

của hydro (mức trung bình là 0.1 eV) Loại exciton này gọi là exciton

Mott-Wannier, đặt theo tên hai nhà khoa học Nevil Francis Mott và

Gregory Wannier Exciton loại này thường xảy ra trong tinh thé đồng

hóa trị.

e Exciton Frenkel: Trong chat cách điện, hằng số điện môi rất lớn nên

điện tử và lỗ tréng tương tác với nhau ở khoảng cách phân tử Loại

exciton nay được gọi là exciton Frenkel, đặt theo tên của J Frenkel

(còn gọi là exciton phân tử hay exciton bán kính nhỏ) Do kích cỡ

nhỏ, tương tác Coulomb lớn và ít bị ảnh hưởng boi trường mạng nên

năng lượng liên kết của nó lớn (trung bình 1.5 eV)

21

Exciton có các tính chất chính như sau:

e Chi có mặt trong bán dan hoặc điện môi.

e© Vé mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử hydro, tuy

nhiên nó có bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn

22

Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dal các mức exciton

gián đoạn Phé hap thụ exciton là phô gián đoạn, gồm một dai các

vạch như phô hấp thụ của hydro

Sự ton tại của exciton được chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát

hiện một vùng phô hap thu gan bờ hap thụ cơ bản về phía bước sóng

dai với các mũi nhọn (peak) hap thụ (ở nhiệt độ thấp) mà không làm

thay đôi nồng độ hạt dẫn Phé vạch dang giống như nguyên tử hydro

đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng cam rộng như CdS,

| Năng lượng photon(eV)

Hình 1.4: Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton [5]

23

1.2.5 Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường đều

Phương trình Schrédinger cho exciton 2D trong từ trường có dang:

Hự(x,y)= EW(x, y),với Hamiltonian có dang:

If es), 1, ,*“zÝa aa

° 1G -ÊÄ) và 1G +£A,] lan lượt là động năng của

2m, € 2m, €

electron va lỗ trồng Trong biêu thức trên, vector xung lượng ô được

thay bằng (ø-£4) do tác dụng của từ trường, với A, =2[z.#] là

€

thé vector của từ trường, xét trưởng hợp 8 = (0,0 8).

« Số hang m,"0 i a amo là động năng do chuyền động xoáy

ốc dưới tác dụng của từ trường của electron và lỗ trống, với

Chọn A, sao cho divA, =0; suy ra:

e-\ e~\ ihe e

(#.-£4,] -(-inv, -£4,) =-f'V2 + <A, + SAY

Với: L =-ih| x—- y— |, Xét:oi: L, af x8 2 xét

ihe ; ihe Can a é

Thực hiện các phép biến đổi hệ tọa độ, chuyên từ hệ toa độ 2 biến (z,,z, ) về

2 biến mới (r, R), với:

OR” MôêRềr Or”

Thay tat cả vào biểu thức Hamiltonian, với Q = af ts duge:

fic

26

động tử điều hoà ta có thé giải tìm nghiệm chính xác.

e© Chuyển động tương đổi: A, 2C r? the ==.

với « là hằng số điện môi, khi đỏ don vị năng lượng sẽ là hằng số Rydberg hiệu

dụng R= /e°/20°z°, đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu dung a =£h/e°,.

Cường độ từ trường không thứ nguyên được xác định bang biểu thức: z=hœ /2Ñ'.

Từ trường yếu ứng với giá trị 7 <<1, từ trường mạnh ứng với zzl và từ trường

trung bình ứng với giá trị z x1.

27

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI BÀI TOÁN

EXCITON HAI CHIEU TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU

Trong chương này ta sẽ áp dụng phương pháp toán tử giới thiệu ở chương |

dé giai truc tiếp cho bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường Ta lầnlượt tiến hành các bước giải tương tự như trong chương | dé tìm nghiệm chính xác

bằng số cho bài toán, chỉ khác là ở đây ta sử dụng các toán tử sinh - hủy hai chiêu.

Diém lưu ý là trong phan này là dé giải quyết van dé khó khăn khi dạng thé tươngtác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số, chúng tôi đã dùng phép biến đỗi

Laplace như trong công trình [7].

2.1 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều

Phương trình Schrédinger cho exciton hai chiều trong từ trường được viết

Trong biểu thức trên, số hạng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khó khăn

khi sử dụng phương pháp toán tử FK Vì thé, dé không gặp khó khăn, ta sử dụng

phép biến đôi Laplace như sau:

Bước 1: Chuyển toán tử Hamilton vẻ biểu diễn của các toán tử sinh — hủy hai chiêu

bằng cách đặt biến số động lực thông qua các toán tử sau:

Từ đó, Hamiltonian của hệ được viết lại như sau:

2

H=-2(M -N+at)+ "0+ (Mt + +N+M)

-2 2 | Leno [~r(#'+&+ø#)) (2.8)

29

với thành phần $ = exp{-r(M “4M 4N ) được đưa về dạng chuân (xem Phụ luc 5):

Bước 2: Tach Hamilton thành 2 thành phan: thành phan chính /#Ƒ“ gồm các toán

tử trung hòa (chỉ chứa thành phan giao hoán với các toán tử &!â_ và 66), thành

phan còn lại là nhiễu loạn É”*;

Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở thỏa các điều kiện: vừa là bộ hàm sóng của dao

động tử điều hòa, vừa là hàm riêng của toán tử É_ (vì toán tử #_ là đại lượng bảo

-với: Ip = | at () _ Ne (-l)" Nay (147) 27*'(p=I)! (0p~24—3004—Đ vn 921.23

Biểu thức trên chính là năng lượng gần đúng bậc zero tìm được phụ thuộc

vào tham số œ Như đã nói, đây là tham số được đưa vào đề tối ưu hoá quá trình tính toán Từ điều kiện (1.12) ta thu được phương trình xác định @ như sau:

31

? ø kk '

Bước 4: Phương pháp toán tử tìm nghiệm bang sé

Trong phan này, ta sẽ sử dụng sơ đỗ vòng lặp dé tìm nghiệm số chính xác

Khi đó, hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng E,“' có dạng:

với điều kiện ban đầu là C?”'=0, (j#n) va Bo =H, Chú ý rằng ở đây chúng ta

không cần sử dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho =1 Ngoài ra các giá trị

Ej`,Cj' tương ứng với các bước lặp khác nhau chứ không phải là bô chính

32

Các yếu tố ma trận trong sơ đò trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu

loạn được định nghĩa :

“NOG dit] Hạn inlet

_zvoy— AEG +|mmi)!{£ + 1)!{k + fon] + LÌ! "

iil! @Œ-i+D(E+lm|-i+ll #192

H,,., =-2VNo JoŠ | MT +|mÌ)!{k + s)'{& t|m|+ +}! „ „

is) vi(i—s)! - (k=i+s){k+|m|=i+s)! TUỆ

Các phan tử ma trận khác thu được dua vào tinh đối xứng H,, = H,.

2.2 Kết quả - Phân tích

Dựa vào phương trình (2.18), (2.19) và công thức của các yêu tô ma trận như

trên, chúng tôi sử dụng và cải tiễn chương trình FORTRAN 77 đề tính nghiệm năng

33

lượng bằng số chính xác cho trạng thái bat kì Tham số @ có thẻ được chọn bằngđiều kiện (1.12), cụ thê ở bài toán này là phương trình (2.14), tuy nhiên đây chưa

phải là giá trị toi ưu Ngoài ra, ø có thể được chọn thử nghiệm khảo sát sao cho nghiệm thu được theo từng vòng lặp hội tụ nhanh về nghiệm số chính xác Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ bài toán vào tham số tự do sẽ được khảo sát kĩ hơn ở chương 3 Bảng 2.1 đưa ra một số giá trị minh họa cho năng lượng thu được sau

100 vòng lặp ở trạng thái cơ bản 7s và trạng thái kích thích 2p , 3d” với œ được

chọn tử điều kiện (1.12) Các chữ số in đậm là phan đã hội tụ về giá trị chính xác,

các số còn lại có giá trị chính xác khi ta tiếp tục tính đến các vòng lặp cao hơn Dé

dé so sánh với kết quả trong công trình [21], cường độ từ trường được thê hiện qua đại lượng y'=z/(y+l) và giá trị năng lượng ở đây bằng 1/2 giá trị năng lượng

trong [21] Ta nhận thấy năng lượng thu được phù hợp với kết quả công trình [21]

và chính xác tới những chữ số sau dau phay đã hội tụ.

34

Bang 2.1: Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK

theo sơ đồ vòng lặp cho một số trạng thái

2p (k=0,m=-1) | 34" (k =0,m =~2 )

-1.987593511850 | -0.261941785397 | -0.130254157894

-1.979671109501 | -0.281775478889 | -0.118881659216

Như vậy, phương pháp toán tử cho phép ta thu được nghiệm số chính xác

cho bài toán exciton 2D trong từ trường với cường độ bat ky, không những cho

trạng thái cơ bản mà còn cho các trạng thái kích thích Cần chú ý rằng khi tính các

mức năng lượng chúng ta không nhất thiết phải chọn @ như ở điều kiện (1.12) hoặc

(2.14) mà đơn giản có thé chọn bằng phương pháp thử sao cho quá trình tính toán

có tốc độ hội tụ cao nhất

35

Chương 3: VAI TRÒ CÚA THAM SÓ TỰ DO ĐÓI VỚI SỰ

HỘI TU CUA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ

Điểm đặc biệt trong phương pháp toán tử là có đưa vào một tham số tự do

@ thông các toán tr sinh, hủy Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất Hamiltonian của hệ không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này Tuy nhiên, @

lại có mặt cả trong thành phan chính A, và phần nhiễu loạn V Vì vậy, bằng cáchthay đổi @ ta có thé điều chỉnh A, và V sao cho luôn thỏa điều kiện của lý thuyết

nhiều loạn lf|~ |, trong toàn miền thay đổi của từ trường Do đó, việc chon

lựa @ có thê hiệu chỉnh được tốc độ hội tụ của bài toán về nghiệm số chính xác.

Trong chương nảy ta sẽ phân tích cụ thé hơn vai trò của tham số ø đối với việc tối

ưu hóa quá trình tính toán Đầu tiên, chúng ta tìm hiểu vé vai trò tham số ø đối

với phương pháp toán tw Tiếp đến, chúng tôi sẽ giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ

hội tụ theo tham số œ với bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc

bốn khi áp dụng phương pháp toán tử FK [6] Cuỗi cùng, chúng ta đi vào nội dung

chính của luận văn là khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài

toán exciton 2D trong từ trường đều Trong phan này, chúng tôi tiền hành khảo sát

lần lượt tốc độ hội tụ của bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kíchthích với trường hợp độ lớn cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiến

hành thử nghiệm một sô điêu kiện chọn @ và đưa ra kết luận.

3.1 Vai trò tham số tự do ø đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử

Một trong các vẫn đề quan trọng khi ấp dụng phương pháp toán tử là vai trò

của tham số tự đo ø Tham số @ được gọi là tham số tự do vì Hamiltonian của hệ

không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này Như đã giới thiệu ở chương 1, việc

đưa vào một tham SỐ tự do @ có vai trỏ đặc biệt quan trọng vì độ chính xác của

nghiệm gan đúng phụ thuộc vào việc chọn lựa giá trị của tham sé nay Ngoai ra,