HỘI TU CUA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ
3.3 Khao sát bài toán exciton 2D trong từ trường đều
3.3.1 Khảo sát tốc độ hội tụ cúa bài toán theo các giá trị œ khác nhau
Chúng tôi tiến hành khảo sát tốc độ hội tu của bài toán exciton 2D trong từ trường đều theo các giá trị @ khác nhau. Ta sử dụng điều kiện (1,12) để có giá trị
œ„ đầu tiên, sau đó lần lượt thử nghiệm các giá trị quanh giá trị @, đề tìm ra giá trị tham số tối ưu sao cho nghiệm thu được theo từng vòng lặp hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác. Với các giá trị @ khác nhau thì chuỗi (3.1) sẽ khác nhau nhưng hội tụ về cùng một giá trị không phụ thuộc vào giá trị tham số đã chọn. Chúng tôi khảo sát các trạng thái: /s,2p và 5f~ với ba trường hợp điển hình: z'=0.05 (từ trường nhỏ), z'=0.5 (từ trường trung bình) và z'=095 (từ trường lớn). Kết quả khảo sắt tốc độ hội tụ của bài toán theo tham số tự do được minh họa bằng bảng
3.1 và hình vẽ 3.3 - 3.5.
Ta thay rang với giá trị tham số tự do œ khác nhau sẽ cho tốc độ hội tụ
khác nhau. Bảng 3.1 đưa ra các số liệu minh họa cho cho trạng thai 5ƒ” với
40
y'=0.5, ta có kết quả tương tự với các trạng thái kích thích khác cũng như trạng thỏi cơ bản với cỏc giỏ trị y' khỏc nhau. Tiến hành khảo sỏt với cỏc giỏ trị ứ lần lượt quanh giá trị @, cho thay tồn tại một miền giá trị tối ưu cho tốc độ hội tụ nhanh về nghiệm chính xác như trong công trình [6, 9] đã khang định. Hình 3.3 biểu dién tốc độ hội tụ phụ thuộc vào tham số tự do của trạng thái cơ bản /s ứng
với trường hợp y'=0.05 (từ trường nhỏ), z'=0.5 (từ trường trung bình) và z'=0.95 (từ trường lớn). Trục hoành là giỏ trị ô cũn trục tung chỉ bậc vũng lặp (s)
khi năng lượng thu được chính xác đến 2 chữ số sau dau phây. Hình 3.4. 3.5 biéu diễn sự phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số tự đo cho trạng thái kích thích 2p” và Sf khi năng lượng thu được chính xác đến 4 chữ số sau dau phay. Giá trị (Spin) càng nhỏ, tốc độ hội tụ càng cao.
Điều đặc biệt là với các mức năng lượng kích thích thì mức kích thích càng cao thì tốc độ hội tụ càng nhanh. Ví dụ với trạng thái kích thích Sf” dé thu được nghiệm năng lượng chính xác đến 4 chữ số sau dau phây ta chỉ cần ít nhất 8 vòng
lặp (s,,, =8) với trường hợp z'=0.5, còn ở trạng thái cơ bản /s cũng với z'=0.5
dé thu được nghiệm số chính xác chỉ 2 chữ số sau dau phây phải cần ít 103 vòng
lặp (s„„ = 103).
4]
Bảng 3.1: Năng lượng “Ì cho trạng thái 5ƒ và y'=0.5 thu được bằng phương pháp toán tử FK theo sơ đồ vòng lặp ứng với các giá trị khác nhau của tham số tự do. Cột dau tiên ứng với @ lấy bat kì và năng lượng hội tụ khi s = 20, cột thứ hai ứ chọn theo điều kiện (1.12) cho hội tụ ở s = 9, cột 3 với ứ chọn tối
ưu cho hội tụ ở s=8.
@=0.6(s=8)
1.1515127060 1.1278589138
1.147772421 1.129121197
1.222263 1057 1.1258458224 1.125735761
s
0 1
2
6 [naira [anisms [ran BI... aNm.... mm...
7| HH8NNNNGE | TDỉNNH [rare TƠỊ THWNES6 | THBWPGmE | TPWEBR
l1 1.1239335619 1.1247643435 1.124757610
12 1.1260195547 1.1247604099 1.124755352 13 1.1243599804 1.1247576072 1.124753733 l4 1.1252962196 1.1247555669 1.124752551
15 1.1245659927 1.1247540531 1.124751670
"mm... man...
17 1.1246636027 1.1247520360 1.124750491
20 1.1247930327 1.1247503985 1.124749528
Bang 3.2: Bậc hội tụ nhỏ nhất và miền tham số hội tụ tôi ưu cho các trạng thái Is,2p và 5ƒ” ứng với các giá trị z' là 0.05, 0.5 và 0.95. (Chọn miền tham số hội tụ tối ưu thỏa điều kiện s < 150)
Is 2p" sf
S„„ | Miễn hội tu ỷ Smin | Miênhộitu | Sau. | Miếnhộitụ
nhau. Bang 3.2 đưa ra các số liệu minh họa về bậc hội tụ nhỏ nhất và miền tham số hội tụ tối wu cho các trạng thai /s,2p và Sf” ứng với các giá trị y' là 0.05, 0.5 và 0.95. Kết quả thu được cho thay ứng với cường độ từ trường lớn (ứng với 7' lớn) thì tốc độ hội tụ bài toán nhanh hơn và miền hội tu cũng rộng hon rất nhiều so
với trường hợp từ trường nhỏ và từ trường trung bình, ví dụ ở trường hợp cơ bản,
nang lượng chính xác đến 2 chữ số sau dấu phay ứng với 7'=0.95 thì $„„=49, y'=05 this, =103 và với y'=0.05 thì s„. =6. Nếu chọn s <l50 là @ nằm ở
miễn hội tụ tối ưu thì ở trạng thái cơ bản, 7’ =0.95 miền hội tụ tối ưu của œ là từ 10 đến 80, rộng hơn nhiêu so với trường hợp z'=0.5 miền hội tụ tối ưu của @ là từ 5 đến 13 và z'=005 là 3 đến 12; những trạng thái kích thích khác cũng thu được kết qua tương tự. Điều này ta có thé dự đoán là vì khi sử dụng phép biến đổi
Laplace thì tương tác Coulomb được tách nằm chủ yếu ở phần nhiễu loạn Ứ°*, phan chính A°" chứa chủ yếu là phan từ trường, chính vì vậy dẫn đến việc tìm nghiệm số chính xác của bài toán khi sử dụng phép biến đôi Laplace với từ trường
lớn hiệu quả hơn so với từ trường nhỏ và trung bình.
43
wn n
= &
` ẩ
50
Q5 T0 15 Ê2 ô4 6 8 10 12 14 16 18 20 0-30 4060 89 T00
Thams6 tự d Tham tự do w Tham tự dc
Hình 3.3: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thai co bản ?s( k =0,m=0)
ứng với (a) y'=0.05, (b) y'=0.5 và (c) y'=0.95.
Bac lội tus 283888988
0.1 02 03 04 05 06 07 08 0.5 1.0 15 20 25 30 35 40 10 20 30 40 50 60
Tham tudo c› Tham tudo w Than tudo o
Hình 3.4: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái 2 p(k =0,m =—1)
ứng với (a) '=0.05, (b) >'=0.5 và (c) z'=0.95.
45
Bac lôi tus
90 a oe 80
80 (a) ;=0.05 70 (b) =0.5 70
70 œ 60 œ 60
a = 50 = 5
& 40 & 40
50 30 30
° pe _
am 10 | 10
003 004 0.05 006 007 0.08 la 0.5) 06 "07 08 09 os 16 †2
Tham tự do © Tham tự do œ› Than trdo©
Hình 3.5: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái 5ƒ (k = I,m =-3)
ứng với (a) y'=0.05, (b) z'=0.Š5 và (c) z'=0.95.
46
100 50
8
30L .:
ast i:
: —Et) — 4)
is} Ì—É? —e)
SA “ưng
= 5 10 15 20 ea 6) 8 101.1 16 18 O99 4 9 8 100
Thams tự do Tham® tudo Tham tu'dow
Hình 3.6: So sánh kết quả khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán và 5 bậc vòng lặp đầu tiên của năng lượng E'° cho trạng thái cơ bản
ứng với (a) '=0.05, (b) z'=0.5 và (c) z'=0.95.
47
Bac hpi tus
$88 8 8e ởd BSB
Nang luting E"(o)
01 02 03 04 05 06 OF 08 05 10 15 20 25 30 35 40
Hình 3.7: So sánh kết quả khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán và 5 bậc vòng lặp đầu tiên của năng lượng ETM cho trạng thái 2p
ứng với (a) y'=0.05, (b) 7'=0.5 và (c) z'=0.95.
48
Bac lội tus
2ằNS32đ468f$xseseassas
Nữglưg E”(©)
Hình 3.8 : So sánh kết qua kháo sát tốc độ hội tụ của bài toán và 5 bậc vòng lặp đầu tiên của năng lượng ETM cho trạng thái 5ƒ
ứng với (a) y'=0.05, (b) z'=0.5 và (c) y'=0.95.
49
3.3.2 Điều kiện dé chọn tham số tự do toi uu
Cách chon @ dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc vào tham số tự do như ở phương trình (1.12) đã được áp dụng ngay tir đầu khi phương pháp toán tử FK được xây dựng và hiện nay vẫn pho biến. Thông qua việc khảo sát tốc độ hội tụ của bai toán, chúng tôi cũng đồng thời thir nghiệm điều kiện trên dé xem xét tính hiệu quả của nó. Giá trị @, xác định từ điều kiện (1.12) được thẻ hiện trên các hình (3.3) - (3.5) ứng với bậc hội tụ tương ứng. Kết quả cho thấy ngay ở trạng thái cơ bản thì điều kiện (1.12) đã áp dụng không tốt, @, không phải là giá trị tham số tôi ưu của bài toán. Kết quả thu được tương tự ở những trạng thái kích
thớch khỏc, chỉ riờng trường hợp trạng thỏi 5ƒ với z'=0.95 thỡ ứœ„ chớnh là giỏ
trị tham số tôi ưu của bai toán. Chúng tôi cũng tiễn hành so sánh năng lượng gan
đúng bậc zero với năng lượng chính xác của bài toán cho trạng thái cơ bản và một
vài trạng thái kích thích, kết quả được minh họa ở hình vẽ 3.9. Ta nhận xét rằng với giá trị tham số tự do @, xác định từ điều kiện (1.12) thì năng lượng gần đúng bậc zero E?” có giá trị gần với nghiệm chính xác E” hơn so với giá trị tham số tối
ưu ô` khảo sỏt được, và với cựng giỏ trị @ thỡ từ trường cú độ lớn càng lớn (y'
càng lớn) thì E càng gân với ET hơn. Ta thấy rằng mặc dù với @, thì nghiệm gan đúng bậc zero gần với nghiệm chính xác, tuy nhiên do bỏ chính sau mỗi vòng lặp rat ít nên tốc độ hội tụ của bài toán về nghiệm chính xác không nhanh. Rõ ràng,
điều kiện (1.12) không phô quát và tỏ ra hạn chế khi áp dụng cho bải toán đang
khảo sát.
Hình 3.9: So sánh năng lượng gần đúng bậc zero và nghiệm chính xác ở trạng thái cơ bản với tham số tự do @, xác định từ điều kiện (1.12) ở hình (a) và tham số toi ưu @ ở hình (b).
Dựa vào điều kiện lý thuyết nhiễu loạn |” /2”[Z1. công trình [6] đã đưa ra điều kiện phộ quat dộ chọn lựa miễn ứ tối ưu bằng cỏch tỡm miễn cực tiờu của hàm /ỉ(ứ) theo điều kiện /(ứ)<<1. Điều kiện này đó chứng tỏ tớnh hiệu quả khi áp dụng tốt đối với bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn. Về nguyên tắc, ta hoàn toàn có thé áp dụng điều kiện phố quát này đối với bài toán exciton 2D trong từ trường dé chọn được miền tham số tối ưu. Tuy nhiên, do bài toán đang khảo sát phức tạp hơn nên khối lượng tính toán hàm /(2) tương đối lớn dẫn đến gặp khó khăn trong việc lập trình hàm (œ): vì thế, trong luận văn này chúng tôi không sử dụng điều kiện phô quát đã nêu như trong công trình [6].
Tiếp theo, chúng tôi tiễn hành thử nghiệm điều kiện đơn giản va dé áp dụng dé chọn được miền tham số tối ưu. Cũng dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc của vào tham số tự do, chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng E“? vào tham số tự do, sau đó so sánh miễn cực trị của E“’ với miền tham
51
số tôi ưu từ đường khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán thực tế. Hình 3.6 biểu diễn
! vào tham số tự do cho trạng thái cơ bản, ứng
sự phụ thuộc của năng lượng E
với trường hợp z'=0.05 (từ trường nhỏ), z'=0.5 (từ trường trung bình) và y'=0.95 (từ trường lớn). Trục hoành là giá trị @ trong khi trục tung chi năng
lượng ở bậc vòng lặp s là E“. Hình 3.7, 3.8 biêu điển sự phụ thuộc năng lượng E* vào tham số tự do cho trạng thái kích thích 2p” và 5ƒ”.
Ta thấy rằng ở trạng thải cơ bản, khi khảo sát năng lượng ở 5 bậc vòng lặp đầu tiên thì miền cực tiêu của năng lượng £*° vẫn chưa phù hợp với miền tham số œ tôi ưu. O trạng thái kích thích, ví dụ như ở trạng thái 2p” và 5ƒ”, kết qua cho thấy miễn cực tiểu của năng lượng ở vòng lặp thứ 2 phù hợp tốt với miền giá trị tối ưu của @ trong cả 3 trường hợp y'=0.05, 7'=0.5 và 7'=0.95. Từ đây, ta có thể kết luận. cách chọn œ từ điều kiện trên với ít nhất năng lượng ở vòng lặp thứ 2 tương đối hiệu quả đối với trạng thái kích thích nhưng không phù hợp khi áp dụng ớ trạng thái cơ bản. Tuy nhiên, chúng ta cần tiến hành những nghiên cứu tiếp theo dé tìm ra điều kiện phổ quát dé chọn ra @ tôi ưu đối với mọi trang thái của exciton trong từ trường đều và ứng với cường độ từ trường bat kì.
52