Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK
2.1 Giới thiệu về phương pháp toán tử và các bước giải
Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979. Phương pháp toán tử FK được ứng dụng thành công cho nhiều bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn và lý truyết trường [2]. [5]. Qua các nghiên cứu và ứng dụng vào một số bài toán cụ thể, phương pháp toán tử FK đã thể hiện một số ưu điềm như sau:
Chỉ sử dụng các tính toán thuần đại số. Toán tử Hamilton của bài toán được đưa về các toán tử sinh hủy nên chúng ta không cần tính các tích phân phức tạp. Vì vậy có thê sử dụng các chương trình tính toán trên biêu tượng như
Matlab, Mathematica,... để tự động hóa quá trình tính toán.
Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngoài có cường độ bat kì.
Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miễn thay đôi tham số trường ngoài.
Các bước giải một bài toán bằng phương pháp toán tử FK được trình bày qua ví dụ bài toán đao động tử phi điều hòa. Ta xét bài toán đao động phi điều hòa
với toán tử Hamilton có dang sau:
ẹ =-L< + ˆự cõy", (2.1)
2dx 2
với hệ số phi điều hòa 4 > 0. Bài toán này có dạng chuyển động trong hồ thé và có
các mức năng lượng giản đoạn.
Bước một: Chuyờn H về dang ủ(õ',õ.2.@}, với toỏn từ õ' (toỏn tửa
sinh), @(toan tử huỷ) được định nghĩa như sau:
a=jJS[t+z)=|3(**z£)
2 wo? 2 wdx}
(2.2)
Ở day, ứ là tham số thực đương được đưa thờm vào dộ tối ưu quỏ trỡnh tớnh toỏn.
Dễ dàng tính được hệ thức giao hoán
[2.2 ] =ââ” =â*â =l. (2.3)
(xem phy luc 2)
Hệ thức (2.3) giúp chúng ta đưa các toán tử về dang chuẩn, nghĩa là toán tử sinh
nằm ở phái bên trái, toán từ huy năm ở phía bên phải. Từ đây về sau ta xem đó là dạng chuẩn của toán tử (xem mục 2.2).
(4 +4)
Và : (2.4)V2@
“+ = [ee =8)
dx 2
Đề thuận lợi cho các tính toán đại số sau nay, ta được biểu thức toán tử Hamilton
x=
(2.1) về dang chuẩn như sau:
ủ =1 (raat) TS |õt+(ỏ') |+ 2 |2(@a) +24'4+1|
4a 4o 40° (2.5)
A ag as\4 A+ 34 A+ A} A+ 2 a2 ,
+4 +(â*) +4(4*) â+4ã*â'+6(â ) +6â |
Bước hai: Tach toán từ Hamilton ở phương trình (2.5) thành hai thành phan
như sau:
+ Phan thứ nhất là # (@°4,A,e) chứa các toán tử trung hòa, nghĩa là các
số hạng chứa sô toán tử sinh va sô toán tử hủy băng nhau:
HOM = “S0 (2aa+i)+ 24) 2(aa)' +28'á+1], (2.6)
rmte
+ Phan còn lại là V® (4°,4,2,0).
Trong lý thuyết nhiễu loạn, ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần ẹ=l,+Ÿ dựa vào yếu tụ vật lý; trong đú thành phan A, cú nghiệm của bài toỏn dao động tử điều hòa và thành phần V được xem là nhiễu loạn liên quan đến tương
tác trường ngoài. Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn được áp dụng với điều kiện
V << A, ứng với những giá trị 4 phù hợp. Đối với phương pháp toán tử, việc tách toán tử Hamilton chỉ dựa trên hình thức của các số hạng chứ không dựa vào ý nghĩa vật ly của bài toán thé hiện ở chỗ 2 không chỉ có trong phan nhiễu loạn V mà có cả trong phần H, .Vi vậy, phương pháp này có thé áp dụng cho các dạng hệ vật lý khác nhau. Ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: phần chính
HoM (ââ.A.eœ} chỉ chứa các toán tử trung hòa nên có nghiệm chính xác mà chúng
ta sẽ dé dàng xây dựng dưới day; riêng thành phần V°"% (â*.â.4.} đóng vai tròˆ
“nhiễu loạn”. Hệ số trường ngoai 4 có mặt trong cả phần chính va phần nhiễu loạn.
Toỏn tử Hamilton khụng phụ thuộc vào tham sốứ„ nờn ứ được gọi là tham số tự
đo. Phõn chớnh và phõn nhiều loạn phụ thuộc vào tham sụ tự do ứ và ứ cú vai trũ
điều chỉnh V°" (â*.â.4.@} dé dam bao điều kiện lý thuyết nhiễu loạn Ir << |#.:
Bước ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc không bằng cách giải phương trình:
nov (4°4,A.0)|y") = FE yh. (2.7)
Toỏn từ #/” (õ*õ.A.ô} giao hoỏn với toỏn tr đ*õ. nờn nghiệm của (2.7) là:
Ll /„.\
|n(@)) = Tl )' |). (2.8)
với nghiệm cơ ban: õ(ứ) 0) =0; (0|0) =Í.
Ta chứng minh được: â*â|n) =n|n).
ầ% ae Pa (0) _ OM _l+ứ` 2 3A 2n‡+2 2
Từ đó, ta có: E\” =(n|Hý” |n) (2n+1)+ PP (2n +2n+ 1). (2.9)
oETM
Điều kiện xỏc định ứ: ——=(), (2.10)
Co
Suy ra: (2n+1)@* —(2n +1)@-6A(2n? +2n +1)=0. (2.11)
Bước bon: Phương pháp toán tử FK tim nghiệm số chính xác:
Hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng F}” có dang:
We) =[n) +56) [k). (2.12)
¡=0
tan
Ở bước bước này chúng ta có thé dùng sơ đô vòng lặp dé tinh các bộ chính bậc cao
(xem phụ lục 3).
Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau:
Ey” = Hy + ằ Cr Vụ, (2.13)
k=U,k¿n
(Ey? - Hy )Ce? =V iq + OC V (2.14)
k=0 ken
Chú ý rằng ở đây chúng ta không cần sử dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho
ỉ=l. Ngoài ra cỏc giỏ trị E/*,C“' tương ứng với cỏc bước lặp khỏc nhau chứ
không phải là bồ chính như trong phương pháp lý thuyết nhiễu loạn.
Các yếu tô ma trận viết lại như sau:
Hy =(k|Ê?" |k), V„ =(/|Ê°* |). (2. 15)
Sử dụng: a |n) = Vn I |n _ 1); a|n) = Vn\n- 1 dé tính các phan tử ma trận.
Kết quả ta có các phần tử ma trận :
3,
4ứ”
H_=_l+ứ
" 4@ (2n +1)+ (2n° +2n+1), (2.16)
sa | Gp tn 8) MOOD ` (2.17)2
4o 4a
Vo ned = " (n+4)(n+3)(n+2)(n+l) . (2.18)
Chú y các yêu tô ma trận khác không thu được có tính đôi xứng W„ =V,..
Hệ phương trình (2.13)-(2.14) có thẻ được giải theo quy trình sau: Đầu tiên,
thế C¿”' vào phương trình (2.14), khi đó ta thu được một phương trình an số E/”.
Giải phương trình đó rồi thé nghiệm E/°” thu được va Cl” ban đầu vào phương trình (2.14) để xác định C⁄“°”, Tiếp đó, ta lại thé CÍ”"” vào phương trình (2.13) và
lặp lại quá trình tính toán cho đến khi giá trị năng lượng E°” đạt được độ chính xác
theo yêu cầu. Quá trình nảy sau đó lại được lặp lại cho vòng lặp (s + 2) kế tiếp.
Bang 2.1 Phương pháp toán tử FK cho trạng thai cơ bản n =0 của dao động tử phi
điều hòa [2].
A=0.01 A=0.05 2=01 A=0.3 A=15
FLs 0.5072875410 | 0.5477040816 | 0.574999999 | 0.6689058171 | 0.9727107180
ok O.SOT2875410 | 0.5477040816 | 0.574999999 | 0.6689058171 | 0.0727107180
0.5072563014 | 0.5323777399 | 0.558838596 | 0.6373408787 | 0.8817884333 0.5072562707 | 0.5326638127 | 0.559112766 | 0.6378326682 | 0.8840817664
0.5072562023 | 0.5326424521 | 0.559151382 | 0.6380153133 | 08849480705
0.5072620492 | 0.5326424823 | 0.559146495 | 0.6379948737 | 0.8848112845 0.5072620448 | 0.5326427790 | 0.559146278 | 0.637991440M | 0.8847892918
0.5072620453 | 0.5326427553 | 0.559146329 | 0.6379917786 | 0.8847943659
0.5072620452 | 0.5326427551 0.559146328 | 0.6379918013 | 08847946861
0.5072620452 | 0.5326427553 | 0.559146327 | 0.6379917866 | 0.8847944336
Aye 0.5072620452 | 0.5326427552 | 0.559146327 | 0.6379917844 | 0.8847944198 0.5072620452 | 0.5326427552 | 0.559146327 | 0.6379917842 | 0.8847944251
ps2= 3S
26
Bang 2.2 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích =4 của dao động tử
phi điều hòa [2].
I | 4=0.01 A =0.03 A=01 A=15
4.8092999999 | 5.2078603252 | 5.8694444444 | 6.2490740740 | 12.4453125000
4.7736995554 | 5.2060800093 | 5.6861199877 62223820797 | 12.3776059956
47747285026 | 5.2051664217 | 5.6967910549 | 6.2199718947 | 12.3574329062 4.7749316376 | $.2051386595 | 5.7021291564 | 6.2202679913 | 12.3556586805
47749139015 | 5.2051516636 | 5.7011304336 | 6.2203200633 | 12.3576222919
27
0506. „.
yy
FF n=02=001 ` Ễ
ỹ 05041: _— PPuántfFK
iu ~==- PPI thuyét nhiều loan 3
0.502 — PPtoantirFK
~~-- PPlýthuyết nhiều ke
0,500 —————+t—:r— °%—2—4—§ § 10
Vong kaps Vong laps
1.5;
fy 1.0: A |
| Q§ 3 | À<<06@1 Ft
00! n=0 2.=01 ‘|
-_— WtántK |
~==ô PPIý tuyết nhiều kart
®%—?—2—§ 8 10
Vong laps
Hình 2.1 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi điều hòa ứng với trạng thái cơ bản „=0. Phương pháp toán tử ứng với trạng thái cơ bản cho kết quả hội tụ tốt hơn phương pháp lý thuyết nhiều loạn. Ứng với các giá trị khác nhau của 2 phương pháp toán tử đều cho kết quả hội tụ. Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn chi cho kết quả hội tụ với 4 nhỏ, với giá trị 4=0.1 tuy van còn nhỏ hơn giới hạn nhiễu loạn các bộ chính bậc ba trở lên đã cho kết qua sai.
Với A>0.3 lý thuyết nhiễu loạn không còn phù hợp nữa trong khi phương pháp toán tử vẫn cho kết quả hội ty tốt.
48° > hủ
L 6- H \
L + h H
N SL fTẵ , À<<0.146 E sree a 7q
h f A<0146 Aft
Ð 4oịj 40-0088 | Š | n=4A=0WB |
;ÿ_—— IftántrEK —— PPuánafK Ũ
ie rr rr § 8# T1 9243 6 § 1%
Vùng laps Vong laps
Hình 2.2 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi điều hỏa ứng với trang thái kích thích n =4. Lý thuyết nhiễu loạn cho kết quả hội tụ với giá trị 2 = 0.01. Với 2 rất nhỏ 2 =0.03 lý thuyết nhiều loạn đã cho kết quả phân kì. Phương pháp toán tử ứng với các giá trị 4 khác nhau vẫn cho
kết quả hội tụ.
Bang phương pháp toán tử, ta tìm được nghiệm chính xác cho giá trị 2 bất
ki, khụng chi trạng thỏi cơ bản mà cho ca cỏc trạng thỏi kớch thớch ứ. Nghiệm chớnh
xác và hội tụ đến 10 chữ số thập phân sau dau phây. Mặc dù tham số tự do được chọn chưa phải tối ưu, ta thấy nghiệm thu được có tốc độ hội tụ cao. Như vậy, ta thấy phương pháp toán tử FK cho ta nghiệm chính xác bằng số với giá trị tham số nhiều loạn bat kì. Đối với bài toán dao động tử phi điều hòa, sơ đồ vòng lặp cho kết quả hội tụ về nghiệm chính xác nhanh hơn dùng thuyết nhiễu loạn đề tính bỗ chính
năng lượng và tài nguyên tính toán cho mỗi bậc vòng lặp ít hơn so với mỗi bậc
nhiều loạn. Từ truớc đến nay, trong các công trình áp dụng phương pháp toán tử FK
thì sơ đồ vỏng lặp được mặc định sử dụng mặc dt chưa có tuyên bố nảo về Sự so
sánh giữa hai sơ đồ. Trong luận văn này tôi sẽ sử dụng sơ đỏ vòng lặp dé giải bài
toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường.
2.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử, phân tử
`Khi áp dụng phương pháp toán tử FK đề giải một bải toán hệ nguyên tử, phan tử cụ thé cần lưu ý một số van dé sau:
(a) Biến động lực ở mau số: bước đầu tiên dé áp dụng phương pháp toán tử là đưa toán tử Hamilton của bài toán đang xét về các toán tử sinh hủy. Việc biểu diễn qua các toán tử sinh hủy được thực hiện một cách dễ đảng khi toán tử Hamilton có dang đa thức của các biến số động lực. ví dụ như bài toán dao động tử phi điều hòa.
Tuy nhiên, đối với các bài toán về nguyên tử, phân tử thì các số hạng biểu diễn
tương tác Coulomb đều chứa phan tọa độ ở phía mẫu số, một số trường hợp các biến động lực này còn nằm trong dấu căn, gây khó khăn trong việc đưa toán tử
Hamilton về biểu điền đại số. Dé vận dung cho các bài toán hệ nguyên tử khi tương tác Coulomb có biéu thức tọa độ nằm ở mẫu số ta có thê sử dụng phép biến đôi
Levi-Civita [2], [10] hay Laplace đã được áp dụng trong công trình [7].
Phép biến đôi Levi-Civita hay còn gọi là phép biến đôi tuyến tính bình
phương được định nghĩa như sau:
x=u°-y
| y=2uv 2.19
cho phép chuyên đổi từ không gian hai chiều (x;y) sang không gian hai chiều (u,v). Trong phép biến đổi này khoảng cách trong không gian (x;y) được đưa về
bình phương khoảng các trong không gian (⁄;v) theo công thức:
r=\|x`+y? =uˆ+vẺ, (2.20)
phép biến đồi tọa độ này có Jacobien khác | như sau:
dxdy = 4(wˆ + v°)duan. (2.21)
Vi vậy Jacobien sẽ xuất hiện như là một trong số trong công thức tích vô hướng của
hai vecto trạng thái khi chuyên từ không gian (x,y) sang không gian (u,v). Điều
này có nghĩa nếu toán tử K nào đó là hermite trong không gian (x,y) thì toán tử K =4(u°+vŸ)K sẽ hermite trong không gian (w.v). Chính vì vậy dé cho bảo toàn tính hermite cho toán tử Hamilton qua phép biến đổi (2.19) ta cần viết phương trình
Schrédinger lại như sau:
30
r(H —E)W(r)=0. (2.22)
Trong không gian (w,9) phương trình này trở thành;
H W(u.v)=ZW(u.v). (2.23)
Ta thấy trong phương trình (2.23) có sự đổi chỗ của Z và E với vai trò trị riêng.
Năng lượng E không còn là trị riêng nữa mà nó đóng vai trò như một tham số.
Trong khi đó Z trở thành trị riêng của phương trình (2.22).
Công thức phép biến đôi Laplace được biểu điển như sau:
a (2.24)
Đây là phép biến đôi trực tiếp đưa biến động lực lên ma không cần phải thông qua
một biến hình thức nao khác, mặc du khối lượng tinh toán ban dau sé tăng lên đáng kê so với việc sử dụng phép biến đôi Levi-Civita. Phép biến đôi Laplace sẽ được áp
dụng cho bài toán trong luận văn này.
(b) Dạng chuẩn của toán tử sinh hủy: dạng chuẩn của toán tử được định nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu thức, toán tử sinh luôn vẻ phía bên trái của biéu thức và các toán tử trung hòa ở
giữa. Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc
tính toán trong các bai toán chứa nhiều loại toán từ được dé dang hơn rất nhiều.
Thue vậy, khi biểu biến tat cả trạng thái qua trạng thái cơ bản |O(@)) thi loi dung
tinh chat a\0(@)) =0, ching ta sẽ biểu diễn tat cả trạng thái còn lại qua biểu thức
chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng.
Trường hợp các toán tử sinh, húy với số mũ lũy thưa: ta chi can áp dung công
thức giao hoán tử: [4*.¿] =â*â-ââ* =1= ââ* =1+ â*â, thì có thé đưa toán tử về
dang chuẩn thường được áp dụng khi các biêu thức toán tử có dạng như các đa thức.
31
Vi dụ: Đưa toán tử 4? (a) về dạng chuẩn. Ta có:^
Trường hợp hàm e mũ của các toán tứ sinh, jaiy: khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khó khăn. Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuân sẽ có bậc lũy thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đôi
khác như dưới đây.
Vị dụ: £Ê “4
` . a + . # a al a ` a h , ;s. A A ` J‹ a
Vi ta có hệ thức giao hoán lb Gi | =1 nên từ đây các toán tử đ, a" và số một tạo
thành một đại số kin. Như vậy ta có thé viết:
t(ọ*~õ|
e\ eh OF @MOgs92~ F(t). (2.25) Tìm các ham số f(r), g(t), h(r) theo các bước sau:
Bước một: Lấy đạo hàm hai về của (2.25) theo ¢ rồi nhân cho F7! (:) vả thu gọn các số hạng ta được:
â*+â= ƒ (t)â' +h'(t)+ g'(r)e (5 ae". (2.26)
Bước hai: Sử dụng công thức:
Abe = bs[A6]+—[4[AB]}+—[4[4 [48] ]} +... (2.27)
Ta có: ef OF Ge SO =â+/()|£'.â]+-.=â-/(9)-
Suy ra
â'+â= Ƒ'(r)£' + e')(â- £0))~*'()= SF (Oe xe '(t)â+B'(t)—#'(r) f(r). 2.28)
Bước ba: Đồng nhất hai về của phương trình (2.28), ta có hệ phương trình:
(gl
g'(t)=1 .
'(t)—9'() F(t) =0
Giải hệ này kết hợp với điều kiện ban dau,ta được:
f(t)=t
g{r)=t.
_
h{t)= =()=5
Nhu vậy dang chuân của ane a) là: at cà giả of 2 (2.29)
(c) Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở: đây là một trong những bước quan trọng đẻ
áp dụng phương pháp toán tử. Nghiệm chính xác của bai toán được biéu dién qua bộ hàm này với các yếu tô ma trận tương ứng, sau đó áp dụng sơ đồ thích hợp ta sẽ thu được nghiệm số chính xác. Đề xây dựng được bộ hảm sóng cơ sở thuận lợi cho quá trình tinh toán và có ý nghĩa vật lý, cần dựa trên ba yếu tô.
Thứ nhất, hàm sóng cơ sở là nghiệm riêng của phan chính /?,: vì toán tử
nay chỉ chứa các toán tử trung hoa nên nên bộ ham sóng cơ sở cũng chính là ham
sóng của đao động tử điều hòa.
Thứ hai, tính đối xứng của bài toán: dé đảm bảo ý nghĩa vật lý của bộ hàm sóng cơ sở. Đối với hệ chuyên động tự do trong không gian ba chiều sẽ có tinh đối xứng câu, khi đó bình phương moment động lượng qui đạo L? là một đại lượng bảo toàn. Trong trường hợp hai chiều, néu hệ chuyển động tự do hoặc chịu tác dụng của từ trường vuông góc với mặt phang chuyên động Oxy thì sẽ có đối xứng quanh trục Oz, khi đó hình chiều moment động lượng qui đạo lên trục Oz bảo toàn. Như vậy, dé đảm bảo tính đối xửng của hệ vật lý, ta chọn bộ hàm sóng cơ sở đồng thời là ham
33
riêng của đại lượng bảo toản, trong trường hợp hai chiều là 2. vì toán tử 2. là đại
lượng bảo toàn.
Thứ ba, biéu thức tường minh của toán tử Hamilton: để sử dụng được bộ ham sóng cơ sở khi tính toán các tác dụng dé tìm các yếu t6 ma trận của toán tử Hamilton, một yêu cầu cơ bản là các số hạng có mặt trong toán tử Hamilton khi tác dụng lên hàm sóng định nghĩa phải trả về đúng dạng đã định nghĩa, với số trạng thái cùng hoặc khác trang thai ban dau. Do đó. trong quá trình tinh toán, thay vì sử dụng các toán tử sinh hủy cơ bản đã định nghĩa ban đầu để xây dựng hàm sóng, ta chọn các tô hợp tuyến tính thích hợp của các toán tử này. Những điều kiện này sẽ được
áp dụng đê xây dựng hàm sóng cơ sở cho bài toán của luận văn.
(d) Cách chọn tham số tự do w để tăng tốc độ hội tu của bài toán: Một trong các van dé quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử FK đó là vai trò của tham số tự do, Tham số nay được đưa vào khi biểu dién các biến số động lực qua các toán tử sinh hủy. Chúng ta gọi là tham số tự đo vì thực chất toán tử Hamilton của hệ khụng phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này. Tuy nhiờn, tham số tự do ứ đúng vai
trò đặc biệt quan trọng trong phương pháp toán tử FK do độ chính xác của nghiệm
gan đúng phụ thuộc vào việc chọn lựa œ. Ngoài ra khi tính chuỗi các bé chính vào nghiệm dé thu được nghiém chinh xac bang số, tỐc độ hội tụ cũng phụ thuộc rất lớn vào giá trị @. Chúng ta có thể chọn tham số tự do từ điều kiện (2.10) hoặc từ điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn:
(yw youyomu wry”
y'? H"|w“
/ỉ`(œ)= +]. (2.30)
Ngoài ra, khi giải bài toán bằng phương pháp toán tử FK, ta có thé sử dung sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hay sơ đỗ vòng lặp. Đối với bai toán dao động tử phi điều hòa sơ đồ vòng lặp tỏ ra chiếm ưu thé hơn. Nhưng chưa có kết luận cụ thé về việc so sánh hai sơ đồ. Vậy việc chọn lựa sơ đồ có ảnh hưởng gì đến quá trinh tính toán cũng như kết qua bài toán không? Đây cũng là một trong những van đè cần được
nghiên cứu.
34