Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Một số nghiên cứu về môđun các thương

MỘT SỐ NGHIÊN CUU VỀ MODUS CÁC THƯƠNGGSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRI MỘT SỐ QUY UGC VÀ KÝ IHIỆU + Các vành hệ tử được ký hiệu bát các chữ in hoa A, B,C, DLE + Các tđéan của chúng được ky hiệu

1¬ ,

BO GIAO DUC — DAO TAO

ERƯỚNG DALHOC SU PHAM FP.HCM

KHOA TOAN

KHOA LUAN TOT NGHIEP

Chuyén nganh: FOÁN DALSO

Giáo su lở ng dan: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRI

Sinh viên thuức liện: LF LAI BAO THIÊN TRUNG

=>

THANH PHO HO CHÍ MINH

Š - 2000

tin chan ĐfnuHÊt cư on Thay TSN Uy Oth Quang dé uhi¢t

liek qiap A® va tang tiêm em teoug suet qua brink hoe dae Biệt la

qua trials Mare liệu khéa luận.

Cia chau thimble ean on Quay Thay: TS Fran Hayéu, Fran

Weng va các thay có thuộc te Dai So tin tink giảng day cung

eon wot aluing nan Dai Hee.

Ohi think can ou Qj Thy Ob trong Ban ui uhigon khoa

Foun tao moj điển kiện thadn loi cho cẩu ng em hoe tập va phan

dau.

Qin chan think eam on Thiy Aquyén Ai Quốc “Trường

27 T1 (luyent Le Hdug Dhong dé giáp dé tai liệu nghién eta.

Din hay té lòng biết on đời obi Qua “Thủy, C6 thuộc khoa

Fon vt Thi “tiện Bai Hoe Su Pham TP.FOCM tin tink truyền dat kiểu Unie cứng duc các hd trợ bduie cho em trong tuốt quá teinh hee.

Hin com on tường ban hoe khod 96, nÍtững người dé cùng tỏi

hoe tập trừ aghiéu eta.

TD.FOM thing 5 nam 2000

Lé Thai Bao “hiểu Trung

4.44449494499099

Mục Lục

Trang

Một số quy ước và ký hiệu 1

Chương I: Các kiến thức co ban về vành va

modun 2

I Vanh 3

Il Môđun 4 Ill Tich TenXo s

IV Môđun det 9

V Môđun Note va Môđun Artin 11

VI Vanh các thương 13

VII Môđun các thương 17

VIII Tính địa phương 21

Chương II: Một số nghiên cứu về médun các

thương 23

I Médun các thương của médun det 24

Il Médun các thương của médun Note

và môđun Artin 25

Ill Médun các thương của médun không

xoắn và médun chia được 27

IV Môđun các thương của m6dun nội xạ 28

V Một nhận xét về vành hệ tử A và tập

con nhân S 3o

Tài liệu tham khảo 32

MỘT SỐ NGHIÊN CUU VỀ MODUS CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRI

MỘT SỐ QUY UGC VÀ KÝ IHIỆU

+ Các vành hệ tử được ký hiệu bát các chữ in hoa A, B,C, DLE

+ Các tđéan của chúng được ky hiệu bai các chữ a, B, oy.

+ Các môđun duc ký hiệu bơi các chứ in hoa M,N.P,X, Y

+a idéan của vành A, ký hiểu at A

+ tac A ky hiệu <a > là dean cua \ sinh hới phan Wa.

+ Vae A, ký hiệu a’! là phan tư Kha nghịch của a (aa ' =1)

+ TLTK fi}: tài liêu tham khao [1]

(xem trong phân tài liệu tham khảo)

SVTH: LÊ THALWAO THIEN TRUNG Trang |

MỘT SỂ NGHIÊN CUU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

CHUONG |: CÁC KIEN THỨC CƠ BẢN VỀ

VÀNH VÀ MODUN

.~«o€]o -Trong chương I, ngoài việc nêu và chứng minh các kiến thức cơ

bản, chúng tôi đặc biệt chú ý đến những kết quả vẻ:

+ Tích tenxơ: "cho M, P lần lượt là A, B môđun: N là (A,B)

môđun => (M®, N)®,„ Pz>M®, (NG@¿, P) " (mệnh đề 1.3.3)

+ Médun det: * f: A> B là đồng cấu vành, M là A médun det

=> Mụ =B@,M là B môđun det” (mệnh dé 1.4.2)

Hai kết quả này được nêu trong TLTK | 1|, nhưng không chứng minh.

+ Vành các thương: chúng tôi nhận xét được "nếu tập con nhân S *

chứa các phan tử khả nghịch thi A = SA” (ví dụ 1.6.6)

+ Môđun các thương:

-Từ mệnh dé 1.7.5 "§SÍM z§ A®AM (A médun)”, được nêu và chứng

minh trong TLTK [1] Chúng tôi còn nhận xét được “§''M đẳng cấu

S”A môđun với S'A@,M” (nhận xét 1.7.6)

- “S'M@s', SÌN = §!(M@N)" (mệnh để 1.7.8) nêu trong TLTK [1|

nhưng không chứng minh

Chúng tôi cố gắng chứng minh chỉ tiết các kết quả chú ý này vì chúng

rat cần thiết cho việc nghiên cứu về môđun các thương sau này.

MÔ ¡ SẼ NGHIÊN CỨU VE MODUN CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BUI TƯỜNG TRI

I Vành

Dinh anghia ltd

Vành Ali môi tập với hai luật hop thành gọi là phép nhân và phép

công tương ứng, được viết như tích và tổng tương ứng và thỏa mãn

các điều kiện sau:

V1 Đối với phép công, A là mot nhóm Abcn,

V3 Phép nhân kết hợp (A là nửa nhóm nhân).

V3, Vase ALIN + ys = X/*# YZ VÀ /(X+y)#/AX+⁄y

(các he thức này được goi lù tính phan phối).

e Vành A là giao hoán, có đơn vị nếu nửa nhóm nhân A là giao

hoán, có đơn vị Í

e Vành A là miền nguyễn nếu A có đơn vị, giao hoán và tích hai

phán tử khác không là khác không.

Dink nghĩa 11.2

Idéan trái a của vành Á là nhóm con của nhóm công A sao cho

Aa € a, Khi định nghĩa idéan phái, a đòi hỏi aA ca

Idéan là nhóm con đồng thời là iđ€an trái và phai.

e Néu vành A giao hoán thì idéan là idéan trái hoặc phải

s® Nếu vành A có đơn vị 1 thì điều kien iđêan trái Aa = œ

và phải œA =ơ

Định nghĩa l 1.2b

Cho A là vành giao hoán có đơn vị,

Idéan œ được goi là iđêan chính của vành A nếu œ sinh bởi một phan

tỪace A.a=<a>={ar:re A}

Định nghĩa 1.1.2

Miền nguyên A được gọi là vành chính nếu mỗi idéan của A là iđêan

chính.

Từ day các vành xét trong khóa luậ n là vành giao hoán có đơn vị

trừ khi có điều nhấn mạnh ngược lại.

SVTH: LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Trang +

MỘT SỐ NGHIÊN CUU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Dinh nghĩa lols

“ '

+a là idéan nguyên tổ của vành A ký hiểu acd,

nếu œ# A & Vx,y£ Ao xyeu = vou lay V€Ư,

+P la iđêan tối đại của vành AL ký hiệu BoA.

nếu # A, Wys A: c y—+=B huy y= A.

1, Mọi iđêan tối đại là iđêan nguyên tố.

2 Mọi idéany # A đều chứa trong một idéan tối đại

Il Mô đun

Định nghĩa 1.2.1

Nhóm cộng giao hoán M là A modun nếu trên M ta xác định một

phép nhân các phan tử của A với các phan tử của M (AxM > M ),

tích của ae A và meM được ký hiệu am, hơn nữa phép nhân thỏa bốn

tiên để :

MI: lm=m

M2: (ab)m=a(bm) Va.be A: Vme M

M3 : (a+b)m= am + hm VW a,be A; Vme M

Má : a(m + n)= am +an Yue A; ¥m,neM

SVTH: LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Trang 4

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG Tal

Định nghia 1.2.2

Cho M là A médun va Ne A,

N Gn định với hai phép toán trên M nếu AN+ AN CN.

Khi đó, N cùng với hai phép toán trên lập thành cấu trúc A mỏđun ,

Ta goi N là médun con của M Ký hiệu N aM.

Phép nhân: a(m+ N)= am +N V ae A; VmeM

Môđun Mà gọi là môđun thương của M trên A.

Mệnh dé 1.2.5

M là A môđun và NaM,

Tập hợp Ann(N) = { aeA /aN= (0) } là một iđêan của A.

II Tích tenxơ của các mô đun

Định nghĩa 1.3.1

Cho M, N là các A môđun, tổn tại một cặp (T, g) gồm một A môđun 17

và ánh xa song tuyến tính g: MxN —>T với những tính chất sau :

i) Có tính chất phổ dụng đối với mọi ánh xạ song tuyến tính

(: MxN-> P Nghĩa là tổn tại duy nhất một đồng cấu f' :T-› P

sao chof=fg.

ii) (T, g) là tổn tại và duy nhất chính xác đến một đẳng cấu

T được gọi là tích tenxơ của M và N ký hiệu T=M@, N.

MO? &Ố NGHIÊN CỨU vi: MODUN CÁC THƯƠNG

Dễ dàng kiểm tra f là hàm song tuyến tính

=> 3h: M@®N—> N@M sao cho h(m®n) = n®m (định nghĩa 1.3.1)

Tương tự 3g: NOM — M@N và g(n®m) = m@n

Do h.g và g.h là các đồng cấu đồng nhất (vì chúng đồng nhất trên các

phan tử sinh) = h=g' > đ.p.c.m.

ii) Có thể xem ii) là trường hợp đặc biệt của mệnh dé 1.3.3

ii) Có thể sử dụng 3 tính chất đặc trưng của tổng trực tiếp:

Gọi jm, PM jn về pw lần lượt là các phép nhúng và chiếu '

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MÔĐƯN CÁC THƯƠNG

GSHĐ: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRE

iv) Anh xa AxM > M sao cho (a.m) > am, là song tuyến tính

=> 3! đồng cấu [: A@M > M sao cho f(a®m) = am

Dễ dàng nhận thấy f là toàn cấu

Vx=Ea,@®m, € A®M => x = ~Ì©a,m, = !®(Xa,m,)

=> f(x) = Laim, vậy nếu I(x) =0 = x = 1@0=0

=> [ đơn cấu

Vậy ta có đ.p.c.m

Mệnh dé 1.3.3

Cho các vành A, B; M là A médun; P là B môđun va N là một (A, B)

song môđun (nghĩa là, N vừa là A médun vừa là B môđun; hai cấu

trúc này hòa hợp theo nghĩa a(xb) = (ax)b VxeM, VaeA, VbeB).

Khi đó :

M®, N còn là B môđun và N @, P còn là A môđun

Và hơn nữa : (M®, N)@, P=M®, (N®, P)

Chứng mình

se M®, N là B môđun với phép nhân từ vành B vào M®, N được

định nghĩa bởi: bx = 2m; @bn; ; Vx = Im, ®n,e M@, N, Vbe B.

Dễ dàng kiểm tra phép nhân trên cùng với phép công thỏa các tiên để

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MÔĐUN CÁC THƯƠNG;

GSHD: PGS.TS BÙI FƯỚNG TRÍ

+®V/eP; ảnh xa h,:N _yN®@,, P là một C đồng cấu vì :

y—= y@/¿

Vy,yvaeN.Vc,.c,eC:

h,(€jYy + E2V I S(CY, +csy„)@2 =cụy, Or 4 e,y; Or

=t¡(y, 9Z)+c;(y; Oz) =c,h, (y+ Eph, (yz)

Như ta đã biết ánh xa này là môt A đồng cấu

Hơn nữa, nó còn là B đồng cấu.

That vậy, do g, là A đồng cấu nên ta chỉ cần kiém tra:

Vbe B, VI = x@ye M@ẠN, g,(bU = bgt):

g,(bL) = g;(x@by) = x@(by@z) = x@b(y@z) = b[/x@(y@z)| = bg,(t)

+ Xây dựng ánh xạ 8 (M@, N)x, P—>M®, (N@, P)

sao cho Ô(x9y,z) > g, (x By) =(1Oh,)(x@ y) =x@Q(y@z)

là một ánh xa B song tuyến tính vì :

v\,U là các phan tử sinh của M@ẠN; Vze P

0(t+t,Z) =g, (t+t)=g, (th+g, (U) = O(t,z) + 6(U,Z)

với \ =x@y; V7¡, ze P ta có:

(t4 +22) =B, ,(0=X@h, „ (y)=x@(h,(y)+h, (y))

=x@h, (y)+x@h, (y)=0(t.z,) + 9(t.z›) én

vhe B,Ø(ht,z) =g, (bt) = bg, (t) = bÖ(t,z)

Hit bz) = g,, (0) =x Oly @ bz) = h(x @(y ©z)) = bA(L,z):

Vậy theo định nghĩa 1.3.1 tổn tại B đồng cấu

ọ_ (M@,N)®,P->MG@, (N@, P)

(x®y)®z>x®(y®z)

SVTH: LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Trang 8

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VE MODUN CAC [HƯƠNG

GSHD: PGS.TS BUI TƯỚNG TRI " "

Có thể trang bị cho B cấu tric A modun như sau :

phe) nhân từ A vào Be Yac\, TheB ab=i(a)bc B

Dé dàng kiểm tra phép nhàn cùng phép cong trên B thỏa mãn các

tiến để módun

SVTH: LE THÁI BẢO THIEN TRUNG Trang"

MOT SỐ NGHIÊN CUU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRI

Nếu g:M' > M"' là B đơn cấu bất kỳ,

theo mở rong trên g cũng là A đơn vĩu

M là A modun det kh và chỉ khí tích tenxd cua M với một A moédun

det bất ky là một môđun det

SVTH: LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Trang 10)

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

Chứng mình

<=) Cho M là A médun bất kỳ sao cha M@N là médun det với mọi N

là A môdun det Chứng nình M là det:

Ƒa có AL A médundet = A@M là A mdédun det

mà A@M=M

=> M la A médun det

=>) Cho M,N là các A môđun det.

Chứng minh M@N là A môdun det

Giả sử [: K—> P là đơn cấu

Cho tập hợp £ với quan hệ thứ tự “s" trên £.

Các điều kiện sau là tương đương :

i) Mọi chuỗi tăng các phan tử của Ex, x25 là hữu hạn

(nghĩa là 3n: x„ =X„„¡ = ).

ii) Mọi tập con khác rỗng của E đều chứa một phan tử tối đại

Chứng minh

i) = ii)

Nếu tôn tại tập con T khác rng của © không chứa phan tử tối đại, thì

ta có thể lấy từ # một chuỗi tăng nghiêm ngật các phan tử không bao

giờ kết thúc Điều này trái với ¡)

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

e Xót Ð là tập hợp các môđun con của một A ¡.2đun M cho trước Ta

có các định nghĩa:

Định nghĩa !.5.2

Môdun M là môđun Note nếu M thỏa man một trong hai điều kiện

tương đương của mệnh để 1.5.1, khi xem quan hệ ”€” là quan hệ thứ

tự ”<".

Định nghĩa 1.5.2

Môđun M là môđun Artin nếu M thoa min một trong hai điều kiên

tương đương cũa mệnh dé 1.5.1 khi xem quan ae “>” là quan hé thứ

=>) ChoM là môđun Note, VN 4M lấy a, eN nếu N#<a, >= 3a, eN

mà a, £< a, > Tiếp tục quy nạp ta tìm được một chuỗi tăng nghiêm ngặt

các môđun con của M chứa trong N:<a, >C< â,,a; >C<a),8,,a, >C

Do M là Note = tập các nôđun con đó chứa phan tử tối đại <a,,a3, ,a, >

sao cho N =< a,,a;, a, > => N hữu hạn sinh.

=)M, cM;c là một chuỗi tăng các môđun con cũa M.

Đặt N=| J” .M„ 4M.

Theo giả thiết N hữu hạn sinh, giả sử N = < a;/a, a, >, rõ rằng a, EM

Vi = l/2, ,r.Chọn m= max/ n, >a, eM„,Vi =12, ,rN=M„

mà VM, © N =M,, va M,, S Must = M wie? Gu

=> My =M„,„¿ =Mụ,; = -~

= Chuỗi trên là hữu hạn

SYTH: LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Trang 12

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRI

VỊ Vành các thương

Định nghĩa 1.6.1

Cho A là miễn nguyên

Xét tập tích AxA’ = {(a,s) ae Avs #0!

Một quan hệ T giữa các cập trên AxA :

(as) x (hl) oo at-hs = 0)

Dễ dang kiểm tra đây là quan hé wing đương.

Xây dựng :

Tập thương AA =A* A4 là một trường,

với phép toán công và nhân được định nghĩa :

Để để liên tưởng ta kí hiệu : a/s=(as)eA'A

a/s+b/t = (at+bs)/st

a/sx bít = ab/st

Goi là trường các thương của miền nguyên A.

© Cách xây dựng trường các thương của một miễn nguyém là sự mở

rộng cách dựng trường số hữu tÿ Q từ vành số nguyên Z

Định nghĩa 1.6.2

Cho A là một vành và S là tập con nhân của A chứa 1

Xét tập tích AxS= {(a,s)/a,se A, se S }

Một quan hệ T giữa các cặp trên AxS :

(a,s) ~ (b,Ù <> 3ueS : u(at -bs) = ()

Đây là một quan hệ tương đương vì :

Tính phản xạ và đối xứng của T là dễ thấy, ta kiểm tra tính bắc cầu :

Giả sử (a,s) ~ (b,t) và (b,0) ~ (c.u)

=3v,we S: v(at - bs) =0 và w(hu - ct) =0

=> vwu(at - bs) = 0 và vws(bu - ct) = () => vwt(au - cs) = 0 với vwte S

=> (a,8) ~ (C,u)

Xây dựng :

Tap thương S'A =Â* 3 là một vành có đơn vị 1/1 với các phần tử,

phép toán công và nhân được ký hiệu và định nghĩa tương tự trong

định nghĩa 1.6.1, gai là vành các thương cũa vành A đối với §.

SVTH: LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Trang 13

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRi

e« Nếu 0e S §”'A chỉ chứa mỗi phan tử (/l.

Từ đây ta chỉ quan tâm đến những S không chứa 0.

« Va/seS”!A,VLeS tacó: a/s=al/st.

« Xét đồng cấu vành : f: ASA

a —> a/I

Trong trường hợp tổng quát, { không là đơn cấu.

Mệnh đề 1.6.3

Với mọi đồng cấu vành g : A > B sao cho g(S) khả nghịch trong B;

khi đó lổn tại duy nhất một đồng cấu vành h : SA —> B sao cho g =

hí | J

À ny SA

B

Nghĩa là: f là vật đầu trong phạm trù C gồm :

-Các vật là các đông cấu vành g : A -> B sao cho g(S) khả nghịch với

Nếu 3h thỏa điều kiện đầu bài :

Va € A:h(a/1)= h([(a)) = ga)

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

GSLD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRI c

a/s = a7x => Jue S:u0(as=a`š) = 0 > g{u0(av'=+ x0 | = 0

=> p(w) g(a) ts ! = ga )£(S)| = 0 = p(1)#(š!= ee gts)

=> pags) ” = pa Ig(sỶ y= hta/sp=hla'/s)

+ Dễ kiểm tra h là đồng cấu vành,

iii) Whe B= Jae A,3se§:h = gtá)g(s) |

Thì h - S''A—> B mà g = hf là dang cẩu

Cluàng minh

Theo 1.6.3 Va/se S”A, h(a/s) = g(a)g(s) `

Từ iii) = h là toàn cấu.

Nếu Wa/seS'A,h(a/s) = g(a)z(s)"” = 0 = g(a) = 0 theo in) = a/s =0

=> h là đơn cấu.

Vậy h là đẳng cấu

® Ta xét vài ví dụ đặc trưng về tập con nhân S

Wae A nếu f(a) =0 = a/l => 3s e S : as = 0 (l)

Ta thấy [la đơn cấu nếu (1) > a=U.

Khi đó, có thể xem A như môt vành con của S !A.

Ví dụ 1.6.6a

Cho vành A và § là tập các phan tử khả nghịch của A,

Dễ kiểm tra S là tập con nhân

=[:A = § 'A là đơn cấu.

Hơn nữa, Va/veS ÌA,a/s = ax” / =f(as Ì) > f là toàn cấu.

SVT¿1: LE THÁI BẢO THIEN TRUNG Trang 15

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Vay (1a đẳng cấu : A SA.

Ví dụ I.6.6b

Nếu A là vành địa phương có aaA và S=A\a, Vse S= s khả nghịch

(nếu trái lại thì s sẽ sinh ra mot idéan thực sư không chứa trong a, là

điều không thể được) Dé kiểm tra S là tap con nhân

Tương tự ví dụ 1.6.6a, ta có Az SA

+ Giả sử : 3M aA, và L c M nếu L # M => 3a/s eM nhưng a/s £ L

=agp,Vx/Le A, => x/t= xas/tas = (xs/ta)(a/s)@ M ( Dowe §).

Vay M=A,.

Cho vành A và $ là tập con nhân của A.

J(A) là tập các iđêan trong A.

Xét ánh xa:

®,:J(A) — J(S"'A) với © (a) = Sa

Trong đó Sˆ'œ = {a/s: a e œ.s e S}

Dễ dàng kiểm tra rằng Sa <4 S”A,

Ta gọi S lœ là idéan các thương của iđêan ơ.

SVTH: LÊ THÁI BẢO THIEN TRUNG Trang 16

MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MODUN CÁC THƯƠNG

©=)Va/xeS ‘aos f= HN = b/t vdtac ứ và bị fics 3u € Š: (¡4< bé} = 0

=> ual = ubs <9 0x € ứ và ubse |} d/x = uat/ust = ubs/ast 6 §Z!(œ op).

VH Mô dun các thương

Dinh nghia 1.7./

Cho A là vành, M là A môđun và S là tập con nhân của A Nếu thay

vành A trong định nghĩa 1.6.2 bằng môđun M ta được tập

§”`M = {m/s=(m,s):m € M, se SÌ.

-Với phép cộng : m/s+n/t = (mt + ns)/st => ( S“'M ,+) là giao hoán.

- Phép nhân từ: SA vào §”ÌM

Va/te§”'A,Vm/seS§”`M,(a/U(m/s) = am/ts

Dễ dàng kiểm tra phép nhân và phép cộng trên thỏa mar các tiên

của một mô đun.

Kết luận I: S'M là một SÌA médun.

-Phép nhân từ A vào S'M: Vae A, ¥m/se §”M,a(m/s)=am/s.

Kết luận 2: dễ kiểm tra SÌM là một A môđun.

S'M gọi là môđun các thương của M đối với S.