Môđun noether và môđun artin

lời cảm ơn Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận: “Môđun Noether và môđun Artin” cùng với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, em đã nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của T

lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận: “Môđun Noether và môđun

Artin” cùng với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, em đã nhận được sự hướng dẫn và

giúp đỡ tận tình của Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga, đồng thời em cũng nhận được

sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên khoa Toán

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn-Thạc Sỹ Nguyễn Thị

Kiều Nga đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của

mình

Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và

các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận

này

Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế Hơn nữa do lần đầu tiên làm

quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót Em

rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn để khóa

luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Đào Thị Huê

Lời Cam Đoan

Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu

cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo- Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga Trong quá

trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục tài liệu tham

khảo

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng

em và nó không trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Đào Thị Huê

Mục Lục

Lời mở đầu 1

Chương 1: Môđun 2

1.1 Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun con 2

1.2 Môđun thương 6

1.3 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun 8

1.4 Tập sinh, tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở của môđun, môđun hữu hạn sinh 10

1.5 Định nghĩa đồng cấu môđun, điều kiện tương đương 11

Chương 2: Dãy khớp 16

2.1 Định nghĩa dãy khớp, dãy khớp ngắn, điều kiện tương đương 16

2.2 Một số tính chất dãy khớp 17

2.3 Dãy khớp ngắn chẻ ra 18

Chương 3: Môđun Noether Và Môđun Artin 20

3.1 Iđêan trên vành giao hoán 20

3.2 Môđun Noether 25

3.3 Môđun Artin 34

3.4 Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether 41

3.5 Mối quan hệ giữa môđun Noether và môđun Artin 47

3.6 Một số bài tập 52

Kết luận 58

Tài liệu tham khảo 59

Lời Nói Đầu

Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong toán học Nó góp phần

thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại Ngày nay nhu cầu học hỏi toán học nói

chung và môn Đại số nói riêng của sinh viên khoa Toán ngày càng tăng Tuy nhiên

để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về cấu trúc

đại số

Ngày nay người ta coi đối tượng chủ yếu của Đại số là các cấu trúc đại số

như: nhóm, vành, trường, môđun, … Trong đó môđun là một trong những khái

niệm quan trọng nhất của Đại số hiện đại

Chính vì thế em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Môđun Noether và

môđun Artin” với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại

số và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

Nội dung khóa luận gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của môđun như:

môđun con, môđun thương, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các

môđun, đồng cấu môđun,…

Chương 2: Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của dãy khớp như:

dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp ngắn chẻ ra,…

Chương 3: Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của môđun

Noether và môđun Artin

Trong quá trình thực hiện đề tài ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận

được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga và sự quan

tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán Em xin gửi lời cảm ơn chân

thành đến các thầy, các cô

Mặc dù có cố gắng song do hạn chế về thời gian cũng như về kiến thức, tài

liệu… Vì vậy em mong nhận được sự quan tâm, góp ý của thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 05, năm 2010

Sinh Viên Đào Thị Huê

Chương 1: Môđun

1.1 Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun con

1.1.1 Môđun

a) Định nghĩa

Cho R là vành có đơn vị 1, một nhóm Abel cộng M được gọi là một

R-môđun trái, hay còn gọi là R-môđun trái trên R nếu tồn tại một ánh xạ

x x

M M R



, )  (

với các phần tử tuỳ ý   , R và x,yM

Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R - môđun phải là một nhóm Abel cộng

M cùng với ánh xạ



 x x

M R M

 ) , (

 Các môđun trái và môđun phải trên R chỉ khác nhau ở một điểm khi tích

αβ “tác động” trên các môđun này thì α “tác động” trước, hay β “tác động” trước

Vì vậy, nếu R là vành giao hoán thì khái niệm môđun trái trùng với khái niệm

môđun phải

Sau đây, chỉ xét các R môđun trái, và gọi chúng là các R-môđun

 Nếu R là một trường thì một R-môđun còn gọi là một không gian

Vectơ, mỗi phần tử của nó là một vectơ thường ký hiệu là x, y,

Như vậy, khái niệm môđun là khái niệm tổng quát của khái niệm không gian vectơ

a) Ví Dụ

Ví Dụ 1:

Mỗi nhóm Abel cộng M là một Z-môđun

Thật vậy, với mọi x thuộc M, n thuộc Z, ta có:

M M Z

 ) , (

OA Với OA,OB,OCM

+ Phép cộng các véctơ có tính chất kết hợp, giao hoán

Bằng hình học sơ cấp ta chứng minh được tích vô hướng xác định ở trên thoả mãn

bốn điều kiện trong định nghĩa

Vậy M là một R -môđun, hay M là một không gian vectơ trên R

Tích vô hướng của f A với R xác định như sau:

f : 



) ( ) )(

x  

Khi đó A là R-môđun

Ví dụ 6:

Mỗi iđêan trái của vành R là một R-môđun Đặc biệt, mỗi iđêan của R là một

R-môđun và bản thân R cũng là một R-môđun

1.1.2 Môđun con

a) Định nghĩa

Cho M là R-môđun, NM, N gọi là R-môđun con của môđun M nếu N là

R-môđun với hai phép toán cảm sinh

b) Điều kiện tương đương với môđun con

Cho M là R-môđun, NM Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

i) N là R-môđun con của M

+ Hợp của một họ bất kỳ các môđun con của M nói chung không là một

môđun con của M

+ Nếu M là R-môđun, (N i)iI là các môđun con của M thoả mãn:

k j k

N I k

 Cho M là R-môđun, S M thì giao của tất cả các môđun con của M chứa

S là một môđun con của M chứa S (đó là môđun con bé nhất của M chứa S ) gọi là

môđun con của M sinh bởi S Ký hiệu : S

+ Ta gọi S là tập sinh của M

+ Nếu S =M thì S là tập sinh của M

và gọi là môđun hữu hạn sinh

Đặc biệt, S  s thì S = s =  s = s: R gọi là môđun xyclic

1.2 Môđun thương

1.2.1 Xây dựng Môđun thương

Cho M Là R-môđun, N là môđun con của M Khi đó:

R   



 , thì (xN) xN

Thì phép nhân vô hướng thoả mãn các điều kiện của tích vô hướng

Do đó, M N là R-môđun, gọi là môđun thương của môđun M theo môđun con N

Định nghĩa:

Cho N là một môđun con của một R-môđun M Khi đó R-môđun M N như

vừa xây dựng ở trên được gọi là môđun thương của M theo N Phần tử x+N của

N

M thường được ký hiệu là x, và được gọi là ảnh của x trong

N M

Nhận xét:

by ax y b

x

a    với a,bR, x,yM Và nếu P là một môđun con của M

chứa N thì R-môđun thương P N là một R-môđun con của M N

Suy ra, tồn tại môđun thương

x I x R

I

R   :  Với phép toán cộng và nhân vô hướng xác định như sau:

I y x I y I

Vành thương không là môđun thương

Thật vậy, trong vành thương, phép nhân xác định bởi:

I xy I y I

Nếu R là trường thì một môđun trên R là các không gian vectơ, các không

gian con là các không gian vectơ con, do đó, môđun thương là các không gian vectơ

x )  ( )  (  )(

I i i I i

Đặt i  i i I i i I

I

i

x x

M





là R-môđun và gọi là tổng trực tiếp của họ các môđun  M i iI

Nhận xét:

Nếu họ chỉ số I hữu hạn I 1, ,n thì khái niệm tổng trực tiếp và tích trực

tiếp như nhau

Cho N là môđun con của R-môđun M Ta nói N là hạng tử trực tiếp của M

khi và chỉ khi tồn tại một môđun con P của M sao cho M  NP

Khi đó ta cũng nói P là một môđun con phụ của N trong M

b) Ví dụ

 Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều thì mọi không gian con của M

đều có một không gian phụ

 Z là Z-môđun Các môđun con của Z chính là nZ

Giả sử, nZ là một môđun con của Z, n0

Mọi môđun con khác không của Z có dạng pZ, p  0

Ta có:

pZ np

nZ np





Suy ra, nZpZ  0 vì np 0 ,npnZ pZ

Vậy mọi môđun con khác 0 của Z đều không là hạng tử trực tiếp của Z

1.4 Tập sinh, tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở của môđun, môđun

hữu hạn sinh

1.4.1 Tập sinh của môđun, môđun hữu hạn sinh

Cho M là R-môđun, S M , giao của tất cả các môđun của M chứa S là một

môđun con của M chứa S (đó là môđun con bé nhất của M chứa S ) gọi là môđun

con của M sinh bởi tập S và ký hiệu là S

+ Nếu S =M thì nói S là tập sinh của M

+ Nếu S =M và S hữu hạn thì nói M là hữu hạn sinh



 (a sR) trong

đó a s  0hầu hết trừ một số hữu hạn (một tổng như vậy gọi là một tổng có giá hữu

hạn)

 Cho M là R-môđun, SM , nếu mọi x thuộc M đều có thể viết dưới dạng

một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S

s a x

S s s

Cho M là R-môđun, S M , S là tập sinh của M khi và chỉ khi mọi phần tử

của M đều biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S

Tập con S của M được gọi là độc lập tuyến tính nếu:  0



s a

S s

s thì

S s

a s  0 ,  

Nhận xét

Nếu S là tập độc lập tuyến tính của M thì:

s b s a

S s s S

S s

s Trong đó không phải mọi a s  0 Nếu tập S độc lập tuyến tính (phụ thuộc tuyến tính ) thì ta cũng nói các phần tử của S

độc lập tuyến tính ( phụ thuộc tuyến tính)

 M là R-môđun, S M , S gọi là cơ sở của M nếu S là tập sinh và độc lập

R với e i  ( 0 , , 0 , 1 , 0 , 0 )khi đó e , ,1 e n gọi là cơ sở chính tắc

+ Z n là Z-môđun, n>1, nN, Z n không có tập độc lập tuyến tính nào vì

mọi xZ n,n x 0mà n0

1.5 Định nghĩa đồng cấu môđun, điều kiện tương đương

1.5.1 Định nghĩa

Cho M, N là các R-môđun, ánh xạ f :M N gọi là một đồng cấu môđun

hay R-đồng cấu (còn gọi là ánh xạ tuyến tính) nếu f thoả mãn hai tính chất sau:

i) f(x y)  f(x)  f(y), x,yM

ii) f(ax) af(x), aR, xM

+ Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương ứng

được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

+ Nếu f(M)  O N thì f được gọi là đồng cấu không và thường đựơc viết là 

+ Kí hiệu:

) 0 ( ker f  f1 gọi là hạt nhân (hạch) của f

) (

Im f  f M gọi là ảnh của f

f N f co

Im ker  gọi là đối hạch của f

f M coimf

ker

 gọi là đối ảnh của f

+ Một đồng cấu từ M vào M gọi là một tự đồng cấu của M

+ Hai R-môđun M và N được gọi là đẳng cấu, và viết là M  N, nếu tồn tại

ker , và f là một toàn cấu khi và chỉ khi Im f  N

1.5.2 Điều kiện tương đương

Cho M, N là các R-môđun, ánh xạ f :M N là đồng cấu môđun khi và chỉ

Cho M, N là các R-môđun, f :M N là đồng cấu môđun, A là môđun con

của M, B là môđun con của N và f  B xM f x B

) ( : )

(

Đặc biệt, f :M N là đồng cấu môđun

 : ( ) 0  (0 )

f x x M

M f

f  ( ) ( ): 

Im

Khi đó, Im f là môđun con của N và ker f là môđun con của M

Tính chất 3:

f là đơn cấu khi và chỉ khi ker f  0M

f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf N

Tính chất 4: (Định lý cơ bản của R-đồng cấu tổng quát)

Cho f :M N là R-đồng cấu, A, B lần lượt là các môđun con của M, N sao

cho f(A) B

A M M

p A : 

B N N

p B : 

là các toàn cấu chính tắc Khi đó, tồn tại duy nhất R-đồng cấu

B

N A M

f : Sao cho f p A  p B f hay hình vuông sau giao hoán

Tính chất 5: (Định lý cơ bản của R-đồng cấu)

Cho f :M N là R-đồng cấu, A ker f là môđun con của M

A M

M

p A:  là phép chiếu chính tắc ( toàn cấu chính tắc)

Khi đó tồn tại duy nhất R-đồng cấu môđun

N A M

Hơn nữa, f là đơn cấu và Imf Imf

C 

 Cho B, C là hai môđun con của R-môđun A thì

C B

B C C B







được gọi là một dãy khớp khi và chỉ khi Imn1  kern, n

 Một dãy khớp với 5 môđun

x     N N x N

Ta có: ker pN

Suy ra, Imikerp

Mà i là đơn cấu, p là toàn cấu

Suy ra, dãy trên là dãy khớp ngắn

 Cho h:X Ylà đồng cấu môđun, đối hạt nhân

h Y h co

Im ker  là R-môđun thương, kerh là môđun con của X

Xét dãy: O kerhi X h Y pcokerhO

trong đó i: kerhX là đơn cấu

B

A f  g  h

của các R-đồng cấu, các điều kiện sau tương đương:

i) f là toàn cấu

ii) g là đồng cấu tầm thường

iii) h là đơn cấu

2.2.2 Các hệ quả

 Trong một dãy khớp tuỳ ý

E D

C B

A f  g  h  k

những đồng cấu của các R-môđun Khi đó: C  O khi và chỉ khi f là toàn cấu và k

là đơn cấu

 Nếu dãy O C O các R-môđun là dãy khớp thì CO

 Trong một dãy khớp tuỳ ý

F E

D C

B

A d  f  g  h  k

các đồng cấu các R-môđun Các điều kiện sau tương đương:

i) g là R-đẳng cấu

ii) f và h là các đồng cấu tầm thường

iii) d là toàn cấu và k là đơn cấu

 Nếu dãy f g h

O  C  D O là dãy khớp thì g là đẳng cấu

2.3 Dãy khớp ngắn chẻ ra

2.3.1 Định nghĩa

 Dãy khớp  X  f Y  g Z  những đồng cấu của những

R-môđun được gọi là chẻ ra tại R-môđun Y khi và chỉ khi R-R-môđun con A Imf  kerg

của Y là một hạng tử trực tiếp của Y (tức Y  AB,với B là môđun con của Y)

 Dãy khớp  X  f Y  g Z  được gọi là chẻ ra nếu nó chẻ ra tại

mọi môđun không nằm ở hai đầu của nó

Suy ra dãy khớp chẻ ra tại C

Dãy khớp ngắn chẻ ra khi và chỉ khi dãy khớp chẻ tại môđun B

j:  

x (x, 0)

Chương 3: Môđun Noether Và Môđun Artin

3.1 Iđêan trên vành giao hoán

3.1.1 Định nghĩa

Cho X là vành giao hoán, A là iđêan của X

- Iđêan thực sự A của X được gọi là iđêan nguyên sơ nếu xyA,yA thì tồn tại



n N để x nA

- Iđêan thực sự A của X gọi là iđêan nguyên tố nếu xyA thì xA hoặc yA

- Iđêan thực sự A của X gọi là iđêan cực đại nếu tồn tại iđêan B của X mà A

được gọi là căn của A ( Rad (A) là một iđêan của X)

Đặc biệt, căn của iđêan {0} được gọi là căn luỹ linh của X và kí hiệu là Rad (X)

+ Nếu X là trường thì {0} là iđêan nguyên tố và {0} là cực đại vì trường X chỉ có 2

iđêan là {0} và X

+ Phần tử 0 là phần tử luỹ linh của X vì 0  Rad (X)

3.1.2 Mệnh Đề

Cho X là vành giao hoán, A là iđêan của X Khi đó ta có các phát biểu sau :

a) A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi X

A là miền nguyên b) A là iđêan cực đại khi và chỉ khi X

A là trường c) A là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi Rad (A) là iđêan nguyên tố

d) Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố, một iđeean nguyên tố luôn là

iđêan nguyên sơ

A là eA với e là đơn vị của X

Do X là vành giao hoán nên X

A cũng là vành giao hoán Giả sử xA và yA là hai phần tử tuỳ ý của X

A là trường nên X A có nhiều hơn một phần tử do đó, AX

Giả sử I là một iđêan cử X sao cho A

Hay e  x x0 0'  a với aA

Vì x0I và a A I nên eI

Suy ra I  X

Vậy A là iđêan cực đại của X

 Giả sử A là iđêan cực đại của X thì AX

Do đó, X

A có nhiều hơn một phần tử

Vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X

A cũng là một vành giao hóan có đơn vị

Giả sử xA là một phần tử khác không của X

Vì A là iđêan cực đại nên I X

Suy ra, eI (với e là phần tử đơn vị của X )

Do đó e   a xx1 với aA và x1X

Hay e A (axx1)  A xx1 A (xA x)( 1A)

Điều đó chứng tỏ x1 A là nghịch đảo của xA

c)  A là iđêan nguyên sơ

Suy ra y Rad(A)

Vậy Rad(A) là iđêan nguyên tố

 Giả sử có xyA  (xy) 1 =x 1 y 1 A

Suy ra xy Rad(A)

Mà Rad(A) là iđêan nguyên tố

Suy ra, x Rad(A) hoặc yRad(A)

Giả sử x Rad(A) yRad(A)  tồn tại nN: y nA

Vì x Rad(A)  nN, x nA xA

Vậy xA nN: y nA

Suy ra, A là nguyên sơ

d) Theo nhận xét rút ra từ a) và b) ta có: mọi iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố

Ta chứng minh, một iđêan nguyên tố luôn là iđêan nguyên sơ

Giả sử, A là iđêan nguyên tố của X suy ra AX

xyA, xAyA (do A là iđêan nguyên tố )

Vậy nZ là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi n là số nguyên tố

Tương tự, khi n là số nguyên tố thì Z

nZ là trường

Suy ra, nZ là iđêan cực đại

Do đó, iđêan nZ của Z vừa là iđêan nguyên tố, vừa là iđêan cực đại khi và chỉ khi n

là số nguyên tố

Ta có: Z   0  Z là miền nguyên

Suy ra {0} là iđêan nguyên tố

{0} không là iđêan cực đại vì {0}  A, A là iđêan của Z , A Z

Vậy Một iđêan nguyên tố bất kì chưa chắc đã là iđêan cực đại

Ví dụ 2:

Ta có: nếu p là số nguyên tố thì *

Rad p Z  pZ N Thật vậy, với mọi xRad p Z(  )

Ta có: tồn tại n  N: n

x p ZSuy ra: x n  p

Do p là số nguyên tố

Suy ra, x  p

Suy ra: x  pZ

Do đó, Rad p Z(  )  pZ (1)

Ngược lại,  y pZ  y= pt , t  Z

Suy ra, y  p t p Z , với n  N

Suy ra, y  Rad p Z(  )

Suy ra, pZ Rad p Z(  ) (2)

Từ (1) và (2)  Rad p Z(  )= pZ ( p là số nguyên tố )

Do p là số nguyên tố nên pZ là iđêan cực đại

Suy ra, pZ là iđêan nguyên tố

Suy ra, Rad p Z(  ) là iđêan nguyên tố

Theo c) ta có p Z là iđêan nguyên sơ

Vậy, một iđêan nZ của Z là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi *

,

n p N , p là số nguyên tố

Đặc biệt, với  1 thì iđêan nguyên sơ trùng với iđêan nguyên tố

Suy ra, một iđêan nguyên sơ chưa chắc đã là iđêan nguyên tố

Do đó, chiều ngược lại của mệnh đề d) là không đúng

3.2 Môđun Noether

3.2.1 Định nghĩa

Một R-môđun M được gọi là môđun Noether nếu mọi tập khác rỗng các

môđun con của M chứa ít nhất một phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm

R gọi là vành Noether nếu R là môđun Noether

Nhận xét :

Môđun Noether nhiều khi còn được gọi là môđun thoả mãn điều kiện cực

đại

3.2.2 Điều kiện tương đương

Cho M là R môđun Khi đó các điều kiện sau tương đương :

a) M là môđun Noether

b) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

c) Mọi dãy tăng các môđun con của M

M 1M 2 M n 

đều dừng, tức tồn tại n để Mn  Mn1

Chứng minh:

a)c)

Giả sử M 1M 2 M n  là một dãy tăng tùy ý các môđun con của M

Gọi F là tập tất cả các phần tử của dãy này

Do M là môđun Noether nên tập này có phần tử cực đại M n với n nào đó khi đó ta

có Mn  Mn1

c) b)

Giả sử trái lại, tồn tại một môđun con N của môđun M không hữu hạn sinh

Khi đó, trong N tồn tại một dãy vô hạn các phần tử x1,x2, ,xn, sao cho nếu đặt

các môđun con của M, điều này mâu thuẫn với c)

Vậy mọi môđun con của M hữu hạn sinh

b) a)

Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun con của M vì S là một tập khác rỗng, nên

ta chọn được một môđun con M 1 S

Khi đó, nếu M1 không phải là phần tử cực đại trong S thì M2 M1

Lặp lại lập luận đó ta suy ra nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tại một

dãy tăng vô hạn

 là một môđun con của M

Suy ra, N là một môđun hữu hạn sinh (do b) )

Giả sử x , ,1 x n là một hệ sinh của N

Vì dãy các môđun nhận được là một dãy tăng nên k:x1, ,x mM k

Khi đó, N x M k i R i m

m

i i

Như thế thì dãy (*) bị dừng bắt đầu tại vị trí thứ k (mâu thuẫn với (1) )

Vậy mọi tập hợp không rỗng các môn đun con của M đều có một phần tử cực đại

Suy ra, M là R-môđun Noether

 Giả sử M là R-môđun Noether

Từ dãy khớp ngắn đã cho, ta luôn có thể coi M' là một môđun con của M và

"

'

M

M

M , theo nghĩa sai khác một đẳng cấu

Khi đó, mọi dãy tăng các môđun con của M' cũng là dãy tăng các môđun con của

M, do đó nó phải dừng

Vậy M' là môđun Noether

Giả sử N1 N2  N n  (* ’) là dãy tăng các môđun con của M"

Các môđun con N i của " 

'

M M

M M

trong đó, M i là các môđun con của M

suy ra, tồn tại dãy tăng các môđun con của M là

 Dãy (* ’) là dừng, tức M" là môđun Noether

 Nếu M', M" là môđun Noether

Giả sử, M1 M2  M k  (1) là dãy tăng các môđun con của M

Khi đó dãy tăng các môđun con của M’ là

'

'

''

1       

M M M M

M M M M

'

''

1 1

M M M

M M M

M M

M M

k k

k k

Suy ra, M k = M k+1

Suy ra, dãy (1) là dừng

Suy ra, M là môđun Noether

Chứng minh: