Môđun noether và môđun artin

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu thực khóa luận: “Môđun Noether môđun Artin” với cố gắng, nỗ lực thân, em nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga, đồng thời em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn-Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo bạn sinh viên khoa tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Do thời gian lực thân hạn chế Hơn lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Huê Đào Thị Huê Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lời Cam Đoan Khóa luận em hoàn thành sau thời gian miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình cô giáo- Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga Trong trình làm khóa luận em có tham khảo số tài liệu nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu khoa học riêng em không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Đào Thị Huê Đào Thị Huê Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Mục Lục Lời mở đầu Chương 1: Môđun 1.1 Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun 1.2 Môđun thương 1.3 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp môđun 1.4 Tập sinh, tập độc lập phụ thuộc tuyến tính, sở môđun, môđun hữu hạn sinh 10 1.5 Định nghĩa đồng cấu môđun, điều kiện tương đương 11 Chương 2: Dãy khớp 16 2.1 Định nghĩa dãy khớp, dãy khớp ngắn, điều kiện tương đương 16 2.2 Một số tính chất dãy khớp 17 2.3 Dãy khớp ngắn chẻ 18 Chương 3: Môđun Noether Và Môđun Artin 20 3.1 Iđêan vành giao hoán 20 3.2 Môđun Noether 25 3.3 Môđun Artin 34 3.4 Sự phân tích nguyên sơ môđun Noether 41 3.5 Mối quan hệ môđun Noether môđun Artin 47 3.6 Một số tập 52 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Đào Thị Huê Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lời Nói Đầu Đại số ngành chiếm vị trí quan trọng toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại Ngày nhu cầu học hỏi toán học nói chung môn Đại số nói riêng sinh viên khoa Toán ngày tăng Tuy nhiên để sâu nghiên cứu môn Đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc cấu trúc đại số Ngày người ta coi đối tượng chủ yếu Đại số cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường, môđun, … Trong môđun khái niệm quan trọng Đại số đại Chính em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Môđun Noether môđun Artin” với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn Đại số bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Nội dung khóa luận gồm ba chương: Chương 1: Trình bày khái niệm tính chất môđun như: môđun con, môđun thương, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp môđun, đồng cấu môđun,… Chương 2: Trình bày khái niệm tính chất dãy khớp như: dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp ngắn chẻ ra,… Chương 3: Trình bày khái niệm tính chất môđun Noether môđun Artin Trong trình thực đề tài nỗ lực thân, em nhận bảo, hướng dẫn tận tình Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo khoa Toán Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô Mặc dù có cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức, tài liệu… Vì em mong nhận quan tâm, góp ý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 05, năm 2010 Sinh Viên Đào Thị Huê Đào Thị Huê Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chương 1: Môđun 1.1 Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun 1.1.1 Môđun a) Định nghĩa Cho R vành có đơn vị 1, nhóm Abel cộng M gọi Rmôđun trái, hay gọi môđun trái R tồn ánh xạ RM  M ( , x)  x (gọi phép nhân vơí vô hướng) cho điều kiện sau thỏa mãn: i) (   ) x   x   x ii)  ( x  y )   x   y iii ) ( ) x   (  x) iv) 1x  x ( tính chất Unitar) với phần tử tuỳ ý  ,   R x,y  M Tương tự, ta có định nghĩa cho R - môđun phải nhóm Abel cộng M với ánh xạ M R  M ( x,  )  x Thoả mãn điều kiện : i) x(   )  x  x ii) ( x  y )  x  y iii) x( )  ( x )  iv) x1  x với phần tử tuỳ ý  ,   R x, y  M Nhận xét:  Các môđun trái môđun phải R khác điểm tích αβ “tác động” môđun α “tác động” trước, hay β “tác động” trước Đào Thị Huê Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Vì vậy, R vành giao hoán khái niệm môđun trái trùng với khái niệm môđun phải Sau đây, xét R môđun trái, gọi chúng R-môđun  Nếu R trường R-môđun gọi không gian Vectơ, phần tử vectơ thường ký hiệu x, y , Như vậy, khái niệm môđun khái niệm tổng quát khái niệm không gian vectơ a) Ví Dụ Ví Dụ 1: Mỗi nhóm Abel cộng M Z-môđun Thật vậy, với x thuộc M, n thuộc Z, ta có:  x   x    n  nx  0 ( x)   ( x)   n  nÕun  nÕun  nÕun  Suy ra, nx  M Do đó, ánh xạ : ZM  M (n, x)  nx xác định thoả mãn bốn điều kiện tích vô hướng Nhận xét Ví dụ chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết nhóm Abel Ví dụ 2: Cho trường số thực R, M tập hợp véctơ gốc O mặt phẳng, M R-môđun Thật vậy, tổng hai vectơ M xác định theo quy tắc hình bình hành OA  OB  OC A C Với OA, OB, OC  M + Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp, giao hoán O Đào Thị Huê B Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội + Phần tử đơn vị + Với OA  M tồn vectơ đối - OA  M Suy , ( M, + ) nhóm Abel Với OA , α  R α OA vectơ vị tự OA qua phép vị tự tâm O , tỷ số α Suy ra, α OA  M Bằng hình học sơ cấp ta chứng minh tích vô hướng xác định thoả mãn bốn điều kiện định nghĩa Vậy M R -môđun, hay M không gian vectơ R Ví dụ 3: Cho R vành có đơn vị , R n  R   R xác định phép cộng nhân vô hướng sau : (a1, , an )  (b1, , bn )  (a1  b1, , an  bn )  (a1 , , a n )  ( a1, , a n ) với   R, (a1, , an ),(b1, , bn )  Rn Khi Rn R-môđun Ví dụ 4: Mọi vành có đơn vị môđun Nhận xét Ví dụ chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết vành Ví dụ 5: Cho R vành, M R-môđun, X tập khác Ký hiệu A   f : X  M : f ánh xạ   Trên A xác định phép toán:  f, g  A ta có: f  g : X  M cho: x  X : (f  g)(x)  f (x)  g(x) Thì (A, +) nhóm Abel với phần tử đơn vị ánh xạ :X M x0 Đào Thị Huê Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Tích vô hướng f  A với   R xác định sau: R A  A ( , f )   f Trong đó: f : X  M x  (f )( x)   f ( x) Khi A R-môđun Ví dụ 6: Mỗi iđêan trái vành R R-môđun Đặc biệt, iđêan R R-môđun thân R R-môđun 1.1.2 Môđun a) Định nghĩa Cho M R-môđun, N  M , N gọi R-môđun môđun M N R-môđun với hai phép toán cảm sinh b) Điều kiện tương đương với môđun Cho M R-môđun, N  M Khi điều kiện sau tương đương: i) N R-môđun M ii) x, y  N ,   R : x  y  N , x  N iii)  ,   R, x, y  N : x  y  N c) Ví dụ Ví dụ 1: Cho M R-môđun M có hai môđun tầm thường môđun không 0 M Ví dụ 2: Mọi nhóm Abel cộng M Z-môđun môđun M nhóm M Ví dụ 3: Mọi vành có đơn vị R R-môđun iđêan trái R môđun R Đào Thị Huê Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ví dụ 4: Cho R-môđun M x phần tử M Khi tập hợp Rx  ax : a  R  môđun M Ví dụ 5: Cho R vành giao hoán, vành đa thức R[x,y] R-môđun nhận R[x] làm R-môđun d) Tính chất  Giao họ tuỳ ý môđun M môđun M Nhận xét: + Hợp họ môđun M nói chung không môđun M + Nếu M R-môđun, ( N i ) iI môđun M thoả mãn: i, j  I , k  I : N i  N k , N j  N k  N i R-môđun iI  Cho M R-môđun, S  M giao tất môđun M chứa S môđun M chứa S (đó môđun bé M chứa S ) gọi môđun M sinh S Ký hiệu : S + Ta gọi S tập sinh M + Nếu S =M S tập sinh M + Nếu S hữu hạn, S  S1, , Sn   n  S     i Si :  i  R , Si  S   i 1  gọi môđun hữu hạn sinh Đặc biệt, S  s S = s =  s =  s :   R gọi môđun xyclic 1.2 Môđun thương 1.2.1 Xây dựng Môđun thương Cho M Là R-môđun, N môđun M Khi đó: Đào Thị Huê Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội M N  x  N : x  M  nhóm Abel với phép cộng: (x  N )  ( y  N )  x  y  N Trên M N xác định phép nhân vô hướng sau :   R, x  N  M N  ( x  N )  x  N Thì phép nhân vô hướng thoả mãn điều kiện tích vô hướng Do đó, M N R-môđun, gọi môđun thương môđun M theo môđun N Định nghĩa: Cho N môđun R-môđun M Khi R-môđun M N vừa xây dựng gọi môđun thương M theo N Phần tử x+N M N thường ký hiệu x , gọi ảnh x M N Nhận xét: a x  b y  ax  by với a, b  R, x, y  M Và P môđun M chứa N R-môđun thương P N R-môđun M N 1.2.2 Ví dụ Ví dụ 1: M R-môđun 0 M môđun M Suy ra, tồn môđun thương M 0  x  0: x  M   x : x  M  M M M  x  M : x  M   M  Ví dụ 2: Mọi vành có đơn vị R R-môđun, I iđêan R I môđun R Đào Thị Huê 10 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội không đơn cấu, ax = mà x  Ni a không lũy linh a  Pi ( mâu thuẫn) Suy ra: P  Pi , đó: Ass(M )  {P1, , Pr } + Ta chứng minh Ass(M )  {P1, , Pr } Chẳng hạn, ta P1  Ass(M ) r r i 1 i 2 Do   N i phân tích thu gọn nên x  (  N i ) \ N1 Lại N1 môđun P1-nguyên sơ, nên tồn n: P1n x  N1 P1n1xN1 Giả sử y phần tử tùy ý P1n1x \ N1 , ta chứng minh P1  Ann( y) Rõ ràng P1  Ann( y) Ngược lại, với a  Ann( y ) ay   N1 Do y  N1 nên a  rM ( N1 )  P1 Vậy Ann( y)  P1 , P1  Ann( y)  Ass(M ) 3.4.6 Định lý tính thứ Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R Khi r môđun N M có phân tích nguyên sơ thu gọn N   N i , Ni i 1 môđun Pi-nguyên sơ với i  1, r Pi xác định N Và ta có: Ass( M N )  {P1, , Pr } Chứng minh: r Do N có phân tích nguyên sơ thu gọn N   N i i 1 Ta suy ra, R-môđun M r  ( i 1 Ni N ) với Đào Thị Huê Ni N , môđun có phân tích nguyên sơ thu gọn N Pi-nguyên sơ 49 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Theo định lý ta có: Ass( M Trường ĐHSP Hà Nội N )  {P1, , Pr } 3.3.7 Mệnh đề Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R N môđun P-nguyên sơ M Giả sử P ' iđêan nguyên tố R, đặt M '  M P ' N '  N P ' Khi ta có: i) Nếu PP ' N '  M ' ii) Nếu P  P ' N   1 ( N ') với  : M  M ' ánh xạ tự nhiên 3.3.8 Định lý tính thứ hai a) Định nghĩa iđêan nguyên tố nhúng, iđêan nguyên tố cô lập Cho N môđun môđun M hữu hạn sinh vành Noether A n Giả sử N   N i phân tích nguyên sơ thu gọn N với Ni Pi-nguyên sơ, i 1 i  1, n Khi Ass( M N )  P1, , Pr  gọi tập iđêan nguyên tố liên kết với N Nếu iđêan nguyên tố Pi cực tiểu Ass( M N ) gọi iđêan nguyên tố cô lập N, thành phần Ni tương ứng với Pi cực tiểu gọi thành phần cô lập N Ngược lại, Pi không cực tiểu gọi iđêan nguyên tố nhúng N, Ni tương ứng với Pi gọi thành phần nhúng N b) Định lý Cho R vành Noether M môđun hữu hạn sinh R Giả sử, r môđun N M có phân tích nguyên sơ thu gọn N   N i , Ni i 1 môđun Pi-nguyên sơ với i  1, r Khi Pi iđêan nguyên tố cô lập Ni xác định N Chứng minh: Không giảm tính tổng quát, giả sử chẳng hạn P1 iđêan nguyên tố cô lập, Pi P1 với i  2, r áp dụng mệnh đề ta có: Đào Thị Huê 50 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội ( Ni ) P1  M P1 , i  2, r Và N1   1 (( N1 ) P1 ) với  : M  M P1 ánh xạ tự nhiên r r i 1 i 1 Mặt khác: N p1  ( N i ) P1  ( N i ) P1  ( N1 ) P1 Suy N1   1 ( N P1 ) phụ thuộc vào N P1 áp dụng định lý tính thứ nhất, ta suy điều phải chứng minh 3.5 Mối quan hệ môđun Noether môđun Artin 3.5.1 Định lý Cho R vành Artin Khi iđêan nguyên tố R iđêan cực đại Hơn vành Artin có hữu hạn iđêan cực đại Chứng minh: Gọi P iđêan nguyên tố R Khi vành thương T  R P miền nguyên Với  x  T ta có dãy iđêan R giảm xác định sau: ( x)  ( x2 )  Theo giả thiết R vành Artin nên dãy phải dừng, có nghĩa tồn k  N * : ( xn )  ( xk ), n  k Tồn phần tử y R : xk  xk 1 y  x k (1  xy)  Do T miền nguyên, x   x k  Từ ta có xy = Chứng tỏ T trường Vậy P iđêan cực đại R Bây xét tập  tất iđêan R có dạng giao hữu hạn iđêan cực đại R Nếu R iđêan cực đại hiển nhiên R có hữu hạn iđêan cực đại Bây xét R có iđêan cực đại Đào Thị Huê 51   Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Theo tính chất vành Artin  phải có phần tử cực tiểu R, giả sử m1   mn Với iđêan cực đại m R ta có: m  m1   mn  m1   mn Theo tính chất phần tử cực tiểu R ta có: m  m1   mn  m1   mn  m1   mn  m Khi tồn mi: mi  m, i  1, n Thật vậy, giả sử mk  m, k  1, n Khi đó, tồn yk  m k \ m, k  1, n Đặt y  y1 yn ta có y  mi , i  1, n  y  m Do m iđêan cực đại nên tồn số k  1, n cho: yk  m (mâu thuẫn) Chứng tỏ tồn mk  m, k  1, n Vậy R có hữu hạn iđêan cực đại 3.5.2 Định nghĩa lũy linh, Iđêan lũy linh a) Căn lũy linh Cho A iđêan X, tập Rad (A) = {x  X  n  N để xn  A} gọi A ( Rad (A) iđêan X) Đặc biệt, iđêan {0} gọi luỹ linh X kí hiệu Rad (X) Rad (X) = {x  X  n  N để xn = } Một phần tử Rad (X) gọi phần tử luỹ linh X b) Iđêan lũy linh I Iđêan R, I lũy linh tồn k  N để I k  3.5.3 Định lý Cho R vành Artin Khi lũy linh R iđêan lũy linh Chứng minh: Đào Thị Huê 52 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Đặt I  Rad( R) lũy linh R, I iđêan R Xét họ iđêan R:   I  k  k 1 , R Artin nên tồn phần tử cực tiểu   I  k  k 1 Tức tồn k  N * : J  I n  I k , n  k Nếu J={0} hiển nhiên I lũy linh Bây xét trường hợp J  0 Đặt   a : aJ  0 với a iđêan R Do có J2  nên    , theo tính chất vành Artin ta có:  có phần tử cực tiểu, giả sử a0 Mọi phần tử x  a0  xJ  0  xR   a0  xR ( theo tính chất iđêan cực tiểu) Lại có a0 iđêan cực tiểu R nên từ xR  a0  xR  a0 Chứng tỏ a0 iđêan Từ cách đặt ta có xJ  xR nên theo tính chất phần tử cực tiểu phải có xJ  xR Suy ra, tồn y  J : x  xy  x  xy k , k Do y  J nên tồn k : y k  , chứng tỏ x = (mâu thuẫn) Vậy J={0} hay nói cách khác I lũy linh 3.5.3 Mối liên hệ vành Noether vành Artin Định lý: Vành R vành Artin vành R vành Noether iđêan nguyên tố iđêan cực đại Chứng minh:  Giả sử R vành Artin Theo định lý iđêan nguyên tố R iđêan cực đại R có hữu hạn iđêan cực đại kí hiệu n m1, ,mn đặt I   mi i 1 Khi I lũy linh Đào Thị Huê 53 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Thật vậy, xét họ đêan R: tồn phần tử cực tiểu   I k   k 1 , theo giả thiết R vành Artin nên  Tức tồn k  N * : J  I n  I k , n  k Nếu J={0} hiển nhiên I lũy linh Xét J  0 Đặt   a : aJ  0 với a iđêan R Do có J2  nên    , theo tính chất vành Artin ta có:  có phần tử cực tiểu, giả sử a0 Mọi phần tử x  a0  xJ   xR   a0  xR ( theo tính chất iđêan cực tiểu) Lại có a0 iđêan cực tiểu R nên từ xR  a0  xR  a0 Chứng tỏ a0 iđêan Từ cách đặt ta có xJ  xR nên theo tính chất phần tử cực tiểu phải có xJ  xR (mâu thuẫn) Vậy J={0} tức I lũy linh Xét dãy giảm iđêan R n R  m1   m1k  m1k m2    mik  i 1 Đây dãy có tính chất: thương hai iđêan kề R-môđun mà không gian vectơ R mi với mi iđêan kể Vì R Artin nên R hữu hạn sinh, không gian thương kể không gian vectơ hữu hạn chiều Do đó, không gian thương K-môđun Artin Vì vậy, không gian thương có dãy hợp thành, R có dãy hợp thành Vậy R môđun Noether  Giả sử R Noether thỏa mãn iđêan nguyên tố iđêan cực đại Đào Thị Huê 54 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Theo chứng minh điều kiện cần tồn hữu hạn iđêan cực đại R: n I   mi lũy linh, phải tồn hữu hạn iđêan nguyên sơ q1, , qn : i 1 n I   qi lũy linh i 1 Đặt mi=Rad(qi), i  1, n Vì qi, i  1, n iđêan nguyên sơ nên mi iđêan nguyên tố R Theo giả thiết mi iđêan cực đại R Với m iđêan cực đại tùy ý R, lũy linh R giao tất iđêan nguyên tố R, kết hợp với điều kiện iđêan nguyên tố R iđêan cực đại nên ta có: n  qi  I  m i 1 n Suy ra,  mi  m ( tính chất cực đại m, m iđêan nguyên tố R) i 1 Suy ra, tồn k : mk  m Do mk iđêan cực đại nên mk=m Điều chứng tỏ R có hữu hạn iđêan cực đại Lại có R vành Noether nên I hữu hạn sinh Giả sử I  (a1, , an ) Khi tồn số tự nhiên n1 , , nt : aini  0, i  1, t Đặt k  n1   nt  ta có I k  có dãy giảm: R  m1  m12   m1k m2   m1k m2k  Bây chứng minh hoàn toàn phần thuận R có dãy hợp thành R vành Artin 3.6 Một số tập Bài 1: Cho M R-môđun vành giao hoán R, N môđun M Chứng minh N môđun tối đại M M N môđun đơn Chứng minh: Đào Thị Huê 55 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp  Trường ĐHSP Hà Nội Nếu N môđun cực đại M, xét A môđun M N : A  tồn x0  0, x0  N : x0  N  A  M N Lúc môđun Rx0 + N M môđun chứa N Theo giả thiết N môđun cực đại M nên Rx0 + N = M Suy 1 Rx0  M Lại có: Rx0  N    Rx0  N  M ,1 N  1 Rx0 Tức 1 N  A  A  M Vậy M N môđun đơn  Giả sử M N M M N N = M A A N môđun đơn, A môđun M chứa thực môđun M N , lại có A chứa thực N nên đẳng thức xảy ra, với M N môđun đơn nên ta có M A =0 Suy A = M Vậy N môđun tối đại M Bài 2: Chứng minh R-môđun M vành giao hoán R đơn tồn iđêan I R cho M  R I Hướng dẫn Xét ánh xạ f : R  M xác định f(a) = ax0,  x0  M Do có 1x0 = x0 suy Im f  0 Theo định lý đồng cấu môđun R ker f  Im f + Nếu M môđun đơn Im f  M  R ker f M Ta có ker f iđêan R, ker f iđêan cực đại R, thật vậy: Đào Thị Huê 56 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giả sử J iđêan R chứa ker f thực ta có R  R J  ker f môđun đơn nên f(J) = M J chứa thực ker f suy f ( J )  R Lại có M ker f Xét hạn chế: f J : J  M  ker f J  ker f  J ker f R ker f M Do J chứa thực ker f nên J = R Vậy ker f iđêan cực đại R + Ngược lại, có iđêan cực đại R chẳng hạn I : R  M I Suy M môđun đơn R môđun đơn I Bài 3: Cho M R-môđun Chứng minh M1, M2 môđun M cho M M1 ,M M M môđun Noether (Arrtin) M  M môđun Noether (Artin) Hướng dẫn Xét đồng cấu xác định: f :M M M1 M M2 x  ( x  M1 , x  M ) Theo định lý đồng cấu f ( M )  M  Nếu M M1 ,M M môđun Noether Hiển nhiên f toàn ánh nên M Vậy ta có M  Nếu M M1 M1 ,M Đào Thị Huê ker f M M1 M M2 M M M1 M M môđun Noether ker f môđun Noether M môđun Noether M M M môđun Artin M1 M môđun Artin 57 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ta biết môđun môđun Artin môđun Artin nên f ( M )  M ker f môđun Artin Theo việc xác định f ta có:   x  M  M  ker f   x  M :     x  M  M    x  M   x  M :     x  M   M1  M Như vậy, f ( M )  M M  M môđun Artin Bài 4: Cho p số nguyên tố a  : a  Z ,  i  N  Chứng minh Z-môđun: i p   Đặt Qp   Qp a    i  Z : a  Z , i  N  môđun Artin không môđun Z p  Noether Chứng minh:  Qp Z không môđun Noether Thật vậy: Xét dãy tăng môđun 0( Qp Z: 1  Z )  (  Z )  (  Z )  p p p (1) Ta chứng minh dãy (1) không dừng Thật vậy: Ta có: ( 1  Z )  (  Z ) vì: p p Với x  ( Đào Thị Huê a  Z ) x   Z , a  Z p p 58 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Ta có: x  Do ( Trường ĐHSP Hà Nội ap 1  Z  ap(  Z )  (  Z ) p p p 1  Z)  (  Z) p p Hơn ( 1 1 p 1  Z )  (  Z ) i  i 1  i 1  Z p p p p p Vậy dãy (1) không dừng nên  Qp (do ap  Z ) Qp Z không môđun Noether môđun Artin Thật vây: Z Trước hết ta chứng minh: (a, p)=1 với a  Z ( a  Z)  ( i  Z) i p p (*) Thật vậy: (a, p)=1 nên (a, pi )  tồn m, n  Z để am  pi n  Khi đó: n Suy  am am  i  i Z pi p p am Z  i Z i p p + Với x  ( a a ka  Z ) suy x  k ( i  Z )  i  Z i p p p Rõ ràng ka 1  Z  ka (  Z )  (  Z) pi pi pi Suy ( a  Z)  ( i  Z) i p p + Ngược lại, với y  ( y  h( Đào Thị Huê  Z ) ta có pi am a a  Z )  h (  Z )  hm (  Z )  (  Z) pi pi pi pi 59 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Do ( Vậy ( Trường ĐHSP Hà Nội a  Z)  ( i  Z) i p p a  Z)  ( i  Z) i p p Ta chứng minh môđun thực Qp Z môđun dãy (1) Giả sử B môđun thực B  ( Qp Z , tức B  0, B  Qp Z  Z ), i  N pi Thật vậy: với ( Q a  Z )  p , aZ i Z p Trường hợp 1: (a, p)=1 theo (*) ta có ( a  Z )  (  Z) pi pi Trường hợp 2: (a, p)  (a, p)= p (do p nguyên tố) tức a p Giả sử a=a1p với a1  Z Ta có: a a1 p a1  Z   Z  Z pi pi p i 1 Xét a1: Nếu (a1, p)=1 ( a1  Z )  (  Z) p i 1 p i 1 Nếu (a1, p)  a1  p (do p nguyên tố) suy a1=a2p với a2 Z Xét a2: Nếu (a2, p)=1 ( a2  Z )  ( i 2  Z ) i 2 p p Nếu (a2, p)  a2  p (do p nguyên tố) suy a2=a3p với a3 Z Cứ tiếp tục sau hữu hạn bước ta có (an, p)=1 Nên B  ( a  Z )  ( n  Z ), n  i i p p Đào Thị Huê 60 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Theo (1), dãy giảm môđun Vậy Qp Z Qp Z dừng môđun Artin Bài 5: Cho M môđun, I = Ann(M) Chứng minh R I vành Noether Chứng minh: Vì M môđun Noether nên M hữu hạn sinh, tức M có dạng: M   n  Rx , i 1 i Rxi, i  1, n môđun Noether Xét ánh xạ fi : R  Rxi , x  axi , i  1, n toàn ánh Theo định lý đồng cấu R toán quy nạp ta có: ker fi R  Rxi , i  1, n môđun Noether Sử dụng n  ker fi môđun Noether i 1 Vậy R Ann( M ) môđun Noether Kết Luận Lý thuyết môđun lý thuyết quan trọng tổng quát Đại số đại Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho ta cách nhìn tổng quát cấu trúc đại số, số kết lý thuyết môđun có nhiều ứng dụng ngành toán học khác Đào Thị Huê 61 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp em tập trung nghiên cứu vào hai lớp môđun giữ vai trò quan trọng Đại số, môđun Noether môđun Artin Do thời gian có hạn nên khóa luận đề cập đến khái niệm số kết quan trọng hai lớp môđun Noether Artin Nhiều vấn đề mô đun chưa đề cập đến như: Mô đun tự do, tích Tenxơ, hàm tử mô đun,… Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy, cô bạn sinh viên Tài Liệu Tham Khảo [1] GS Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình đại số đại, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [2] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số-giáo trình sau đại học, Nxb giáo dục Đào Thị Huê 62 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội [3] Nguyễn Tiến Quang-Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, Nxb giáo dục [4] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, Nxb Đại học sư phạm [5] N.S Gopalakrishnan (1984), Steps in Commutative Algebr Đào Thị Huê 63 Lớp K32G Toán [...]... môđun Noether khi và chỉ khi M1 , M 2 là môđun Noether Hệ quả 3: Một môđun M trên vành giao hoán Noether là môđun Noether khi và chỉ khi M là hữu hạn sinh Chứng minh:  Nếu M là môđun Noether thì M hữu hạn sinh  Do M hữu hạn sinh nên M có phân tích M  x1 R   x n R Vì R là vành giao hoán Noether nên các xi R, i  1, n là Noether Theo hệ quả trên thì M là Noether Hệ quả 4: ảnh đồng cấu của một môđun. .. 3.2 Môđun Noether 3.2.1 Định nghĩa Một R -môđun M được gọi là môđun Noether nếu mọi tập khác rỗng các môđun con của M chứa ít nhất một phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm R gọi là vành Noether nếu R là môđun Noether Nhận xét : Môđun Noether nhiều khi còn được gọi là môđun thoả mãn điều kiện cực đại 3.2.2 Điều kiện tương đương Cho M là R môđun Khi đó các điều kiện sau tương đương : a) M là môđun Noether. .. môđun Noether bất kì là môđun Noether Chứng minh: Giả sử f là đồng cấu, M là một môđun Noether bất kì Đặt I  ker f , theo định nghĩa đồng cấu M I  f (M ) Lại có, M I  M 0 , do M 0  M là môđun Noether nên M I cũng là Noether Vậy f(M) là môđun Noether Nhận xét: Vì một tập con khác rỗng của R là một R -môđun con của R -môđun R khi và chỉ khi nó là một iđêan của R nên R là một vành Noether khi và chỉ... Mọi vành chính đều là vành Noether 2) Một không gian vevtơ là một môđun Noether khi và chỉ khi nó có chiều hữu hạn 3) Vành đa thức vô hạn biến R=A[x1, , xn, ] trên một vành giao hoán A khác vành 0 không phải là một vành Noether, vì tồn tại một dãy tăng vô hạn các iđêan sau đây trong R ( x1 )  ( x1 , x 2 )   ( x1 , , x n )  4) Vành các số nguyên Z là Z -môđun thì Z là môđun Noether Vì: Các môđun. .. ra, M là R -môđun Noether 3.2.3 Hệ quả Hệ quả 1: Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các R -môđun O M ' M M" O Khi đó M là môđun Noether khi và chỉ khi M ' , M " là các môđun Noether Chứng minh:  Giả sử M là R -môđun Noether Từ dãy khớp ngắn đã cho, ta luôn có thể coi M ' là một môđun con của M và M"  M M' , theo nghĩa sai khác một đẳng cấu Khi đó, mọi dãy tăng các môđun con... b | a Suy ra mọi dãy tăng các môđun con a1 Z  a 2 Z   a n Z  đều dừng vì ai 1 ai Suy ra Z là môđun Noether 5) Một trường X là một vành Noether vì trường chỉ có hai iđêan là 0 và X 6) Mọi môđun M  0 gọi là môđun đơn nếu chỉ có hai môđun con là M và 0 Do đó, mọi môđun đơn đều là môđun Noether 7) Cho V là k không gian vectơ vô hạn chiều thì V không là môđun Noether Thật vậy, giả sử u i... là môđun con của R -môđun M Khi đó M là Noether khi và chỉ khi N và M N là Noether Đào Thị Huê 34 Lớp K32G Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chứng minh:  Giả sử M là môđun Noether + Khi đó, mọi dãy tăng các môđun con của N cũng là dãy tăng các môđun con của M Do M là Noether nên dãy đó phải dừng Suy ra, N là Noether + Giả sử M 1  M 2  là dãy tăng các môđun con của môđun M Trong đó, môđun. .. giảm tính tổng quát chỉ cần xét tích trực tiếp của hai môđun Giả sử, M  N  P thì N  N  0 và P  M N  0 Vì N là môđun con của M Theo mệnh đề trên ta có: Nếu N và M N là Noether thì M là Noether Vậy M là Noether khi và chỉ khi P và N là Noether 3.2.3 Định lý cơ sở Hilbert Nếu R là một vành Noether thì vành đa thức R[x] cũng là một vành Noether Chứng minh: Giả sử I là một iđêan của R[x] Trường... cấu môđun + Cho M là R -môđun, N là môđun con của M ánh xạ p:M  M N x xN là toàn cấu môđun và gọi là toàn cấu chính tắc 1.5.3 Tính chất Tính chất 1: Tích của hai đồng cấu môđun là một đồng cấu môđun Tính chất 2: Cho M, N là các R -môđun, f : M  N là đồng cấu môđun, A là môđun con của M, B là môđun con của N và f 1 ( B)  x  M : f ( x)  B là môđun con của M Đặc biệt, f : M  N là đồng cấu môđun. .. là môđun con của M và N Do đó tồn tại dãy tăng các môđun con của M N1  N 2  Sao cho M i  N i N Do M là môđun Noether nên dãy trên phải dừng Do đó tồn tại n để N n  N n 1  Tức tồn tại n : Nn N  Nn1 N  Hay M n  M n 1  Vậy M N là môđun Noether  Nếu N và M N là môđun Noether Với mọi dãy tăng các môđun con của M M 1  M 2  Ta có dãy tăng các môđun con của N là M 1  N  M 2  N  Và ... Chương 3: Môđun Noether Và Môđun Artin 20 3.1 Iđêan vành giao hoán 20 3.2 Môđun Noether 25 3.3 Môđun Artin 34 3.4 Sự phân tích nguyên sơ môđun Noether ... không 3.2 Môđun Noether 3.2.1 Định nghĩa Một R -môđun M gọi môđun Noether tập khác rỗng môđun M chứa phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm R gọi vành Noether R môđun Noether Nhận xét : Môđun Noether. .. ra, I hữu hạn sinh Vậy R vành Noether Hệ quả: 1) Nếu R vành Noether vành đa thức R[x1, ,xn] vành Noether 2) Nếu K trường vành đa thức K[x1, ,xn] vành Noether 3.3 Môđun Artin Đào Thị Huê 37 Lớp