LỜI MỞ ĐẦUcác bài toán liên quan I. Lí do chọn đề tàiCấu trúc module xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một một cách bản chất các cấu trúc vành, ideal, nhóm Aben, không gian vector. Tính linh hoạt và phổ quát của cấu trúc module đã mang lại những ứng dụng to lớn. Thông qua lí thuyết module, ta sẽ có dịp soi sáng, củng cố lí thuyết về không gian vector và nhiều lí thuyết toán học khác.Hiểu được vai trò của môn “lí thuyết module” ta cũng thấy được tầm quan trọng phải trang bị cho sinh viên các trường sư phạm một lượng kiến thức vững chắc về cấu trúc module. Bản thân tôi với vai trò đang là sinh viên sư phạm tôi hiểu rõ được việc trang bị kiến thức về lí thuyết module là rất cần thiết. Đặc biệt, với các lớp module Norther và module Artin là hai lớp module quan trọng, mang đậm dấu ấn của Hình Học và Số học.Tôi chọn đề tài “ Module Noether và module Artin” tìm hiểu rõ hơn về các tính chất của hai lớp module này. II. Mục đích chọn đề tàiTrên cơ sở nghiên cứu đề tài, tôi muốn trình bày các tính chất, module có độ dài hữu hạn, phân tích nguyên sơ, tập các idean nguyên tố liên kết, giá của module,....của “Module Noether và module Artin”. Từ đó các bạn có thể hiểu rõ hơn về môn học này cũng như nắm bắt được các tính chất đặc trưng của chúng để vận dụng làmIII.Lịch sử và vấn đề Sau thời gian học tập ở trường Đại học ……………., tôi nhận thấy rằng: Lí thuyết module là một môn học khó, đa dạng và phức tạp và đặc biệt là các ứng dụng của chúng vào các bài toán Số học. Chính vì vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài này với mục đích nêu trên.IV. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứuLí thuyết ModuleV.Phương pháp nghiên cứuĐể thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau: Tham khảo các tài liệu có sẵn Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp phân tíchPhương pháp tổng hợp Phương pháp khái quát hóa Phương pháp tổng kết kinh nghiệmVI. Nội dungGồm ba phần:Phần 1: Mở đầuPhần 2: Nội dungA Lí thuyếtBBài tậpPhần 3: Kết luận.NỘI DUNGALý thuyếtI.Module Noether1 Định nghĩaĐịnh lí 1: Cho M là một A module. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:(i)Mọi tập hợp không rỗng những module con của M đều có một phần tử cực đại(ii)Mọi dãy tăng những module con của M: đều dừng, nghĩa là tồn tại m để với mọi (iii)Mọi module con của M đều là hữu hạn sinh.Chứng minh:(i) => (ii): Giả sử là một dãy tăng bất kì các module của MXét tập Theo giả thiết thì F có phần tử tối đại. Giả sử là phần tử tối đại của F, ta suy ra (ii)=>(i): Giả sử: là một tập hợp khác bất kỳ các module con của M+ Nếu là phần tử tối đại của F => đpcm.+ Nếu không là phần tử tối đại thì + Nếu là phần tử tối đại của F => đpcm+ Nếu không là phần tử tối đại thì Lập luận tương tự cho ta được :F có phần tử tối đại => đpcmTồn tại dãy tăng các module con của M, không dừng => mâu thuẫn => đpcmĐể nhấn mạnh ba thuộc tính đẹp đẽ của module Noether và để tiện sử dụng, người ta đưa ra định nghĩa.Định nghĩa: Cho A là một vành giao hoán có đơn vị. Khi đó một A – module M được gọi là module Noether nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương nói trong định lí 1. Vành A được gọi là một vành Noether nếu nó là một A module Noether.2. Một số tính chất:Định lí 1: Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các A module Khi đó M là module Noether nếu và chỉ nếu N và P đều là các module noetherChứng minh:“=>” Từ dãy khớp ngắn đã cho, ta luôn có thể coi N là một module con của M và , theo nghĩa sai khác một đẳng cấu. Giả sử M là một module Noether. Khi đó mỗi dãy tăng trong N cũng là một dãy tăng trong M, do đó nó phải dừng, vậy N là một Noether.Nhận thấy rằng mỗi dãy tăng trong P đều là ảnh của một dãy tăng trong M qua toàn cấu chính tắc. vì mọi dãy tăng trong m đều dừng, nên mọi dãy tăng trong P phải dừng. vậy P cũng là Noether.“ (ii): Giả sử Xét tập M1 ⊂ M ⊂ ⊂ M n ⊂ dãy tăng module M F = { M1 ⊂ M ⊂ ⊂ M n ⊂ } Theo giả thiết F có phần tử tối đại Giả sử Mx phần tử tối đại F, ta suy M k +1 = M k ⇒ M k +i = M k ∀i = 0,1,2 (ii)=>(i): Giả sử: F = { M1, M , ,M n , } tập hợp khác module M M1 + Nếu phần tử tối đại F => đpcm M1 ∃ M ∈ F : M1 ⊂ M + Nếu không phần tử tối đại M2 + Nếu phần tử tối đại F => đpcm ∅ + Nếu ∃ M3 ∈ F : M ⊂ M3 M2 không phần tử tối đại M3 ,M , ,M n , Lập luận tương tự cho ta : F có phần tử tối đại => đpcm M1 ⊂ M ⊂ ⊂ M n ⊂ Tồn dãy tăng module M, không dừng => mâu thuẫn => đpcm Để nhấn mạnh ba thuộc tính đẹp đẽ module Noether để tiện sử dụng, người ta đưa định nghĩa Định nghĩa: Cho A vành giao hoán có đơn vị Khi A – module M gọi module Noether thỏa mãn điều kiện tương đương nói định lí Vành A gọi vành Noether A- module Noether 2/ Một số tính chất: Định lí 1: Cho A vành giao hoán có đơn vị dãy khớp ngắn Amodule 0→N →M →P→0 Khi M module Noether N P module noether Chứng minh: “=>” Từ dãy khớp ngắn cho, ta coi N module M P=M/N , theo nghĩa sai khác đẳng cấu Giả sử M module Noether Khi dãy tăng N dãy tăng M, phải dừng, N Noether Nhận thấy dãy tăng P ảnh dãy tăng M qua toàn cấu tắc dãy tăng m dừng, nên dãy tăng P phải dừng P Noether “ (ii) Giả sử (1) dãy giảm module M Theo giả thiết Giả sử F = { Mi i ∈ N,i ≥ 1} M k ,k ≥ có phần tử tối thiểu phần tử tối tiểu F M k +1 ⊃ M k ⇒ M k +1 = M k M k ⊃ M k +1 Suy Vậy (1) dừng (ii) => (i) Giả sử Vì F≠∅ + Nếu + Nếu M1 M1 nên F≠∅ tập module M ∃ M1 ∈ F tối tiểu ta có điều phải chứng minh không tối tiểu ∃ M ∈ F : M1 ⊃ M Lập luận tương tự ta F có phần tử tối tiểu tồn dãy giảm không dừng module M M1 ⊃ M ⊃ ⊃ M n ⊃ Theo giả thuyết khả thứ không xảy Vậy F có phần tử tối tiểu Định nghĩa: 1) Cho R- vành giao hoán có đơn vị R module M gọi Artin thỏa mãn hai điều kiện định lí 2) Cho R – vành giao hoán có đơn vị R gọi vành Artin R-module R mà module Artin 2/ số tính chất Bổ đề: ( Luật module La) Cho A,B module R- module M với A⊂B Khi với module C M ta có : ( C + A ) ∩ B = (C ∩ B) + A Chứng minh : +) x ∈ C + A ∀x ∈ ( C + A ) ∩ B ⇒ x ∈ B ∃ a ∈ A, ∃c ∈ C : x = c + a ⇒ :x = b ∃ b ∈ B ⇒ c + a = b ⇒ c = b − a∈B c ∈ C ⇒ c ∈ C ∩ B ⇒ x = c + a ∈ ( C ∩ B) + A c ∈ B ⇒ ( C + A ) ∩ B ⊂ ( C ∩ B) + A +) ( 1) ∀x ∈ ( C ∩ B ) + A → ∃ x ∈ C ∩ B; ∃a ∈ A x = x0 + a x0 ∈ C x0 ∈ C ∩ B ⇒ x0 ∈ B x ∈ B ⇒ x = x0 + a ∈ B a ∈B ⇒ x ∈( C + A) ∩ B x0 ∈ C ⇒ x = x0 + a ∈ C + A a ∈A Định lý : vành Artin có hữu hạn ideal cực đại Định lý : Mỗi vành Artin phân tích thành tích trực tiếp số hữu hạn vành Artin địa phương B Bài tập Bài : Chứng minh ¢ - module ¢ module Noether Giải Nhận xét : Bộ phận I Giả sử ¢ I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ I n ⊂ module ¢ I ideal dãy tăng module ¢ ¢ ∞ I = U Ii Đặt Vì ¢ i =1 nên I module vành nên ideal ¢ ¢ Ideal ⇒ ∃ d ∈ ¢ : I = d¢ ∞ d ∈ I = UIi ⇒ ∃k ∈ ¥ *: d ∈ Ik i =1 Vì ⇒ I ⊂ Ik Mặt khác : Nên Ik ⊂ I I = Ik ⇒ Ik +i = I k ∀i = 0,1,2, Vậy dãy tăng module Noether ¢ dừng, nghĩa ¢ - module ¢ Bài : Cho p số nguyên tố a ¤ p = a ∈ ¢ ,i ∈ ¥ i p số hữu tỉ mà mẫu số lũy thừa p Rõ ràng ¢ ⊂¤ p Chứng minh ¢ ¤p - module ¢ ¤p tức ¤p tập hợp nhóm ¤ Artin Giải p i +¢ Giả sử pi ¤ +¢ ∈ p module ¢ ¤p - module ¢ sinh phần tử ¢ Khi : 0⊂ 1 +¢ ⊂ + ¢ ⊂ ⊂ + ¢ ⊂ n p p p pi +1 ∉ pi +¢ Là chuỗi tăng thực sự, ( a, p ) = ⇒ a pi +¢ = pi +¢ Ta có nhận xét : Thật vậy, a p số nguyên tố nên tồn m,n ∈ ¢ : am + pi n = 1 pi − am pi = n ∈¢ ⇒ am pi +¢ = pi +¢ ⇒ a pi +¢ = pi +¢ Từ Mặt khác : hiển nhiên ta có bao hàm thức ngược lại Vậy nhận xét chứng minh ¤p ¢ Bây B module xảy hai trường hợp sau : ∃i ∈ ¥ Trường hợp : tối đại dể tìm : a + ¢ ∈B i p với (a,p)=1 a p i +¢ = pi +¢ =B Khi ta có : Trường hợp : Đối với Mặt khác (a,p)=1 ¤ B= p Nên ¢ ¤p => module pi ¢ a pi + ¢ ∈B cho + ¢ ∈B (vì lớp ) có module tối tiểu ¤ ¢ − mod ule p Vậy n∈¥ ∃i ∈ ¥ i ≥ n; ¢ Artin Vk Bài 3: Chứng minh không gian vector vô hạn chiều Noether, Artin Giải { ui i ∈ ¥ *} Giả sử tập hợp mà phần tử độc lập tuyến tính V Khi chuỗi sau không dừng ∞ ∞ ∞ ∞ i =1 i =2 i =3 i=n ∑ uik ⊃ ∑ uik ⊃ ∑ ui k ⊃ ⊃ ∑ uik ⊃ Và chuỗi u1k ⊂ u1k + u 2k ⊂ u1k + u 2k + u 3k ⊂ Vậy không gian vector vô hạn chiều Artin Vk Noether, A[ X] Bài : Nếu A vành Noether tì vành đa thức vành Noether Giải A[ X] Gọi I ideal không , ta cần I hữu hạn sinh Giả sử I hữu hạn sinh Khi ta lấ dãy đa thức bậc tăng dần: f1,f , ,f n , Sao cho f1 đa thức khác không I có bậc thấp I, thức thấp tập I \ ( f1, ,f m ) Bây gọi aj I \ ( f1 ) , ,f m +1 đa đa thức có bậc thấp đa thức , hệ tử hạng tử bậc cao đa thức A sinh tất nguyên dương n để f2 aj fj gọi J ideal Vì A vành Noether nên J hữu hạn sinh Do tồn số J = ( a1,a , ,a n ) Gọi mj bậc đa thức fj bx m n +1 hạng n tử bậc cao thấy rằng: f n +1 Khi đó, ta có b∈J b = ∑ λi a i i =1 , với λi ∈ A Dễ n g = f n +1 − ∑ λifi x m n +1 −mi ∈ I \ ( f1, ,f n ) i =1 Và deg(g) < deg(f n +1) , mâu thuẫn với cách chọn f n +1 Vậy I ideal hữu hạn A [ X] sinh, vành Noether Bài 5: Mỗi vành Artin có hữu hạn ideal cực đại Giải Gọi S tập tất ideal vành Artin A cho biễu diễn giao số hữu hạn ideal cực đại A, I phần tử cực tiểu S Giả sử I = m1 ∩ m2 ∩ ∩ m n Ta chứng minh { m1, ,m n } tập hợp tất ideal cực đại A I ⊇ m ∩ I ∈S gọi m ideal cực đại tùy ý A, Vì I phần tử cực tiểu mi ⊆ m I = m ∩ I hay I ⊆ m mi = m S, nên Do tồn , Ta điều phải chứng minh M¡ ≠ M¡ Bài 6: giả sử Nếu module Artin Noether có module không phân tích M1,M , ,M n cho: n M ¡ = ⊕ Mi i =1 Giải Trường hợp M¡ module Artin Gọi Γ tập hạng tử trực tiếp B≠0 M¡ Γ≠0 B0 M¡ ∈ Γ M¡ Do B0 Khi hiển nhiên module Artin nên Γ có phần tử tối tiểu, chẳng hạn, module không phân tích lại gọi A tập module M¡ C cho tồn module không phân tích M ¡ = B1 ⊕ B2 ⊕ ⊕ Bk ⊕ C Vì tồn hạng tử không phân tích M ¡ = M1 ⊕ M ⊕ ⊕ M n ⊕ C0 Rõ ràng C0 = C0 ≠ C0 B0 nên A≠∅ C0 C0 = M n +1 ⊕ C1 module không phân tích được; trái với giả thiết tối tiểu mà Lại có : module Artin nên tử trực tiếp module không phân tích được, chẳng hạn B1,B2 , ,Bk C0 có hạng Với M n +1 n M ¡ = ⊕ Mi Vậy: Trường hợp i =1 M¡ Với Mi module không phân tích module Noether Gọi Γ tập hạng tử trực tiếp B ≠ M¡ M¡ Γ ≠ ∅ M¡ 0∈ Γ Γ Do module Noether nên có phần tử tối đại, chẳng hạn, B0 M ¡ = B0 ⊕ A0 A0 Khi hiển nhiên module không phân tích Lại gọi M¡ A tập module C cho tồn module không phân tích B1,B2 , ,Bk mà C = B1 ⊕ B2 ⊕ ⊕ Bk Và C hạng tử trực tiếp nên A≠0 M¡ Lại M¡ Vì tồn hạng tử không phân tích module Noether nên A có phần tử tối đại, chẳng hạn C0 = M1 ⊕ M ⊕ ⊕ M n A0 , C0 M ¡ = C0 ⊕ D0 có phân tích D0 = D0 ≠ C0 D0 Rõ ràng module Noether nên có hạng tử trực tiếp module không phân tích được, chẳng hạn M n +1 D0 = M n +1 ⊕ D1 module không phân tích được; trái với giả thiết tối đại C0 Với n M ¡ = ⊕ Mi Vậy i =1 Với Mi module không phân tích M¡ ϕ Bài 7: Cho tự đồng cấu module n0 1) Nếu M vành Artin tồn số tự nhiên cho ( ) ( ) M = Im ϕn + Ker ϕn n ≥ n0 ϕ ϕ Hơn nữa, toàn cấu đơn cấu n0 2) Nếu M vành Noether tồn số tự nhiên cho ( ) ( ) với Im ϕn I Ker ϕ n = với n ≥ n0 Hơn nữa, Giải ϕ toàn cấu ( ) ( ) ϕ Im ϕ ⊃ Im ϕ2 ⊃ Im ϕ3 ⊃ 1) Nếu M module Artin dãy sau dừng ∃ n0 ∈ ¥ n ≥ n0 Bởi cho với ta có ( ) ( ) Im ϕn = Im ϕ n Nói riêng với n ≥ n0 ( ) ( ) Im ϕn = Im ϕ 2n ta có đơn cấu Đặt ψ = ϕn với a∈M ( ) ta có: ψ ( a ) ∈ Im ψ ⊂ Im ψ ψ ( a ) = ψ ( b ) ,b ∈ M Bởi cho a − ψ ( b) = k Nếu ϕ Vậy ψ ( a − ψ ( b) ) = Từ a = ψ ( b ) + k ∈ Im ψ + Kerψ đơn cấu hiển nhiên ϕn ( ) Im ϕn ⊂ Im ϕ Suy tồn k ∈ Kerψ , ta có điều phải chứng minh ( ) M = Im ϕn đơn cấu ϕ Điều chứng tỏ toàn cấu đẳng cấu 2) Nếu M Noether dãy sau dừng ( ) ( ) kerϕ ⊂ ker ϕ2 ⊂ ker ϕ3 ⊂ Do tồn n ≥ n0 n0 ∈ ¥ cho ( ) Ker ( ψ ) = Ker ψ ta có: Nếu a ∈ Kerψ I Im ψ ( ) ( ) ( ) ker ϕn = ker ϕn với n ≥ n0 nói riêng, với ψ = ϕn với a = ψ( b) với b∈M Khi ψ2 ( b ) = ψ ( a ) = b ∈ Ker ψ = Kerψ a = ψ( b) = Kerψ I Im ψ = Từ suy , nghĩa Im ψ = M Kerψ = ϕ ϕn Nếu toàn cấu toàn cấu Kerϕ = Kerϕ ⊂ Kerψ Từ , [...]... đó tồn tại một , và vì vậy Ta được điều phải chứng minh M¡ ≠ 0 M¡ Bài 6: giả sử Nếu là module Artin hoặc Noether thì nó có các module con không phân tích được M1,M 2 , ,M n sao cho: n M ¡ = ⊕ Mi i =1 Giải Trường hợp M¡ là module Artin Gọi Γ là tập các hạng tử trực tiếp B≠0 của M¡ Γ≠0 B0 M¡ ∈ Γ vì M¡ Do B0 Khi đó hiển nhiên là module Artin nên Γ có phần tử tối tiểu, chẳng hạn, là module không phân... M¡ Với Mi là module không phân tích được là module Noether Gọi Γ là tập các hạng tử trực tiếp B ≠ M¡ của M¡ Γ ≠ ∅ M¡ 0∈ Γ Γ vì Do là module Noether nên có phần tử tối đại, chẳng hạn, B0 M ¡ = B0 ⊕ A0 A0 và Khi đó hiển nhiên là module không phân tích được Lại gọi M¡ A là tập các module con C của sao cho tồn tại những module con không phân tích B1,B2 , ,Bk được mà C = B1 ⊕ B2 ⊕ ⊕ Bk Và C là hạng... đó cả 2 chuỗi sau đều không dừng ∞ ∞ ∞ ∞ i =1 i =2 i =3 i=n ∑ uik ⊃ ∑ uik ⊃ ∑ ui k ⊃ ⊃ ∑ uik ⊃ Và chuỗi u1k ⊂ u1k + u 2k ⊂ u1k + u 2k + u 3k ⊂ Vậy không gian vector vô hạn chiều Artin Vk không phải là Noether, cũng không phải là A[ X] Bài 4 : Nếu A là một vành Noether tì vành đa thức cũng là một vành Noether Giải A[ X] Gọi I là một ideal không của , ta cần chỉ ra I là hữu hạn sinh Giả sử I không... deg(g) < deg(f n +1) , mâu thuẫn với cách chọn f n +1 Vậy I là một ideal hữu hạn A [ X] sinh, và do đó là một vành Noether Bài 5: Mỗi vành Artin chỉ có hữu hạn các ideal cực đại Giải Gọi S tập tất cả các ideal của một vành Artin A đã cho có thể biễu diễn như là giao của một số hữu hạn các ideal cực đại của A, và I là một phần tử cực tiểu của S Giả sử I = m1 ∩ m2 ∩ ∩ m n Ta sẽ chứng minh rằng { m1, ,m... được là module Noether nên trong A có phần tử tối đại, chẳng hạn C0 = M1 ⊕ M 2 ⊕ ⊕ M n A0 , C0 M ¡ = C0 ⊕ D0 có các phân tích và D0 = 0 D0 ≠ 0 C0 D0 Rõ ràng vì nếu thì do cũng là module Noether nên cũng có hạng tử trực tiếp là module không phân tích được, chẳng hạn M n +1 D0 = M n +1 ⊕ D1 là module không phân tích được; trái với giả thiết tối đại của C0 Với n M ¡ = ⊕ Mi Vậy i =1 Với Mi là module. .. 7: Cho là một tự đồng cấu của module n0 1) Nếu M là vành Artin thì tồn tại số tự nhiên sao cho ( ) ( ) M = Im ϕn + Ker ϕn n ≥ n0 ϕ ϕ Hơn nữa, nếu là toàn cấu thì đơn cấu n0 2) Nếu M là vành Noether thì tồn tại số tự nhiên sao cho ( ) ( ) với mọi Im ϕn I Ker ϕ n = 0 với mọi n ≥ n0 Hơn nữa, nếu Giải ϕ là toàn cấu thì ( ) ( ) ϕ Im ϕ ⊃ Im ϕ2 ⊃ Im ϕ3 ⊃ 1) Nếu M là module Artin thì dãy sau dừng ∃ n0 ∈... được lại gọi A là tập các module M¡ con C của sao cho tồn tại những module con không phân tích được M ¡ = B1 ⊕ B2 ⊕ ⊕ Bk ⊕ C Vì tồn tại hạng tử không phân tích được M ¡ = M1 ⊕ M 2 ⊕ ⊕ M n ⊕ C0 Rõ ràng C0 = 0 vì nếu C0 ≠ 0 thì do C0 B0 nên A≠∅ C0 C0 = M n +1 ⊕ C1 module không phân tích được; trái với giả thiết tối tiểu của mà Lại có : cũng là module Artin nên tử trực tiếp là module không phân tích được,... sinh bởi tất cả các nguyên dương n để f2 aj fj và gọi J là ideal Vì A là vành Noether nên J hữu hạn sinh Do đó tồn tại số J = ( a1,a 2 , ,a n ) Gọi mj là bậc của đa thức fj và bx m n +1 là hạng n tử bậc cao nhất của thấy rằng: f n +1 Khi đó, ta có b∈J b = ∑ λi a i i =1 , vì vậy với các λi ∈ A Dễ n g = f n +1 − ∑ λifi x m n +1 −mi ∈ I \ ( f1, ,f n ) i =1 Và deg(g) < deg(f n +1) , mâu thuẫn với cách... Vậy ψ ( a − ψ ( b) ) = 0 Từ đó a = ψ ( b ) + k ∈ Im ψ + Kerψ đơn cấu thì hiển nhiên ϕn ( ) Im ϕn 0 ⊂ Im ϕ Suy ra tồn tại k ∈ Kerψ , và ta có điều phải chứng minh ( ) M = Im ϕn 0 cũng là đơn cấu bởi vậy và do đó ϕ Điều này chứng tỏ toàn cấu và do đó đẳng cấu 2) Nếu M là Noether thì dãy sau dừng ( ) ( ) kerϕ ⊂ ker ϕ2 ⊂ ker ϕ3 ⊂ Do đó tồn tại n ≥ n0 n0 ∈ ¥ sao cho ( ) Ker ( ψ ) = Ker ψ 2 ta có: Nếu a... riêng, với ψ = ϕn với a = ψ( b) với b∈M Khi đó ψ2 ( b ) = ψ ( a ) = 0 b ∈ Ker ψ 2 = Kerψ a = ψ( b) = 0 Kerψ I Im ψ = 0 Từ đó suy ra , nghĩa là Im ψ = M Kerψ = 0 ϕ ϕn Nếu toàn cấu thì cũng toàn cấu bởi vậy và Kerϕ = 0 Kerϕ ⊂ Kerψ Từ đó vì , do đó ... A- module Noether A- module Noether 2) A- module hữu hạn sinh vành Noether A A- module Nother định lý ( Định lí sở Hilbert) A vành Noether vành đa thức A[X] vành Noether Nhận xét: Với K trường,... tiếp họ hữu hạn module Noether Noether module Noether II Module Artin 1/ Định lý: Cho R vành giao hoán có đơn vị M R- module Các điều kiện sau tương đương: i) Mọi tập khác ∅ module M có phần... R- vành giao hoán có đơn vị R module M gọi Artin thỏa mãn hai điều kiện định lí 2) Cho R – vành giao hoán có đơn vị R gọi vành Artin R -module R mà module Artin 2/ số tính chất Bổ đề: ( Luật module