Môđun hữu hạn sinh

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✖ ❚❘×❒◆● ❚❍➚ ▲■➊◆ ▼➷✣❯◆ ❍Ú❯ ❍❸◆ ❙■◆❍ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ❍⑨ ◆❐■✱ ✷✵✶✾ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷ ❑❍❖❆ ❚❖⑩◆ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✖ ❚❘×❒◆● ❚❍➚ ▲■➊◆ ▼➷✣❯◆ ❍Ú❯ ❍❸◆ ❙■◆❍ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈ ◆❣÷í✐ ữợ ◆❐■✱ ✷✵✶✾ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✳ ❇➯♥ ❝↕♥❤ ✤â✱ ❡♠ ❝á♥ ✤÷đ❝ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➔ ♥❤➟♥ sü q✉❛♥ t➙♠ ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ sü q✉❛♥ t➙♠✱ ữợ t t ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✱ ❡♠ ❝â t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✤➣ ❣❤✐ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❱➻ ✈➟② ❡♠ ①✐♥ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤➲ t➔✐ ✧▼ỉ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✧ ❦❤ỉ♥❣ ❝â sü trò♥❣ ❧➦♣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝✳ ❍➔ ◆ë✐✱ ✻ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ❚r÷ì♥❣ ❚❤à ▲✐➯♥ ✶ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ữợ sỹ ữợ ❑✐➲✉ ◆❣❛✳ ❊♠ ①✐♥ tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tợ ữớ ữợ ✈➔ ❝❤➾ 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B   an2 ann − Φ ❚❛ ❝â ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❞↕♥❣✿    Φ (x1 ) = a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn      Φ (x2 ) = a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn        Φ (xn ) = an1 x1 + an2 x2 + + ann xn ●å✐ [Bij ] ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ♣❤ö ✤↕✐ sè ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ B ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â✿ [Bij ]C B = det (B) E ✈ỵ✐ [Bij ]C ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ [Bij ]✱ E ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à ❝➜♣ n✳ ❚ø ✤â✿   x  1 x   2 det (B) E   =     xn ❤❛②    det (B) x1 =       det (B) x2 =        det (B) xn = ✷✹ ❉♦ {x1, x2, , xn} ❧➔ ❤➺ s✐♥❤ ❝õ❛ M ♥➯♥ ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ❤➺ tr➯♥ s✉② r❛ det (B) ỗ M tr det (B) ❧➔ Φn + a1 Φn−1 + + an−1 Φ + an = ✈ỵ✐ ∈ I i, i = 1, n ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ A ✈➔ I ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ A t❤ä❛ ♠➣♥ IM = M ✳ õ tỗ t a 1(mod I) s aM = 0✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ →♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ t rở tỹ ỗ ỗ t ó r (M ) = M = IM ⊆ IM ✱ ♥➯♥ Φ t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❞↕♥❣✿ ❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳✹✳ Φn + a1 Φn−1 + + an−1 Φ + an = ✈ỵ✐ ∈ I, i = 1, n ●✐↔ sû M ❝â ♠ët ❤➺ s✐♥❤ ❧➔ {x1, x2, , xn}✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ xi t❛ ❝â✿ = Φn + a1 Φn−1 + + an−1 Φ + an (xi ) = Φn (xi ) + a1 Φn−1 (xi ) + + an−1 Φ (x0 ) + an (xi ) = xi + a1 xi + + an xi = (1 + a1 + + an ) xi ❉♦ õ tỗ t a aM = = + a1 + + an ❤❛② a ≡ 1(mod I)✱ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ ①➨t ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈➔ ❝➠♥ ❏❛❝♦❜s♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳✷✳ ❈➠♥ ❏❛❝♦❜s♦♥ J (A) ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ A ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ A✳ ✷✺ ❈❤♦ A ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝➠♥ ❏❛❝♦❜s♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ A ❧➔✿ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✺✳ J (A) = x ∈ A | − xy ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ A ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû x ∈ J (A) ✈➔ − xy ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ ❙✉② r❛ x ∈ M ✈ỵ✐ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ M ❝õ❛ A✳ ❙✉② r❛ (1 − xy) = A✳ ❉♦ ✤â (1 − xy) ⊂ M ✳ ◆➯♥ = xy + (1 − xy) ∈ M ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✈æ ❧➼✳ ❱➟② − xy ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ tr♦♥❣ A✳ ❚r→✐ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣ − xy ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ tr♦♥❣ A ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ A, x ∈/ M ✈ỵ✐ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ M ✳ ❱➻ x ∈/ M ♥➯♥ (x) + M = A ♥➯♥ tỗ t y A, z M = yx + z ✱ s✉② r❛ z = − xy ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✈➔ z ∈ M ♥➯♥ ∈ M ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✈æ ❧➼✳ ◆➯♥ x ∈ M ✈ỵ✐ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ M ✳ ❱➟② x ∈ J (A)✳ ✭❇ê ✤➲ 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✈ỵ✐ n = 1✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ✈➔♥❤ A [x1, x2, , xn−1] ❧➔ ◆♦❡t❤❡r✱ ❦❤✐ ✤â t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✸✳✻ A [x1 , x2 , , xn ] = A [x1 , x2 , , xn−1 ] [xn ] ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳ ✸✻ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ▼æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❦✐➳♥ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ✣↕✐ sè ❤✐➺♥ ✤↕✐✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ ♠ỉ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ♥❤÷ ♠ỉ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥❀ ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣❀ ♠ỉ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ♥❤÷ ✣à♥❤ ❧➼ ❍❛♠✐❧t♦♥ ✲ ❈❛❧❡② ♠ð rë♥❣❀ ❇ê ✤➲ ◆❛❦❛②❛♠❛ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ♥❤÷ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✤➢❝ ❧ü❝ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❧ỵ♣ ♠ỉ✤✉♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✳ ❉♦ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ ♠➦t t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❜↔♥ t❤➙♥ ♥➯♥ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♥❤÷ ♠ỉ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕✱✳✳✳ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳ ❍✐ ✈å♥❣ ✤➙② ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ②➯✉ t❤➼❝❤ ♠ỉ♥ ✣↕✐ sè t✐➳♣ tư❝ q✉❛♥ t➙♠ s❛✉ ♥➔②✳ ợ tớ ự ữ ữợ ❧➔♠ q✉❡♥ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ t→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ t❤✐➳✉ sât✳ 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