Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 Đề 13 tích phân suy rộng loại 2 1 lý thuyết và các ví dụ 2 giải các bài tập riêng

5 1.2 Biên dịch phần định nghĩa, ví dụ và tiêu chuẩn so sánh đối với tích phân suy rộng loại 2... I Lời mở đầu Lời đầu tiên, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giáo viên hướng d

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1

Nhóm GT1HK241-L18-13

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Xuân Anh

Danh sách thành viên trong nhóm:

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2024

Nội dung đề bài:

Đề 13: Tích phân suy rộng loại 2

1 Lý thuyết và các ví dụ

2 Giải các bài tập riêng

Nhận xét của GVHD

Mục lục

II Biên dịch và giải bài tập riêng 5

1 Lý thuyết và các ví dụ 5

1.1 Đề bài 5

1.2 Biên dịch phần định nghĩa, ví dụ và tiêu chuẩn so sánh đối với tích phân suy rộng loại 2

8 1.3 Làm ví dụ 10

2 Bài tập riêng của nhóm 10

2.1 Bài 1 10

2.2 Bài 2 13

2.3 Bài 3 13

2.4 2.5 Bài 4 Bài 5

14

I Lời mở đầu

Lời đầu tiên, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giáo viên hướng dẫn bộ môn giải tích 1 của chúng em là cô Nguyễn Thị Xuân Anh đã truyền đạt cho chúng em những kiến thức quý báu mà chắc chắn sau này sẽ giúp ích rất nhiều cả trong học tập và cuộc sống Trong suốt thời gian tham gia lớp học, những bài giảng của cô đã giúp chúng em có thêm nhiều kiến thức hữu ích qua đó đã thúc đẩy quá trình học tập và hỗ trợ chúng em làm quen với môi trường mới hiệu quả hơn

Được sự phân công của giáo viên bộ môn, nhóm L18 - 13 chúng em xin trình bày nội dung đề

tài 13:Tích phân suy rộng loại 2 Qua việc thực hiện đề tài này, chúng em đã có thêm nhiều

kiến bổ ích và cải thiện những thứ đã có Tuy nhiên, dù đã cố gắng hết sức nhưng do vốn kiến thức còn hạn chế, bài báo cáo sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong cô sẽ xem xét

và góp ý để chúng em hoàn thiện hơn

Chúng em xin chân thành cảm ơn

II Biên dịch và giải bài tập riêng

1 Lý Thuyết Và Các Ví Dụ

1.1 Đề bài

1.2 Biên dịch phần định nghĩa, ví dụ và tiêu chuẩn so sánh đối với tích phân suy rộng loại 2

Định nghĩa về tích phân suy rộng loại 2

a) Nếu hàm f liên tục trên khoảng [a, b) và không liên tục tại điểm b, thì:

∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 dx = 𝑙𝑖𝑚

𝑡→𝑏 −∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥𝑎𝑡 nếu giới hạn này tồn tại (là một số hữu hạn)

b) Nếu hàm f liên tục trên khoảng (a,b] và không liên tục tại điểm a, thì:

∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 dx = 𝑙𝑖𝑚

𝑡→𝑎 +∫ 𝑓(𝑥) ⅆ𝑥𝑡𝑏 nếu giới hạn này tồn tại (là một số hữu hạn)

Tích phân suy rộng ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 dx được gọi là hội tụ nếu giới hạn tương ứng tồn tại và

phân kỳ nếu giới hạn không tồn tại

c) Nếu hàm f có điểm gián đoạn tại 𝑐, nơi 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, và cả hai tích phân

∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑐 dx và ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑏 dx đều hội tụ, thì ta định nghĩa:

∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑏 dx = ∫ 𝑓(𝑥)𝑎𝑐 dx + ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑏 dx

Ví dụ 7: Đánh giá tích phân ∫03𝑥−1𝑑𝑥 nếu có thể:

Lời giải: Quan sát rằng đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của hàm số trong dấu tích phân

Vì điểm x = 1 nằm trong khoảng [0, 3], ta phải sử dụng phần (c) của Định nghĩa 3 với c = 1:

∫ 𝑑𝑥

𝑥−1

3

0 = ∫ 𝑑𝑥

𝑥−1

1

0 + ∫ 𝑑𝑥

𝑥−1

3 1

xét tích phân ∫ 01 𝑥−1𝑑𝑥 = lim

𝑡→ 1 − ∫ 0𝑡 𝑥−1𝑑𝑥 = lim

𝑡→ 1 −ln | 𝑥 − 1| |𝑡

0 = lim

𝑡→ 1 −(ln | 𝑡 − 1 | − ln| −1 |) = lim

𝑡→ 1 −ln(1 − 𝑡) = −∞

vì 1 – t → 0+ <=> t → 1− Do đó tích phân ∫ 01 𝑥−1𝑑𝑥 phân kỳ Điều này có nghĩa tích phân

∫ 𝑑𝑥

𝑥−1

3

0 cũng phân kỳ (Ta không cần tính giá trị của ∫ 𝑑𝑥

𝑥−1 3

1 )

• CHÚ Ý: Nếu chúng ta không nhận ra tiệm cận đứng x = 1 trong Ví dụ 7, mà lại nhầm lẫn tích phân này là một tích phân xác định thông thường, thì có thể dẫn đến tính toán

sai như sau:

∫ 03 𝑥−1𝑑𝑥 = ln|𝑥 − 1| |3

0 = ln2 − ln1 = ln2

Kết quả này là sai, vì tích phân này là một tích phân suy rộng và phải được tính

bằng cách sử dụng giới hạn

Từ giờ trở đi, bất cứ khi nào bạn gặp ký hiệu ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑎𝑏 , hãy kiểm tra hàm f(x) trên

khoảng [a, b] để xác định xem đó là một tích phân xác định thông thường hay là một

tích phân suy rộng

TIÊU CHUẨN SO SÁNH CHO TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Đôi khi không thể tính giá trị chuẩn xác của một tích phân suy rộng, nhưng điều quan trọng là biết nó hội tụ hay phân kỳ Trong những trường hợp như vậy, định lý sau đây rất hữu ích

Mặc dù định lý này được trình bày cho tích phân loại 1, một định lý tương tự cũng đúng cho

tích phân loại 2

ĐỊNH LÝ SO SÁNH: Giả sử f và g là các hàm liên tục với f(x) ≥ g(x) ≥ 0 cho mọi x ≥ a

(a) Nếu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎∞ hội tụ, thì ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑎∞ cũng hội tụ

(b) Nếu ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑎∞ phân kỳ, thì ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎∞ cũng phân kỳ

Ta bỏ qua phần chứng minh của Định lý So sánh, nhưng Hình 12 (Figure 12) làm cho nó có

vẻ hợp lý Nếu diện tích dưới đường cong trên cùng y = f(x) là hữu hạn, thì diện tích dưới

đường cong dưới y = g(x) cũng sẽ hữu hạn Và nếu diện tích dưới y = g(x) là vô hạn, thì diện

tích dưới y = f(x) cũng sẽ vô hạn

[Lưu ý: Điều ngược lại không nhất thiết đúng: Nếu ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑎∞ hội tụ, thì ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎∞ có thể hội tụ hoặc không hội tụ Tương tự, nếu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎∞ phân kỳ, thì ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑎∞ có thể phân kỳ

hoặc không phân kỳ.]

Ví dụ 9: Chứng minh rằng ∫ 𝑒0∞ −𝑥2𝑑𝑥 hội tụ

Lời giải: Chúng ta không thể tính trực tiếp tích phân này vì nguyên hàm của 𝑒−𝑥2 không phải

là một hàm sơ cấp Thay vào đó, ta phân tích tích phân thành hai phần:

∫ 𝑒0∞ −𝑥2𝑑𝑥 = ∫ 𝑒01 −𝑥2𝑑𝑥 + ∫ 𝑒1∞ −𝑥2𝑑𝑥

và nhận thấy rằng tích phân đầu tiên ở vế phải chỉ là một tích phân xác định thông thường Trong tích phân thứ 2, chúng ta sử dụng sự thật rằng x ≥ 1, ta có 𝑥2 ≥ 𝑥, do đó −𝑥2 ≤ −𝑥,

vì vậy 𝑒−𝑥2 ≤ 𝑒−𝑥 (xem Hình 13.) Tích phân của 𝑒−𝑥 thì dễ tính:

∫ 𝑒1∞ −𝑥𝑑𝑥 =lim

𝑡→ ∞∫ 𝑒1𝑡 −𝑥𝑑𝑥 = lim

𝑡→ ∞(𝑒−1− 𝑒−𝑡) = 𝑒−1

Do đó, ta lấy f(x) = 𝑒−𝑥 và g(x) = 𝑒−𝑥2 trong Định lý So sánh, ta thấy rằng ∫ 𝑒1∞ −𝑥2𝑑𝑥 hội tụ Suy ra rằng ∫ 𝑒0∞ −𝑥2𝑑𝑥 cũng hội tụ

1.2 Làm ví dụ: Xác định xem mỗi tích phân sau đây là hội tụ hay phân kỳ Đánh giá

những tích phân hội tụ

Bài 1:

Bài 2: 𝐼2 = ∫ ⅇ1∕𝑥

𝑥 3 𝑑𝑥

1 0

Giải:

Nguyên hàm của ⅇ1∕𝑥

𝑥 3 không phải là một hàm cơ bản Quan sát thấy 𝑥 → 0, hàm ⅇ1∕𝑥

𝑥 3 là vô cùng lớn

Đặt 𝑓(𝑥) =ⅇ1∕𝑥

𝑥 3 , 𝑔(𝑥) = 1

𝑥 3

ⅇ1∕𝑥

𝑥 3 ≥ 1

𝑥 3 , ∀𝑥 ∈ (0,1) → 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

Theo hệ quả ∫ 1

(𝑥−𝑎) 𝛼

𝑏 𝑎

𝑑𝑥 , 𝑛ế𝑢 {𝛼 ≥ 1 phân kỳ

𝛼 ≤ 1 hội tụ → ∫ 1

𝑥 3

1

0

𝑑𝑥 là phân kỳ

Như vậy, theo Định lý So sánh,∫ 1

𝑥 3

1 0

𝑑𝑥 phân kỳ và 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) Do đó, 𝐼2 = ∫ ⅇ1∕𝑥

𝑥 3 𝑑𝑥

1 0

phân kỳ

2 Giải các bài tập riêng

2.1 Bài 1

Biên dịch

Đề bài: Một thợ lặn nhảy từ một bệ cao với vận tốc ban đầu hướng xuống là 1 ft/s về phía

trung tâm của một bể nước lớn Xem HÌNH 4.2.22 Theo lý thuyết vật lý, chiều cao từ thợ lặn so với mặt đất được cho bởi công thức: s(t) = −16𝑡2− 𝑡 + 200, trong đó, t ≥ 0 là thời gian tính bằng giây

(a) Biểu diễn góc θ theo S bằng một hàm nghịch đảo của các hàm lượng giác

(b) Tính tốc độ thay đổi của góc θ tại thời điểm t = 3 giây trong quá trình thợ lặn

(c) Tính giá trị của θ khi thợ lặn chạm vào nước

(d) Tính tốc độ thay đổi của góc θ khi thợ lặn chạm vào nước

Giải

2.2 Bài 2

2.3 Bài 3

Đề bài: Tìm giá trị của hằng số C sao cho tích phân hội tụ

Tính giá trị của tích phân với giá trị C này

BÀI GIẢI:

Đặt I = ∫ (√𝑥12+4− 𝐶

𝑥+2) 𝑑𝑥

∞

Xét tích phân khi x → +∞

+ Với 1

√𝑥 2 +4 : Khi x → +∞ thì 𝑥2là vô cùng lớn nên:

1

√𝑥 2 +4 ~1

𝑥

+ Với −𝐶

𝑥+2 : Khi x → +∞ thì x là vô cùng lớn nên:

−𝐶 𝑥+2~−𝐶

𝑥

Suy ra, tích phân I hội tụ khi và chỉ khi ∫ (1

𝑥−𝐶

𝑥) 𝑑𝑥

∞

Ta có: ∫ (𝑥1−𝐶

𝑥) 𝑑𝑥

∞

0 = ∫ (𝑥1−𝐶

𝑥) 𝑑𝑥

1

0 + ∫ (1𝑥−𝐶

𝑥) 𝑑𝑥

∞ 1

Xét 𝐼1 = ∫ (1

𝑥−𝐶

𝑥) 𝑑𝑥 = lim

𝑡→0 +∫ 1−𝐶

𝑥 𝑑𝑥

1

t→0 +(1 − C)ln|x||t1

1 0

= (1 − C)(ln 1 − 𝑙𝑛0+)

𝐼1 sẽ hội tụ nếu 1 − C = 0 → C = 1

Xét 𝐼2 = ∫ (1

𝑥−𝐶

𝑥) 𝑑𝑥 = lim

𝑡→∞∫ 1−𝐶

𝑥 𝑑𝑥

𝑡

t→∞(1 − C)ln|x||1t

∞ 1

= (1 − C)(ln ∞ − ln 1)

𝐼2 sẽ hội tụ nếu 1 − C = 0 → C = 1

Vậy suy ra tích phân I sẽ hội tụ khi C = 1

Thay C = 1 vào I ta có :

𝐼 = ∫ ( 1

√𝑥2+ 4−

1

𝑥 + 2

∞ 0

)𝑑𝑥 = (ln |𝑥 + √𝑥2+ 4| − ln|𝑥 + 2|) |0∞

Khi 𝑥 → +∞ thì 𝑥 + √𝑥 2 + 4 ~ 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥

𝑥 + 2 ~ 𝑥

Suy ra ln 2𝑥 − ln 𝑥 = ln 2

Khi 𝑥 → 0 thì ln 0 + √0 2 + 4 − ln 0 + 2 = 0

Vậy giá trị của I = ln 2

2.4 Bài 4

2.5 Bài 5

Đề bài: Tìm nghiệm riêng của phương trình:

𝑦" − 8𝑦′ + 20𝑦 = 𝑒4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑥2+ 1; 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 1

• Tìm nghiệm thuần nhất:

𝑘2− 8𝑘 + 20 = 0 => 𝑘 = 4 ± 2𝑖 => 𝑦𝑡𝑛 = 𝐶1𝑒4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶2𝑒4𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥

• Tìm nghiệm riêng của:

𝑦" − 8𝑦′ + 20𝑦 = 𝑒4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑒4𝑥(1𝑐𝑜𝑠2𝑥 +0𝑠𝑖𝑛2𝑥) (1) 𝑦" − 8𝑦′ + 20𝑦 = 𝑥2+ 1 = 𝑒0 𝑥((𝑥2+ 1)𝑐𝑜𝑠0𝑥 +0𝑠𝑖𝑛0𝑥) (2)

1 4 ± 2𝑖 4 + 2𝑖 1 0, 0 0 𝑥𝑒4𝑥(𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛2𝑥)

Giải phương trình (1):

𝑦𝑟1 = 𝑒4𝑥(𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑏𝑥 sin 2𝑥)

𝑦′𝑟1 = 𝑒4𝑥((4𝑎𝑥 + 𝑎 + 2𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + (4𝑏𝑥 + 𝑏 − 2𝑎𝑥)𝑠𝑖𝑛2𝑥)

𝑦"𝑟1 = 𝑒4𝑥((12𝑎𝑥 + 8𝑎 + 16𝑏𝑥 + 4𝑏)𝑐𝑜𝑠2 + (12𝑏𝑥 + 8𝑏 − 16𝑎𝑥 − 4𝑎)𝑠𝑖𝑛2𝑥) Thay vào (1):

+ Hệ số của 𝑐𝑜𝑠2𝑥: 20𝑎𝑥 − 8(4𝑎𝑥 + 𝑎 + 2𝑏𝑥) + (12𝑎𝑥 + 8𝑎 + 16𝑏𝑥 + 4𝑏) = 4𝑏 = 1

=> 𝑏 =1

4 + Hệ số của 𝑐𝑜𝑠2𝑥: 20𝑏𝑥 − 8(4𝑏𝑥 + 𝑏 − 2𝑎𝑥) + (12𝑏𝑥 + 8𝑏 − 16𝑎𝑥 − 4𝑎) = −4𝑎 = 0

=> 𝑎 = 0

=> 𝑦𝑟1 =1

4𝑥𝑒

4𝑥 sin 2𝑥 Giải phương trình (2):

𝑦𝑟2 = 𝑐𝑥2+ 𝑑𝑥 + 𝑒

𝑦′𝑟2 = 2𝑐𝑥 + 𝑑

𝑦"𝑟2 = 2𝑐

Thay vào (2): 2𝑐 − 8(2𝑐𝑥 + 𝑑) + 20(𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒) = 𝑥2+ 1

{

20𝑐 = 1

−16𝑐 + 20𝑑 = 0 2𝑐 − 8𝑑 + 20𝑒 = 1

=> {

𝑐 = 0,05

𝑑 = 0,04

𝑒 = 0,061

=> 𝑦𝑟2 = 0,05𝑥2 + 0,04𝑥 + 0,061

Ta có: 𝑦𝑡𝑞 = 𝑦𝑡𝑛+ 𝑦𝑟1+ 𝑦𝑟2

= 𝐶1𝑒4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶2𝑒4𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 +1

4𝑥𝑒

4𝑥 sin 2𝑥 + 0,05𝑥2+ 0,04𝑥 + 0,061

𝑦′ = 𝐶1𝑒4𝑥(4𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑥) + 𝐶2𝑒4𝑥(4𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥) +1

4𝑒

4𝑥+ 0,1𝑥 + 0,04

• Theo giả thiết:

𝑦(0) = 2 => 𝐶1+ 0,061 = 2

𝑦′(0) = 1 => 4𝐶1+ 2𝐶2+ 0,5 + 0,04 = 1

=> 𝐶1 = 1,939; 𝐶2 = −3.648

=> 𝑦 = 1,939𝑒4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3,398𝑒4𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 0,05𝑥2+ 0,04𝑥 + 0,061

III Tổng kết

❖ Các kết quả đạt được:

❖ Củng cố kiến thức về khảo sát hàm và tính toán dựa trên các hàm tìm được

❖ Nắm vững các bước để tìm nghiệm tổng quát hoặc nghiệm riêng và giải hệ phương trình vi phân

❖ Tìm hiểu cách để lập được một hàm Epicycloid

❖ Cải thiện khả năng làm việc nhóm và cùng nhau giải quyết vấn đề