Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 hàm vector (hàm một biến có giá trị vector)

Cụ thể, chúng ta định nghĩa nó bằng độ lớn của tỷ số giữa độ thay đổi của vector đơn vị tiếp tuyến với độ dài của cung.. Vector vận tốc và gia tốc trong chuyển dộng thẳng đều Phương trìn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

HÀM VECTOR (HÀM MỘT BIẾN CÓ GIÁ TRỊ VECTOR)

NHÓM: L01_11

TP HCM, 05-2023 GVHD: TRẦN NGỌC DIỄM

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

KHÔNG THAM GIA)

NỘI DUNG CHỦ ĐỀ

Chủ đề 6 Hàm vector (Hàm một biến có giá trị vector)

1 Trình bày định nghĩa hàm vector

2 Trình bày về đạo hàm hàm vector: định nghĩa, ý nghĩa, cách tính

3 Trình bày về độ cong và độ dài cung của đường cong: định nghĩa, ý nghĩa, cách tính

4 Trình bày về vận tốc và gia tốc của một chuyển động có hàm vị trí r(t).

5 Viết một hàm vector mô tả giao tuyến của ellipsoid x

2

a2+ y2

b2+z2

c2=1 và trụ y =x2 Dùng một phần mềm hoặc một ứng dụng để vẽ giao tuyến này (cho phép nhập a,

b, c) Mô phỏng chuyển động của một chất điểm trên giao tuyến Tại mỗi vị trí, vẽ các vector vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến Yêu cầu vẽ luôn hai mặt cong tạo ra giao tuyến, chọn định dạng làm nổi bật giao tuyến

NHẬN XÉT CỦA GVHD

MỤC LỤC

Danh sách thành viên & nội dung chủ đề………1

Nhận xét của GVHD………2

Mục lục……….3

Định nghĩa hàm vector……….4

Đạo hàm hàm vector……….6

Độ cong & độ dài cung của đường cong………8

Vận tốc & gia tốc của một chuyển động có hàm vị trí r(t)……….14

I/ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTOR

 Khái niệm : Hàm vector là một hàm xác định trên một tập nào đó của trục số thực và giá

trị của hàm là một vector

 Cho I ∈ R là một khoảng

Ánh xạ r: I → R n

t →⃗r(t)=(x1(t ) …x n (t )) được gọi là hàm vector

Đặc biệt với n=3 và gọi các vector đơn vị trên Ox , Oy , O Z lần lượt là ⃗i ⃗ , j⃗ , k thì ta có:

⃗

r(t)=x (t ) ⃗i+ y (t ) ⃗j+z (t ) ⃗k

Tập hợp các điểm M sao cho ⃗OM=⃗r(t) tạo thành một đường cong L trong không gian gọi

là tốc độ của hàm r(t) Khi đó, L có dạng tham số: {x =x(t)

y = y(t)

z =z(t)

 Một ví dụ phổ biến của hàm vector là hàm r, mà ứng với mỗi giá trị thực t, giá trị của hàm r là một vector trong không gian ba chiều Dưới dạng vector đơn vị

chuẩn i , j, k của hệ trục tọa độ Decartes, những trường hợp của hàm được biểu diễn một cách tổng quát như sau: 

r(t)=⟨f(t), g(t), h(t)⟩=f(t)∙ i +g(t)∙ j +h(t)∙ k

Trong đó, các hàm thành phần x (t), y(t) và z (t) là các hàm số một biến số thực, còn i , j

và k là các vector đơn vị tương ứng với các trục x , y và z

Chúng ta dùng chữ t (time) để biểu thị biến độc lập bởi vì nó thể hiện thời gian trong hầu hết các ứng dụng của hàm vector

Ví dụ:

r (t )=t2

, ln (t−3), t2

+2

Trong đó:

g(t)=ln(t−3)

h(t)=t2

+2

Theo quy ước thông thường, miền của r bao gồm tất cả các giá trị của t mà biểu thức cho r (t ) được xác định Các biểu thức được xác định khi t−3>0, do đó miền D là

khoảng t ϵ (3 ,+∞)

Giới hạn của hàm vector được xác định bằng cách lấy các giới hạn của các hàm thành phần của nó như sau:

lim

t →a r(t)=⟨lim

t → a f (t), lim

t → a g (t ), lim

t → a h (t)⟩

a khi và chỉ khi các hàm thành phần f , g , h liên tục tại a

Ngoài ra, còn có mối liên hệ giữa hàm vector liên tục và đường cong trong không gian Giả sử f , g và h là các hàm số một biến số thực cùng liên tục trong miền I Khi đó tập C gồm tất cả các điểm (x , y , z) trong không gian với

x =f(t)y =g(t)z =h(t)( ¿ ) khi t biến thiên trong miền I được gọi là đường cong trong không gian (space curve) Phương trình (*) được gọi là phương trình tham số của C và t được gọi là tham số Nếu ta coi r(t)=⟨f(t), g(t), h(t)⟩ thì r(t) chính là vector ứng với điểm P(f(t), g(t),h(t)) trên đường cong C Do đó mọi hàm vector liên tục xác định một đường cong trong không gian

II/ ĐẠO HÀM HÀM VECTOR

1 Định nghĩa: Cho hàm vector ⃗r(t)với t ∈(a , b) Đạo hàm của hàm vector ⃗r(t) được định nghĩa bởi r '

(t)=

lim

Δt →0 ⃗r(t +Δt)−⃗r(t)

Δt nếu giới hạn trên tồn tại

Kí hiệu: ⃗r ' (t) hoặc D t[⃗r(t)]

 Nếu ⃗r ' (t) tồn tại thì ⃗r được gọi là khả vi t Nếu ⃗r ' (t) tồn tại cho tất cả t trong khoảng mở I thì ⃗r là khả vi trên khoảng I

2 Ý nghĩa:

 Ý nghĩa hình học của định nghĩa này được thể hiện trong hình trên Nếu các điểm P và Q tương ứng là các mút của các vector r (t ) và r(t +h) thì PQ biểu thị vector r(t +h)−(rt), được xem là vector cát tuyến Nếu h>0 thì r(t +h)−r(t )

h cùng hướng với r(t+h)−r (t)

 Khi h → 0, vectơ này dần đến một vector nằm trên đường tiếp tuyến Vì vậy, vector r ' (t)

được gọi là vector tiếp tuyến của đường cong tại điểm P Tiếp tuyến của C tại P là đường thẳng đi qua điểm P và song song với vector r ' (t)

 Nếu r ' (t) ≠ 0, vector tiếp tuyến đơn vị được xác định bởi :

T(t)=r ' (t )

|r '(t)|

3 Cách tính   :

Quy tắc tính đạo hàm của hàm vectơ :

Định lý sau đây cho thấy công thức tính đạo hàm của một biến số vẫn còn đúng cho các hàm vector

 Định lý: Giả sử u và v là các hàm vector khả vi, c là đại lượng vô hướng và f là hàm một biến số khả vi thì, khi đó:

1) [u +v]'

=u '

+v'

2) [c ∙ u]'

=c ∙u '

3) [f(t)∙u]'

=f '

(t)∙u +f (t)∙ u'

4) [u ∙ v]'

=u ' ∙ v +v' ∙ u

5) [u (f(t))]'

=u ' ∙f '(t )∙(f(t)) (Quy tắc dây chuyền – Chain Rule)

 Nếu r(t)=⟨f(t), g(t), h (t)⟩=f(t)∙ i +g(t)∙ j +h(t)∙k, ở đây f(t), g(t) và h (t) là các hàm khả vi

thì:

r '(t)=⟨f ' (t), g ' (t), h '(t)⟩=f '(t)∙i +g '(t)∙ j+h '(t)∙ k

Ví dụ:

a +t e −t ∙ j +Tìm đạo hàmcủar(t)=(1+t3)∙ isin (2t)∙ k

b Tìm vector tiếp tuyến đơn vị tại điểm t=0

*Giải:

a Ta có, r '(t) =3t2∙ i+(1−t)e −t ∙ j +2cos(2 t)∙k

b Vì r(0)=i≠ 0 và r ' (0)= j+2∙k nên vector tiếp tuyến đơn vị tại điểm (1,0,0) là :

T(0)= r '(0)

|r '(0)|=j +2 ∙ k√5 = 1

√5∙ j+ 2

√5∙ k

III/ ĐỘ CONG VÀ ĐỘ DÀI CUNG CỦA ĐƯỜNG CONG

1 Độ cong:

 Sự tham số hóa hàm r (t ) được gọi là “trơn” trong miền I nếu r ’ liên tục và

trơn Một đường cong trơn không có góc hay đỉnh nhọn

 Nếu là C là đường cong trơn được xác định bởi hàm vector r, thì vecto đơn

vị tiếp tuyến được cho bởi:

T(t)= r ' (t)

¿r ' (t )∨¿¿

Biểu thị hướng của đường cong:

Từ hình trên ta thấy rằng T (t) thay đổi hướng rất chậm khi C khá thẳng, nhưng nó sẽ đổi hướng rất nhanh khi C uốn cong hoặc xoắn mạnh

Độ cong của đường cong C tại một điểm cho trước đánh giá mức độ thay đổi hướng của vector tiếp tuyến tại điểm đó Cụ thể, chúng ta định nghĩa nó bằng độ lớn của tỷ số giữa

độ thay đổi của vector đơn vị tiếp tuyến với độ dài của cung (Chúng ta dùng độ dài của cung để độ cong độc lập với sự tham số hóa)

Định nghĩa: Độ cong của cung được cho bởi:

ds|

với T là vector đơn vị tiếp tuyến

 Độ cong sẽ dễ tính hơn nếu nó được biểu diễn dưới phương trình tham số t thay

vì s vì vậy ta sử dụng quy tắc để viết:

dT

dt =dT

ds

ds

dt và k=|dT

ds|=|dT /dt

ds /dt|

Vì :ds

dt=|r ' (t)| nên:

k(t)=|T ' (t )|

|r ' (t)|

 Định lý : Độ cong của đường cong được cho bởi hàm vector r là:

k(t)=|r '

(t)×r ' '

(t)|

|r ' (t)|3

Vì T =r '

/|r '| và |r '|=ds/dt, nên:

r '

=|r '|T=ds

dt T

Vì vậy, ta có:

r ' '=d2s

d t2T+ds

dt T

'

Theo như công thức T × T=0, ta có:

r ' ×r ' '=(ds

)2

(T × T '

)

Với |T (t)|=1với mọi t, T và T ’ trực giao Vì vậy, ta được:

|r ' ×r ' '|=(ds

dt)2

|T × T '|=(ds

dt)2

|T||T '|=(ds

dt)2

|T '|

Như vậy:

|T '|=|r ' × r ' '|

(ds

dt)2 =|r ' ×r ' '|

|r '|2 Và

k=|T '|

|r '|=|

r ' × r ' '|

|r '|3

 Đối với trường hợp đặc biệt của một đường cong phẳng có phương trình y =f (x), ta chọn

x là tham số và ghi r (x)=x∙ i+f(x)∙ j Sau đó r '(x) =i+f '(x)∙ j và r ' '(x)=f ' '(x)∙ j Khi i× j =k

và j × j=0 ta có r ' ( x) ×r '' (x)=f ' ' ( x) ∙k Ta lại có |r '(x)|=√1 +[f '(x)]2

và với:

k(x)= |f ''

(x)|

[1+[f '(x)]2

]3 / 2

Ví dụ:

Tìm độ cong của hình khối xoắn r (t )=¿t , t2, t3

>¿ ở một điểm chung và tại (0,0,0).

*Giải:

Ta có:

r '

=(1 , 2 t , 2t2) r ' ' =(0 ,2 , 4 t)

|r ' (t )|=√1+4 t 2+9 t4

r ' (t)×r ''

0 2 6 t|=6 t2∙ i −6 t ∙ j+2 ∙ k

|r '

(t )× r ''

(t)|=√36 t4

+36 t2 +4=2√9 t4

+9 t2 +1

 k(t)=|r '

(t)×r ' '

(t)|

|r ' (t)|3 = 2√9t4+9 t2

+1

(1+4 t2

+9 t4 ) 3 /2

t =0 → k(0)=2

2 Độ dài cung:

 Với đường cong phẳng được cho với phương trình tham số x =f (t), y =g (t),

a ≤t≤b, độ dài của nó được định nghĩa là giới hạn của độ dài của các đa giác nội tiếp, với ràng buộc f ’ (t) và g’(t) phải liên tục, từ đó chúng ta có:

L=∫

a

b

√ ¿¿¿ (1)

 Độ dài của đường cong trong không gian cũng được định nghĩa một cách tương tự Giả sử đường cong có phương trình vector r (t )=¿f (t), g(t), h(t)>¿, a ≤t≤b, hay tương đương là phương trình tham số x =f (t), y =g (t), z =h(t), với f ’, g ’ và h ’

liên tục Nếu t tăng từ a đến b mà đường cong không có đoạn nào bị lặp lại, thì độ dài của đường cong được tính theo:

a

b

Chú ý: Các công thức (1) và (2) còn có thể được biểu diễn một cách tổng quát, chặt chẽ

hơn ở dạng:

L=∫

a

b

¿r ' (t)∨dt

Bây giờ, chúng ta xét đường cong C được cho bởi phương trình vector:

r(t)=f(t)∙ i +g(t)∙ j +h(t)∙ k a ≤t≤b

Trong đó r ’ (t) là hàm vecto liên tục và đường cong C không lặp lại khi t biến thiên từ a

tới b

Chúng ta định nghĩa hàm độ dài cung như sau:

s(t)=∫

a

t

r '(u)du=∫

a

t

√ (dx

du)2 +(dy

du)2 +(dz

du)2

du (3) Như vậy, s (t ) là độ dài của phần dường cong nằm giữa r (a) và r (t )

Đạo hàm hai vế của (3) ta được (4):

ds

dt=|r '(t)| (4)

 Công thức trên thường hiệu quả trong việc tham số hóa đường cong dựa vào độ dài của cung, vì độ dài của cung chỉ phụ thuộc vào hình dáng tự nhiên của nó mà không phụ thuộc vào hệ trục tọa độ nào Nếu đường cong r (t ) phụ thuộc vào tham

số t và s (t ) là hàm độ dài cung được cho bởi (4), thì chúng ta có thể giải t theo s, tức là t =t (s) Như vậy đường cong có thể được tham số hóa theo s, r =r(t (s)) Với

s=3 thì r (t (3)) là vector vị trí của điểm ứng với 3 đơn vị độ dài tính từ điểm xuất phát

Ví dụ:

Tham số hóa lại đường xoắn ốc r (t )=cos(t)∙i+sin(t)∙ j+t ∙ k chú ý tới độ dài của cung từ điểm (1 , 0 ,0) theo chiều tăng của t

Giải :

Điểm (1 , 0 ,0) ứng với t=0

Vì: r ’ (t)=−sin (t)∙i+cos(t)∙ j+k nên:

|r ' (t )|=√¿¿¿

Vì vậy:

s =s(t)=∫

0

t

√2 du=√2 t

Do đó: t= s

√2 và sự tham số hóa lại sẽ là:

r(t(s))=cos( s

√2)∙ i+sin( s

√2)∙ j+( s

√2)∙ k

IV/ VẬN TỐC VÀ GIA TỐC CỦA MỘT CHUYỂN ĐỘNG CÓ HÀM VỊ TRÍ r(t)

Định nghĩa vận tốc:Vận tốc là đại lượng vector,đặc trưng cho sự chuyển động nhanh hay chậm của vật

Định nghĩa gia tốc: Gia tốc là đại lượng vật lý đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc

theo thời gian

1 Vector vận tốc và gia tốc trong chuyển dộng thẳng đều

Phương trình chuyển động thẳng đều:

x =x0+v(t−t0 )

 Vận tốc tức thời

- Trong chuyển động thẳng đều vector vận tốc thức thời là một đại lương không đổi theo thời gian

 Vận tốc trung bình

- Chuyển động thẳng đều là chuyển động thẳng trong đó chất điểm có vận tốc tức thời không đổi

- Đặc điểm của vận tốc trung bình:

+) Vector vận tốc tức thời có phương và chiều trùng với vector độ dời

+) Trong chuyển động thẳng,vector vận tốc có phương trùng với đường thẳng quỹ đạo

- Đặc điểm của vận tốc tức thời: Vector vận tốc tức thời trong chuyển động thẳng nằm trên đường thẳng quỹ đạo

 Gia tốc

- Vận tốc tức thời của vật không thay đổi theo thời gian nên không có gia tốc

2 Vector vận tốc và gia tốc trong chuyển động thẳng biến đổi đều

Phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều:

x =x o +v0t+1

2a t 2

 Vận tốc tức thời

- Vector vận tốc tức thời của một vật tại một điểm là một vector có gốc tại vật

chuyển động, có hướng của chuyển động và có độ dài tỉ lệ với độ lớn của vận tốc tức thời theo một tỉ xích nào đó

 Vận tốc trung bình

- Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động thẳng trong đó chất điểm có vận tốc tức thời thay đổi theo thời gian

- Đặc điểm của vận tốc trung bình:

+) Vector vận tốc tức thời có phương và chiều trùng với vector độ dời

+) Trong chuyển động thẳng,vector vận tốc có phương trùng với đường thẳng quỹ đạo

- Đặc điểm của vận tốc tức thời: Vector vận tốc tức thời trong chuyển động thẳng nằm trên đường thẳng quỹ đạo

 Gia tốc

Gia tốc trong chuyển động nhanh dần đều:

- Khi vật chuyển động thẳng nhanh dần đều, vector gia tốc có gốc ở vật chuyển động, có phương và chiều trùng với phương và chiều của vector vận tốc và

có độ dài tỉ lệ với độ lớn của gia tốc theo một tỉ xích nào đó

Gia tốc trong chuyển động chậm dần đều:

- Khi vật chuyển động thẳng nhanh dần đều, vector gia tốc có gốc ở vật chuyển động, có cùng phương và ngược chiều với vector vận tốc và có độ dài tỉ lệ với độ lớn của gia tốc theo một tỉ xích nào đó

3 Vector vận tốc và gia tốc trong chuyển động tròn

Phương trình chuyển động quỹ đạo tròn:

s=(φ −φ0)R

 Tốc độ gốc hay vận tốc gốc

- Vector v có

+) Phương: Vuông gốc mặt phẳng quỹ đạo

+) Chiều: Theo tắc đinh ốc hay tay nắm phải

+) Độ lớn đạo hàm của góc quay ω =θ '

+) Điểm đặt tại tâm quỹ đạo

 Vận tốc dài

 Gia tốc góc

- Gia tốc góc là đại lượng đặc trưng cho vector vận tốc góc, đo bằng độ biến

thiên vector vận tốc gốc trong một đơn vị thời gian

-Vector⃗β có:

+) Phương song song hoặc trùng với ⃗ω

+) Chiều: Nếu ⃗β↑↑⃗ω thì chuyển động nhanh dần, còn nếu ⃗β↑↓⃗ω thì chuyển động chậm dần

+) Điểm đặt tại tâm quỹ đạo