Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 Đề tài Định lý stokes

Để rút ra hệ quả về sự không phụ thuộc của tích phân đường trong không gian vào đường lấy tích phân ta gọi miền V R3 là miền đơn liên mặt nếu với mọi đường⊆R cong kín, trơn từng khúc C V

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

 -BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

Môn: Giải tích 2

ĐỀ TÀI

ĐỊNH LÝ STOKES Lớp: L08 – Nhóm: 9

Giảng viên: ThS Huỳnh Thị Vu

Thành phố Hồ Chí Minh, 5/2024

MỤC LỤC

Mục luc: 2

1 Định lý Stokes 3

1.1 Định lý 3

1.2 Chứng minh 3,4 1.3 Hệ quả 4

1.4 Ví dụ 1 … 4,5 1.5 Ví dụ 2 … 6

2 Tích phân đường 7

2.1 Tích phân đường của một trường vô hướng 7

2.2 Tích phân đường của một trường vector 7

3 Tích phân mặt 7

3.1 Tích phân mặt của một trường vô hướng 7,8 3.2 Tích phân mặt của một trường vector 8

4 Trường xoáy……… 8

5 Tóm tắt các định lý chính liên quan đến tích phân đường và tích phân mặt 9

6 Câu hỏi khái niệm 10

7 Bài tập 11

1 2 3 4 5

Đoàn Quốc Việt Dương Đức Huy Dương Hồ Nam Dương Thị Mai Anh

Hà Duy Khang

2313889 2311126 2312153 2310059 2311410

1 Định lý Stokes

Công thức Green cho ta mối liên hệ giữa tích phân kép và tích phân đường loại hai trên đường biên của miền lấy tích phân Công thức Stokes dưỡi đây là sự mở rộng công thức Green cho trường hợp miền là mặt cong trong không gian

1.1 Định lý: Giả thiết S là mặt cong trơn và đơn, bao bởi đường cong kín, đơn

C đã được định hướng, F=(f,g,h) là hàm vectow trên miền mở chưa S Khi đó ta có:

dzdx x

h z

f dydz z

g y

h dxdy y

f x

g hdz

gdy

fdx

) (

) (

) (









































Trong đó: Hướng của C được lấy theo hướng dương tương ứng của mặt định hướng S

1.2 Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh đẳng thức sau

dxdy y

f dzdx z

f fdx

S













Ta thấy rằng, trong phương trình tham số của mặt cong S, hai biến (u,v) ∈U R⊆R 2 trong

đó U là miền đóng, giới nội, có biên C U trơn từng khúc (lưu ý là chiều của CU được xác định bởi chiều của C phù hợp với hướng của S) Bằng cách ta tham số hóa CU và

do đó C cũng được tham số hóa theo, ta suy ra công thức:

Áp dụng công thức Green cho tích phân theo đường cong phẳng CU ở vế phải và công thức đổi biến, ta thu được:































































































U U

U C

dxdy y

f dzdx z

f dudv C y

f B z

f dudv

u

x f v v

x f u

dv

v

x

du

u

x

f

U

) ( ) ( )

(

Như vậy (1) đúng Tương tự, ta chứng minh công thức cho g,h, sau đó lấy tổng và thu được công thức Stokes

Lưu ý: Đối với mặt cong trơn từng mảnh định lý Stokes vẫn đúng Để chứng

minh chỉ cần áp dụng công thức cho từng mảnh rồi lấy tổng của chúng

Ví dụ: Kiểm tra công thức Stokes cho hàm vectơ

F(x,y,z)=(z-y,x+z,-x-y) trên mặt paraboloid z = 4-x2-y2 và mặt z = 0

3

Giải: Biên của mặt cong là đường tròn x2 + y2 = 4 có phương trình tham số là

x = 2cos α, y = 2sin α, 0 ≤ α ≤ 2π

Do đó





        







2

0

8 4 )

( ) ( ) (z y dx x z dy x y dz d

FdC

C

S

và

)

v

x du u

x f fdx

C C U 











 





































































S

S

dxdy y

x dzdx

dydz

dxdy

dzdx dydz

dxdy

dzdx x

h z

f dydz z

g y

h dxdy

y

f

x

g

 8 )

2 4 4 ( 2

) 1 1 ( )

1 1 ( )

1

1

(

) (

) (

)

(

vì A = 2x, B = 2y, C = 1 Đúng với công thức Stokes

Để rút ra hệ quả về sự không phụ thuộc của tích phân đường trong không gian vào đường lấy tích phân ta gọi miền V R3 là miền đơn liên mặt nếu với mọi đường⊆R cong kín, trơn từng khúc C V tìm được mặt cong trơn từng mảnh nhận C làm biên.⊆R Khối hình xuyến là một thí dụ của miền không đơn liên mặt

1.3 Hệ quả: Giả thiết V là một miền đơn liên mặt và các hàm f, g, h liên tục

cùng với các đạo hàm riêng Khi ấy các tính chất sau tương đương:

(i) Với mọi đường cong kín, trơn từng khúc nằm trọn trong V, đẳng thức sau nghiệm đúng

(ii) Tích phân không phụ thuộc vào đường cong C nối hai điểm

A, B trong V;

(iii) Biểu thức fdx + gdy + hdz là vi phân toàn phần của một hàm nào đó trong V; (iv)

y

h x

h x

g z

g z

f y

f

























, , , , ,

   

C

hdz gdy

  

C

hdz gdy fdx

x

h z

f z

g y

h x

g

y

f































, ,

dr F

C





1.4 Ví dụ 1: F(x,y,z)=cos zi +x2j + 2yk, C là đường cong giao nhau của

x + z = 2 và x2 + y2 =1 (hình 1)

4

Hình 1

Giải curl F =

g(x,y) = -x + 2, gx = -1, gy = 0, R = {(x,y) | x2 + y2 ≤ 1}

- Sử dụng phương trình (7) của 15.7 với

P(x,y) = 2, Q(x,y) = -sinz, R(x,y) = 2x ta được:























R

R

y

x

dA

x

dx

x

dA R Qg Pg dS

curlF

)

1

(

2

)

2

2

(

) (

- Đổi sang tọa độ cực, ta được:

z x i

cos





2

x y

j





xk zj i

y z

k

2 sin 2 2



































2 sin

3

1

2

1

2

cos 3

1 2

1 2 cos

3

1

2

1

2

) cos (

2 )

cos 1 ( 2

2

0

2

0

1

0

2

0

3 2

2

0

1

0

2

0

1

0 2





























































d r

r

drd r

r rdrd

r dS

curlF

r r S

Vì vậy theo đinh lý Stokes, ta có:



2









F dr curlF dS

5

1.5 Ví dụ 2: 

S

dS curlF

, F(x,y,z) = yzi - xzj + z3k, S là một phần hình cầu x2

+ y2 + z2 = 8 nằm bên trong hình nón z = x 2 y2 (hình 2)

Hình 2

Giải: 

















8 x

z

2 2 2

2 2

z y

y x

=> 











 8

2 2

2 2 2

z

y x z

=> z = 2

Phương trình vectơ của C là:

r(t) = 2cos ri + 2sin tj + 2k, 0 ≤ t ≤ 2π

vì

rʹ(t) = -2sin ti + 2cos tj

ta có

F(r(t)) = (2sin t)(2)i - (2cos t)(2)j + (23)k = 4sin ti - 4cos tj + 8k

Vì thế























































2

0

2

0

2 2

2

0

16

8

) cos 8 sin

8

(

) cos 2 sin 2 ( ) 8 cos 4

sin

4

(

) ( ))

(

(

dt

dt t t

dt tj ri

k tj ti

dt t r

t

r

F

dr F dS

curlF

C

6

I Tích phân đường:

- Tích phân đường là một phép tính để tính tích phân hàm số theo một đường cong.

- Tích phân đường của một trường vô hướng có thể được hiểu như là diện tích bên dưới trường đó được tạo ra bởi một đường cong cụ thể

Tích phân đường của một trường vô hướng

- Tích phân này là tổng giá trị diện tích dưới trường vô hướng dọc theo một đường cong

- Với một trường vô hướng, một tích phân đường được định nghĩa như sau:

∮

C

❑

fdS=

a

b

f(r (t ))∨r (t)∨dt

- Trong đó r: [a, b] → C là một tham số hóa của đường cong C, r(a) và r(b) là hai điểm cuối của C

- Hàm số f được gọi là hạng tử tích phân, đường cong C là tập nguồn của tích phân, và ký hiệu dS là một đơn vị độ dài đường cong

Tích phân đường của một trường vector:

- Tích phân này tính tổng của một trường vector dọc theo một đường cong

- Với một trường vectơ, tích phân đường dọc theo một đường cong theo hướng của r được định nghĩa

∮

C

❑

F (r )∙ dr=¿

a

b

F(r (t))∙ r ' (t) dt¿

- Trong đó r: [a, b] → C là một tham số hóa song ánh của đường cong C, r(a)

và r(b) là hai điểm cuối của C

II Tích phân mặt:

- Tích phân mặt là một tích phân xác định được tính trên một bề mặt trong không gian ba chiều

- Đây là một mở rộng của tích phân bội hai, nó có thể được xem là một tích phân kép của từng tích phân đường

Tích phân mặt của một trường vô hướng

- Tích phân này tính tổng giá trị của một hàm vô hướng trên một bề mặt Nếu bề mặt S được tham số hóa bằng các biến u và v với vector vị trí r(u,v), và hàm cần tích phân là f(x,y,z), thì tích phân mặt được định nghĩa là:

∬f ( x , y , z )dS=∬f(r (u , v ))∨¿r u × r v∨¿dudv

- Ở đây, ru và rv là các vector đạo hàm riêng của r theo u và v, và ||ru rv||là độ lớn của tích vector chéo của chúng,

Tích phân mặt của một trường vector

- Tích phân này tính tổng của một trường vector qua một bề mặt Nếu

F=(P,Q,R) là một trường vector và bề mặt S được tham số hóa bằng r(u,v), thì tích phân mặt được định nghĩa là:

∬

s

❑

F ∙ dS=∬

D

❑

F(r (u , v ))∙(r u × r v)dudv

- Ở đây, F.dS là tích vô hướng của trường vector với vector pháp tuyến vi phân của bề mặt

4 Trường xoáy

1 Trường xoáy

- Trường xoáy là một toán tử vi phân, được sử dụng để mô tả mức độ xoáy của một trường vectơ tại một điểm

- Trường xoáy được định nghĩa là một trường vectơ có curl khác không tại một

số điểm

- Cụ thể, nếu F là một trường vectơ, thì curl của F, ký hiệu ∇ × F, là một vectơ

đại diện cho sự xoáy hoặc sự quay cục bộ của F

- Công thức toán học của curl trong không gian ba chiều

∇ × F=( ∂ F z

∂ y −

∂ F y

∂ z ,

∂ F x

∂ z −

∂ F z

∂ x ,

∂ F y

∂ x −

∂ F x

∂ y )

2 Toán tử gradient

- Gradient là một toán tử được áp dụng lên một hàm vô hướng để tạo ra một trường vector

- Gradient của một trường vô hướng f kí hiệu là ∇ f , là một vector chỉ ra hướng của tốc độ tăng lớn nhất của f

- Công thức của gradient trong không gian ba chiều là:

∇ f =( ∂ f

∂ x ,

∂ f

∂ y ,

∂ f

∂ z)

3 Mối quan hệ giữa Gradient và trường xoáy

- Một điểm quan trọng là curl của gradient của bất kỳ hàm vô hướng nào luôn bằng không Cụ thể, nếu 𝑓 là một hàm vô hướng, thì:

∇ × (∇ f )=0

- Điều này có nghĩa là trường vectơ được tạo ra bởi gradient của một hàm vô hướng luôn là trường không xoáy

- Một trường vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng gradient của một hàm vô hướng thì không thể có xoáy, bởi vì gradient mô tả sự thay đổi theo một hướng nhất định mà không bao gồm sự quay hay xoáy

- Tóm lại, toán tử gradient tạo ra một trường vectơ từ một hàm vô hướng, và toán tử curl xác định mức độ xoáy của một trường vectơ Curl của bất kỳ gradient nào luôn bằng không, cho thấy rằng các trường vectơ sinh ra từ gradient của các hàm vô hướng là không xoáy

5.Tóm tắt các định lý chính liên quan đến tích phân đường và tích phân mặt

1 Định lý Green

Định lí Green liên quan đến tích phân đường trong mặt phẳng và tích phân bội hai trong không gian hai chiều Định lý này nói rằng tích phân đường dọc theo một đường cong kín C có thể được chuyển thành tích phân bội trên miền D mà

C bao quanh

Phát biểu: nếu C là một đường cong đơn kín, hướng dương và miền D là

miền bị bao bởi C, với các hàm số P(x,y) và Q(x,y) có đạo hàm liên tục trên một vùng chứa D và C, thì:

∮( Pdx+Qdy )=∬

D

❑

(∂ Q ∂ x−

∂ P

∂ y)dA

2 Định lý Strokes

Định lý Stokes là một tổng quát hóa của Định lý Green cho không gian ba chiều Nó liên quan đến tích phân đường của một trường vector trên đường cong kín và tích phân mặt của rot của trường vector đó trên mặt phẳng mà đường cong bao quanh

Phát biểu: nếu S là một mặt cong có biên C, với hướng dương xác định bởi

quy tắc bàn tay phải, và F là một trường vector có đạo hàm liên tục trên S và

C, thì:

∮

C

❑

F dr =∬

S

❑

(∇ F ) dS

Trong đó, dS là vector diện tích vi phân của mặt S

3 Định lý Gauss (Định lý phân kỳ)

Định lý Gauss liên quan đến tích phân mặt của một trường vector trên một mặt kín và tích phân bội ba của phân kỳ của trường vector có trong miền mà mặt bao quanh

Phát biểu: nếu V là một miền kín trong không gian và F là một trường vector

có đạo hàm liên tục trên V và mặt biên S của nó, thì:

∬

S

❑

F dS=∭

V

❑

¿ ¿ ¿

Trong đó, dS là vector diện tích vi phân trên mặt S, và dV là thể tích vi phân trong miền V

9