Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 tìm Đường Đi có Độ dốc lớn nhất (the path of steepest ascentdescent)

*Xác định phương trình đường đi trong mặt phẳng Oxy từ x0,y0 mà độ cao mặt cong tăng nhanh nhất/giảm nhanh nhất.. Hệ số góc tiếp tuyến của đường thẳng T đối với C tại điểm P là độ biến t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

TÌM ĐƯỜNG ĐI CÓ ĐỘ DỐC LỚN NHẤT.

(THE PATH OF STEEPEST ASCENT/DESCENT).

NHÓM L13_02

Danh sách thành viên nhóm 02

Nội dung đề tài 1

Tìm đường đi có độ dốc lớn nhất (The path of steepest ascent/descent)

Tham khảo: Soo T Tan - Multivariable Calculus -Brooks Cole (2009)

1.Trình bày cơ sở lý thuyết về đạo hàm theo hướng và vector gradient

2.Đường đi có độ dốc lớn nhất đối với một hàm số hai biến z = f(x,y).

(a) Định nghĩa

(b) Cách xác định Ví dụ minh họa

(c) Viết một đoạn code nhập vào một hàm số 2 biến khả vi tại mọi điểm (dữ liệu chỉ

nhập loại hàm này), nhập một điểm P(x0,y0,z0) trên đồ thị của hàm số này

*Xác định phương trình đường đi (trong mặt phẳng Oxy) từ (x0,y0) mà độ cao mặt cong tăng nhanh nhất/giảm nhanh nhất

*Vẽ bản đồ mức của f(x,y) trong một khu vực xung quanh (x0,y0) và đường

đi tìm được trong câu trên

*Vẽ phần mặt cong xung quanh điểm P và đường đi trên mặt cong tương

ứng với đường đi tìm được trong câu trên

3 Tìm một ứng dụng thực tế cho bài toán tìm đường đi dốc nhất

Nhận xét của GVHD

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 5

I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT 6

I.1 Đạo hàm theo hướng 6

I.2 Vecto gradient 7

II.ĐƯỜNG ĐI CÓ HÀM SỐ LỚN NHẤT ĐỐI VỚI HÀM SỐ 2 BIẾN Z=(X,Y) 8

I.3 Định nghĩa 8

I.4 Cách xác định – ví dụ minh họa 8

a) Cách xác định 8

b) Ví dụ minh họa 9

I.5 Đoạn code 10

III.ỨNG DỤNG THỰC TẾ CHO BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI DỐC NHẤT 14

IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

V TỔNG KẾT 15

LỜI MỞ ĐẦU

Nhóm em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đối với các thầy cô bộ môn của trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh để tạo điều kiện và giúp đỡ cho chúng em được học hỏi, tìm tồi, hiểu biết được thêm nhiều điều mới trong quá trình hoàn thành bìa báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2 này

Và nhóm em cũng xin chân thành cảm ơn Giáo viên hướng dẫn Bài tập lớn của nhóm là

cô Trần Ngọc Diễm đã rất nhiệt tình, tận tâm hướng dẫn cho chúng em, dể cả nhóm đã haonf thành được một bài Báo cáo Bài tập lớn hoàn thiện như ngày hôm nay

Cuối cùng, xin cảm ơncác thành viên nhóm 2 đã cùng nhau nỗ lực, đoàn kết, cùng nhau tìm tồi và giúp đỡ nhau hoàn thành bài Báo cáo để nộp đúng hạn

Cả nhóm đã cố gắng hết sức với bài Báo cáo này, tuy nhiên trong lúc hoàn thiện bài Báo cáo tất nhiên không thể tránh những sai xót, các lỗi và chứng em rất mong muốn nhận được ý kiến đóng góp, nững nhận xét của cô để chúng em có thể học hỏi thêm, tích lũy được nhiều kinh nghiệm và kiến thức để phục vụ cho các bài báo cáo sắp tới Nhóm 2 xin trân trọng cảm ơn!

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1 Đạo hàm theo hướng

Đạo hàm riêng fx và fy của hàm z = f(x,y) được tính theo công thức

để biểu diễn sự thay đổi của hàm z = f(x,y) theo hướng x và y, nghĩa là theo hướng các vector đơn vị và

Giả sử chúng ta muốn tìm tốc độ thay đổi của z tại điểm (x0, y0) theo hướng của vector

tùy ý Để làm điều này, ta xem xét bề mặt S, phương trình z = f(x,y) (đồ thị của hàm f) và cho z0 = f(x0, y0) Từ đó ta có điểm P (x0, y0, z0) nằm trên bề mặt S Mặt phẳng thẳng đứng đi qua P, cắt S theo một đường cong C (như hình vẽ) Hệ số góc tiếp tuyến của đường thẳng T đối với C tại điểm P là độ biến thiên của hàm z theo phương vector

Nếu Q(x,y,z) là một điểm khác thuộc C và P’, Q’ là lần lượt là hình chiếu của P, Q xuống mặt phẳng Oxy Khi đó, ta có vector song song với vector

Do đó, x – x0 = ha, y – y0 = hb hay x = x0 + ha, y = y0 + hb và

Nếu ta để h→0 , ta thu được tốc độ thay đổi của z theo hướng của vector Được gọi là đạo hàm của z theo hướng của vector

Định nghĩa: Đạo hàm có hướng của f tại điểm (x0, y0) theo hướng của một vector đơn vị

được tính bằng

Định lý: Nếu f là một hàm khả vi và có đạo hàm theo hướng vector thì

2 Vector Gradient

Có thể thấy đạo hàm có hướng của hàm khả vi có thể viết dưới dạng tích vô hướng của

2 vector

Vector đầu tiên không chỉ xuất hiện trong việc tính toán tích vô hướng mà còn xuất hiện trong một số trường hợp khác Vì thế nó được gọi là độ dốc của f và kí hiệu là gradf hoặc Ñf

Định nghĩa: Nếu f là hàm hai biến của x và y, thì vector gradient f được xác định bởi:

Đối với hàm ba biến:Ta có thể tính đạo hàm theo hướng vector theo cách tương tự Đạo hàm có hướng của f tại điểm (x0, y0, z0) theo hướng vector đơn vị là:

Vector gradient của hàm f là :

∇ f ( x, y , z)=⟨f x ,  f y , f z⟩=∂ f

∂ x i+∂ f

∂ y j+∂ f

∂ z k

II ĐƯỜNG ĐI CÓ ĐỘ DỐC LỚN NHẤT ĐỐI VỚI HÀM SỐ HAI BIẾN z =

f(x,y)

1 Định nghĩa

Xét z=f(x,y), đạo hàm theo hướng bằng tích của 2 vector

và

Do đó

Vector đóng vai trò quan trọng và được gọi là Vector Gradient

f là hàm số có 2 biến x và y, độ dốc của f là vetor

Hướng của vector gradient là hướng mà hàm f tăng nhanh nhất, giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng là Vậy, ta có thể kết luận đường đi có độ dốc lớn nhất đối với hàm số 2 biến z=f(x,y) là hướng của vector gradient

2 Cách xác định Ví dụ minh họa

 Các xác định:

Bước 1: Xác định đạo hàm riêng theo x (f’x) và đạo hàm riêng theo y (f’y) tại điểm

đang xét

Đặt A= f’x(x0,y0); B= f’y(x0,y0)

Bước 2: Xác định hướng dốc nhất ( hướng vecto đơn vị u(u1,u2) làm cho f tăng nhanh

nhất tại điểm M(x0,y0))

=> U(u1,u2) là hướng đi dốc nhất

 Ví dụ minh họa:

Cho một ngọn núi có hình dạng theo hàm số f(x,y)= Một người đang đứng tại điểm M(-1,2) Người này muốn xác định hướng có độ dốc lớn nhất của núi theo tại

vị trí đó Cách tìm

Giải:

Mô hình 3D của ngọn núi

Bản đồ mức của ngọn núi Đạo hàm riêng theo x: f’x = -6x

 A = f’x(1,2) = 6

Đạo hàm riêng theo y: f’y=-2y

 B = f’y(1,2) = -4

Ta có

Độ dốc lớn nhất của núi theo hướng u(0,832;-0,555)

3 Đoạn code:

Ta sẽ sử dụng MATLAB để giải một ví dụ với hàm:

f ( x , y)=10−x2

−2 y2

Hướng tăng/giảm nhanh nhất của hàm f tại điểm (x , y) là chiều của:

với f x và f y là các đạo hàm riêng của f theo x và y, i= (1 , 0), j =(0 , 1)

Đường đi có độ tăng/giảm nhanh nhất là đường cong trong xy luôn tiếp tuyến với hướng tăng/giảm nhanh nhất của f

Để đường cong y (x) tiếp tuyến với ∇ f thì độ dốc của nó phải bằng:

dy

dx=−4 y

−2 x

Khi đó, ta được phương trình vi phân:

dy

x

Giải phương trình trên, và thay điều kiện (x0, y0) ban đầu vào, ta được đường đi có

hướng tăng/giảm nhanh nhất trong mặt phẳng xy

 Đoạn code cho câu a: Xác định phương trình đường đi (trong mặt phẳng Oxy) từ (x0,y0) mà độ cao mặt cong tăng nhanh nhất/giảm nhanh nhất.

Đoạn code trên dùng để giải phương trình vi phân ở trên với điều kiện ban đầu

(x0, y0)=(2 ,1)

Biến ode là phương trình vi phân ta định nghĩa, còn cond là điều kiện y( 2 ) =1.

Khi đó, ySol(x) là phương trình đường đi tăng / giảm nhanh nhất, và kết quả là: y=x2

4

 Đoạn code cho câu b: Vẽ bản đồ mức của f(x,y) trong một khu vực xung quanh (x0,y0) và đường

đi tìm được trong câu trên.

(x , y) =(x0−5 , x0+5 , y0−5 , y0 +5)

Sau đó, ta định nghĩa hàm symbolic f, rồi lần lượt tính giá trị f(x)= y với x là các phần

tử trong miền [x0−5 , x0+5] (chính là véc tơ x_d) bằng vòng lặp for ở trên Sau đó, ta đi vẽ đường tăng / giảm nhanh nhất trong mặt phẳng xy bằng câu lệnh plot(x_d, y_ascent) Ta thu được hình vẽ sau, với đường màu xanh chính là đường có giá trị tăng / giảm nhanh nhất của hàm f:

ứng với đường đi tìm được trong câu trên

Nhiệm vụ còn lại là vẽ đường cong tăng / giảm nhanh nhất trên mặt ở trên Ta đã biết được cặp điểm (x , y) thuộc đường có hướng tăng / giảm nhanh nhất tìm được ở câu trên,

từ đó ta thay vào hàm symbolic f định nghĩa ở hình trên để tính giá trị z =f (x , y) Cuối

cùng, ta vẽ các cặp điểm (x , y , z) bằng câu lệnh plot3 để thu được đường cong tăng / giảm giá trị nhanh nhất của hàm f trên mặt cong, và thu được đường màu đỏ:

III TÌM ỨNG DỤNG THỰC TẾ CHO BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI DỐC NHẤT

Vector gradient có thể giúp chúng ta tìm ra con đường có độ dốc lớn nhất trên bản đồ địa hình, điều này có ý nghĩa rất lớn trong giao thông vận tải và quân sự Ở các vùng có địa hình dốc như núi hoặc đồi, khi tiến hành làm đường cần tránh các con đường có độ dốc quá lớn Nếu đường quá dốc có thể chắn tầm nhìn của người tham gia giao thông cũng như gây khó khăn cho phương tiện khi đi lên dốc, đồng thời khi xuống dốc thì khó điều khiển được tốc độ do độ dốc quá lớn Ngoài ra, những nơi quá dốc rất dễ sạt lở hoặc có thể dẫn xuống các thung lũng, khe vực, rất nguy hiểm Chính vì vậy, khi nghiên cứu về địa hình đồi núi, cần xác định được những khu vực, những con đường có độ dốc lớn để tránh thi công công trình trên các vùng nguy hiểm

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Đình Huy(chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2,Trường Đại học Bách Khoa TPHCM

[2] Jame Stewart, Calculus Early Transcendentals 8th.pdf

[3] Nguyễn Đình Trí( chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp tập 2

V TỔNG KẾT

Sau khi làm đề tài về tìm độ dốc nhất thì nhóm cảm thấy nhóm đã tìm hiểu được sâu sắc

về những cơ sở lý thuyết liên quan đến vecto gradien, những vấn đề cơ bản để có thể tìm ra độ dốc Chúng em đã được nghiên cứu sâu và học cách sử dụng công nghệ vào việc giải quyết các bài toán thực tế, đem lại một cái nhìn tổng quát về bài toán Đề tài này có ứng dụng trong thực tế rất nhiều Tuy nhiên, nhóm đã tìm hiểu chưa thể nào đủ hết được tất cả các ứng dụng của bài toán tìm độ dốc này

Trong quá trình làm đề tài, nhóm L13_02 đã cùng nhau làm việc nhóm rất là ăn ý, luôn

hỗ trợ nhau trong quá trình làm Xin cảm ơn đã tạo điều kiện cho chúng em hoàn thành tốt bài tập lớn giải tích 2 với đề tài rất là hay, hữu ích và thú vị