Báo cáo bài tập lớn  môn giải tích 1  Đề tài 9 Ứng dụng tích phân trong kinh tế

Giải tích 1 được ứng dụng rộng rãi ở rất nhiều lĩnh vực: Vật lý tính vận tốc, gia tốc,…, công nghệ xử lí tín hiệu,…, sinh học tính tốc độ tăng trưởng dân số,…, địa lý sự thay đổi của mực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

- -BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

ĐỀ TÀI 9 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ

GVHD: TS Trần Ngọc Diễm Nhóm: 12

Lớp: L06

TP HCM – HỌC KÌ 231

Đề tài 9 Ứng dụng tích phân trong kinh tế

Thông tin nhóm:

- Nhóm: 12

- Lớp: L06

- Danh sách các thành viên:

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 3

PHẦN 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

I Nguyên hàm: 4

1 Định nghĩa: 4

2 Định lí: 4

II Tích phân bất định: 4

1 Định nghĩa: 4

2 Định lí: 4

3 Quy tắc tính tích phân bất định: 4

4 Phương pháp tính tích phân bất định: 5

III Tích phân xác định: 5

1 Định nghĩa phân hoạch và tích phân xác định: 5

2 Công thức Newton – Leibniz: 6

3 Phương pháp tính tích phân xác định: 6

PHẦN 2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ 6

I Giá trị tương lai và hiện tại của dòng thu nhập: 6

1 Định nghĩa: 6

2 Ví dụ: 7

II Mức độ sẵn sàng chi tiêu của khách hàng: 10

III Thặng dư: 12

1 Thặng dư tiêu dùng: 12

2 Thặng dư sản xuất: 12

3 Ví dụ: 13

PHẦN 3 KẾT LUẬN 14

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

LỜI MỞ ĐẦU

Nhằm cung cấp cho sinh viên Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh những kiến thức cơ sở làm nền tảng thuận tiện cho quá trình học tập và nghiên cứu các ngành kỹ thuật, bộ môn Giải tích 1 sẽ cung cấp cho sinh viên Bách Khoa một lượng kiến thức toán học cần thiết làm tiền đề cho việc học tập các môn học khác trong chương trình đào tạo, đồng thời cung cấp cơ hội cho sinh viên phát triển kỹ năng suy luận và giải quyết vấn đề

Giải tích 1 được ứng dụng rộng rãi ở rất nhiều lĩnh vực: Vật lý (tính vận tốc, gia tốc,…), công nghệ (xử lí tín hiệu,…), sinh học (tính tốc độ tăng trưởng dân số,…), địa lý (sự thay đổi của mực nước,…), kinh tế (thặng dư, giá trị hiện tại và tương lai của dòng thu nhập,…) … và trong sự phát triển của các ngành kinh tế hiện nay thì ứng dụng của bộ môn Giải tích 1 trong kinh tế được thể hiện rất rõ rệt, đặc biệt là ứng dụng của tích phân trong kinh tế

Trong bài báo cáo này, chúng em xin trình bày nội dung ứng dụng của tích phân trong kinh tế qua các mô hình giá trị tương lai và hiện tại của dòng tiền, mức độ sẵn sàng chi tiêu của khách hàng, thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất và các ví dụ thực tế Bài báo cáo của chúng em bao gồm các phần sau:

 Phần 1 Cơ sở lý thuyết

 Phần 2 Ứng dụng tích phân trong kinh tế

 Phần 3 Kết luận

PHẦN 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I Nguyên hàm:

1 Định nghĩa:

Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trong khoảng X, nếu như F ( x ) liên tục và khả vi trong X và ∀ x ∈ X luôn có đẳng thức

hoặc dF (x )=f (x)dx

2 Định lí:

Nếu hàm số F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trong khoảng X ⊂ R thì hàm

số Φ ( x )=F (x )+C, với C là hằng số, cũng là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trong khoảng Φ ( x )=F (x )+C Ngược lại, nếu những hàm số F ( x ) và Φ ( x ) là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng X ⊂ R thì tồn tại hằng số C ∈ R sao cho

Φ ( x )=F (x )+C

II Tích phân bất định:

1 Định nghĩa:

Cho hàm số F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trong khoảng X ⊂ R thì hàm

số Φ ( x )=F (x )+C, với C là hằng số, được gọi là tích phân bất định của hàm số f ( x )

trong khoảng X

Tích phân bất định của hàm số được kí hiệu là:

Như vậy tích phân bất định của f ( x ) là

với F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trong khoảng X, còn C là hằng số

2 Định lí:

Mọi hàm số liên tục trong khoảng X đều có nguyên hàm và tích phân bất định trên khoảng X

3 Quy tắc tính tích phân bất định:

Quy tắc 1 Nếu số a ≠ 0 thì luôn có đẳng thức sau:

F '(x )=f (x)

∫f ( x )dx

∫f ( x )dx=F ( x)+C

∫af ( x ) dx=a∫f (x ) dx

Quy tắc 2 Luôn có đẳng thức sau:

Quy tắc 3 Nếu ta có đẳng thức

thì ta luôn có đẳng thức:

4 Phương pháp tính tích phân bất định:

a Phương pháp đổi biến:

Cho hàm hợp f(u ( x )) xác định trên khoảng X và hàm t=u ( x ) khả vi trên X Nếu

f (t ) có nguyên hàm F (t ) trên khoảng T ⊇ u(X) thì

b Phương pháp tích phân từng phần:

Cho những hàm số u=u(x)và v=v (x )có đạo hàm liên tục trong khoảng X ⊂ R Khi đó ta luôn có đẳng thức sau:

III Tích phân xác định:

1 Định nghĩa phân hoạch và tích phân xác định:

Phân hoạch P của [a, b] là tập hợp các điểm chia của [a, b] thỏa mãn

a ≡ x0 < x1 <…< xn ≡ b

d = max{(xi+1 – xi)/ i = 0,…, n-1}: đường kính phân hoạch

Với x*i ∈ [ xi, xi+1], Sn: tổng tích phân Riemann

∫(f ( x )± g ( x))dx=∫f ( x )dx ±∫g ( x ) dx

∫f (t) dt=F (t)+C

∫f (ax+b)dx=1

a F (ax+b)+C ,(a ≠ 0)

∫f (u(x ))d u(x )=F(u( x))+C

∫udv=uv−∫vdu

xn ≡ b

x0 ≡ a

S n=∑

i=0

n−1

f (x i¿

)(x i+ 1− ¿x i) ¿

Nếu Sn có giới hạn hữu hạn thì f ( x ) gọi là khả tích và tích phân trên gọi là tích phân xác định

2 Công thức Newton – Leibniz:

Cho hàm f ( x ) liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó,

3 Phương pháp tính tích phân xác định:

a Phương pháp đổi biến:

Cho t=φ (x) là hàm số liên tục cùng với đạo hàm của nó φ ' (x) trên đoạn [a, b],

α=φ (a) , β =φ (b), f (t ) là hàm số liên tục trên đoạn [α, β] Khi đó

b Phương pháp tích phân từng phần:

Chou=u(x)và v=v (x )là những hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó ta luôn có đẳng thức sau:

PHẦN 2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

TRONG KINH TẾ

I Giá trị tương lai và hiện tại của dòng thu nhập:

1 Định nghĩa:

Doanh thu do hoạt động kinh doanh tạo ra thường có thể được coi là dòng thu nhập liên tục, sau đó có thể được đầu tư để tạo thêm thu nhập Giá trị tương lai

S n= lim

n→+ ∞ S n=∫

a

b

f ( x )dx

∫

a

b

f ( x )dx=F ( x)|b a=F (b )−F (a)

∫

a

b

f (φ(x)) φ ' ( x ) dx=∫

α

β

f (t ) dt

∫

a

b

udv=uv|b

a−∫

a b

vdu

của dòng thu nhập trong một thời hạn nhất định là tổng số tiền (tiền chuyển vào tài khoản cộng với tiền lãi) được tích lũy trong thời hạn

Niên kim là một loại dòng thu nhập đặc biệt trong đó các khoản thanh toán được thực hiện (hoặc nhận) theo các khoảng thời gian đều đặn trong một thời hạn xác định Các khoản thanh toán thế chấp nhà là một loại niên kim cũng như các thỏa thuận thanh toán cho một số loại kế hoạch nghỉ hưu Các khoản thanh toán hàng năm thường là số tiền không đổi (như khoản thanh toán khoản vay mua ô tô hàng tháng)

 Giá trị tương lai của dòng thu nhập:

Giả sử tiền được chuyển vào tài khoản liên tục trong khoảng thời gian

năm là r được cộng gộp liên tục Khi đó giá trị tương lai của dòng tiền (FV) trong thời kì T được xác định bởi

 Giá trị hiện tại của dòng thu nhập:

Giá trị hiện tại của dòng tiền (PV) được gửi liên tục với tỉ lệ f (t ) vào tài khoản

có lãi suất hàng năm r được cộng gộp trong thời kì T được xác định:

Người ta dùng giá trị hiện tại của dòng thu nhập để so sánh khoản đầu tư nào tốt hơn bằng cách so sánh giá trị ròng của từng khoản đầu tư Giá trị ròng tức là giá trị của một tài sản hoặc đầu tư sau khi đã trừ đi mọi chi phí, nghĩa là giá trị còn lại sau khi đã loại bỏ các khoản nợ, chi phí hoặc các yếu tố khác Đối với một khoản đầu tư, giá trị ròng thường được tính bằng cách lấy giá trị hiện tại của đầu

tư và trừ đi chi phí ban đầu của nó

2 Ví dụ:

Ví dụ 1 Y có một niên kim trả 1200 USD/năm và kiếm được lãi suất hàng năm là 8%, cộng dồn liên tục Tài khoản của Y sẽ có giá trị bao nhiêu sau 2 năm, giả sử niên kim được gửi liên tục vào tài khoản của Y.

BÀI GIẢI

FV =∫

0

T

f (t ) e r(T −t ) dt=e rT∫

0

T

f (t )e−rt

PV =∫

0

T

f (t)e−rt

Với lãi suất kép liên tục, ta sẽ có hàm giá trị như sau: P t=P e 0.08 t

(kUSD)

Để ước tính giá trị tương lai của dòng thu nhập, ta chia khoảng thời gian 2 năm thành n khoảng nhỏ có độ dài ∆ t (năm), và gọi tj là điểm bắt đầu của khoảng thời gian thứ j, khi đó số tiền trong tài khoản của Y tại khoảng thời gian ∆ t là:

số tiền=số tiền hàng năm× số năm=1200 ∆ t

Nếu ta đặt vào tài khoản của Y tại thời điểm t j thì nó sẽ còn trong tài khoản đến

2−t j (năm) và sẽ tăng lên thành 1200 ∆ t e0.08(2−t j)

Giá trị tương lai của 1200 USD đặt vào ở thời điểm t1 sẽ là ≈ 1200 ∆ t e0.08(2−t j)

Giá trị tương lai của dòng thu nhập là tổng giá trị tương lai của số tiền được gửi vào trong mỗi khoảng thời gian n nên ta có công thức sau:

≈∑

j=1

n

1200 e 0.08(2−t j)∆ t

Xấp xỉ này dựa trên giả định rằng số tiền 1200 ∆ t được gửi vào thời điểm tj chứ không được gửi liên tục trong khoảng thời gian ∆ t

Khi số đoạn chia (n) tăng đến vô cực, thì khoảng ∆ t sẽ tiến dần về 0 và xấp xỉ bên trên sẽ tiến dần về giá trị gần đúng của số tiền trong tương lai, nên:

FV = lim

n →+∞∑

j=1

n

1200 e0.08(2−t j)

∆ t

0

2

1200 e0.08(2−t j)dt=1200 e0.16

∫

0

2

e−0.08(t j)dt

0.16

(e−0.08t

)|02=−1500 e 0.16

(e−0.16 −1)≈ 2602.66(USD)

Vậy ta sẽ thu được số tiền khoảng 2602.66 USD tại cuối năm thứ 2

Với ví dụ trên, ta rút ra được công thức tính giá trị tương lai cho dòng với tốc độ dòng tiền f (t ) trong thời hạn T năm với mức lãi suất r cố định

FV =∫

0

T

f (t ) e r(T −t ) dt=e rT

∫

0

T

f (t )e−rt dt

Áp dụng công thức trên ngược lại cho ví dụ 1:

Ta có f (t )=1200 , r =0.08 ,T =2

Từ ví dụ trên ta chứng minh giá trị hiện tại của dòng thu nhập như sau:

Giá trị hiện tại của một dòng thu nhập được tạo ra ở mức tỷ lệ liên tục f (t) trong một khoảng thời gian cụ thể là T năm là số tiền A cần phải được gửi ngay bây giờ ở mức lãi suất hiện tại để tạo ra cùng một thu nhập như dòng thu nhập liên tục trong cùng một giai đoạn T năm Vì A đô la được đầu tư ở mức lãi suất hàng năm r với việc cộng lũy liên tục sẽ có giá trị là A e rT đô la sau T năm

Ta có:

A e rT=e rT∫

0

T

f (t ) e−rt

→ A=∫

0

T

f (t )e−rt

Ví dụ 2 Có hai khoản đầu tư sau:

Khoản đầu tiên có giá là 1000 đô la và dự kiến sẽ tạo ra một dòng thu nhập liên tục với tỉ lệ f1 (t )=3000 e 0.03 t đô la mỗi năm.

Khoản thứ hai có giá trị là 4000 đô la và được ước tính sẽ tạo ra thu nhập với tỉ lệ không đổi là f2(t )=4000 đô la mỗi năm.

Nếu tỷ lệ lãi suất hàng năm hiện tại duy trì ổn định ở mức 5%, được cộng dồn liên tục trong vòng 5 năm tới, khoản đầu tư nào là tốt hơn trong giai đoạn thời gian này?

BÀI GIẢI

Theo đề bài ta có: r = 0.05 và T = 5

Để so sánh khoản đầu tư nào tốt hơn, ta so sánh giá trị ròng của chúng:

 Đối với khoản đầu tiên:

 Đối với khoản thứ hai:

FV =e 0.08 ×2∫

0

2

1200 e−0.08 tdt

0 5

Vậy ta thấy khoản đầu tư thứ hai tốt hơn khoản đầu tư đầu tiên.

II Mức độ sẵn sàng chi tiêu của khách hàng:

Một ứng dụng khác là trong việc cân bằng giá thành và số lượng sản phẩm Giả sử một cặp vợ chồng sẵn sàng chi tới 500 USD cho một chiếc tivi Để thuận tiện hơn cho việc xem chương trình, họ sẵn sàng chi đến 300 USD cho chiếc thứ

2, tuy nhiên nếu trường hợp phải mua chiếc thứ 3, họ chỉ muốn chi không quá

50 USD cho chiếc tivi thứ 3 này Vậy hàm nhu cầu của cặp đôi này sẽ như sau:

D (1)=500 , D(2)=300 , D (3)=50

Số tiền họ sẵn sàng chi ra để có được 3 chiếc tivi sẽ là tổng của cả 3 giá trị trên, tức là 850 USD

Ví dụ 1: Một hàng hóa (giả sử là ngũ cốc) có thể được bán với số lượng q bất kỳ

đơn giản cộng các khoản thanh toán tiềm năng như đã làm với việc mua tivi vì

sử dụng tích phân để xác định để tính.

Cụ thể như hình trên, với giá trị q trong khoảng 0 đến q0, khoảng này được chia thành n đoạn nhỏ đều nhau (q k – q k – 1), nhu cầu là D(q k – 1) cho tất cả giá trị q trong đoạn thứ k, với q k – 1 là điểm phía bên trái đoạn, k =1,2 ,… n Khi đó mức độ sẵn lòng mua của người tiêu dùng trong sẽ là xấp xỉ D(q k−1)∆ q , ∆ q= q0−0

n Vậy tổng lượng tiền mà khách hàng sẵn lòng chi trả cho số lượng q0 sản phẩm được ước tính là

0

5

∑

k =1 n

D(q k−1)∆ q

Với sự tồn tại của biến tự do n, điều này gợi ý rằng ta có thể tính chính xác hàm trên bằng cách tính giới hạn hàm khi n tiến đến vô cực

lim

n →+∞∑

k=1

n

D(q k−1)∆ q

Đây là tích phân xác định của hàm cầu p=D (q) trong đoạn 0 đến q0 Vì hàm cầu luôn nằm trên trục q nên tích phân này có thể được hiểu về mặt hình học là phần diện tích bên dưới đường cầu

Tóm lại:

Ví dụ 2: B là một nông dân, q là số tấn ngũ cốc sẽ được bán với giá theo hàm

p=10(25−q2

)(USD tấn ) Tìm tổng số tiền người mua sẵn sàng chi cho 3 tấn ngũ cốc.

BÀI GIẢI

Với p=10(25−q2) số tiền mà người mua sẵn sàng trả cho 3 tấn ngũ cốc

(q0 = 3 tấn) là:

WS=∫

0

3

10(25−q2)dq=660

Tổng số tiền mà người tiêu dùng sẵn sàng chi trả cho q0 đơn vị của một mặt hàng được xác định bởi công thức:

WS=∫

0

q0

D (q )dq

Vậy người mua sẵn sàng trả 660 USD cho 3 tấn ngũ cốc.

III Thặng dư:

1 Thặng dư tiêu dùng:

-Thặng dư của người tiêu dùng là một đại lượng có liên quan đến tổng mức sẵn lòng chi tiêu Trong nền kinh tế cạnh tranh, người tiêu dùng thường sẵn sàng chi tiêu nhiều hơn cho một mặt hàng so với giá trị thực tế của nó Ví dụ ta có thể trả 60 USD cho một mặt hàng tuy nhiên giá trị thực của nó chỉ có 40 USD, khoảng chênh lệch 20 USD này chính là thặng dư của người tiêu dùng

-Một cách tổng quát hơn, giả sử người tiêu dùng sẵn sàng mua q0 đơn vị sản phẩm có hàm cầu là p=D (q) Khách hàng sẵn sàng chi số tiền ∫

0

q0

D (q ) dq cho q0

đơn vị sản phẩm nhưng thực tế chỉ trả p0q0 trong đó p0=D (q0), thặng dư của người tiêu dùng là chênh lệch sau:

2 Thặng dư sản xuất:

-Ngược lại với thặng dư người tiêu dùng, ta có thặng dư của nhà sản xuất Ta

có hàm cung p=S (q)cho biết mức giá trên mỗi đơn vị mà nhà sản xuất sẵn sàng chấp nhận để cung cấp q đơn vị sản phẩm ra thị trường Nếu giá thị trường được thiết lập ở mức p0=S (q0)USD/sản phẩm thì bất kỳ nhà sản xuất nào có thể sản xuất hàng hóa ở mức thấp hơn giá này sẽ được hưởng lợi Thặng dư nhà sản xuất là chênh lệch giữa số tiền mà nhà sản xuất sẵn sàng chấp nhận và số tiền

mà thực tế họ nhận được Nó được tính bằng tích phân liên quan đến hàm cung như sau:

3 Ví dụ:

Một nhà sản xuất lốp xe ước tính số lượng q (ngàn sản phẩm) lốp xe sẽ được mua dựa trên nhu cầu của người tiêu dùng, với hàm cầu như sau:

p=D (q )=−0.1q2+ 90(sản phẩm USD )

CS=∫

0

q0

D(q ) dq−p0q0

PS=p0q0−∫

0

q0

S (q ) dq

p=S (q )=0.2 q2+q+50( USD

sản phẩm)

Tìm điểm cân bằng, giá và số lượng lốp xe được cung cấp theo nhu cầu tiêu thụ, xác định thặng dư nhà sản xuất và thặng dư người tiêu dùng tại điểm cân bằng

BÀI GIẢI:

Điểm cân bằng là điểm giao của hàm cung và cầu nên ta có:

0.2 q2+q +50=−0.1 q2+90 →{q ≈−13.33(loại) q=10

Tại q=10, thì giá mỗi lốp xe là 80 USD và số lượng là 10000 chiếc được cung cấp theo nhu cầu tiêu thụ

Với giá trị p0=80 và q0=10, ta có thể tìm được thặng dư người tiêu thụ và nhà sản xuất như sau:

Thặng dư người tiêu thụ:

Thặng dư nhà sản xuất:

Vậy tại điểm cân bằng, thặng dư người tiêu thụ là 66.67 USD và thặng dư nhà sản xuất là 183.33 USD

CS=∫

0

10

PS=80× 10−∫

0 10

PHẦN 3 KẾT LUẬN

Trong bài báo cáo này, chúng ta thấy được rằng những ứng dụng tích phân rất

đa dạng và quan trọng trong lĩnh vực kinh tế Tích phân không chỉ là một công

cụ toán học trừu tượng mà còn là một phương tiện mạnh mẽ, giúp chúng ta hiểu

rõ và mô hình hóa các hiện tượng kinh tế

Tích phân đã chứng minh vai trò quan trọng trong việc xác định giá trị hiện tại và tương lai của dòng tiền, mức độ sẵn sàng chi tiêu của khách hàng, thặng

dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất

Những ứng dụng này giúp ta hiểu được tầm quan trọng của tích phân trong lĩnh vực kinh tế Tích phân như một công cụ linh hoạt, đã góp phần quan trọng vào việc phát triển và định hình các chiến lược kinh tế hiệu quả

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Giáo trình giải tích 1 – Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [2] Calculus for business, economics, and the social and life science – Laurence

D Hoffmann, Gerald L Bradley (Tenth edition)

[3] Calculus for business, economics, and the social and life science – Laurence

D Hoffmann, Gerald L Bradley, Dave Sobecki, Michael Price (Eleventh

edition)