Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 hiểu về Đạo hàm theo hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 HIỂU VỀ ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG NHÓM L15_19 TP... https://www.youtube.com/watch?v=jow7

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

HIỂU VỀ ĐẠO HÀM THEO

HƯỚNG

NHÓM L15_19

TP HCM, 12-2023

ĐỀ 15 HIỂU VỀ ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG

Xem video theo link bên dưới

https://www.youtube.com/watch?v=jow7zQrCxXo

Thực hiện một video tương tự video bên dưới để giới thiệu về đạo hàm theo hướng

Sử dụng một phần mềm/ ứng dụng online tùy ý để vẽ hình

Lưu ý: Nếu không làm video được, có thể tải video về, thay phần lồng tiếng (theo

cách hiểu của nhóm và không cần dịch sát nghĩa), khi đó điểm tối đa không quá 6 điểm

Có thể tham khảo thêm video dưới đây:

https://youtu.be/GJODOGq7cAY?list=PLHXZ9OQGMqxc_CvEy7xBKRQr6I214QJc d

1

2311270

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA THẦY/CÔ

Mục lục

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

1 Đạo hàm riêng: 5

1.1 Khái niệm đạo hàm riêng: 5

1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng: 5

2 Định nghĩa đạo hàm theo hướng: 6

2.1 Vector dơn vị: 6

2.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng: 6

2.3 Hàm hai biến: 7

2.4 Hàm ba biến: 7

3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng: 7

II VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG 9

Ví dụ 1: 9

Ví dụ 2: 10

Ví dụ 3: 11

Ví dụ 4: 11

Ví dụ 5: 12

III HIỂU VỀ GEOGBRA 13

1 Sơ lược về Geobra 13

2 Giao diện người dùng 13

2.1 Cửa sổ đồ hoạ và Đại số: 13

2.2 Cửa Sổ Algebra và Tính Toán: 13

2.3 Thanh công cụ: 14

VI TỔNG KẾT 15

V TÀI LIỆU THAM KHẢO 15

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Đạo hàm riêng:

1.1 Khái niệm đạo hàm riêng:

- Cho hàm số f : D ⊂ R2 → R xác định tại điểm (𝑥0, 𝑦0) và những điểm xung quanh (𝑥0, 𝑦0) Khi cho 𝑥 thay đổi, y cố định (𝑦 =𝑦0) thì ta được hàm một biến 𝑥: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦0) Nếu 𝑔(𝑥) có đạ hàm tại 𝑥 = 𝑥0 thì ta gọi đó là đạo hàm riêng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) theo biến 𝑥

❖ Định nghĩa:

Giới hạn hữu hạn (nếu có tồn tại) lim

ℎ→0

𝑔(𝑥 0 +ℎ)− 𝑔(𝑥 0 )

ℎ = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 0 +ℎ,𝑦 0 )− 𝑓(𝑥0,𝑦 0 )

ℎ được gọi

là đạo hàm riêng của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) ∈ G theo biến 𝑥 Đạo hàm riêng này được ký hiệu là 𝑓′

𝑥(𝑥0, 𝑦0) hoặc 𝜕𝑓

𝜕𝑥(𝑥0, 𝑦0)

1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng:

- Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) là:

1 𝑓′𝑥(𝑥0, 𝑦0) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 với đường cong C1 (trong đó C1 là

giao tuyến của mặt cong S với mặt phẳng 𝑦 = 𝑦0)

2 𝑓′

𝑦(𝑥0, 𝑦0) là hệ số góc của tiếp tuyến T2 với đường cong C2 (trong đó C2 là

giao tuyến của mặt cong S với mặt phẳng 𝑥 = 𝑥0)

2 Định nghĩa đạo hàm theo hướng:

2.1 Vector dơn vị:

- Vector đơn vị là vector có độ dài bằng 1 Nếu 𝑢⃗ = (𝑎, 𝑏) là vector đơn vị thì

√𝑎2+ 𝑏2 = 1

- Đạo hàm của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) thuộc f theo hướng vector đơn vị tùy ý 𝑢⃗ = (𝑎, 𝑏) được ký hiệu 𝜕𝑓

𝜕𝑢 ⃗⃗ (𝑥0, 𝑦0) hoặc 𝐷𝑢⃗⃗ 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝐷𝑢⃗⃗ 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥0+ ∆𝑥, 𝑦0+ ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0+ ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

ℎ Chú ý Nếu u= (1,0) thì 𝑓′

𝑢 ⃗⃗ = 𝑓′

𝑥, còn nếu u= (0,1) thì 𝑓′

𝑢 ⃗⃗ = 𝑓′

𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑢 ⃗⃗ (𝑥0, 𝑦0) chỉ tốc độ thay đổi của f theo hướng vector u

❖ Định lý:

Nếu f(x,y) là một hàm khả vi theo x và y, thì f(x,y) có đạo hàm theo hướng của vector đơn vị tùy ý 𝑢⃗ = (𝑎, 𝑏) và

𝐷𝑢⃗⃗ 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓′

𝑥(𝑥0, 𝑦0) 𝑎 + 𝑓′

𝑦(𝑥0, 𝑦0) 𝑏

2.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng:

Đạo hàm theo hướng là độ dốc hoặc hệ số góc

của tiếp tuyến T tại (x,y) = (𝑥0, 𝑦0) T là tiếp

tuyến của đường cong C, C là giao tuyến của mặt

cong z= f(x,y) và mặt phẳng đi qua điểm (𝑥0, 𝑦0)

song song với trục Oz và có vectơ chỉ phương là

𝑢⃗

2 Vector gradient

2.1 Hàm hai biến:

Cho z = f(x,y) Khi đó vector gradient của hàm số f được xác định như sau:

∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓′𝑥(𝑥, 𝑦), 𝑓′

𝑦(𝑥, 𝑦)) = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑗

❖ Định lý:

Cho z = f(x,y); u=(a,b), (a2 + b2 = 1) Khi đó

𝑓′𝑢⃗⃗ (𝑥, 𝑦) =< ∇𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑢 >

❖ Ý nghĩa phương của vector Gradient:

Với đường cong 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 phương của ∇𝑓(𝑀) là pháp vector của

đường cong tại M

2.2 Hàm ba biến:

Cho hàm ba biến f(x,y,z) Khi đó vector gradient của hàm số f được xác định như sau:

∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑓′

𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓′

𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓′

𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)) = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕𝑓

𝜕𝑧𝑘

❖ Định lý:

Cho f(x,y,z), u = (a,b,c), (a2 + b2 + c2 = 1) Khi đó

𝑓′𝑢⃗⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) =< ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑢 >

❖ Ý nghĩa phương của vector Gradient:

Với mặt cong F(x,y,z) = 0 phương của ∇𝑓(𝑃) là pháp vector của mặt cong tại P

3.Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng:

Ta có:

𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑢⃗ = ||∇𝑓(𝑥0, 𝑦0)|| cos(𝜑) Gọi 𝜑 là góc giữa 2 vectơ ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0) và 𝑢⃗

n

M

Khi đó 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋

 -1 ≤ cos 𝜑 ≤ 1

 - ||∇𝑓(𝑥0, 𝑦0)|| ≤ 𝜕𝑓(𝑥0 ,𝑦0)

𝜕𝑢 ⃗⃗ ≤ ||∇𝑓(𝑥0, 𝑦0)||

𝜕𝑓(𝑥0,𝑦0)

𝜕𝑢 ⃗⃗ đạt max bằng ||∇𝑓(𝑥0, 𝑦0)||

Dấu “=” xảy ra khi cos𝜑 = 1  𝜑=0

 ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0) và 𝑢⃗ cùng hướng

𝑢⃗ là vectơ đơn vị của ∇𝑓(𝑥0, 𝑦0)

❖ Định lý:

Cho f là hàm khả vi hai biến hoặc ba biến Gía trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng vector đơn vị u: 𝑓′

𝑢 ⃗⃗ là |∇𝑓|đạt được khi 𝑢⃗ ↑↑ ∇𝑓 Gía trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng vector đơn vị u: 𝑓′

𝑢

⃗⃗ là −|∇𝑓|đạt được khi 𝑢⃗ cùng phương và ngược chiều ∇𝑓

II VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG

Ví dụ 1:

Giả sử rằng độ cao của một ngọn đồi so với mực nước biển được cho bởi

z=1000 - 0.01𝑥2 - 0.02𝑦2

Nếu như bạn đang ở tọa độ (60,100) thì độ cao thay đổi nhanh nhất theo hướng nào? Tốc độ thay đổi độ cao tối đa tại thời điểm này là bao nhiêu?

Giải:

Vecto có hướng ∇f( 𝑥 )=⟨−0.02x,−0.04y⟩

Tốc độ thay đổi độ cao tối đa khi đó sẽ xảy ra theo hướng

∇f(60,100)=(−1.2,−4)

Tốc độ thay đổi độ cao tối đa tại tọa độ này là:

∥∇f(60,100)∥= √(−1.2)2+ (−4)2=√17.44=4.176

Tại tọa độ (60,100) và hướng có tốc độ thay đổi lớn nhất của độ cao tại điểm này được cho bởi vectơ (−1.2,−4).Vì cả hai thành phần đều âm nên có vẻ như hướng của tốc độ thay đổi tối đa hướng lên ngọn đồi về phía trung tâm chứ không phải ra xa ngọn đồi

Duf(2,0) với f(x,y) = xⅇxy là đơn vị vectơ theo hướng θ = 2π

3

Đơn vị vectơ theo hướng:

u

⃗ =⟨ cos(2π

3), sin(2π

3)⟩=⟨ −1

2, √3

2⟩ đạo hàm có hướng là:

Duf(x,y)= ( −1

2).( ⅇxy+ xyⅇxy) + (√3

2)( x2ⅇxy+ 1) Thê số vào Ta có

Duf(2,0)= ( −1

2).(1)+ (√3

2).5 = 5√3−1

2

Ví dụ 2:

Bản đồ đường viền hiển thị tốc độ gió tính bằng hải lý trong cơn bão Andrew vào tháng

8

Xét về hướng mắt bão,, tốc độ gió thay đổi từ 45 đến 50 hải lý/giờ Sử dụng thang đo trong hình để tìm khoảng cách giữa các đường đồng mức phía trước và phía sau của Homestead

Ta có thể ước tính khoảng cách giữa hai điểm này là khoảng 8 dặm Vì, đạo hàm có hướng, cho phép chúng tôi tìm tốc độ thay đổi của hàm hai hoặc nhiều biến theo bất kỳ hướng nào

Đạo hàm theo hướng = Giá trị thay đổi đường viền

𝐾ℎ𝑜ả𝑛𝑔 𝑐á𝑐ℎ 𝑔𝑖ữ𝑎 𝑐á𝑐 đườ𝑛𝑔 đồ𝑛𝑔 𝑚ứ𝑐

=50−45

8 =5

8 hải lí/ giờ

Ví dụ 3:

Cho θ = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(3

5) Tìm đạo hàm có hướng Duf(x, y) của f(x, y)=x2− 𝑥𝑦 + 3y2 với hướng u= cos(θ)i +sin(θ)j Đạo hàm có hướng của Duf(3,0) bằng bao nhiêu?

Bước 1: Tìm đạo hàm riêng tại f

𝑓𝑥=2x−y

𝑓𝑦=−x+6y

Ta có: Duf(x, y) = 𝑓𝑥(x, y) cos(θ) + 𝑓𝑦(x, y) sin(θ)

= (2x-y) 3

5 + (-x+6y) 4

5

= 6𝑥

5 −3𝑦

5 −4𝑥

5 +24𝑦

5

= 2𝑥+21𝑦

5

Để tính Duf(3,0) Thế x=3 và y=0:

Duf(3,0)=2.3+21.0

5 =1.2

Ví dụ 4:

Tìm đạo hàm có hướng của f(x, y)=3x2− 4𝑥𝑦 + 2y2 tại (−2,3) là cao nhất Giá trị cao nhất là bao nhiêu?

Giải

Giá trị cực đại của đạo hàm có hướng xảy ra khi ∇f và vectơ đơn vị hướng cùng hướng

Do đó, chúng ta bắt đầu bằng cách tính ∇f(x,y):

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)= 6x-4y và 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −4𝑥 + 4𝑦

∇f(x,y)= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑖 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑗 = (6x-4y)i +(−4𝑥 + 4𝑦)j

Xét tại (-2,3):

∇f(-2,3)= (6(−2)−4(3))i+(−4(−2)+4(3))j=−24i+20j

Độ dài vecto: √(−24)2+ (20)2=√976=4√61

 ∇f(−2,3)

|∇f(−2,3)| = −24

4√61I + 20

4√61𝑗 = −6√61

61 𝑖 +5√61

61 𝑗

Để tìm góc tương ứng với vectơ đơn vị này, ta giải phương trình:

cos(θ) = −6√61

61 và sin(θ)= 5√61

61

Vì cos âm và sin dương nên góc này phải nằm ở trong góc phần 4 thứ 2

 θ = π − arcsin ( 5√61

61 ) ≈ 2.45 𝑟𝑎𝑑 Giá trị đạo hàm có hướng cao nhất tại (-2,3) là |∇f(−2,3)| = 4√61

Ví dụ 5:

Độ dốc và đường cong cấp độ

Tìm tiếp tuyến của đường cong mức

Cho f(x, y)= 2x2− 3𝑥𝑦 + 8 y2+ 2𝑥 − 4𝑦 + 4, tìm vectơ tiếp tuyến của đường đồng mức tại điểm (−2,1) Vẽ đồ thị đường mức tương ứng với f(x, y)=18 rút ra ∇f(−2,1) và một vectơ tiếp tuyến

Giải

Ta có:

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)= 4x - 3y + 2 và 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −3𝑥 + 16𝑦 − 4

Vậy ∇f(x,y)=(4x-3y+2)i

Ta có ∇f(-2,1) =(4(−2)−3(1)+2)i+(−3(−2)+16(1)−4)j=−9i+18j

Vectơ này trực giao với đường cong tại điểm (−2,1) Chúng ta có thể thu được một vectơ tiếp tuyến bằng cách đảo ngược các thành phần và nhân một trong hai với −1 Vì vậy,

ví dụ, −18i−9j là một vectơ tiếp tuyến (xem biểu đồ sau)

III HIỂU VỀ GEOBRA

1 Sơ lược về Geobra

- GeoGebra là một phần mềm hình động học, đại số, thống kê và vi tích phân dành cho việc hỗ trợ giáo dục toán học và khoa học trong trường học Được phát triển bởi Markus Hohenwarter, GeoGebra là một công cụ đa nền tảng, có thể chạy trên Windows, macOS, ChromeOS, Linux và cũng là một ứng dụng web

- Phần mềm này kết hợp gữa Hình học(Geometry), Đại số(Algebra), Giải tích và bảng điện tử, giúp người dùng có thể tiết kiệm đuọc thời gian và không gian lưu trữ trên máy tính GeoGebra cung cấp một giao diện than thiện và dễ sử dụng, với các hộp công cụ trực quan giúp người dùng thao tác một cách dễ dàng

- Ngoài ra, GeoGebra còn là phần mềm miễn phí, mã nguồn mở, hỗ trợ đa ngôn ngữ, trong đó bao gồm Tiếng Việt Với cộng đồng sử dụng lớn, GeoGebra có kho dữ liệu tài nguyên phong phú do người dùng khắp nơi chia sẻ để tham khảo và thực hiện ý tưởng toán học Hiện nay GeoGebra trực thuộc sở hữu của công ty công nghệ giáo dục Ấn Độ Bvju’s

2 Giao diện người dùng

2.1 Cửa sổ đồ hoạ và Đại số:

- Trong phần này, bạn có thể vẽ và tương tác với các hình học, đồ thị, và các biểu đồ

- Công cụ vẽ và chỉnh sửa giúp bạn tạo ra các đối tượng toán học một cách linh hoạt và chính xác

- Mọi thay đổi trên đồ họa sẽ tự động phản ánh trên các biểu đồ và công thức liên quan

2.2 Cửa Sổ Algebra và Tính Toán:

- Tại đây, bạn có thể nhập và quản lý các biểu thức đại số và tính toá

- GeoGebra tự động tính toán và hiển thị kết quả trong thời gian thực, giúp bạn hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các biến và hàm số

2.3 Thanh công cụ:

- Thanh công cụ cung cấp các công cụ và chức năng phong phú để bạn thực hiện các hoạt động toán học

- Từ vẽ hình cơ bản đến giải phương trình và thực hiện phân tích đồ thị, tất cả đều có sẵn tại đây

VI TỔNG KẾT

Thông qua việc tìm hiểu và nghiên cứu đề tài, nhóm chúng em đã hoàn thành bài tập lớn xoay quanh vấn đề về đạo hàm theo hướng Đề tài khai thác về định nghĩa, ý nghĩa của đạo hàm theo hướng và cách giải các bài toán về đạo hàm theo hướng trong thực tế Bên cạnh đó, việc giải được một số bài tập liên quan đến đạo hàm theo hướng giúp chúng em minh họa lý thuyết và củng cố lại kiến thức Vì thời gian có hạn nên bài báo cáo không tránh khỏi những sai sót, nhóm chúng em rất mong nhận được sự góp ý, đánh giá từ cô để bài báo cáo của nhóm được hoàn thiện hơn Chúng em xin chân thành cảm ơn

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Giáo trình Giải tích 2, Nguyễn Đình Huy, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM

[2] Calculus III - Directional Derivatives - Pauls Online Math Notes

[3] 4.6 Directional Derivatives and the Gradient - Calculus Volume 3 - OpenStax