đề tài nghiên cứu tìm hiểu về vector gradient và đạo hàm theo hướng

1LỜI NÓI ĐẦU VÀ CẢM ƠNMôn Giải tích 2 là một trong những môn học quan trọng, cung cấp cho sinh viên kiến thức cơ bản về Toánhọc ở trình độ đại học, tạo nền tảng vững chắc cho việc học tậ

1 LỜI NÓI ĐẦU VÀ CẢM ƠN

Môn Giải tích 2 là một trong những môn học quan trọng, cung cấp cho sinh viên kiến thức cơ bản về Toán học ở trình độ đại học, tạo nền tảng vững chắc cho việc học tập và nghiên cứu các ngành kỹ thuật Môn học này còn giúp rèn luyện khả năng tư duy logic, suy luận khoa học, nghiên cứu thực nghiệm, và hình thành tác phong khoa học cần thiết cho các kỹ sư tương lai

Chúng em xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa Học Ứng Dụng, cùng các thầy cô giảng viên bộ môn Giải Tích 2, đặc biệt là cô Lê Nguyễn Hạnh Vy, đã luôn đồng hành và hướng dẫn chúng em trong quá trình thực hiện đề tài: "Nghiên cứu, tìm hiểu về vector gradient và đạo hàm theo hướng" Sau đây, chúng em xin phép trình bày bài báo cáo về nghiên cứu của nhóm

Danh sách nhóm

7 2310314 Trương Hữu Quốc Gia Bình binh.truong2310314@hcmut.edu.vn

1 Trình bày đạo hàm theo hướng, vector gradient của hàm hai biến.

2 Nêu ứng dụng thực tế của đạo hàm theo hướng trong 1 số ngành (ít nhất 3 ví dụ) Ví dụ như: - Phân tích đường cong trong hình học và cực tiểu hóa cho thuật toán tối ưu - Phân tích hướng đi trên bản đồ của một vùng miền bất kì - Mô hình hóa và dự báo chỉ số về Kinh tế - Tài chính

3 Dựng mô hình bằng phần mềm bất kì thể hiện vectơ gradient trên hình vẽ

Nhận xét của GV hướng dẫn

Mục lục

2.1 Trình bày đạo hàm theo hướng, vector gradient của hàm hai biến 6

3 CÂU 2 7 3.1 Nêu ứng dụng thực tế của đạo hàm theo hướng trong một số ngành 7

3.1.1 Ví dụ 1: Tối ưu hóa thời gian giao hàng trong logistic 7

3.1.2 Ví dụ 2: Một bản đồ địa hình với các đường đồng mức biểu diễn độ cao như hình 8

3.1.3 Ví dụ 3: Dự báo sự thay đổi giá của Cổ phiếu A 8

3.1.4 Ví dụ 4: Tính toán thay đổi lợi nhuận theo hướng của giá và chi phí 9

3.1.5 Ví dụ 5: Tính toán gradient nhiệt độ trong một khu vực 9

4 CÂU 3 11 4.1 Dựng mô hình bằng phần mềm bất kì thể hiện được vector gradient trên hình vẽ 11

5 Tổng kết bài nghiên cứu 13 5.1 Ưu điểm 13

5.2 Nhược điểm 13

5.3 Hướng nghiên cứu phát triển trong tương lai 13

2 CÂU 1

2.1 Trình bày đạo hàm theo hướng, vector gradient của hàm hai biến.

Định nghĩa và định lý về đạo hàm theo hướng và vector gradient

Định nghĩa đạo hàm theo hướng

Hình 1: Đạo hàm theo hướng

Đạo hàm theo hướng vector đơn vị u = (a, b), với a2+ b2= 1, của hàm số z = f (x, y) tại điểm (x0, y0) được xác định bởi giới hạn:

fu′(x0, y0) = lim

h→0

f (x0+ ha, y0+ hb) − f (x0, y0)

h Nếu giới hạn này tồn tại, thì fu′(x0, y0) là đạo hàm của f theo hướng u tại (x0, y0)

Định lý

Cho f (x, y) là hàm khả vi và có đạo hàm theo hướng của vector đơn vị u = (a, b), với a2+ b2= 1 Khi đó:

fu′(x, y) = fx′(x, y)a + fy′(x, y)b

Định nghĩa vector gradient

Cho z = f (x, y) Khi đó vector gradient của hàm số f được xác định như sau:

∇f (x, y) = fx′(x, y), fy′(x, y)

Định lý

Cho z = f (x, y), vector đơn vị u = (a, b), với a2+ b2= 1 Khi đó:

fu′(x, y) = ⟨∇f (x, y), u⟩

Chứng minh

Xét hàm hai biến f = f (x, y) Có vector đơn vị cùng phương u:

l0= u

∥u∥ = (l1, l2)

l0= (cos α, cos β) với α và β là góc tạo bởi u và chiều dương trục Ox và Oy tương ứng

Phương trình tham số của tia M0M là:

(

x = x0+ t cos α

y = y0+ t cos β với t ≥ 0

Đạo hàm của hàm f theo hướng vector u tại điểm M0 là giới hạn (nếu có):

fu′(M0) = ∂f

∂u(M0) =M →Mlim0

f (M ) − f (M0)

M M0

Ta có:

M0M =p(x − x0)2+ (y − y0)2= t

Do đó:

fu′(M0) = lim

t→0 +

f (x, y) − f (x0, y0)

t Thay x = x0+ t cos α và y = y0+ t cos β vào, ta được:

fu′(M0) = lim

t→0 +

f (x0+ t cos α, y0+ t cos β) − f (x0, y0)

t Đạo hàm hàm f theo biến t là:

fu′(M0) = ft′= fx′dx

dt + f

′ y

dy

dt = f

′

x(x0, y0) cos α + fy′(x0, y0) cos β

Do đó:

fu′(x0, y0) = x′(x0, y0), fy′(x0, y0)), (cos α, cos β) Vector gradient của f tại M0là:

∇f (x0, y0) = fx′(x0, y0), fy′(x0, y0)

3.1 Nêu ứng dụng thực tế của đạo hàm theo hướng trong một số ngành

Đạo hàm theo hướng là một công cụ toán học quan trọng trong việc phân tích hướng đi trên bản đồ, đặc biệt là trong các lĩnh vực như địa lý, địa chất, và quy hoạch đô thị Một số ứng dụng cụ thể của đạo hàm theo hướng trong việc phân tích hướng đi như: xác định hướng dốc lớn nhất, phân tích dòng chảy nước, quy hoạch đô thị, nghiên cứu địa chất, tối ưu hóa đường đi,

3.1.1 Ví dụ 1: Tối ưu hóa thời gian giao hàng trong logistic

Giả sử một công ty giao hàng muốn tối ưu hóa thời gian giao hàng Họ xác định rằng thời gian giao hàng T phụ thuộc vào hai yếu tố: số lượng nhân viên giao hàng n và khoảng cách trung bình mỗi nhân viên phải đi d :

T (n, d) = d

Trong đó k là hằng số thời gian cần thiết để xử lý đơn hàng

Mục tiêu: Tối ưu hóa n và d sao cho T đạt giá trị nhỏ nhất

Đạo hàm theo hướng:

∇T (n, d) = ∂T

∂n,

∂T

∂d



= −d

n2,1 n



Cụ thể với số liệu:

Giả sử tại n = 10 và d = 50 km, ta có:

∇T (10, 50) =



−50

102, 1 10



= (−0.5, 0.1) Điều này có nghĩa là tăng thêm 1 nhân viên giao hàng sẽ giảm thời gian giao hàng xuống 0.5 đơn vị, và tăng khoảng cách trung bình thêm 1 km sẽ tăng thời gian giao hàng lên 0.1 đơn vị Công ty có thể sử dụng thông tin này để điều chỉnh số lượng nhân viên và quản lý khoảng cách giao hàng để tối ưu hóa thời gian giao hàng

3.1.2 Ví dụ 2: Một bản đồ địa hình với các đường đồng mức biểu diễn độ cao như hình.

Hàm số

f (x, y) = x3+ y2− 2 biểu diễn độ cao tại mỗi điểm trên bản đồ Xác định hướng dốc lớn nhất từ điểm E(2, 4) trên bản đồ để lập kế hoạch phân tích dòng chảy của nước

Hình 2: Hướng dốc chảy của dòng nước

Giải

fx= 3x, fy= 2y Vector Gradient tại E(2, 4) là:

∇f (2, 4) = (fx(2, 4), fy(2, 4)) = (6, 8)

|∇f (2, 4)| =p62+ 82= 10 Hướng dốc lớn nhất là hướng theo vector (6, 8) và mức độ dốc tại điểm E là 10 Hướng nước là hướng ngược lại của vector gradient vì nước sẽ chảy từ nơi cao xuống nơi thấp

3.1.3 Ví dụ 3: Dự báo sự thay đổi giá của Cổ phiếu A

Bạn là một nhà phân tích tài chính đang làm việc tại một công ty đầu tư hàng đầu Nhiệm vụ của bạn là dự báo sự thay đổi giá của một cổ phiếu tiềm năng, Cổ phiếu A, trước các biến động của thị trường Biết giá cổ phiếu P phụ thuộc vào chỉ số thị trường I, lãi suất r, và tỷ giá hối đoái e Mô hình toán học mô tả giá cổ phiếu được đưa ra như sau:

P = f (I, r, e) Biết ∇f (I, r, e) = (4, −6, 2) Bạn cần xác định mức độ thay đổi của giá cổ phiếu A khi chỉ số thị trường tăng thêm 2 đơn vị, lãi suất giảm 0.5 đơn vị, và tỷ giá hối đoái tăng 1 đơn vị đồng thời

Bài giải

Ta có:

∆I = 2, ∆r = −0.5, ∆e = 1

u = (∆I, ∆r, ∆e) = (2, −0.5, 1)

∇f = (4, −6, 2) Đạo hàm theo hướng của hàm f theo hướng vector u là:

fu′ = ∇f · u = 4 · 2 + (−6) · (−0.5) + 2 · 1 Tính toán:

fu′ = 4 · 2 + (−6) · (−0.5) + 2 · 1 = 8 + 3 + 2 = 13 Kết luận: Giá của Cổ phiếu A sẽ tăng 13 đơn vị khi chỉ số thị trường tăng 2 đơn vị, lãi suất giảm 0.5 đơn

vị, và tỷ giá hối đoái tăng 1 đơn vị đồng thời

3.1.4 Ví dụ 4: Tính toán thay đổi lợi nhuận theo hướng của giá và chi phí

Đề: Lợi nhuận của một công ty được biểu diễn dưới dạng hàm của giá bán x và chi phí sản xuất y:

P (x, y) = 10x − x2− 4xy + y2

Tính toán sự thay đổi lợi nhuận theo hướng của vector v = (1, −1) tại điểm (2, 3)

Giải:

Tính gradient của hàm lợi nhuận:

∇P = ∂P

∂x,

∂P

∂y



∂P

∂x =

∂

∂x(10x − x

2− 4xy + y2) = 10 − 2x − 4y

∂P

∂y =

∂

∂y(10x − x

2− 4xy + y2) = −4x + 2y Gradient của P (x, y) là:

∇P = (10 − 2x − 4y, −4x + 2y) Gradient tại điểm (2, 3):

∇P (2, 3) = (10 − 2 · 2 − 4 · 3, −4 · 2 + 2 · 3) = (−6, −2) Vector đơn vị u theo hướng v = (1, −1):

u = (1, −1) p12+ (−1)2 =

 1

√

2,

−1

√ 2



Đạo hàm theo hướng của P tại điểm (2, 3) theo hướng u là:

∂P (2, 3)

∂u = ∇P (2, 3) · u = (−6, −2) ·

 1

√

2,

−1

√ 2



= −6 ·√1

2+ (−2) ·

−1

√

2 = −2

√ 2

Kết luận: Đạo hàm theo hướng của hàm lợi nhuận P (x, y) = 10x − x2− 4xy + y2tại điểm (2, 3) theo hướng vector v = (1, −1) là −2√

2

Hình 3: Biểu đồ lợi nhuận tại điểm (2, 3)

3.1.5 Ví dụ 5: Tính toán gradient nhiệt độ trong một khu vực

Đề: Một khu vực hình phẳng và nhiệt độ T (x, y) tại mỗi điểm (x, y) được cho bởi hàm sau:

T (x, y) = 3x2+ 2xy + y2

Tính gradient của hàm nhiệt độ:

∇T = ∂T

∂x,

∂T

∂y



∂T

∂x =

∂

∂x(3x

2+ 2xy + y2) = 6x + 2y

∂T

∂y =

∂

∂y(3x

2+ 2xy + y2) = 2x + 2y Gradient của T (x, y) là:

∇T = (6x + 2y, 2x + 2y) Gradient tại điểm (1, 1):

∇T (1, 1) = (6 · 1 + 2 · 1, 2 · 1 + 2 · 1) = (8, 4) Vector đơn vị u theo hướng v = (1, 2):

u = √(1, 2)

12+ 22 =

 1

√

5,

2

√ 5



Đạo hàm theo hướng của T tại điểm (1, 1) theo hướng u là:

∂T (1, 1)

∂u = ∇T (1, 1) · u = (8, 4) ·

 1

√

5,

2

√ 5



= 8 ·√1

5 + 4 ·

2

√

5 =

16√ 5 5 Kết luận: Đạo hàm theo hướng hàm nhiệt độ T (x, y) tại điểm (1, 1) theo hướng của vector v = (1, 2) là 16

√ 5

5

Hình 4: Biểu đồ nhiệt độ và gradient tại điểm (1,1)

4 CÂU 3

4.1 Dựng mô hình bằng phần mềm bất kì thể hiện được vector gradient trên hình vẽ.

Hình 5: Đoạn mã matlab

Hình 7: Mô hình tạo ra

Hình 8: Mô hình chạy bằng Geogebra

5 Tổng kết bài nghiên cứu

5.1 Ưu điểm

- Tính toán chính xác: Sử dụng đạo hàm theo hướng và vector gradient giúp xác định sự thay đổi của các biến số một cách chính xác trong nhiều lĩnh vực

- Ứng dụng rộng rãi: Các phương pháp này có thể áp dụng trong nhiều ngành như địa lý, địa chất, tài chính,

và kỹ thuật

- Hỗ trợ ra quyết định: Giúp đưa ra các quyết định tối ưu dựa trên các biến số ảnh hưởng, như trong dự báo giá cổ phiếu hoặc phân tích dòng chảy

5.2 Nhược điểm

- Phức tạp: Các phép tính có thể trở nên phức tạp và khó hiểu đối với những người không chuyên về toán học

- Yêu cầu nhiều dữ liệu: Để tính toán chính xác, cần có dữ liệu đầy đủ và chính xác về các biến số đầu vào

- Giới hạn ứng dụng: Một số mô hình chỉ phù hợp cho các bài toán cụ thể và không thể áp dụng rộng rãi cho mọi tình huống

5.3 Hướng nghiên cứu phát triển trong tương lai

- Tối ưu hóa thuật toán: Phát triển các thuật toán tối ưu hóa mới để giảm bớt độ phức tạp của các phép tính đạo hàm theo hướng và vector gradient

- Ứng dụng trong AI và ML: Tích hợp các phương pháp này vào các mô hình trí tuệ nhân tạo và học máy

để cải thiện khả năng dự báo và phân tích dữ liệu

- Mở rộng ứng dụng: Khám phá các ứng dụng mới trong các lĩnh vực khác như y học, môi trường và khoa học xã hội để tận dụng tối đa các ưu điểm của phương pháp này

6 Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2007), Toán học cao cấp tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục

2 Nguyễn Hữu Thành, Phạm Mai Dung (2015), Giáo trình toán ứng dụng, Trường Đại học Công nghệ Dệt May

3 Nguyễn Đình Huy (chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM