Báo cáo bài tập lớn môn học phương pháp tính Đề tài phương pháp sai phân hữu hạn vào giải phương trình Đạo hàm riêng Để mô phỏng giọt mưa rơi

Ý tưởng chính của phương pháp sai phân hữu hạn là thay thế đạo hàm của hàm số bằng các tổ hợp tuyến tính của giá trị của hàm số tại các điểm lưới gần đó.. Trong phương pháp sai phân hữu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

-o0o -BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐỀ TÀI: Phương pháp sai phân hữu hạn vào giải phương trình

đạo hàm riêng để mô phỏng giọt mưa rơi

Giảng viên hướng dẫn Lê Thị Yến Nhi

Nguyễn Ngọc Mỹ Duyên 2148006 Nguyễn Hữu Khương 2148020

BÁO CÁO KẾT QUẢ LÀM VIỆC NHÓM

BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ST

1 214800

1

Nguyễn Phương Anh Soạn nội dung, giải bài toán

2 214800

6

Nguyễn Ngọc Mỹ Duyên

Soạn nội dung, xây dựng phương trình giải bài toán

3 214802

0

Nguyễn Hữu

Khươn g

Soạn nội dung lý thuyết sai phân, giải bài toán

LỜI MỞ ĐẦU

Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế, là một bài học rất quan trọng của chương trình đào tạo kỹ thuật cũng như một người kỹ sư

Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương pháp toán học quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến vi phân Nó được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như kỹ thuật, khoa học, kinh tế, tài chính, y học và nhiều lĩnh vực khác Phương pháp sai phân hữu hạn được sử dụng để mô hình hóa các quá trình động học, mô hình hóa các hệ thống, giải các bài toán vật lý, giải các bài toán kinh tế, y học,… Trong bài báo cáo này, chúng em sẽ áp dụng phương pháp sai số hữu hạn để mô phỏng quá trình hạt mưa rơi trong không khí Việc này không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách mưa hình thành và di chuyển trong không gian, mà còn có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như nghiên cứu môi trường, dự báo thời tiết, và quản lý tài nguyên nước

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN 1

1.1 Khái niệm 1

1.2 Quá trình áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn 2

1.3 Xây dựng lưới 2

1.4 Xấp xỉ đạo hàm 2

1.4.1 Xấp xỉ đạo hàm bậc một 3

1.4.2 Xấp xỉ đạo hàm bậc hai 3

1.5 Xấp xỉ tích phân 3

1.5.1 Công thức xấp xỉ tích phân bằng công thức hình chữ nhật 4

1.5.2 Công thức xấp xỉ tích phân bằng công thức hình thang (Trapezoidal Method) 4

1.6 Độ chính xác và sai số 4

1.7 Những ví dụ về phương pháp sai phân hữu hạn: 5

1.8 Tiểu kết 7

CHƯƠNG 2: MÔ PHỎNG HẠT MƯA RƠI TRONG KHÔNG KHÍ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 8

2.1 Mô phỏng hạt mưa rơi trong không khí 8

2.1.1 Xây dựng phương trình vi phân mô phỏng hạt mưa rơi 8

2.1.2 Ý nghĩa phương pháp sai phân hữu hạn trong mô hình hạt mưa 9

2.2 Phương pháp giải 9

KẾT LUẬN 13

TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

Phương pháp sai phân hữu hạn là một trong những phương pháp quan trọng trong tính toán số Nó được sử dụng để tính toán giá trị của một hàm số tại một điểm

cụ thể bằng cách sử dụng các giá trị của hàm số tại các điểm gần đó Phương pháp này dựa trên ý tưởng rằng giá trị của hàm số tại một điểm có thể được xấp xỉ bằng đạo hàm của hàm số tại điểm đó Ý tưởng chính của phương pháp sai phân hữu hạn là thay thế đạo hàm của hàm số bằng các tổ hợp tuyến tính của giá trị của hàm số tại các điểm lưới gần đó Bằng cách chia không gian thành một lưới điểm với khoảng cách đều giữa các điểm, ta có thể xấp xỉ đạo hàm tại mỗi điểm bằng các công thức xấp xỉ

1.1 Khái niệm

Sai phân của một hàm số f(x) tại một điểm x được định nghĩa là đạo hàm của hàm số đó tại điểm đó Trong phương pháp sai phân hữu hạn, chúng ta xấp xỉ sai phân bằng cách sử dụng các giá trị của hàm số tại các điểm lân cận

Một số dạng bài tập thường gặp:

- Bài toán nhiệt độ (Heat Equation)

Phương trình nhiệt độ mô tả sự lan truyền của nhiệt độ trong một vật thể Ví dụ, bạn có thể sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để xấp xỉ giá trị nhiệt độ tại các điểm lưới trong không gian và thời gian

- Bài toán dòng chảy (Flow Equation)

Phương trình dòng chảy mô tả sự chuyển động của chất lỏng hoặc khí trong một

hệ thống Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, bạn có thể xấp xỉ giá trị tốc độ, áp suất hoặc nồng độ chất lượng tại các điểm lưới trong không gian và thời gian

- Bài toàn dao động cơ (Harmonic Oscillator)

Phương trình dao động cơ mô tả sự dao động của một vật trong một môi trường Bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, bạn có thể xấp xỉ giá trị vị trí và vận tốc của vật tại các điểm lưới trong thời gian

- Bài toàn truyên sóng (Wave Equation)

Phương trình truyền sóng mô tả sự lan truyền của sóng trong một môi trường Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, bạn có thể xấp xỉ giá trị biên độ và vận tốc của sóng tại các điểm lưới trong không gian và thời gian

1.2 Quá trình áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn

Bước 1: Chia không gian đầu vào thành các điểm lưới

Bước 2: Xác định các điểm lưới cần thiết để xấp xỉ đạo hàm

Bước 3: Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn tương ứng để tính toán xấp xỉ đạo hàm tại các điểm lưới

Bước 4: Chuyên các phương trình vi phân ban đầu thành hệ phương trình đại số

sử dụng các xấp xỉ đạo hàm

Bước 5: Giải hệ phương trình đại số để tìm giá trị xấp xỉ của hàm số trên lưới

1.3 Xây dựng lưới

Đầu tiên, không gian liên tục được chia thành một lưới hữu hạn các điểm Mỗi điểm trên lưới được gọi là "nút" hoặc "điểm lưới" Bước lưới Ax được xác định là khoảng cách giữa các điểm lưới Lưới có thể là đều (các điểm lưới cách nhau một khoảng cố định) hoặc không đều (các điểm lưới cách nhau không đồng nhất)

Bước lưới không đều:

0

1

n

x n



 



Bước lưới đều:

0

n

x h

n



  

1.4 Xấp xỉ đạo hàm

Đạo hàm của hàm số được xấp xỉ bằng cách sử dụng các công thức sai phân hữu hạn Bằng cách xấp xỉ đạo hàm, chúng ta có thể biển phương trình vi phân thành hệ phương trình đại số Công thức sai phân được chọn phụ thuộc vào bậc của đạo hàm và sai số mà chúng ta muốn đạt được

2

1.4.1 Xấp xỉ đạo hàm bậc một

Sai phân tiến (Forward Difference Method of Order 1): Để xấp xỉ đạo hàm bậc

một bằng sai phân tiến, ta sử dụng công thức:

'( ) f x h f x

f x

h



Sai phân lùi (Backward Difference Method of Order 1): Để xấp xỉ đạo hàm bậc

một bằng sai phân lùi, ta sử dụng công thức:

'( ) f x f x h

f x

h



Sai phân trung tâm: Để xấp xỉ đạo hàm bậc một bằng sai phân trung tâm, ta sử

dụng công thức:

'( )

2

f x h f x h

f x

h



Trong đó f’(x) là giá trị của hàm số tại điểm x + h, f(x-h) là giá trị của hàm số tại điểm x – h và h là khoảng cách gấp đôi giữa hai điểm trong lưới

1.4.2 Xấp xỉ đạo hàm bậc hai

Sai phân tiến (Forward Difference Method of Order 2): Để xấp xỉ đạo hàm bậc

hai bằng sai phân tiến, ta sử dụng công thức:

2

f x

h



Trong đó f là giá trị của hàm số tại điểm x + 2h, f(x) là giá trị của hàm số tại điểm x, và h là khoảng cách giữa các điểm trong lưới

Sai phân lùi (Backward Difference Method of Order 2): Để xấp xỉ đạo hàm bậc

hai bằng sai phân lùi, ta sử dụng công thức:

2

f x

h



Trong đó f (x) là giá trị của hàm số tại điểm x, f là giá trị của hàm số tại điểm x

-h, f là giá trị của hàm số tại điểm x - 2-h, và h là khoảng cách giữa các điểm trong lưới

1.5 Xấp xỉ tích phân

Trong phương pháp sai phân hữu hạn, để xấp xỉ tích phân của một hàm số, chúng ta sử dụng công thức xấp xỉ tích phân dựa trên công thức sai phân hữu hạn Công thức xấp xỉ phổ biến nhất là công thức hình chữ nhật và công thức hình thang

1.5.1 Công thức xấp xỉ tích phân bằng công thức hình chữ nhật

Công thức hình chữ nhật bên trái (Left Rectangle Method):

a b f x dx  ( ) x f x( ( )0  f x( )1  f x( ) 2  f x( n1))



Công thức hình chữ nhật bên phải (Right Rectangle Method):

a b f x dx  ( ) x



Trong đó, xlà bước lưới và được tính bằng

b a x

n



 

, với n là số lượng điểm nút của lưới Công thức hình chữ nhật này tính toán tích phân bằng cách xấp xỉ diện tích dưới đồ thị bằng các hình chữ nhật có chiều rộng bằng xvà chiều cao bằng giá trị của hàm số tại các điểm nút của lưới

1.5.2 Công thức xấp xỉ tích phân bằng công thức hình thang (Trapezoidal Method)

Công thức hình thang:

x

a b f x dx  f x  f x  f x  f x   f x



Trong đó, xlà bước lưới và được tính bằng

b a x

n



 

, với n là số lượng 12 điểm lưới Công thức hình thang xấp xỉ tích phân bằng cách xấp xỉ diện tích dưới đồ thị bằng các hình thang có chiều rộng bằng xvà chiều cao bằng giá trị của hàm số tại các điểm lưới

Lưu ý: Để áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn, cân xác định các điều kiện biên cho các giá trị của hàm số tại các điểm lưới biên Điều kiện biên có thể là giá trị của hàm số, đạo hàm của hàm số hoặc một tỉ lệ giữa chúng

4

1.6 Độ chính xác và sai số

Phương pháp sai phân hữu hạn có độ chính xác hữu hạn, tức là sai số xấp xỉ đạo hàm sẽ tăng khi khoảng cách giữa các điểm tronglưới tăng lên Khi h tiến đến 0, ta mong đợi độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm sẽ cải thiện

Sai số xấp xỉ đạo hàm còn phụ thuộc vào tính liên tục và khả vi của hàm số Nếu hàm số không liên tục hoặc không khả vi tại một số điểm trong khoảng cần xấp xỉ, sai

số có thể tăng lên

1.7 Những ví dụ về phương pháp sai phân hữu hạn:

Để cung cấp một ví dụ ngắn gọn và hàm quát về các vấn đề giải quyết bài toán

sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, chúng ta sẽ xem xét một bài toán đơn giản về tính đạo hàm của một hàm số

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f x( )x2 tại điểm x 4, và chọn h 0.1 để xấp xỉ đạo hàm, sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tính bài toán này

Để xấp xỉ đạo hàm bậc một, chúng ta có thể sử dụng công thức sai phân tiến (forward difference):

( ) f x h f x

f x

h



Trong công thức trên h là một khoảng nhỏ, cho phép chúng ta xác định độ nhạy của hàm số f(x) đối với thay đổi x

Giải: áp dụng công thức sai phân hữu hạn:

(2)

0.1

f   

Đầu tiên, tính giá trị của hàm số f(x) tại các điểm nút liên quan:

2

f    

2

f  

Tiếp theo, áp dụng công thức sai phân hữu hạn

16.81 16

0.1

f   

Vậy, đạo hàm bậc một của hàm số f (4)=42 tại điểm x = 4 xấp xỉ bằng 8.1 khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn với h = 0.1

Ví dụ 2: Tính tích phân xác định của hàm số f(x) = x² từ x = 0 đến x = 2, sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn

Để xấp xỉ tích phân, công thức xấp xỉ tích phân bằng công thức hình thang (Trapezoidal Method))

x

a b f x dx  f x  f x  f x  f x   f x



Trong công thức trên, a và b là giới hạn của khoảng tích phân, n là số lượng b - a

điểm nút lưới Và x0, x1, , xn là các điểm lưới trong khoảng [a , b] và

b a

h x

n



 

,

là khoảng cách giữa các điểm lưới

Ví dụ, giả sử muốn tính tích phân của hàm số f(x) = x² từ x = 0 đến x = 2, và chọn n = 4 để xấp xỉ tích phân Ta áp dụng công thức sai phân hữu hạn:

  2 2 0

4

x dx  f  f  f  f  f



Đầu tiên, ta tính giá trị của hàm số f(x) tại các điểm lưới:

2

f   ; f(0.5) 0.5 2 0.25 ; f(1) 1 2 1 ;

2

(1.5) 1.5 2.25

f   ; f(2) 2 2 4 Tiếp theo, ta áp dụng công thức sai phân hữu hạn:

  2 2 0

4

x dx        



Vậy, tích phân xác định của hàm số f x( )x2 từ x = 0 đến x = 2 xấp xỉ bằng 5.75 khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn với n = 4

6

Lưu ý rằng ví dụ trên chỉ là một bài toán đơn giản để minh họa phương pháp sai phân hữu hạn trên Trong thực tế , phương pháp này có thể được áp dụng cho các hàm

số phức tạp hơn và với số lượng điểm lưới lớn hơn để đạt được độ chính xác cao hơn

1.8 Tiểu kết

Phương pháp sai phân hữu hạn là một kỹ thuật toán học hữu dụng với nhiều mục đích được sử dụng để tính toán gần đúng đạo hàm và tích phân của hàm số Nó hoạt động bằng cách chia nhỏ hàm số thành các khoảng con và sử dụng các công thức sai phân cơ bản để tính toán các giá trị tại các điểm cụ thể trong các khoảng con đó Ưu điểm của phương pháp này là có thể cung cấp kết quả xấp xỉ với độ chính xác cao, đặc biệt khi sử dụng số lượng khoảng con lớn So với các phương pháp tính toán đạo hàm

và tích phân khác, phương pháp sai phân hữu hạn thường có hiệu quả tính toán cao hơn, đặc biệt khi cần tính toán tại nhiều điểm Ngoài ra còn có thể áp dụng cho nhiều loại hàm số khác nhau, bao gồm cả những hàm số có dạng phức tạp Những ưu điểm trên đem lại phương pháp này có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Nhưng phải lưu ý một số điều như cần lựa chọn số lượng khoảng con và vị trí điểm tính toán phù hợp để đảm bảo độ chính xác Và có nhiều phiên bản khác nhau của phương pháp sai phân hữu hạn, mỗi phiên bản có ưu và nhược điểm riêng

CHƯƠNG 2: MÔ PHỎNG HẠT MƯA RƠI TRONG KHÔNG KHÍ VÀ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2.1 Mô phỏng hạt mưa rơi trong không khí

2.1.1 Xây dựng phương trình vi phân mô phỏng hạt mưa rơi

Bây giờ chúng tôi điều tra một mô hình phức tạp hơn cho một vật thả rơi, một

mô hình có tính đến lực cản của không khí mà vật thể rơi qua gia đình vật lý thông thường là lực cản không khí tỉ lệ thuận với một số công suất của vận tốc, nhưng công suất cụ thể (thứ nhất thứ hai hoặc khác) phụ thuộc vào vật thể cụ thể

Chúng tôi xem xét những hạt mưa rơi từ một đám mây cách mặt đất 3000 feet Nếu hạt mưa nhỏ, giả sử một giọt đường kính 0,003 inch (hoặc 0,00025 feet), một kích thước được tìm thấy trong mưa phùn, lực cản không khí được mô hình hóa tốt bởi bội số của công suất đầu tiên của vận tốc Nói cách khác, lực kháng có thể được

mô tả bằng:

Fr = -kv

Đối với một số hằng số dương K (Dấu trừ chỉ ra rằng lực theo hướng ngược lại với vận tốc tức là hướng lên trên.) Khi kết hợp với lực hấp dẫn,

Fg = mv

Điều này mang lại tổng lực trên hạt mưa

F = Fr = Fg

Chúng ta Nhớ lại định luật chuyển động thứ hai của Newton:

F = m ⅆvdt v

Đánh đồng hai công thức của chúng ta cho lực F và chia cho m, chúng ta tìm thấy một phương trình vi phân mới cho vận tốc:

v

ⅆv

dt = g – m kv

8

Chúng ta sẽ để c đại diện cho thương số k/m Khi chúng ta đính kèm điều kiện ban đầu của chúng ta, v(0) = 0, chúng ta có được bài toán giá trị ban đầu mới của

chúng ta: ⅆvdt v = g – cv, v(0) = 0

Bằng chứng thực nghiệm cho giá trị xấp xỉ 0,8 phút-1 đối với c, khi khoảng cách tính bằng feet và các giọt có kích thước mưa phùn

Giải pháp này cho một hàm vận tốc dẫn đến một phương trình vi phân thứ hai: vận tốc v tự nó là đạo hàm của hàm khoảng cách s = s(t), tức là:

v = ⅆvdt s

Vậy chúng ta có được phương trình vi phân mô tả chuyển động rơi của hạt mưa

là:

ⅆv 2 s

d t2 = g – c ⅆvdt s hay y ’’ (t) = g – c.y ’

(t)

2.1.2 Ý nghĩa phương pháp sai phân hữu hạn trong mô hình hạt mưa

Phương pháp sai phân hữu hạn áp dụng cho bài toán biên sẽ giúp chúng ta tìm được các giá trị độ cao của hạt mưa rơi tại nhiều thời điểm khác nhau tùy vào độ phức tạp của khoảng chia n mà ta chọn Từ đó, chúng ta sẽ có đồ thị với các giá trị gần đúng

y để rồi dùng các phương pháp nội suy đa thức sẽ ra được phương trình mô tả đường

đi của hạt mưa rơi trong không khí

2.2 Phương pháp giải

Dữ kiện giả định: Hãy mô tả chuyển động của hạt mưa rơi từ độ cao 1200m xuống mặt đất trong vòng 1 phút Biết g=9,81 m/s2, c = 0,8 phút-1

Giải Theo dữ kiện đã giả định, ta được hệ phương trình sau:

{y(' ' t)

+0,8 y(' t)=9,81

y(0)=1200, y(1)=0

Với n = 4 và 0 ≤ t ≤ 1

Khoảng chia h = b−a n = 1−04 = 0,25

Ta đưa hệ phương trình có dạng:

(p k

h2−

q k

2h)y k−1+(r k−2 p k

h2 )y k+( p k

h2 +

q k

2 h)y k +1=f(t )

Với k = 1, ta có phương trình (1):

(0,251 2−

0,8

2.0,25)y0+(0,8− 2 1

0,252)y1+(0,251 2+

0,8 2.0,25)y2=9,81

Với k = 2, ta có phương trình (2):

(0,251 2−

0,8

2.0,25)y1+(0,8− 2 1

0,252)y2+(0,251 2+

0,8 2.0,25)y3=9,81

Với k = 3, ta có phương trình (3):

(0,251 2−

0,8

2.0,25)y2+(0,8− 2 1

0,252)y3+(0,251 2+

0,8 2.0,25)y4=9,81

Từ (1), (2), (3) ta giải được phương trình tìm ra được 3 nghiệm sau:

{y1=803,68

y2=479,97

y3=215,68

Trong bài báo cáo này chúng em sẽ áp dụng phương pháp nội suy Lagrange:

Ta có bảng giá trị từ những giá trị vừa tính xong:

Áp dụng công thức Lagrange ta được phương trình:

L4(t) = (0−0,25)(0−0,5)(0−0,75)(0−1)(t−0,25)(t−0,5)(t−0,75)(t−1) × 1200 +

(t−0)(t−0,5)(t−0,75)(t−1)

(0,25−0)(0,25−0,5)(0,25−0,75)(0,25−1) × 803,68 +

10