ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP... Họ và tên MSSV Đánh giá... Bài 30 : Tất cả các vector đều song song với trục x, tất cả các vector trên 1 đường thẳng đứng có cùng độ lớn.
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH
KHOA
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
Môn: Giải tích 2
Đề tài 6
LỚP L39 - NHÓM 6
GVHD: Trần Thị Ngọc Huyền
Huỳnh Thái Duy Phương
TP Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2023
Trang 2Họ và tên MSSV Đánh giá
Trang 5BÀI LÀM:
Phần I:
Bài 28-29 sẽ sử dụng các vector ⃗F=x ⃗i+ y ⃗j, ⃗G =− y ⃗i+x ⃗j, ⃗H =x ⃗i− y ⃗j
Bài 28
Nối trường vector với hình vẽ tương ứng
Quy ước rằng trường vector của hình là ⃗V =f(x , y)⃗i+g(x , y)⃗j
⃗F=x ⃗i+ y ⃗j
bảng giá trị của ⃗F
Y
-1
− ⃗i − ⃗j − ⃗i − ⃗i +⃗j
Trang 6Ta thấy các vector trong trường luôn vuông góc với vector vị trí x ⃗i + y ⃗j
⇒ ⃗ V ⋅(x ⃗i + y ⃗j)=0
⇔ f (x , y)⋅ x+g(x , y)⋅ y=0 ∀ x, y∈ℝ
⇒ Hình 2 gán cho ⃗G =− y ⃗i+x ⃗j
bảng giá trị của ⃗G
Y
Ta thấy trên trục toạ độ có ⃗V(x , 0)=x ⃗i, ⃗V(0 , y)=− y ⃗j⇒ hình 3 gán cho
⃗H =x ⃗i− y ⃗j
bảng giá trị của ⃗H
Trang 7-1 0 1
Bài 29
Nối trường vector với hình vẽ tương ứng
(a)⃗F+⃗G, (b)⃗F+⃗H, (c)⃗G+⃗H, (d)− ⃗ F+⃗G
Câu a
(a)⃗F+⃗G =x ⃗i+ y ⃗j − y ⃗i+x ⃗j=(x − y)⃗i+(x + y)⃗j
bảng giá trị của ⃗F+⃗G
Y
-1 −2 ⃗j − ⃗i − ⃗j −2 ⃗i
⇒ ⃗ F+⃗H gán cho trường vector (II)
trường vector (II)
Câu b
(b)⃗F+⃗H =x ⃗i+ y ⃗j+x ⃗i− y ⃗j=2 x ⃗i
bảng giá trị của ⃗F+⃗ H
Y
-1 −2 ⃗i −2 ⃗i −2 ⃗i
Trang 8X 0 0 0 0
⇒ ⃗ F+⃗G gán cho trường vector (III)
trường vector (III)
Câu c
(c)⃗G+⃗H =− y ⃗i+x ⃗j+ x ⃗i− y ⃗j=(x − y)⃗i+(x − y)⃗j
bảng giá trị của ⃗G+⃗H
Y
-1 0 − ⃗i − ⃗j −2 ⃗i− 2 ⃗j
Trang 9trường vector (IV)
Câu d
(d)− ⃗ F+⃗G =− x ⃗i− y ⃗j− y ⃗i+x ⃗j=(− x − y)⃗i+(x − y)⃗j
bảng giá trị của − ⃗ F+⃗G
Y
1 2 ⃗j − ⃗i +⃗j −2 ⃗i
trường vector (I)
Trong bài toán 30-32, hãy viết công thức cho trưởng vector với các thuộc tính đã cho
Trang 10Bài 30 : Tất cả các vector đều song song với trục x, tất cả các vector trên 1 đường thẳng đứng có cùng độ lớn
Cho ⃗F(x ; y)=x ⃗i+ y ⃗j
Tất cả các vector trên 1 đường thẳng đứng có cùng độ lớn → x = a
Vậy ⃗F(x ; y)=a ⃗i
Bài 31 : Tất cả các vector đều hướng về gốc tọa độ và có hằng số chiều dài
√x2
√x2
+ y2)
|⃗F|=k=const (k>0)
⃗F(x ; y) = − kx
√x2+ y2⃗i + − ky
√x2+ y2⃗j = −⟨kx; ky⟩
√x2+ y2 (k>0)
Bài 32: Tất cả các vector đều là vector đơn vị và đều vuông góc với với vector vị trí tại điểm đó
Gọi vector đơn vị tại điểm (x,y) là ⃗r=x ⃗i+ y ⃗j → ⃗F(a ,b)=a ⃗i+b ⃗j
⃗r ⃗ F(a , b)=xa+ yb=0 →{ a = y
b =− x
Vậy ⃗F(x , y)= y ⃗i− x ⃗j
Bài 33: Cho vector ⃗F(x , y , z)=x ⃗i+(x + y)⃗j+(x − y +z)⃗k
(a) Tìm tọa độ điểm mà tại đó ⃗F ∥l
⃗v=⃗i− 2 ⃗j− 3 ⃗k
⃗F(x , y , z)=k ⃗v
(k =const)
⃗F(x , y , z)=⃗v
x ⃗i+ (x + y)⃗j+(x − y +z)⃗k=⃗i−2⃗j−3⃗k
Trang 11y =− 3 − y +z=−4
z =− 7
→ (1, −3 , −7)
Vậy ⃗F(x , y , z)∥l tại (1, −3, −7)
(b)Tìm tọa độ điểm mà tại đó ⃗F ⊥l
⃗v=⃗i− 2 ⃗j− 3 ⃗k
⃗F(x , y , z) ⃗v=0
x ⃗i −2(x + y)⃗j−3(x − y +z)⃗k=0
x=0 −2(x + y) =0 −3(x − y − z) =0
y=0 0+z=0
z=0
→ (0, 0, 0)
Vậy ⃗F(x , y , z)⊥ l tại (0, 0 ,0)
(c)Viết phương trình và diễn tả bằng lời tập hợp tất cả các điểm mà tại đó vectơ ⃗F
và đường thẳng l vuông góc với nhau
⃗v=⃗i− 2 ⃗j− 3 ⃗k
Do đó, tập hợp các điểm cần tìm có tọa độ là nghiệm của phương trình:
⃗F(x , y , z) ⃗v=0
1 x −2(x + y)− 3(x − y +z) =0
→ −4 x + y−3 z=0
Phần II:
Bài toán 26: Cho khối Ω xác định bởi x2+ y2
+z2
≤2 z và x2+ y2
+z2
≤1 Tính tích phân
I=∭
Ω
xdV
Giải:
+ y2
+z2≤ 1
x2+ y2
Trang 12Hình chiếu của vật thể Ω xuống mặt phẳng Oxy là đường tròn tâm O (0, 0) và bán
kính R=√3
2
x2+ y2
=3 4
Trang 13→ I=∭
Ω
xdV=∬
D
dxdy ∫ 1
2−√1
4− 13(x2+ y2 )
1
2 +√1
4− 13 (x
2
+ y2
)
xdz
¿∬
D
2 x√1
4−
1
3(x2
+ y2
)d x dy
Đặt: {x =r cosα
→ I=∫
0
2 π
dα∫
0
√ 3
2
r 2r cosα√1
1
3r
2
dr
¿∫
0
2 π
3√3
128 π cosα dα=0
Bài toán 27: Tính diện tích phần mặt trụ x2+ y2
√3x và x ≥ 0
Giải:
S mặt trụ=∫
C
|4 − x|dc
Phương trình tung độ giao điểm của đường thẳng
Trang 14y =− 1
√3 x với mặt trụ x2
+ y2
3 y2
+ y2
→{ x ≥ 0
(−1)≤ y ≤2
Đặt: {x=√4 − t2
→ S mặt trụ=∫
C
❑
|4 − x|dc=∫
−1
2
|4 −√4 −t2| √( −2 t
2√4 − t2)
2
+1d t
≈ 10 , 75
Bài toán 28: Cho đường cong C có phương trình tham số là:
{x =t4− 3 t3
y =− t , −2 ≤t ≤2
c
y3dx
Trang 15¿>− t :(−2)→ 2=¿t : 2→ (− 2)
x =t4−3 t3→ dx =4 t3− 9t2dt
→∫
c
y3dx=∫
2
−2
(−t)3
(4 t3− 9t2
Bài toán 29: Cho S là phần mặt trụ z = x2 nằm dưới mặt trụ z = 1 − y2 Tính
∬
S
2
Giải:
(S): y =x2
dxdy
● z = x2 ; z = 1 − y2
Trang 16Phương trình giao tuyến : x2= 1 − y2 => x2+y2=1
∬
S
2
D
2
D
D
=2 π
Vậy∬
S
2
Bài toán 30: Cho S là mặt biên phía trong của khối chóp đều có các đỉnh A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(−a, 0, 0), D(0, −a, 0) và S(0, 0, a)
Tínℎ∬
S
cosxdydz + y2
zdzdx
Giải:
Áp dụng định lí Gauss-Ostrogradsky, ta có:
∬
S
cosxdydz + y2
zdzdx =−∭
Ω
Ω
(sinx − 2 yz)dxdydz
∭
Ω
sinxdxdydz=0
nên
∭
Ω
Vậy∭
Ω
(sinx − 2 yz)dxdydz=0