BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 ĐỀ TÀI TỔNG RIEMANN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Tuy nhiên, do vùngđược tạo thành bởi các hìnhđã chia không hoàn toàngiống với vùng cần xét nên giá trị của tổng Riemann không giống với giá trị cần tìm.. Tổng Riemann phải của hàm x3 trê

BÁO CÁO BÀI T Ậ P L Ớ N

- Nguyễn  Thị Kiều Ân 

- Trần Ngọc   Diễm  

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

 NHÓM 12, LỚP   L03 STT T N M S SV NHI M VỤ  VAI TR

1   Cao Phi Long 2211872  T ổ ng h ợ p n ộ i dung   Nhóm trưở ng  

MỤC   LỤC  

DANHMỤC ẢN H  5

NỘI DUNG BÁO CÁO 6

PHẦN I.GIỚI THIỆU ĐỀTÀI 6

1   Tổng Riemann 6

1.1.  Sơ  lược về tổng Riemann 6

1.2.  Cácdạng tổng Riemann 6

PHẦN II PHƯƠNG PHÁPTHỰC HIỆN ĐỀ TÀI 9

1    Bài toán 1 9

1.1.  Xâydựng chương trình MATLAB 9

1.2.  Chạy chương trình 11

1.3.  Sử dụng chương trình 12

2    Bài toán 2 14

TỔNG KẾT  17

LỜI CẢM ƠN  17

DANH MỤC  HÌNH ẢNH  

Hình 1 1.Tổng Riemann tráicủa hàm x3 trênđoạn [0,2]với 4khoảng con 7

Hình 1 2.Tổng Riemann phải của hàm x3 trênđoạn [0,2]với 4khoảng con 8

Hình 1.3 Tổng Riemanngiữa của hàm x3 trênđoạn [0,2]với 4 khoảng con 8

Hình 2.1 Một  phần giaodiện  phần mềm sau khiđăng nhập.  9

Hình 2.2 Một  phần giao diêncủa MATLAB Online 9

Hình 2.3 Một  phần giaodiện MATLAB Online sau khinhập đoạn mã.  11

Hình 2.4 Vị trícủa nút Run trongmục EDITOR 11

Hình 2.5 Một  phần cửa sổ Save as 11

Hình 2 6 Giaodiện của sổ Command Window khichương trìnhhoạt động.  12

Hình 2.7 Nhập giátrị x vàochương trình.  12

Hình 2.8 Nhập giátrị f(x) vàochương trình 12

Hình 2.9 Chương trìnhhiển thị  bảng giátrị đã nhập vàđưa ratuỳ chọn.  13

Hình 2 10.Chương trình kết thúc 13

Hình 2 11 Yêucầu tínhtổng Riemann trái 14

Hình 2 12 Yêucầu tínhtổng Riemann trung tâm 14

Hình 2 13 Yêucầu tínhtổng Riemann phải.  14

Hình 2 14.Minh hoạ haicốc cà phê 15

NỘI  DUNG BÁO CÁO

1. Tổng Riemann

1.1. Sơ  lược về tổng Riemann

Được pháthiện  bởi nhà toánhọc người Đức, Bernhard Riemann,tổng Riemannchủ 

thị. 

có hình dạng tương tự với vùng cần tính diện tích, sau đó tính diện tích mỗi vùng này và 

cuối cùngcộng tất cả lại với nhau. 

Tuy nhiên, do vùngđược tạo thành bởi các hìnhđã chia không hoàn toàngiống với  vùng cần xét nên giá trị của tổng Riemann không giống với giá trị cần tìm Để giảm sai 

phân xácđịnh của hàmsố f(x) trênđoạn [a, b]

f(x),chỉ biết   tập hợp gồm toạ độ cácđiểm x và f(x) trongmột miền xácđịnh hoặc những  hàm f(x) không có nguyên hàm rõ ràng

1.2. Cácdạng tổng Riemann

Có ba phương pháp phổ biếnđể tính tổng Riemann, áp dụng cho n khoảng con thuộc [a, b] vớ iđộ rộng∆   bằng nhau,được tính bằng: 

Cácđiểm trongkhoảng chiasẽ là:

 −  

 

 ,    + ∆ ,    + 2∆ , …   …  ,    + (    −  1) ∆ ,    + ∆ ,   

  Tổng Riemann trái.

Với tổng Riemann trái, phép tínhgần đúng hàmsố  bằng cáchsử dụng giátrị của 

nótại điểm trái cùng cho nhiều hình chữ nhật vớ i chiều dài∆  vàchiều cao

 ( +).Thực hiện điều nàyvới i =0, 1,…, n− 1, và tínhtổng cácdiện tích thu được sẽ cho

 =∆[ () + (  + ∆) + ( +2∆) +⋯ + ( − ∆)] 

Tổng Riemann trái caohơn giátrị nếu f cósự nghịch  biến trênđoạn này, vàthấp  hơn giátrị nếu cósự đồng  biến. Saisố của côngthức nàysẽ là:

  

|∫  () − |≤ 

  

1( − ) 2  

2 

 V ớ i1 là giá trị lớ n nhất của| , ()|trênđoạn này. 

 Hình 1.1 Tổng  Riemann trái của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng  con

  Tổng Riemannphải. 

cuối bên phải của các khoảng con Điều này tạo ra nhiều hình chữ nhật có đáy ∆  và chiều cao ( +).Thực hiện điều này với i =1,…, n, và tínhtổng các diện tích:

ℎ =∆[ (  + ∆) + ( +2∆) +⋯ + ()] 

 biến. Saisố của côngthức nàysẽ là:

  

|∫  () − ℎ|≤ 

  

1( − ) 2  

2 

 V ớ i1là giá trị lớ n nhất của| , ()|trênđoạn này

 Hình 1.2 Tổng  Riemann phải của hàm x3 trênđoạn [0,2] với 4 khoảng  con.

  Tổng Riemann trung tâm

Với tổng Riemann trung tâm, hàmđược xấp xỉ  bằng các giátrị của nótại các điểm giữa của cáckhoảng con.Điều này mang lại  ( +Δ)chokhoảng conđầu tiên,

2    ( +3Δ)cho khoảng tiếp theo, v.v chođến khi  ( − Δ).Tổng cácdiện tích là:

2 

2 

Δ 

 =∆ [  ( +  ) +  ( + 

2  ) +⋯ +  ( −  )]

Saisố của côngthức nàysẽ là:

  

|∫  () −  |≤ 

  

2( − ) 3  

242  

 V ớ i2là giá trị lớ n nhất của| ,, ()|trênđoạn này

 Hình 1 3 Tổng  Riemann giữa của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng  con

  

1. Bài toán 1

Cho hàm số  = (), a <x <b chodạng  bảng số. Dùngtổng Riemannđể ước tính

∫   ()  bằng một  phần mềm hoặc một ứng dụng tùy ý Yêucầu thể hiện được cách cùngtổng trái/tổng  phải/tổng trung tâm

Giải   pháp:Giải quyết  bài toán bằng  cách sử  dụng  ứng  dụng  MATLAB phiên bản  trực tuyến. 

1.  Truycập vào trang https://matlab.mathworks.com/

2.   Nhấn vào Sign inđể đăng nhập hoặc tạo tàikhoản. 

3.  Khiđăng nhập thành côngnhấn vào Open MATLAB Online (basic)tại trang  https://matlab.mathworks.com/ 

 Hình 2.1 Một   phần giao diện  phần mềm sau khi đăng  nhập. 

4.  Tại ô FILEcủa mục HOMEchọn New Script

 Hình 2 2 Một   phần giao diên của MATLAB Online. 

close all

clear

x = input('Nhap gia tri cua x theo cu phap [x1 x2 x3 ]');

fx = input('Nhap gia tri cua f(x) theo cu phap [f(x1) f(x2) f(x3) ]');

TableOfValue = [x;fx]

n = numel(x);

a = 'Y';

while a == 'Y'

c = input('Chon dang tong Riemann: \n 1: Tong Riemann trai || 2: Tong Riemann trung tam || 3: Tong Riemann phai');

switch c

case 1

r = 0;

for k=1:n-1

dx = x(1,k+1) - x(1,k);

f = dx*fx(1,k);

r=r+f;

end

fprintf('Tong Riemann trai la: %.2f\n', r)

case 2

r = 0;

for k=1:n-1

dx = x(1,k+1) - x(1,k);

f = dx*(fx(1,k)+fx(1,k+1))/2;

r=r+f;

end

fprintf('Tong Riemann trung tam la: %.2f\n', r)

case 3

r = 0;

for k=1:n-1

dx = x(1,k+1) - x(1,k);

f = dx*fx(1,k+1);

r=r+f;

end

fprintf('Tong Riemann phai la: %.2f\n', r)

end

a = input('Tinh dang khac ? Y/N [Y]:', "s");

if isempty(a)

a = 'Y';

end

end

5.  Tại cửa sổ untitled.m, nhập đoạn mã sau:

 Hình 2 3 Một   phần giao diện MATLAB Online sau khi nhập đoạn mã. 

1.  Tại ôRUN của mục Editor,chọn Run, chương trình sẽ hiển thị cửa sổ Save as

2.  Tại khungnhập Save ascủa cửa sổ Save as,đặt tên chochương trình theo cú pháp: tenchuongtrinh.m vàchọn Save

 VD: RiemannSum.m

 Hình 2.5 Một   phần cửa  sổ  Save as

3.  Sau khilưu thành côngchương trìnhsẽ tự động chạy tại cửa sổ  Command Window

1.3. Sử  dụng chương trình

Cho hàmsố có bảng giátrị sau:

 Bảng  2 1 Bảng  giá trị của hàm sô f(x)

Tínhtổng Riemann trái, phải, trung tâm

•  Nhập giátrị của bảng vàochương trình

1.  Khichương trìnhđang chạ y nhập giá trị của: [-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4] và nhấn Enter

 Hình 2 7. Nhập  giá trị   x vàochương  trình

2 Nhập giá trị của (): [-122 -65 -30 -11 -2 3 10 25 54] vànhấn Enter

 Hình 2 8. Nhập giá trị f(x) vào chương trình. 

3.  Khi giátrị hợp lệ để tạo  bảng, chương trìnhsẽ hiện  bảng số đã nhập và các tuỳ chọn. 

 Hình 2 9 Chương  trình hiển thị bảng  giá trị đã nhập và đưa ra tuỳ chọn. 

4.  Nhập một giátrị 1/2/3 vànhấn Enterđể chương trìnhthực hiện tuỳ chọn đó 

 vàhiển thị kết quả. 

5.  Khi cóđược kết quả, nhấn Enterđể tínhdạng tổng Riemann kháchoặc nhập 

N vànhấn Enter để kết thúc chương trình. 

 Hình 2 10.Chương  trình kết  thúc

6.  Khixuất hiện “>>” thì chương trìnhđã kết thúc

•  Tínhtổng Riemann trái

 Nhập “1” vànhấn Entertại  bước 4

 Hình 2 11 Yêucầu tính tổng  Riemann trái.

•  Tínhtổng Riemann trung tâm

 Nhập “2” vànhấn Entertại  bước 4

•  Tínhtổng Riemannphải. 

 Nhập “3” vànhấn Entertại  bước 4

2. Bài toán 2

 Hình 2 13 Yêucầu tính tổng  Riemann phải. 

Giả sử bạn có thể chọn một trong hai loại cốc cà phê trong hình dưới, một cốc uốn 

phêhơn. Tất nhiên bạn cóthể đổ đầy nước vàocốc nàyrồi đổ vàocốc kia,nhưng làmột 

xoay, vìvậy bạn   cóthể coi cà phêở  trongcốc làthể tíchcủa khối tròn xoayđó. 

 Hình 2 14. Minh hoạ hai cốc cà phê.

1. Giả sử mỗi cốc cóchiều cao h,cốc Ađược tạo thành bằng cách xoayđường cong

đường thẳng x =k Tìm giátrị của k sao cho haicốc chứa lượng cà phênhư nhau

2. Kết quả của bạn từ 1 cho biết gì về các phần diện tích A1 và A 2được biểu diễn  trong hình?

3. Sử dụng Định lý Pappusđể giải thíchkết quả của  bạn trong 1 và 2

4. Dựa trên các phép đo và quan sát của riêng bạn, hãy đề xuất một giá trị cho h và  một phương   trình x =f(y) và tínhlượng cà phê màmỗi cốc cóthể chứa được. 

 Bài  giải   

1. Vì hai cốc chứalượ ng cà phênhư nhau.⇒  1= 2 

Mà haicốc đều có cùngchiều cao là h.⇒  1= 2 

Mà = ℎ   () ⇒  = ℎ   () 

  1 ∫0  2 ∫0 

Diện tích = 1  + 2 

ℎ  

= 2∫0 () 

Mà =.ℎ ⇒  =2 ℎ  () 

ℎ  ∫0 

2. Khi cốc A có thể tích bằng cốc B thì diện tích 1 bằng diện tích 2

3. Định lý Pappus: trong không gian, khi xoaymột hình phẳng F quanhmột trục cố 

Khi đó, thể tích của khối tròn xoay vừa được tạo thành bằng tích của diện tích A của F 

 và quãngđường d dichuyển  bởi trọng tâmcủa F

Cốc  B

Cốc A  

0  

Ta có Oy, x=k, A 1 A 2đồng  phẳng và khôngcắt nhau Vìvậy thể tíchkhối tròn xoay tạo  bởi Oy và A1, x=k và A 2lầnlượ t bằng 121 à 222. 

Khi 1 = 2 ⇔  121 =  222 ⇒  1 =  2à1= 2 

4. Cho h =5 cm, k =15 cm

Cho phương trình =−2  + 5 + 2

Thể tích cốc A: = ∫5(−2  + 5 + 2) = 207.5 (3 )  

Thể tích 2 cốc:  = 2ℎ  = 1125 (3 )  

Thể tích cốc B:  = −   = 917.5 (3 )  

Theo yêucầu bài toán:

TỔNG   KẾT  

Nhómđã đạt được  phần kiến thức căn  bản của  phần báo cáo

LỜI   CẢM ƠN  

Cảm ơn giảng viên Bàitập Lớn cô Ânđã lắng nghe bài báo cáocủa nhóm em vàđưa 

ranhững nhận xét giúp nhóm emcải thiện hơn bài báo cáo này Tuyđã cónhiều cố gắng  nhưng dokiến thức vàthời gian nghiêncứu cóhạn nên bài báo cáocủa nhóm em không

để em cóđiều kiện hoànthiện hơn kiến thức của mình