Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 Đề tài trình bày phần 5 4 trong cuốn single variable calculus của tác giả soo t tan

Do đó, khi xấp xỉ chiều dàicủa mỗi cung bằng chiều dài của đoạn thẳng tương ứng, chúng tathấy rằng Định Nghĩa Chiều Dài Cung của Đường Cong Giả sử f là một hàm số liên tục được xác định

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 1

LỚP L34 – NHÓM 10

TPHCM, 12/2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

ĐỀ TÀI Trình bày phần 5.4 trong cuốn “ Single Variable Calculus ” của tác giả Soo T.Tan Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN

Khi rời cảng, tàu chở dầu di chuyển theo một quỹ đạo được mô tả bởi đường cong trongHình 1 cảng được coi là gốc tọa độ của hệ tọa độ.

Hình 1 Mô tả đường cong thể hiện quỹ đạo mà tàu chở dầu đã đi

Hãy xác định khoảng cách mà tàu đã đi khi nó đến một điểm trên quỹ đạo nằm cách cảng

4 dặm về phía đông và 2 dặm về phía bắc

Theo hình, chúng ta thấy rằng khoảng cách này được xác định bởi chiều dài của đườngcong giữa hai điểm Vì vậy, để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần (a) hiểu định nghĩa chiềudài của một đường cong và (b) tìm cách tính toán nó.(Chúng ta sẽ giải quyết vấn đề nàytrong Ví dụ 1.)

Định nghĩa Chiều dài Cung

Giả sử đồ thị là của một hàm số liên tục trên một đoạn đóng [a,b] Ta có P={x0, x1,…,

xn} là phân vùng đều của [a,b].Nếu yk=f(xk), thì các điểm Pk(xk,yk) sẽchia đoạn thành các cung mà chúng ta ký hiệu lần lượt là (^P0P1),(^P1P2),

…,(^P n−1P n).(Hình 2.)

Hình 2 Đồ thị của trên là sự hợp của các cung (^P0P1),(^P1P2),…,(^P n−1P n)

Vì các cung này không giao nhau (trừ các điểm cuối của chúng), nênchúng ta thấy rằng chiều dài L của C từ P0 đến Pn chỉ đơn giản là tổngchiều dài của các cung này Giờ đây, chiều dài của cung(^P k−1P k) có thểxấp xỉ bằng chiều dài d(Pk-1Pk) của đoạn thẳng nối Pk-1 và Pk (được thểhiện bằng đường màu đỏ trong Hình 2) Do đó, khi xấp xỉ chiều dàicủa mỗi cung bằng chiều dài của đoạn thẳng tương ứng, chúng tathấy rằng

Định Nghĩa Chiều Dài Cung của Đường Cong

Giả sử f là một hàm số liên tục được xác định trên đoạn [a,b], và giả sửP={x0, x1, , x n} là một phân hoạch đều của đoạn [a,b] Chiều dài cung của

đồ thị hàm số f từ P(a,f(a)) đến Q(b,f(b)) được tính bằng công thức sau:

Lưu ý: L cũng được gọi là chiều dài cung của đồ thị hàm số trênkhoảng [a,b]

Chiều Dài Của Đường Cong Trơn

Một hàm số được gọi là trơn trên một khoảng nếu đạo hàm f ' của nóliên tục trên khoảng đó Sự liên tục của hàm số f ' ngụ ý rằng một thayđổi nhỏ trong biến số x sẽ dẫn đến một thay đổi nhỏ trong độ dốc

f ' ( x ) của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số f tại bất kỳ điểm nào

( x , f ( x )) Do đó, đồ thị của hàm số f không thể có sự thay đổi đột ngột

về hướng Nói cách khác, đồ thị của hàm số f không có các điểm nhọnhoặc góc cạnh được gọi là một đường cong trơn (Xem Hình 3.)

x0, x1, , x n} là một phân hoạch đều của [a,b] Khi đó, theo phương trình(1):

, dẫn đến kết quả sau đây.

Công Thức Tính Chiều Dài Cung

Giả sử hàm số ff là hàm số trơn trên đoạn [a,b] Khi đó chiều dàicung của đồ thị hàm số từ

Lưu ý: Nếu phương trình xác định hàm số f được biểu diễn dưới dạng

y=f(x), thì phương trình (2) được viết lại là:

Có đồ thị là phương trình: y = 14x3/2 biểu thị lộ trình một con tàu sau khi rời cảng, điểm

xuất phát nằm tại gốc của hệ tọa độ ( xem hình 4 ) Tìm quảng đường mà tàu chở dầu đã

di chuyển khi nó đến vị trí cách cảng 4 dặm về phía đông và 2 dặm về phía bắc

Giải: Khoảng cách L của đường cong từ x = 0 đến x = 4 Ta áp dụng phương trình (3):

dy dx = dx d (1

4x

3 /2

) = 38x1/2Và

có nghĩa là việc xây dựng một đoạn thẳng có độ dài bằng với đường cong cho trước Trước phát hiện của Neile vào năm 1657, điều này được cho là không thể đối với các đường cong đại

số Công trình của neile về vấn đề này

đã được xuất hiện trong tác phẩm De Cycloide của nhà toán học John Wallis

27 [ (1+ 9

16)3/2

−1] = 12227 ≈ 4.52

Vậy tàu chở dầu đã di chuyển quảng đường 4.52 dặm khi đến điểm yêu cầu

VD2: Tìm độ dài của đồ thị f(x) = 13 x3 + 4 x1 trên đoạn [1 ,3].

16 x4 = 16 x

8

+8 x4+1

có nghĩa là việc xây dựng một đoạn thẳng có độ dài bằng với đường cong cho trước Trước phát hiện của Neile vào năm 1657, điều này được cho là không thể đối với các đường cong đại

số Công trình của neile về vấn đề này

đã được xuất hiện trong tác phẩm De Cycloide của nhà toán học John Wallis

= (9− 1

12)−(1

3−1

4)=536

Bằng cách hoán đổi vai trò của x và y trong công thức (2) Chúng ta có được công thứctìm độ dài cung của đồ thị của một hàm số liên tục là x = g(y) trên khoảng [c , d] như sau.Xem hình 6

Hình 6Đường cong C là đồ thị của x = g(y)

Độ dài cung của hàm số

Giả sử C là đồ thị của hàm liên tục fđược xác định bởi y = f(x) trên đoạn [a , b], ta có thể

sử dụng phương trình (2) để biểu thị độ dài cung của đồ thị ftừ P(a, f (a)) đến Q(x,

Phương trình này cho phép chúng ta định nghĩa hàm trên như sau:

Nếu chúng ta sử dụng phần 1 định lí cơ bản của giải tích để tính đạo hàm của phương

Đại lượng ds = s ' ( x) dx là vi phân của độ dài cung Dựa trên công thức (6), ta có thể biểu

diễn ds dưới các dạng sau:

Hình 9 đưa ra lời giải hình học về vi phân độ dài cung dưới dạng dx và dy Lưu ý rằng

nếu dx = Δx nhỏ thì ds xấp xỉ cho độ dài cung của đồ thị ftương ứng với sự thay đổi Δ

x củax

Định nghĩa: độ dài cung của hàm số

Giả sử hàm số fliên tục trên [a , b], độ dài cung s của hàm số được tính như sau

(ds)2

= (dy)2

+ (dx)2

(8)

Hình 9: Mối quan hệ giữa ds,dy và dx

Hình trụ quay:

Một hình trụ quay là một bề mặt thu được khi quay đồ thị của một hàm số liên tục quanhmột đường thẳng Ví dụ, nếu đồ thị C của hàm số f trên khoảng [a, b] như trong Hình 10ađược quay quanh trục x, ta sẽ thu được bề mặt quay S như trong Hình 10b.Mục tiêu củachúng ta là tìm một công thức để tính diện tích bề mặt của S Để làm điều này, ta cần

công thức tính diện tích xung quanh của một hình nón cụt (Hình11) Nếu bán kính đáy trên và dưới của hình nón cụt lần lượt là r1 và r2, và đường sinh là

Tiếp theo, xét bề mặt S tạo ra khi quay đồ thị C của một hàm số f không âm và trơnquanh trục x từ x = a đến x = b Cho P= x0, x1, … , x n là một phân vùng thông thường của[a, b] Nếu y k =f(x k) thì các điểm P k(x k , y k) chia C thành n rời nhau (trừ điểm cuối củachúng) các cung P0P1, P1P2, … , P n−1P n có hợp là C (Hình 12a) Mặt S là hợp của cácmặt S1, S2, … , S n thu được bằng cách quay các cung này quanh trục x (Hình 12b).

Hãy tập trung vào phần của bề mặt được sinh ra bởi cung của đồ thị hàm số f trên khoảng

[ x k−1, x k] Phần này là bề mặt S k trong Hình 13 Nếu Δx đủ nhỏ, thì cung P(k−1)P k có thểxấp xỉ bằng đoạn thẳng nối P k−1 và P k Điều này gợi ý rằng diện tích bề mặt của hình nóncụt được tạo thành bằng cách quay đoạn thẳng này quanh trục x sẽ cung cấp cho chúng

ta một xấp xỉ tốt cho diện tích bề mặt của S_{k} (Xem Hình 13.)

Vì hình chóp cụt có bán kính trung bình là r=1

2[f(x k−1)+f(x k)] và độ dài đường sinh

l =d ( P k−1P k) Công thức (9) cho ta biết diện tích xung quanh của nó là:

Đó là dạng vi phân độ dài cung của phương trình (10)

Công thức này có thể được nhớ như sau: Nếu ∆x nhỏ, vi phân độ dài cung, ds, cho giá trị

gần đúng của độ cao nghiên của phần cụt hình nón với bán kính trung bình xấp xỉ bằng y

(hoặc f(x)) Vì vậy 2πy ds biểu diễn một phần tử của bề mặt (Hình 14) Bằng cách tính

tổng và lấy giới hạn ta thu được phương trình (11)

Ví dụ 5: Tìm diện tích bề mặt được ta ra bằng cách quay đồ thị f ( x)=√xtrên đoạn [0, 2]

quanh trục x

Định nghĩa: Diện tích mặt của một bề mặt quay

Cho f là một hàm số trơn, không âm trên đoạn [a, b] Diện tích mặt của bề mặt được tạo

ra bằng cách quay đồ thị của f quanh trục x được tính bởi công thức (10)

Hình 14

Nếu ∆x nhỏ, ds xấp xỉ chiều

cao nghiêng của hình cụt và

f(x) xấp xỉ chiều cao trung

bình của hình cụt

Cách giải: Đồ thị của f và bề mặ quay được mô tả trong hình (15) Chúng ta có

Ta tính tích phân này bằng phương pháp đổi biến với u = 4x + 1, do đó du = 4dx hoặc dx

= ¼du Giới hạn dưới và trên của tích phân lần lượt là 1 và 9 Ta thu được

Bằng cách hoán đổi vai trò của x và y trong phương trình (10), chúng ta thu được côngthức sau để tìm diện tích bề mặt thu được bằng cách quay đồ thị của hàm trơn xác địnhbởi x = g(y) trên khoảng [c , d] về trục y

Hình 15

Đồ thị của y = √x trên đoạn [0, 2]

và bề mặt quay thu được bằng

cách quay quanh trục x

Diện tích bề mặt: Tích phân theo y

Trong Bài tập 1-4, hãy tìm độ dài cung của đồ thị từ A đến B.

2 Chiều dài từ AB: y=x32

Hình 16

Đồ thị của x = y³ trên [0, 1]

và bề mặt thu được khi

quay nó quanh trục y

6.Tính độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm

Cho hai điểm (−1,−2) và (3 ,6).

Công thức khoảng cách giữa hai điểm:

Trong bài tập 7-14, tìm độ dài cung của đồ thị phương trình cho từ

P đến Q hoặc trên khoảng xác định

Trong Bài tập 15-20, hãy viết tích phân biểu diễn độ dài cung của

đồ thị phương trình từ P đến Q hoặc trên khoảng được chỉ định (Không tính tích phân.)

18 y =cos x trên đoạn [0 , π]

22.f ( x)=√x2−x4; [0 ,1].

Giải:

Chu vi= L= ∫

0

√ 2 21

Tìm diện tích bề mặt thu được khi xoay đường cong cho trước quanh trục đã chỉ định:

Diện tích tròn xoay khi quay quanh Oy

40.viết tích phân cho biết diện tích bề mặt thu được khi xoay đường

cong quanh trục x (Không tính tích phân.)

44.Chứng minh rằng diện tích bề mặt của một hình cầu có bán kính r là S =

4πr² bằng cách tính tích phân xác định Gợi ý: Tạo hình cầu này bằng cách quay nửa đường tròn x² + y² = r² trong đó y≥ 0, qxuanh trục x.

Tính diện tích quả cầu bằng tích phân, kiểm chứng S

.2=4 π r2

46 Tìm diện tích của miền hình cầu được tạo thành bằng cách quay đồ

thị y=√r2−x2 trên [a,b], trong đó 0 < a < b < r, quanh trục x.

Với r là bán kính của hình cầu và a,b là giới hạn tích phân.

Bài 48: Ước tính khoảng cách mà vật phóng di chuyển trong không khí