Độ chính xác Trong tích phân số, phương pháp trung điểm có sai số bậc 2, có nghĩa là sai số tỉ lệ thuậnvới bình phương của độ r ộng bướ c Δx.. Ưu, nhược điểm -Ưu điểm: + Độ chính xác cao
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚ N MÔN GIẢI TÍCH 1
Một số phương pháp tính gần đúng tích phân
NHÓM L14_08GVHD: TS.ĐẶNG HẢI LONG
TP HCM, 11-2024
Trang 4Nhận xét Chấm điểm của thầy/cô
Trang 5Mục Lục
I Một số phương pháp tính gần đúng tích phân 6
1 Tích phân xác định 6
1.1 Định nghĩa 6
1.2 Ý nghĩa hình học 6
1.3 Tính chất 6
2 Phương pháp Midpoint 6
2.1 Nguyên lí cơ bản 6
2.2 Công thức phương pháp trung điểm 7
2.3 Điều kiện 7
2.4 Độ chính xác 7
2.5 Ưu, nhược điểm 7
2.6 Ví dụ 8
2.7 Đánh giá 8
3 Phương pháp hình thang 8
3.1 Tổng quan về phương pháp hình thang 8
3.2 Nguyên lí cơ bản 8
3.3 Độ chính xác 9
3.4 Ưu điểm và nhược điểm 9
3.5 Ví dụ 10
3.6 Đánh giá 11
4 Phương pháp Simpson 11
A Simpson 1/3 11
1 Tổng quan về phương pháp Simpson 1/3 11
2 Công thức tổng quát 11
3 Ưu và nhược điểm: 12
4 Đánh giá 12
B.Simpson 3/8 12
1 Tổng quan về phương pháp Simpson 3/8 12
2 Nguyên lý cơ bản 12
3 Công thứ c tổng quát 13
4 Ưu và nhược điểm: 13
Trang 65 Ví dụ 13
6 Đánh giá 14
5 Phương pháp Monte Carlo 14
5.1 Nguyên lý cơ bản 14
5.2 Công thứ c 14
5.3 Điều kiện 15
5.4 Độ chính xác 15
5.5 Ưu và nhược điểm của Phương pháp Monte Carlo 15
5.6 Ví dụ 16
5.7 Đánh giá 16
6 Phương pháp Gauss-lengendre Quadrature 17
6.1 Tổng quan về phương pháp Gauss-lengendre Quadrature 17
6.2 Xấp xỉ tích phân trên đoạn [a,b] 17
6.3 Ví dụ 18
6.4 Ưu điểm và nhược điểm 20
6.5 Đánh giá 20
II K ết Luận 21
III Tài liệu tham khảo 21
Trang 7I Một số phương pháp tính gần đúng tích phân
1 Tích phân xác định
1.1 Định nghĩa
Tích phân xác định được định nghĩa dựa trên giớ i hạn của tổng Riemann Cho hàm số
f xác định trên đoạn [a;b] chia thành n phần nhỏ, mỗi đoạn có độ dài, chọn điểm x bất kì Tổng Riemann đượ c viết dướ i dạng:
∑ =
Khi số lượng đoạn n tăng đến vô cùng, (→0 ), tổng Riemann tiến đến một giá tr ị xác định nếu f(x) liên tục hoặc khả tích trên đoạn đó:
∫ ⅆ →∞ 1.2 Ý nghĩa hình học
Nếu ≥0trên [a,b], tích phân xác định biểu diễn diện tích của vùng hình phẳngnằm giữa đồ thị của f(x), tr ục hoành, và các đườ ng thẳng x=a, x=b
Nếu f(x) có cả giá tr ị âm và dương trên [a,b], tích phân xác đị nh thể hiện hiệu giữadiện tích của vùng phía trên và phía dướ i tr ục hoành
Trang 82.2 Công thức phương pháp trung điểm
là chiều dài mỗi đoạn con
- . là các điểm phân chia đều trên đoạn [a,b]
2.3 Điều kiện
- Hàm f(x) liên tục trên [a;b]
-Hàm f(x) có đạo hàm bậc 2 liên tục trên [a;b] để đảm bảo sai số xấ p xỉ là bậc 2.Nếukhông liên tục, sai số có thể lớn hơn dự kiến
- Khoảng chia Δx phải đủ nhỏ để sai số nhỏ và đảm bảo độ chính xác mong muốn.2.4 Độ chính xác
Trong tích phân số, phương pháp trung điểm có sai số bậc 2, có nghĩa là sai số tỉ lệ thuậnvới bình phương của độ r ộng bướ c Δx Nói cách khác, khi tăng n thì sai số sẽ giảm nhanhhơn so với phương pháp bậc thang có sai số bậc 1
2.5 Ưu, nhược điểm
-Ưu điểm:
+ Độ chính xác cao hơn pp Euler và phương pháp hình thang
+ Dễ triển khai và tính toán đơn giản
+ Cân bằng tốt với độ chính xác và độ phức tạ p
- Nhược điểm:
+ Kém chính xác hơn các phương pháp bậ c cao
+ Phải tính thêm điểm giữa, tăng tính toán
+ Không hiệu quả với hàm có độ biến thiên lớ n
+Cần bước Δx nhỏ để đạt độ chính xác cao
Trang 92.6 Ví dụ
Giải matlab:
symsx;
y = str2sym(input('Nhap vao ham y: ','s'));
a = input('Nhap vao can a: ');
b = input('Nhap vao can b: ');
n = input('Nhap so phan hach: ');
tong = tong * deltax;
disp('Tong giua la: ');
disp(tong);
2.7 Đánh giá
- Sai số của phương pháp Midpoint giảm theo tỷ lệ vớ i
, nghĩa là nếu tăng số đoạn n, sai
số sẽ giảm theo bình phương của
.
- Sai số của phương pháp này phụ thuộc vào đạo hàm bậc hai f′′(x) của hàm Nếu hàm có
độ cong mạnh (tức là f′′(x) có giá trị lớ n), sai số sẽ lớn hơn Ngượ c lại, nếu hàm có độ cong nhẹ, sai số sẽ nhỏ
3 Phương pháp hình thang
3.1 Tổng quan về phương pháp hình thang
Phương pháp hình thang là một phương pháp xấ p xỉ tích phân đượ c sử dụng r ộng rãitrong toán học và khoa học tính toán Phương pháp này dựa trên việc chia nhỏ miềntích phân thành các khoảng và sử dụng các hình thang để xấ p xỉ diện tích bên dướ iđườ ng cong của hàm số f(x) trên mỗi khoảng
Trang 10- X ấ p x ỉ hàm: Trên mỗi đoạn con [xi, xi+1] thay vì sử dụng đườ ng cong của f(x), ta xấ p
xỉ f(x) bằng một đoạn thẳng nối hai điểm (xi,f(xi)) và (xi+1,f(xi+1)). Điều này tạo ra mộthình thang có đáy là khoảng cách h, và hai cạnh bên là f(xi) và f(xi+1).
- Tính di ện tích của t ừ ng hình thang : Diện tích của hình thang trên đoạn [xi, xi+1] là:
× +
-C ộng các di ện tích hình thang : Tổng diện tích của các hình thang trên đoạn [a,b] sẽ
là giá tr ị xấ p xỉ của tích phân:
-Độ chính xác của phương pháp hình bình hành phụ thuộc vào khoảng chia n
-Để cải thiện độ chính xác cần phải tăng đoạn chia n khi đó sự sai số sẽ giảm
3.4 Ưu điểm và nhược điểm
- Ưu điểm:
+ Đơn giản và dễ áp dụng
+ Thích hợ p cho các hàm liên tục và tương đối mịn
+ Thờ i gian tính toán nhanh
+ Có thể cải thiện độ chính xác bằng cách tăng số đoạn chia
- Nhược điểm:
+ Sai số lớ n vớ i các hàm không mịn hoặc hàm phi tuyến mạnh
Trang 11n = input('Nhập số đoạn chia (n, phải là số nguyên dương): ');
ifn <= 0 || mod(n, 1) ~= 0
error('Số đoạn n phải là số nguyên dương!');
end
func_str = input('Nhập hàm cần tích phân (ví dụ: x.^2): ','s');
func = str2func(['@(x) ', func_str]);% Chuyển chuỗi thành hàm
result = (h / 2) * (y(1) + 2 * sum(y(2:end-1)) + y(end));
fprintf('Kết quả xấp xỉ tích phân là: %.6f\n', result);
xi= x0 + ih = 0.2 + 0.1h vớ i i = 1,2,3, 10
Trang 12Áp dụng công thức hình thang:
≈ℎ2[ 2 9 ] 1,087005 3.6 Đánh giá
- Sai số của phương pháp hình thang giảm theo
, tức là sai số giảm theo bình phươngkhi tăng số đoạn n
- Phụ thuộc vào độ cong của hàm: Sai số phụ thuộc vào đạo hàm bậc hai f′′(x) của hàm. Nếu hàm có độ cong mạnh (tức là f′′(x) có giá trị lớ n), sai số sẽ lớn hơn Ngượ c lại, nếuhàm có độ cong nhẹ, sai số sẽ nhỏ
4 Phương pháp Simpson
A Simpson 1/3
1 Tổng quan về phương pháp Simpson 1/3
Công thức Simpson một phần ba (Simpson's Rule) là một phương pháp để xấp xỉ giátrị của một tích phân định thức Đây là một trong những phương pháp xấp xỉ tích phântrong giải tích số, với độ chính xác cao hơn so với phương pháp hình chữ nhật hay phương pháp trapezoid.
Giả sử bạn cần tính giá tr ị của tích phân:
Trang 13-ℎ −
là độ dài mỗi phân đoạn
- , , ,… là các điểm chia trên đoạn [a,b]
3 Ưu và nhược điểm:
-Ưu điểm:
+Độ chính xác cao vớ i hàm mịn
+ Sai số giảm nhanh khi chia nhỏ đoạn (h4)
+ Dễ triển khai trong tính toán
- Nhược điểm:
+ Yêu cầu số khoảng chia (n) phải chẵn
+ Không phù hợ p với hàm gián đoạn hoặc dao động nhanh
+ Cần nhiều tính toán nếu miền tích phân r ộng
4 Đánh giá
Phương pháp Simpson 1/3 là một k ỹ thuật số chính xác và hiệu quả để xấ p xỉ tích phân định nghĩa, đặc biệt phù hợ p vớ i các hàm số trơn Nó sử dụng parabol để xấ p xỉ hàm trên từng đoạn, cho k ết quả chính xác hơn quy tắc hình thang
B.Simpson 3/8
1 Tổng quan về phương pháp Simpson 3/8
Quy tắc 3/8 của Simpson, còn đượ c gọi là quy tắc thứ hai của Simpson, là một phương pháp khác để tính tích phân số do Thomas Simpson đề xuất Phương pháp này dựatrên nội suy bậc ba thay vì nội suy bậc hai và là phương pháp mở r ộng của Simpson1/3 nhưng cho độ chính xác cao hơn trong một số trườ ng hợ p nhất định, đặc biệt là khihàm số có dạng gần giống vớ i một đa thức bậc cao
2 Nguyên lý cơ bản
Giả sử ta cần tính giá tr ị của tích phân: ∫ ⅆ , phương pháp simpsion sẽ thựchiện như sau:
Bướ c 1: Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ: chọn số n sao cho n là bội số của 3
( tức là n = 3, 6, 9 … ), độ dài mỗi đoạn làℎ −
Bướ c 2: Xác định các điểm chia: dựa vào độ dài h, các điểm chia sẽ lần lượ t là:
X0 = a, x1 a + h, x2 = a + 2h, … , xn = b
Trang 14Tại mỗi điểm xi, tính giá tr ị của hàm f(xi).
Bướ c 3: Áp dụng công thức Simpson 3/8:
∫ ⅆ ≈ −
[ +
+
] Hay công thức viết gọn:
ℎ[ 3ℎ32ℎ] Bướ c 4: Tính giá tr ị gần đúng của tích phân
3 Công thứ c tổng quát
Trong đó:
- f(x0) và f(xn) là giá tr ị hàm tại các điểm đầu và cuối của khoảng tích phân
- Các hệ số 3 và 2 lần lượ t áp dụng cho các giá tr ị hàm tại các điểm chia khác
4 Ưu và nhược điểm:
-Ưu điểm:
+ Độ chính xác bậc 4, tốt cho hàm có độ cong phức tạ p.
+Hiệu quả trên khoảng r ộng mà không cần chia quá nhiều đoạn.
- Nhược điểm:
+ Yêu cầu số đoạn chia là bội của 3
+ Công thức phức tạp hơn Simpson 1/3.
+ Kém chính xác với hàm có đạo hàm bậc 4 lớ n
5 Ví dụ
Giải matlab
symsx;
y = str2sym(input('Nhap vao ham y: ','s'));%Nhap ham y tu ban phim
a = input('Nhap vao can a: ');%Nhap can a
b = input('Nhap vao can b: ');%Nhap can b
Trang 15I = (h/3)*(double(subs(y, x, a)) + 4*tongle + 2*tongchan + double(subs(y, x, b)));
disp('Tich phan I tinh theo PP Simpson la: ');
disp(I);
6 Đánh giá
Phương pháp Simpson 3/8 cho độ chính xác cao hơn Simpson 1/3 trong một số trườ nghợp, nhưng yêu cầu số đoạn chia phải là bội của 3, nên đôi khi không linh hoạ t bằng.Phương pháp này phù hợp để tính gần đúng các tích phân có độ phức tạ p cao vàkhông thể giải chính xác bằng phương pháp thông thườ ng
5 Phương pháp Monte Carlo
5.1 Nguyên lý cơ bản
Giả sử ta cần tính giá tr ị của tích phân:
I=∫
Phương pháp Monte Carlo sẽ thực hiện như sau:
- Tạo ra một số lượng điểm ngẫu nhiên xi trong [a,b]
- Tính giá tr ị của f(xi) tại mỗi điểm ngẫu nhiên xi
- Tính tổng các giá tr ị hàm tại các điểm này
- Nhân tổng đó với bướ c nhảy của [a,b] để thu đượ c giá tr ị xấ p xỉ của tích phân.5.2 Công thứ c
Giả sử ta tạo ra N điểm ngẫu nhiên x1,x2,…,x Ntrong khoảng [a,b] Khi đó, giá trị gầnđúng của tích phân có thể tính bằng công thức sau:
Trang 16I=∫ ⅆ ≈−
.∑ =
trong đó:
- N là số lượng điểm ngẫu nhiên
- f(xi) là giá tr ị của hàm tại điểm ngẫu nhiên xi trong khoảng [a,b]
-Khi N tăng, kết quả xấ p xỉ càng chính xác
- Sai số của phương pháp Monte Carlo thườ ng tỷ lệ vớ i
√ Điều này có nghĩa là muốngiảm sai số xuống một nửa thì cần tăng số lượng điểm lên gấ p bốn lần
5.5 Ưu và nhược điểm của Phương pháp Monte Carlo
-Ưu điểm:
+ Dễ thự c hiện: Đặc biệt dễ lậ p trình và triển khai trên máy tính
+ Linh hoạt: Phương pháp này có thể áp dụng cho tích phân đa chiều và các miền phức tạp, không đối xứng
+ Song song hóa: Có thể chia các điểm ngẫu nhiên và tính toán song song, giúp tăngtốc độ tính toán
- Nhược điểm:
+ Độ chính xác thấp vớ i số điểm nhỏ: Monte Carlo cần một số lượng điểm lớn để
Trang 175.6 Ví dụ
Giải matlab
symsx;
y = str2sym(input('Nhap vao ham y: ','s'));
a = input('Nhap vao can a: ');
b = input('Nhap vao can b: ');
n = input('Nhap so phan hach: ');
tong = tong * deltax;
disp('Tong giua la: ');
double(tong)
5.7 Đánh giá
- Sai số giảm theo
√ : Sai số của phương pháp Monte Carlo giảm theo tỷ lệ vớ i√ ,tức là cần phải sử dụng một số lượ ng mẫu lớn để giảm sai số
-Ứ ng dụng cho các bài toán nhiều chiều: Phương pháp Monte Carlo có ưu điểm khitính toán các tích phân trong không gian nhiều chiều hoặc các bài toán không gian phức tạ p
- Chậm nhưng ổn định: Mặc dù phương pháp Monte Carlo có thể yêu cầu số lượ ngmẫu r ất lớn để đạt đượ c sai số thấp, nhưng nó vẫn là lựa chọn tối ưu cho các bài toánkhông thể áp dụng các phương pháp xấ p xỉ khác
Trang 186 Phương pháp Gauss-lengendre Quadrature
6.1 Tổng quan về phương pháp Gauss-lengendre Quadrature
Phương pháp tích phân Gauss-Legendre (hay còn gọi là Gauss-Legendre Quadrature)
là một k ỹ thuật số để ướ c tính giá tr ị của tích phân xác định trên một khoảng Phương pháp này sử dụng một tậ p hợp các điểm và tr ọng số đặc biệt để tính gần đúng tích phân của một hàm Gauss-Legendre Quadrature cho phép chúng ta đạt đượ c k ết quả chính xác cao với ít điểm mẫu hơn so với các phương pháp truyền thống
Công thức tổng quát cho Gauss-Legendre Quadrature để ước lượ ng tích phân của mộthàm f(x) trên đoạn [−1,1] đượ c biểu diễn như sau:
I = ∫ ⅆ − ≈ ∑ = Trong đó:
- n là số điểm Gauss (hay số điểm tích phân)
- là các điểm Gauss (các nghiệm của đa thức Legendre bậc n)
- là các tr ọng số tương ứng với các điểm
Các điểm nút và tr ọng số đượ c chọn sao cho phương pháp này có độ chính xáccao nhất đối với các hàm đa thức bậc 2n−1.
6.2 Xấp xỉ tích phân trên đoạn [a,b]
Để tính tích phân của một hàm f(x) trên một đoạn [a,b], ta phải thực hiện biến đổi tích phân về đoạn chuẩn [-1,1] như sau:
Trong đó t∈[−1,1] và đạo hàm của dx theo t là:
Và công thức tr ở thành:
Trang 196.3 Ví dụ
Giải matlab
functiongauss_legendre()
n = input('Nhập số điểm Gauss-Legendre (n): ');
a = input('Nhập điểm bắt đầu (a): ');
b = input('Nhập điểm kết thúc (b): ');
fprintf('Hãy nhập một trong các hàm sau:');
f_input = input('Nhập hàm cần tích phân (vd: sin(5*x)): ','s');
f = str2func(['@(x)', f_input]); % Chuyển chuỗi hàm sang hàm MATLAB
[x_i, w_i] = lgwt(n, -1, 1); % Hàm lgwt tạo điểm và trọng số cho n điểm
x_i = (b - a) / 2 * x_i + (a + b) / 2; % Thay đổi điểm mẫu
w_i = (b - a) / 2 * w_i; % Thay đổi trọng số
integral_gauss = sum(w_i * f(x_i));
Trang 20Tính tích phân của hàm f(x)= − trên đoạn [−1,1]:
Giả sử chúng ta sử dụng 2 điểm nút Gauss-Legendre, tức là n = 2 Các điểm nút
, và tr ọng số tương ứng cho n = 2 đượ c tra cứu hoặc tính toán như sau:
ta có công thức vớ i n=2:
Trang 21Cuối cùng so sánh vớ i giá tr ị chính xác của tích phân I −
− là:
I≈ 1.4936 6.4 Ưu điểm và nhược điểm
-Ưu điểm:
+ Độ chính xác cao với ít điểm nút
+ Hiệu quả với hàm trơn
+ Áp dụng dễ dàng cho đoạn chuẩn
+ Không cần phân chia miền
+ Dễ dàng áp dụng vớ i các bài toán phức tạ p
- Nhược điểm:
+ Khó áp dụng cho bài toán nhiều biến
+ Không hiệu quả vớ i hàm không liên tục:
+ Phụ thuộc vào tính đối xứng của hàm
+ Khó khăn trong việc chọn số điểm nút thích hợ p
6.5 Đánh giá
-Độ chính xác r ất cao: Phương pháp Gauss-Legendre cho phép tính tích phân r ấtchính xác vớ i một số lượng điểm nút r ất nhỏ Phương pháp này có thể đạt độ chínhxác gần như chính xác tuyệt đối nếu n đượ c chọn phù hợ p
- Sai số giảm nhanh: Sai số giảm theo
! khi tăng số điểm nút n, cho phép đạt độ chínhxác cực k ỳ cao ngay cả vớ i n = 2
Trang 22-Ứ ng dụng tốt trong các bài toán phức tạp: Phương pháp này rất thích hợ p cho các bàitoán tích phân khó hoặc khi hàm f(x) không có dạng nguyên thủy dễ tính.
II K ết Luận
- Phương pháp Simpson và Gauss-Legendre là những phương pháp có độ chính xáccao, đặc biệt là trong trườ ng hợp hàm có độ cong mạnh hoặc cần tính toán chính xác
vớ i số lượng chia đoạn nhỏ.
- Phương pháp Monte Carlo thích hợ p vớ i các bài toán có không gian nhiều chiềuhoặc không thể giải quyết bằng các phương pháp đại số truyền thống.
- Phương pháp Midpoint và Hình Thang là những phương pháp đơn giản và dễ thựchiện nhưng chỉ có thể đạt độ chính xác tương đối khi hàm cần tính tích phân là đơngiản
*Đạt đượ c:
- Làm quen và nắm bắt được các phương pháp tính gần đúng tích phân, hiểu rõ ưuđiểm và hạn chế của từng phương pháp, cũng như ứng dụng của chúng trong việc giảiquyết các bài toán thực tế Các phương pháp như Simpson và Gauss-Legendre cho độ chính xác cao và được ưa chuộng trong các bài toán cần tính toán chính xác, trong khi phương pháp Monte Carlo có thể đượ c áp dụng trong các bài toán tích phân trongkhông gian nhiều chiều
- Làm việc nhóm một cách hiệu quả hơn
- cải thiện thêm k ỹ năng sử dụng các phần mềm: matlab, word,…
*Chưa đạt đượ c:
- Ứ ng Dụng Phương Pháp Trên Các Hàm Phức Tạ p
- Phối Hợ p Giữa Các Thành Viên Còn Hạn Chế: Mặc dù công việc đượ c phân công rõràng, nhưng đôi khi chúng em gặ p phải một số khó khăn trong việc phối hợ p giữa các phần công việc của từng thành viên Một số phần lý thuyết và phép tính chưa đượ cthống nhất ngay từ đầu, dẫn đến việc tốn thời gian để chỉnh sửa và đồng bộ hóa nộidung
III Tài liệu tham khảo