BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC GIẢI TÍCH 1

Câu 3: Xét bài toán sau: Khi máu lưu thông trong mạch, lượng máu đi qua một điểm cho trước trong một đơn vị thời gian thông lượng được cho bởi công thức F = kR 4, trong đó R là bán kính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

… ●●…

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN HỌC:

GIẢI TÍCH 1

Thành viên:

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI 4

CHƯƠNG 2: GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN 5

PHẦN I: BÀI TOÁN 1 5

Bài toán ví dụ cụ thể và mô phỏng đồ thị trên matlab: 7

PHẦN II: BÀI TOÁN 2 9

PHẦN III: BÀI TOÀN 3 12

CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO 15

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình làm tiểu luận, chúng em nhận đươc nhiều sự giúp đỡ của thầy

cô, anh chị và bạn bè

Nhóm 6 lớp L25 chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giảng viên hướng dẫn Ths Nguyễn Hữu Hiệp, là giảng viên trường Đại học Bách Khoa – Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, đã trang bị cho chúng em những kiến thức nền tản cơ bản cũng như chỉ dạy thêm về những kiến thức chuyên sâu, giúp cho chúng em có thể hoàn thành bài tiểu luận

Trong quá tình làm bài tập lớn, vì kiến thức và kỹ năng còn hạn chế nên có thể có những sai sót trong việc giải quyết các vấn đề và trình bày bài tiểu luận Chúng em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô để đề tài được đầy đủ và hoàn chỉnh hơn

Lời cuối, xin một lần nữa cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hữu Hiệp và các thầy

cô, anh chị đã chỉ dẫn, cũng như các thành viên trong nhóm đã luôn cố gắng hoàn thành đề tài

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

Câu 1: Với x đơn vị nguyên liệu thô, nhà sản xuất tạo ra f(x) đơn vị sản phẩm.

Nguyên liệu thô được mua với giá $w/đơn vị và sản phẩm được bán ra với giá $p/đơn

vị Số đơn vị nguyên liệu thô được sử dụng để lợi nhuận đạt giá trị cao nhất ký hiệu là

x*.

a) Theo em, nhà sản xuất muốn f '(x) dương hay âm? Lý giải điều này.

b) Giải thích tạo sao g(x) = pf(x) – wx là lợi nhuận thu được từ x đơn vị nguyên

liệu thô

c) Nếu f có đạo hàm tại x*, tính f '(x*).

d) Nếu f "(x*) khác 0, giá trị của nó là âm hay dương.

e) Nếu Nhà cung cấp nguyên liệu thô thay đổi w, ta có thể xem x* là hàm theo w,

xác định dạng dx∗ dw¿¿ và cho biết giá trị này dương hay âm?

f) Nếu w tăng, nhà sản xuất nên tăng hay giảm việc nhập nguyên liệu thô này?

Câu 2: Đọc và trình bày lại phần 1.3, Average rate of change and Relative change

trong Applied Calculus – 5th Edition Yêu cầu nêu được khái niệm (định nghĩa), ý nghĩa, cách tính, so sánh 2 giá trị này Cho ví dụ minh hóa 2 giá trị này, không dùng lại ví dụ trong sách

Câu 3: Xét bài toán sau: Khi máu lưu thông trong mạch, lượng máu đi qua một điểm

cho trước trong một đơn vị thời gian (thông lượng) được cho bởi công thức F = kR 4,

trong đó R là bán kính của mạch máu.

a) Chứng minh rằng sự thay đổi tương đối của F xấp xỉ 4 lần sự thay đổi tương đối của R.

b) Nếu bán kính mạch máu tăng 5% thì ảnh hưởng như thế nào đến lưu lượng máu

CHƯƠNG 2: GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN PHẦN I: BÀI TOÁN 1

Với x đơn vị nguyên liệu thô, nhà sản xuất tạo ra f(x) đơn vị sản phẩm Nguyên liệu thô được mua với giá $w/đơn vị và sản phẩm được bán ra với giá $p/

đơn vị Số đơn vị nguyên liệu thô được sử dụng để lợi nhuận đạt giá trị cao nhất

ký hiệu là x*.

a) Theo em, nhà sản xuất muốn f '(x) dương hay âm? Lý giải điều này.

Theo em, nhà sản xuất muốn f '(x), vì f '(x) là đạo của của f(x), có ý nghĩa là độ biến thiên của hàm f(x) khi x thay đổi.

Khi f '(x) > 0 => Hàm tăng => f(x) tăng nếu x tăng => Khi càng nhập nhiều nguyễn

liệu thô, nhà sản xuất sẽ tạo ra được nhiều sản phẩm

Ví dụ: Xét 1 trường hợp đơn giản f(x)=3x, có nghĩa là với 1 đơn vị nguyên liệu

thô, nhà sản xuất tạo ra 3 đơn vị sản phẩm

Lúc này ta có f '(x)=3, có nghĩa khi x tăng thêm 1 đơn vị thì f(x) tăng 3 đơn vị, đây

là điều dễ thấy khi ta luôn có f(x+1)- f(x)=3

b) Giải thích tạo sao g(x) = pf(x) – wx là lợi nhuận thu được từ x đơn vị

nguyên liệu thô.

Dựa theo đề bài đưa ra, ta có các hàm giá trị sau:

+ Hàm doanh thu = Số lượng sản phẩm*Giá sản phẩm => R(x) = pf(x)

+ Hàm chi phí = Số lượng nguyên liệu thô*Giá nguyên liệu thô + Chi phí cố định

=> C(x) = w*x + 0 = wx

+ Hàm lợi nhuận = Hàm doanh thu – Hàm chi phí

Do đó: ta có P(x) = R(x) – C(x) hay g(x) = pf(x) – wx là lợi nhuận thu được từ x

đơn vị nguyên liệu thô

Ví dụ: Một công ty bán khẩu trang vải có giá bán 1 sản phẩm là 10$, biết rằng giá nhập 100g vải là 5$ và cứ 100g vải công ty sản xuất ra được 1 chiếc khẩu trang

Vậy tổng lợi nhuận của công ty khi bán được x khẩu trang là:

P 1 (x) = R 1 (x) - C(x) = 10x – 5x = 5x ($)

Giả sử trong thời gian đại dịch Covid-19, giá bán khẩu trang của công ty giảm xuống còn 8$/khẩu trang, trong khi giá vải không giảm, lúc này tổng lợi nhuận của

công ty khi bán được x sản phẩm:

P 2 (x) = R 2 (x) - C(x) = 8x – 5x = 3x ($)

c) Nếu f có đạo hàm tại x*, tính f '(x*).

Vì x* là số đơn vị nguyên liệu thô được sử dụng để lợi nhuận đạt giá trị cao nên tại x*, giá trị g(x) đạt cực đại

=> g '(x*) = 0 (1)

Mà g(x) = pf(x) – wx => g '(x) = p f '(x) – w (2)

Từ (1) và (2) => f '(x*) = w

p

d) Nếu f " (x*) khác 0, giá trị của nó là âm hay dương.

g(x) đạt cực đại tại x=x* nên đồ thị g(x) có dạng:

g(x)

Tại x*, mặt lõm của đồ thị g(x) hướng xuống nên g"(x*) < 0 (3)

Ta có: g '(x) = p f '(x) – w => g"(x) = pf "(x)

Do đó: f "(x*)= g ( x * )} over {p¿ (4)

Từ (3) và (4) => f "(x*) < 0 (Vì p là giá bán sản phẩm nên p > 0)

e) Nếu Nhà cung cấp nguyên liệu thô thay đổi w, ta có thể xem x* là hàm theo

w, xác định dạng dx∗ dw¿¿và cho biết giá trị này dương hay âm?

Ta có: g(x*) = pf(x*) – wx*

Vì nhà cung cấp nguyên liệu thô thay đổi w nên ta xem x* là hàm theo w, do đó ta

sẽ đưa hàm lợi nhuận về hàm biến w

=> g(x*(w)) = pf(x*(w)) – wx*(w)

Đạo hàm 2 vế theo biến w ta thu được:

g'(x*(w)).[x*(w)]' = pf '(x*(w)).[x*(w)]' – x*(w) – w[x*(w)]'

=> [x*(w)]' = dx∗ dw¿¿ = pf ' (x∗(w))−g ' (x∗(w))−w x∗(w) = pf ' (x∗(w))−w x∗(w)

Từ ý c) ta có f '(x*) = w

p , khi w là một hằng số, ta thấy nếu w càng tăng thì f '(x*) càng tăng, nghĩa là với w 1 < w 2 ta có f '(x 1 *) < f '(x 2 *)thì để bán cùng lượng sản phẩm,

với giá mua nguyên liệu cao hơn, ta cần ít nguyên liệu hơn, do đó w và x* tỉ lệ nghịch

với nhau => dx∗ dw¿<0¿

Bài toán ví dụ cụ thể và mô phỏng đồ thị trên matlab:

Giả sử mỗi ngày một công ty dệt may nhập x (tấn) tối đa 25 tấn vải, thì sẽ sản suất được số lượng quần áo theo hàm f ( x )=−x

2

15 +2 x (tấn), với mỗi tấn vải được

nhập vào với giá w =2.200$/tấn, và công ty sẽ bán quần áo ra với giá

p=4.500$/tấn Số tấn vải được sử dụng để đạt lợi nhuận cao nhất là x*.

syms x;

fx=(-power(x,2)/15)+2*x;

dfx=diff(fx);

gx=4.5*fx-2.2*x;

dgx=diff(gx);

x0=solve(dgx); %x0 là x*

y=subs(gx,x,x0);

plot(x0,y,'k*');

hold on

x=linspace(0,25);

fx=(-power(x,2)/15)+2*x;

dfx=2 - (2*x)/15;

gx=4.5*fx-2.2*x;

plot(x,fx,'b',x,dfx,'r',x,gx,'g')

grid on

legend('x*','f(x)','df(x)','g(x)')

PHẦN II: BÀI TOÁN 2

Đọc và trình bày lại phần 1.3, Average rate of change and Relative change

trong Applied Calculus – 5th Edition Yêu cầu nêu được khái niệm (định nghĩa),

ý nghĩa, cách tính, so sánh 2 giá trị này Cho ví dụ minh hóa 2 giá trị này, không dùng lại ví dụ trong sách.

a) Average rate of change

- Trong giải tích, Average rate of change (tỉ lệ thay đổi trung bình) khẳng định rằng cho một cung phẳng, trơn nối hai điểm phân biệt, khi đó tồn tại một điểm trên cung mà tiếp tuyến với cung tại điểm này song song với đường thẳng nối hai đầu cung

- Có thể hiểu chính xác hơn là nếu 1 hàm số f liên tục trên 1 đoạn [a,b] với a<b

thì tồn tại 1 điểm c ∈ [a,b] sao cho

( t=a và t=b) f’(c)= Δ y Δt = f (b )−f (a ) b−a

-Ý nghĩa Average rate of change có thể giúp cho việc tính toán những thay đổi tại

1 điểm nào đó bất kì nằm trong đoạn [a,b] trong 1 thời gian nào đó một cách dễ dàng hơn, ngoài ra công thức này còn giúp tính toán và xác định được sự thay đổi giữa hai

điểm bất kì 1 cách chính xác hơn -Công thức, cách tính: nếu 1 hàm số f liên tục trên 1 đoạn [a,b] với a<b thì tồn tại

1 điểm c [a,b] sao cho

( t=a và t=b ) f’(c) = Δ y Δt =f (b )−f (a )

b−a

-Ví dụ minh họa:Về việc xuất khẩu gạo của Việt Nam từ năm 2000 đến 2010

2005 5,21 1279

Tỷ lệ thay đổi trung bình của số lượng gạo được xuất khẩu ( ở bảng trên ) của năm

2000 đến năm 2005 =2005−20005,21−3,39 =0,364 triệu tấn/năm

Tỷ lệ thay đổi trung bình của số lượng gạo được xuất khẩu ( ở bảng trên ) của năm

2005 đến năm 2010= 2010−20056,75−5,21 = 0,308 triệu tấn/ năm

- Như vậy thì tỉ lệ thay đổi trung bình (Average rate of change) của số lượng gạo được xuất khẩu từ năm 2000 đến năm 2005 là cao hơn so với từ năm 2005 đến năm

2010 Tuy nhiên thì số lượng xuất khẩu gạo từ những năm trên đều tăng đáng kể

*Mô phỏng trên matlab:

SoLuong(2001)=3.53;

SoLuong(2002)=3.25;

SoLuong(2003)=3.92;

SoLuong(2004)=4.06;

SoLuong(2005)=5.21;

SoLuong(2006)=4.96;

SoLuong(2007)=4.53;

SoLuong(2008)=4.68;

a=input('Nhập năm a:');

b=input('Nhập năm b:');

str=sprintf('Tỷ lệ thay đổi trung bình của số lượng gạo xuất khẩu của năm %2d đến năm %2d là:',a,b);

disp(str);

f=(SoLuong(b)-SoLuong(a))/(b-a);

str=sprintf('%0.3f Triệu tấn/năm',f);

disp(str);

bar([2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010],[3.39 3.52 3.25 3.92 4.06 5.21 4.96 4.53 4.68 6.05 6.75],0.5);

b) Average rate of relative change

- Average rate of relative change hay còn gọi là tỷ lệ thay đổi tương đối trung bình: được hiểu đơn giản là tỷ lệ thay đổi trung bình của 1 giá trị P bất kì nào đó từ P0 đến P1

-Ý nghĩa: tỷ lệ này có thể giúp ta tính ra chính xác sự thay đổi của 1 giá trị P bất kì nào đó từ P0 đến P1 để có thể so sánh được các giá trị P đó với 1 số giá trị khác Tỷ lệ này thường được biểu diễn dưới dạng phần trăm

-Công thức: Tỷ suất trung bình Nói chung, khi một đại lượng P thay đổi từ P0 thành P1, ta xác định

Thay đổi tương đối trong P = P 1−P 0 P 0

Độ biến thiên tương đối là một con số, không có đơn vị Nó thường được thể hiện dưới dạng phần trăm thay đổi tương đối

-Ví dụ minh họa: 1 chiếc IP14 đc bán ở VN với giá là 22 triệu VNĐ Mỗi tuần tại cửa hàng đó bán được 20 chiếc IP14 Cũng ở cửa hàng đó nhưng là vào tuần sau họ giảm giá chiếc IP14 đó 10% thì họ bán được 35 chiếc

Vậy tỷ lệ thay đổi tương đối trung bình của cửa hàng đó với mặt hàng là IP14 là

= 35−2020 =0,75

=> Số đthoại IP14 mà cửa hàng đó bán được sau khi giảm 10% đã tăng 75% so với trước

c) So sánh

* Giống nhau:

- Đều được áp dụng cho việc tính tỷ lệ trung bình của 1 số giá trị nào đó

- Hai thuật ngữ trên thường được sử dụng trong các bài toán kinh tế

* Khác nhau

- Average rate of relative change ( tỉ lệ thay đổi tương đối trung bình ) tỉ lệ này có kết quả thường là 1 con số, không có đơn vị Nó thường được biểu diễn dưới dạng phần trăm (%)

- Average rate of change ( tỉ lệ thay đổi trung bình ) được tính theo 1 khoảng thời gian nào đó nhất định.Đơn vị của Average rate of change là đơn vị của Δ y /Δt

PHẦN III: BÀI TOÀN 3

Xét bài toán sau: Khi máu lưu thông trong mạch, lượng máu đi qua một điểm cho trước trong một đơn vị thời gian (thông lượng) được cho bởi công thức

F = kR 4 , trong đó R là bán kính của mạch máu.

a) Chứng minh rằng sự thay đổi tương đối của F xấp xỉ 4 lần sự thay đổi tương đối của R.

Ta áp dụng công thức xấp xỉ tuyến tính:

F(R) - F(Ro) ≈ F' (Ro).∆R

Trong đó: F(R) = kR4

F(Ro) = kRo4

F'(Ro) = 4kRo

∆R = R - Ro

Với Ro là bán kính của mạch máu tại thời điểm ban đầu

Khi bán kính tăng hoặc giảm a% (a > 0) so với ban đầu:

=> R = Ro ± a%.Ro => ∆R = R - Ro = ± a%.Ro

Do đó: F(R) - F(Ro) ≈ F' (Ro).∆R = 4kRo3.( ± a%.Ro) = ± 4a%.kRo4 = ± 4a

%.F(Ro)

=> F(R) = F(Ro) ± 4a%.F(Ro)

Hay thông lượng máu tăng hoặc giảm 4a% lần so với ban đầu

Vậy: ta có thể thấy sự thẩy đổi tương đối của thông lượng F xấp xỉ 4 lần sự thay đổi của bán kính R

b) Nếu bán kính mạch máu tăng 5% thì ảnh hưởng như thế nào đến lưu lượng máu.

Nếu bán kính mạch máu tăng 5% thì R = 1,05Ro

Lưu lượng máu lúc này: F = kR4 = k(1,05Ro)4 ≈ 1,22kRo4 = 1,22Fo = Fo + 0,22F0

Ta thấy lưu lượng máu tăng khoảng 22% so với ban ầu, xấp xỉ 4 lần sựđầu, xấp xỉ 4 lần sự tăng của bán kính mạch máu Điều này thỏa mãn kết luận ã chứng minh ở ýđầu, xấp xỉ 4 lần sự a)

Vậy: nếu bán kính mạch máu tăng 5% thì lưu lượng máu tăng khoảng 22%

CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN

Thông qua cách và hướng giải quyết những bài toán đề ra, chúng em đã thấy được ứng dụng của đạo hàm trong kinh doanh và trong sinh học, hiểu và phân biệt được tỉ

lệ thay đổi trung bình và tỉ lệ thay đổi tương đối Và không chỉ dừng lại ở những lĩnh vực và bài toán nói trên, chúng em cũng đã có thể đưa ra những ví dụ và cách ứng dụng đạo hàm vào trong những lĩnh vực khác

Ngoài ra, nhóm chúng em cũng được tiếp xúc và rèn luyện về kỹ năng làm việc nhóm, kỹ năng sắp xếp phân chia công việc, cũng như học thêm về cách trình bày bài tiểu luận, cách thuyết trình một bài tập lớn và khả năng giao tiếp đội nhóm

Mặc dù có những khó khăn, nhưng nhóm đã hoàn thành đề tài tốt nhất trong khả năng Mong thầy cô góp ý và chỉ dẫn để nhóm em cải thiện, học hỏi thêm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Đình Huy, Giáo trình “Giải tích 1”, NXB Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, 2013

[2] Applied Calculus – 5th Edition

[3] Kattan, Peter, “MATLAB for Beginners: A Gentle Approach”, 2008