báo cáo bài tập lớn môn học giải tích 2 đề tài 3

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phép tính tích phân là một trong những nội dụng quan trọng của chương trình giải tích và luôn xuất hiện trong các đề thi đại học.. Tích phân cung cấp cho sinh viên nhữn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC : GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 3 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN : ThS Võ Thị Bích Trâm

Lớp: L06 – Nhóm: 5

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phép tính tích phân là một trong những nội dụng quan trọng của chương trình giải tích và luôn xuất hiện trong các đề thi đại học Những chướng ngại mà sinh viên gặp phải khi tính tích phân bắt nguồn từ bản chất khoa học luận của khái niệm tính tích phân hay từ việc xây dựng những khác niệm liên quan? Tích phân cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học, Tích phân phụ thuộc tham số, Tích phân bội hai và bội ba, Tích phân đường và Tích phân mặt, Lý thuyết trường Trên cơ sở đó, sinh viên có thể học tiếp các học phần sau về Toán cũng như các môn học kỹ thuật khác, góp phần tạo nên nền tảng Toán học cơ bản cho kỹ sư các ngành công nghệ và kinh tế Và đó là lý do chúng em chọn đề tài này

MỤC LỤC

A NỘI DUNG CHÍNH 1

1 Vẽ mặt Ellipsoid

a  b  c  với a b c, , được nhập từ bàn phím bằng phần mềm 1

1.1 Cơ sở lý thuyết: _ 1 1.2 Sử dụng phần mềm matlab để vẽ mặt Ellipsoid 1 1.2.1 Thuật toán được sử dụng: 1 1.2.2 Đoạn code được dùng: 2 1.2.3 Kết quả: 2

2 Nhập hàm z=z(x,y) và điểm Mo thuộc mặt cong z=z(x,y) từ bàn phím Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện và phương trình pháp tuyến với mặt z=z(x,y) tại điểm Mo Vẽ mặt cong z=z(x,y), mặt phẳng tiếp diện, pháp tuyến với mặt cong tại điểm Mo 3

2.1 Đạo hàm riêng 3 2.1.1 Khái niệm đạo hàm riêng 3 2.1.2 Mặt phẳng tiếp diện 3 2.2 Dùng phần mềm Matlab để thực hiện yêu cầu: _ 4 2.2.1 Thuật toán được sử dụng: 4 2.2.2 Đoạn code matlab được dùng : 5 2.2.3 Kết quả: 7

3 Tính thể tích của vật thể Ω giới hạn bởi 2 2 2

z x  y z  z z Vẽ vật thể Ω và vẽ hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy _ 8

3.1 Cơ sở lý thuyết: _ 8 3.1.1 Định nghĩa tích phân bội ba: _ 8 3.1.2 Cách tính tích phân bội ba: _ 9 3.2 Giải bài toán: 10

4 Tính tích phân ( ) ( ) ( 1)

S

mặt hướng phía trên của nửa mặt z 4 x2  y2 _ 11

4.1 Cơ sở lý thuyết: 11 4.1.1 Định nghĩa tích phân mặt loại hai: 11 4.1.2 Công thức Ostrogratxki – Gauss: _ 11 4.2 Giải bài toán : 12

B KẾT LUẬN 14

C BIÊN BẢN CÁC CUỘC HỌP NHÓM 15

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

Hình 1: Đồ thị của mặt Ellipsoid

A NỘI DUNG CHÍNH

1 Vẽ mặt Ellipsoid

a  b  c  với a b c, , được nhập từ bàn phím bằng phần mềm

1.1 Cơ sở lý thuyết:

-Phương trình chính tắc của mặt Ellipsoid:

-Mọi mặt phẳng zk cắt mặt Ellipsoid theo đường Ellipse

a b   c

-Mọi mặt phẳng yk cắt mặt Ellipsoid theo đường Ellipse

a c  b

-Mọi mặt phẳng xk cắt mặt Ellipsoid theo đường Ellipse

b c  a

1.2 Sử dụng phần mềm matlab để vẽ mặt Ellipsoid

1.2.1 Thuật toán được sử dụng:

- Nhập dữ liệu:Nhập các giá trị , ,a b c từ bàn phím bằng hàm input()

- Vẽ Ellip:Dùng hàm ellipsoid(0,0,0,a,b,c) để vẽ mặt Ellipsoid dựa trên , ,a b cđược nhập; (0,0,0) là tọa độ tâm của ellip

1.2.2 Đoạn code được dùng:

%Xóa màn h́ình cmd mỗi lần chạy

clc,clear;

%Xóa biến

clear var;

%Nhập a,b,c

a=input('nhap a= ');

b=input('nhap b= ');

c=input('nhap c= ');

%Vẽ Ellip

ellipsoid(0,0,0,a,b,c);

% Bật nhãn cho các trục

xlabel('X');

ylabel('Y');

zlabel('Z');

%Bật xoay đồ thị

rotate3d on

1.2.3 Kết quả:

Hình 2: Mặt Ellipsoid vẽ bằng matlab

2 Nhập hàm z=z(x,y) và điểm Mo thuộc mặt cong z=z(x,y) từ bàn phím Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện và phương trình pháp tuyến với mặt z=z(x,y) tại điểm Mo Vẽ mặt cong z=z(x,y), mặt phẳng tiếp diện, pháp tuyến với mặt cong tại điểm Mo

2.1 Đạo hàm riêng

2.1.1 Khái niệm đạo hàm riêng

Cho hàm số 𝑓: 𝐷 ∁ ℝ2 → ℝ xác định tại điểm (𝑥0, 𝑦0) và những điểm xung quanh (𝑥0, 𝑦0) Khi cho 𝑥 thay đổi, 𝑦 cố định 𝑦 = 𝑦0 thì ta được hàm một biến 𝑥:

𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦0) Nếu 𝑔(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥 = 𝑥0 thì ta gọi đó là đạo hàm riêng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) theo biến 𝑥

2.1.2 Mặt phẳng tiếp diện

Hình 3: Mặt phẳng tiếp diện của hàm z=f(x,y)

Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) có đồ thị là mặt cong 𝑆 Hàm số 𝑓 có đạo hàm riêng cấp một liên tục

và cho 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓(𝑥0, 𝑦0)) là một điểm trên mặt cong 𝑆 𝐶1, 𝐶2 lần lượt là những đường cong giao tuyến của mặt phẳng 𝑦 = 𝑦0 và 𝑥 = 𝑥0 với mặt cong 𝑆 lần lượt là những tiếp tuyến với đường cong 𝐶1, 𝐶2 tại điểm 𝑃

Định nghĩa: Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong S tại điểm 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓(𝑥0, 𝑦0)) là mặt phẳng chứa 2 tiếp tuyến 𝑇1 và 𝑇2

Định lý: Giả sử hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) có đạo hàm riêng cấp một liên tục thì phương trình mặt

phẳng tiếp diện với mặt cong 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tại điểm 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓(𝑥0, 𝑦0)) là :

2.2 Dùng phần mềm Matlab để thực hiện yêu cầu:

2.2.1 Thuật toán được sử dụng:

- Nhập dữ liệu: Nhập vào hàm zz x y( , )và tọa độ điểm M0 bằng lệnh input, lưu vào

biến f

- Tìm véctơ pháp tuyến tại M0 :

+ Đưa về dạng f x y z( , , )0 sau đó tìm véctơ pháp tuyến n của mặt của mặt z bằng cách tính đạo hàm riêng theo x y z, , với lệnh diff(f, ‘var’), lệnh này sẽ giúp ta tính đạo hàm của hàm f theo biến var, lưu vào biến n,ta sẽ có được một ma trận 1 hàng với các cột lần lượt là các đạo hàm riêng theo x y z, ,

+Sau đó ta tính véctơ pháp tuyến tại M0bằng lệnh subs( n, [x,y,z] [x0,y0,z0]), lệnh này giúp ta thay các giá trị x,y,z trong n bằng x0,y0,z0 tương ứng và lưu vào véctơ n1, ta được 1 ma trận 1 hàng với các cột là tọa độ của véctơ pháp tuyến n1 tại M0

- Xác định phuưng trình mặt tiếp diện:

Lập hàm f1=n1(1,1)*(x-x0)+n1(1,2)*(y-y0)+n1(1,3)*(z-z0) chính là phương trình mặt tiếp diện của mặt cong Ở đây n(1,1) ,n(1,2), n(1,3) là ba tọa độ của pháp tuyến n1

- Xác định và vẽ phương trình của đường thẳng pháp tuyến:

+Tạo một mảng t với 200 giá trị cách đều từ -10 tới 10 Lập phương trình đường thẳng

pháp tuyến theo t

x1=n1(1,1).*t+x0;

y1=n1(1,2).*t+y0;

z1=n1(1,3).*t+z0;

+Sau đó dùng lệnh plot để vẽ đường pháp tuyến, lệnh hold để dữ lại đồ thị

- Vẽ mặt z=z(x,y) :

𝑧 − 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓𝑥′(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦′(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)

+Đầu tiên, tạo lưới điểm (x,y) bao quanh điểm M0bằng lệnh meshgrid(x0-5:.05:x0+5,y0-5:.05:y0+5), lệnh này sẽ tạo một lưới điểm với x trong khoảng từ x0-5 tới x0+5, y trong khoảng từ y0-5 tới y0+5

+Dùng char(f) để chuyển hàm f thành kí tự, sau đó dùng hàm strrrep() để thay thế cá dấu * và ^ thành * và ^ để tính toán trên ma trận, rồi dùng eval() để tính giá trị của hàm f trên lưới (x,y) đã tạo Kết quả là một ma trận các giá trị z tương ứng với mỗi điểm (x,y) trên lưới

+Trước khi vẽ đồ thị ta sẽ loại các điểm không thuộc miền xác định bằng hàm loai() viết ở sau

+Cuối cùng dùng surf để vẽ mặt z=z(x,y)

- Vẽ mặt tiếp diện : Tương tự như vẽ mặt z=z(x,y), ta sẽ tạo lưới (x,y) , xây dựng

phương trình tiếp diện, loại các điểm bất định và vẽ mặt tiếp diện

- Thiết kế hàm loại điểm bất định : Chạy vòng lặp i và j để duyệt qua các điểm trong

lưới (x,y) , nếu z(i,j) là một số không thực (một điểm bất định) thì ta sẽ loại bỏ điểm đó bằng cách gán bằng NaN, các giá trị là NaN sẽ không được hiện thị trên đồ thị

2.2.2 Đoạn code matlab được dùng :

function cau_2

%Xóa màn h́ình cmd mỗi lần chạy

clc,clear;

%Xóa biến mỗi lần chạy

clear var;

%Tạo biến để sử dụng

syms x y z real

f=input('nhap ham z(x,y)= ');

disp('nhap lan luoc toa do M0 thuoc z(x,y)')

x0=input('x0= ');y0=input('y0= ');z0=input('z0= ');

f1=f-z; %chuyển thành f(x,y,z)=0

n=[ diff(f1,'x') diff(f1,'y') diff(f1,'z')]; % tính đạo hàm riêng

n1=subs(n,[x y z],[x0 y0 z0]); n1=double(n1); % tìm véctơ pháp tuyến

f1=n1(1,1)*(x-x0)+n1(1,2)*(y-y0)+n1(1,3)*(z-z0); % mặt tiếp tuyến

%In ra màn hình mặt tiếp tuyến

disp(['phuonh trinh mat tiep tuyen la: ' char(f1) ' = 0' ])

disp('phuong trinh phap tuyen la: ')

% vẽ đường thẳng pháp tuyến

t=linspace(10,-10,200);

x1=n1(1,1).*t+x0;

y1=n1(1,2).*t+y0;

z1=n1(1,3).*t+z0;

plot3(x1,y1,z1,'color','r')

hold on

%hiển thị phương trình đường thẳng pháp tuyến

syms t real

x1=n1(1,1)*t+x0;

y1=n1(1,2)*t+y0;

z1=n1(1,3)*t+z0;

disp(['x= ' char(x1)])

disp(['y= ' char(y1)])

disp(['z= ' char(z1)])

%vẽ đồ thì z=z(x,y)

[x,y]=meshgrid(x0-5:.05:x0+5,y0-5:.05:y0+5);

f=char(f);

%Đổi các dấu lại để tính toán với ma trận

f=strrep(f,'*','.*');

f=strrep(f,'^','.^');

f=eval(f);

[x y f]=loai(x,y,f); %loại bỏ các điểm bất định

set(surf(x,y,f),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3)

%vẽ mặt tiếp tuyến

[x,y]=meshgrid(x0-2:.1:x0+2,y0-2:.1:y0+2);

z=(z0*n1(1,3)-(n1(1,1)*(x-x0)+n1(1,2)*(y-y0)))/n1(1,3);

[x y z]=loai(x,y,z);

set(surf(x,y,z),'facecolor','g','edgecolor','non','facealpha',.3)

hold off

rotate3d on

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('z')

end

%hàm loại điểm bất định

function [x y z]=loai(x,y,z)

for i=1:length(x)

for j=1:length(y)

if ~isreal(z(i,j))

z(i,j)=NaN;x(i,j)=NaN;y(i,j)=NaN;

end

end

end

end

2.2.3 Kết quả:

Hình 4: Nhập hàm z=z(x,y) và điểm Mo thuộc z

Hình 5: Mặt phẳng tiếp diện và pháp tuyến (màu đỏ) của mặt z=z(x,y)

3 Tính thể tích của vật thể Ω giới hạn bởi z1;x2 y2 z2 2 ,z z1 Vẽ vật thể Ω và vẽ hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy

3.1 Cơ sở lý thuyết:

3.1.1 Định nghĩa tích phân bội ba:

- Cho hàm f x y z , , xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz

Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau Ω1, Ω2,… Ωn có thể tương ứng là V1, V2 ,…,

Vn

-Trong mỗi miền k lấy 1 điểm bất kỳ M k(x y z k, k, k)

-Lập tổng tích phân :

1 ( , , )

n

k



-Cho max (d  k) 0 nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền và cách lấy điểm thì giới hạn hữu hạn S gọi là tích phân bội ba của hàm ( , , )

f x y z trên miền 

Vậy:

*Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền  nên ta có thể chia  bởi các mặt phẳng song song với các mặt toạ độ Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có      V x y z dxdydz

Vì vậy ta thường dùng kí hiệu :

-Khi f x y z( , , )1, ta có tích phân cần tính f x y z dV( , , ) 1.dV V

thể tích của miền 

Vây:

3.1.2 Cách tính tích phân bội ba:

-Cho miền  ( , , ) : ( , )x y z x y D z x y, ( , )1  z z x y2( , ), trong đó D là hình chiếu

của miền xuống mặt phẳng Oxy Khi đó :

-Chú ý: Khi tính tích phân bội ba, chúng ta phải xác định được hình chiếu D của vật

thể V và chuyển về tính tích phân kép Khi tính tích phân của ( , , )f x y z theo biến zthì

ta xem zlà biến số, còn ,x ylà hằng số

-Ta cũng có thể linh hoạt tính tích phân với việc chiếu  lên Oyz nếu  bị giới hạn bởi hai mặt x y z và 1( , ) x y z hoặc chiếu 2( , )  lên Oxznếu  bị giới hạn bởi hai mặt

1( , )

y x z và y x z 2( , )

1

k

n

d

k

 







f x y z dV f x y z dxdydz



1





2

1

( , )

( , )

z x y

D z x y

f x y z dxdydz f x y z dz dxdy



3.2 Giải bài toán:

-Ta có: x2y2z2 2 ,z z   1 z1 1 1x2 y2 (với x2 y2 1) là giới hạn dưới của vật thể, giới hạn trên là mặt z2 1

-Chiếu vật thể lên mặt Oxy, ta được miền  2 2 

D x y x  y  Ta chuyển miền D

sang hệ tọa độ cực Khi đó, D( , ) : 0r   r 1, 0  2

-Phần thể tích cần tính:

2

2

3



Hình 6:Hình vẽ vật thể

Hình 7: Hình chiếu của vật thể xuống mặt Oxy

2

2 2 1

1

z

4 Tính tích phân ( ) ( ) ( 1)

S

mặt hướng phía trên của nửa mặt z 4 x2  y2

4.1 Cơ sở lý thuyết:

4.1.1 Định nghĩa tích phân mặt loại hai:

- Cho những hàm ( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z xác định trên mặt trơn, định hướng S Pháp véctơ đơn vị của mặt S là n(cos , cos , cos )   , với , ,   lần lượt là góc tạo

bởi n và các tia Ox Oy Oz, , Tích phân mặt loại một:

được gọi là tích phân mặt loại hai của , ,P Q R trên mặt định hướng S Tích phân này được kí hiệu là:

4.1.2 Công thức Ostrogratxki – Gauss:

- Cho S là mặt kín  là vật thể được bao quanh bởi S

-Nếu ( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z và các đạo hàm riêng cấp một của nó liên tục trên miền thì:

-Dấu “+” nếu hướng của pháp véctơ với mặt cong lấy hướng ra phía ngoài vật thể , dấu “-” nếu hướng của pháp véctơ hướng vào phía trong

S

Pdydz Qdzdx Rdxdy

S



[ ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cos ]

S

4.2 Giải bài toán :

Hình 8: Hình vẽ mặt z

S z x  y  với hướng của pháp véctơ đơn vị hướng xuống dưới thì ta có thể tính tích phân yêu cầu trên mặt kín S2  S S1 với công thức Ostrogratxki – Gauss, sau đó trừ đi phần tích phân trên mặt S1

-Như vậy, pháp véctơ đơn vị của S1 sẽ vuông góc với mặt phẳng Oxy Khi đó S2là mặt kín của vật thể  giới hạn bởi 0 z 4x2y2và có pháp véctơ hướng ra phía ngoài vật thể  Ta có:

=  1 2

1

  (y z) (x z) (z 1) dxdydz



      

(0 0 1)dxdydz 1.dxdydz V

-Ta có z 4x2y2  x2 y2z2 4;z0 Do đó  là một nửa khối cầu có bán

1

.2

-Ta có pháp véctơ (0, 0, 1)n  của mặt S1 vuông góc với Ox Oy nên : ,

2

Có D là hình tròn xy x2y2 4với bán kính là 2 2 22 4

xy

D

( 4 )

        

Vậy tích phân cần tính 28

3 

 

B KẾT LUẬN

Bài báo cáo đã đạt được kết quả như mong đợi bởi sự phân chia công việc hợp lí cùng tinh thần trách nhiệm cao của tất cả các thành viên thuộc nhóm 5 Thông qua bài tập lớn này, chúng em đã đúc kết được những kiến thức và kĩ năng vô cùng hữu ích

* Những điều đã đạt được qua việc thực hiện đề tài:

- Hiểu rõ hơn về lý thuyết tích phân và các ứng dụng của nó: Chúng em đã nắm vững các khái niệm cơ bản về tích phân và các loại tích phân như tích phân đơn, tích phân bội hai, tích phân bội ba, tích phân đường và tích phân mặt Điều này giúp chúng em có cái nhìn tổng quan và chi tiết hơn về các phương pháp tính tích phân và ứng dụng trong các bài toán cụ thể

- Biết cách sử dụng công cụ hỗ trợ: Việc sử dụng phần mềm Matlab để vẽ các đồ thị và tính toán các phương trình đã giúp chúng em rèn luyện kỹ năng lập trình và làm quen với các công cụ hỗ trợ trong việc giải quyết các bài toán phức tạp Đặc biệt, chúng em

đã thực hiện thành công việc vẽ mặt Ellipsoid và tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện, phương trình pháp tuyến tại một điểm trên mặt cong z = z(x, y)

- Phát triển kỹ năng làm việc nhóm: Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng em đã học cách làm việc nhóm, phân chia công việc và hợp tác với nhau để hoàn thành nhiệm vụ Mỗi thành viên trong nhóm đã đóng góp tích cực và học hỏi được nhiều kinh nghiệm

từ các bạn khác

- Ứng dụng tích phân trong thực tế: Qua các bài toán cụ thể, chúng em đã thấy rõ hơn vai trò quan trọng của tích phân trong việc giải quyết các vấn đề thực tế, chẳng hạn như tính thể tích của vật thể, tính tích phân trên các mặt phẳng và trong các không gian khác nhau

* Những điều còn thiếu sót:

- Đoạn code còn dài dòng: Một số đoạn mã Matlab mà chúng em sử dụng có thể được tối ưu hóa để ngắn gọn và hiệu quả hơn Việc viết mã dài dòng không chỉ làm tăng độ phức tạp mà còn dễ gây nhầm lẫn và khó bảo trì Trong tương lai, chúng em cần chú ý hơn đến việc viết mã sạch, ngắn gọn và dễ hiểu

* Tổng kết:

Nhìn chung, đề tài này không chỉ giúp chúng em củng cố kiến thức lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng thực hành và làm việc nhóm, góp phần nâng cao năng lực học tập và nghiên cứu khoa học của mỗi thành viên Chúng em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của giảng viên ThS Võ Thị Bích Trâm, cũng như sự đóng góp tích cực của tất cả các thành viên trong nhóm để hoàn thành báo cáo này