Báo cáo bài tập lớn môn học giải tích 1 hãy cho biết cách tính Đạo hàm (cấp 1, cấp 2, ) và nêu cách khảo sát một Đường cong tham số

Hướng giải quyết bài tập:  Ôn lại các kiến thức cần thiết về phương trình đường cong tham số và cách khảo sát một số đường cong tham số  Tìm hiểu về lập trình cơ bản trong Matlab các

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC: GIẢI TÍCH 1

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI

GVHD LỚP NHÓM

DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM –

MỤC LỤC

ĐỀ TÀI 2

1 Mục đích của báo cáo: 3

2 Hướng giải quyết bài tập: 3

3 Tài liệu tham khảo: 3

4 Phạm vi của đề tài 3

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 3

1.1 Giới thiệu về phương trình đường cong tham số 3

1.2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 4

PHẦN 2: NỘI DUNG 5

Câu 1: Hãy cho biết cách tính đạo hàm (cấp 1, cấp 2, ) và nêu cách khảo sát một đường cong tham số: 5

1.1 Tiếp tuyến, tính đơn điệu và cực trị của phương trình đường cong tham số: 5

1.2 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong tham số: 5

Câu 2: Trình bày một số ứng dụng của đường cong tham số: 7

2.1 Bài toàn liên kết tốc độ 7

2.2 Diện tích 10

2.3 Độ dài đường cong 10

2.4 Diện tích bề 10

Câu 3: Liên hệ đường cong Cycloid và bài toán Brachistochrone 3.1 Lịch sử ra đời 11

3.2 Định nghĩa 12

3.3 Một số ứng dụng 13 Câu 4: Sử dụng matlab trong một số bài toán:

LỜI CẢM ƠN

Sau khi nhận được đề Bài tập lớn (BTL) từ thầy Nguyễn Xuân Duy Bảo – GVGD bộ môn Giải tích 1 (GT1), nhóm chúng em đã cùng nhau trải qua quá trình họp nhóm, thảo luận và phânchia nhiệm vụ mỗi thành viên, đặt mục tiêu hoàn thành BTL lần này kịp tiến độ, đúng thời hạnquy định Trong suốt quá trình làm BTL, nhóm chúng em đã gặp những khó khăn như: chưađịnh hướng được bố cục bài báo cáo; chưa biết cách trình bày bài giải hiệu quả, tối ưu, Nhưng với sự quan tâm, hướng dẫn, hỗ trợ giải đáp thắc mắc tận tình từ GVGD và sự tham gialàm việc đầy đủ, đóng góp ý kiến, cố gắng nỗ lực và ý thức trách nhiệm của các thành viên,nhóm đã hoàn thành bài làm kịp tiến độ, đạt được mục tiêu ban đầu đề ra Lời cuối, nhómchúng em xin phép gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất đến thầy Nguyễn Xuân Duy Bảo cho chúng em những bài giảng tốt nhất Ngoài những giờ học trên lớp, các thầy cũng luôn tậntâm chỉ dạy, giải đáp thắc mắc cho chúng em về những khó khăn mà bọn em gặp phải trongquá trình thực hiện đề tài BTL Cảm ơn các cá nhân trong nhóm đã cùng nhau cố gắng, hợp tác

để đạt được kết quả cuối cùng của BTL lần này Xin chân thành cảm ơn

ĐỀ TÀI

1 Mục đích của báo cáo:

 Nghiên cứu và phân tích các khái niệm liên quan đến Phương trình đường cong tham số Cụ thể, các nhiệm vụ bao gồm: Giới thiệu các khái niệm cơ bản, Phân tích mối quan hệ, Trình bày các VÍ DỤ cụ thể

 Báo cáo kết quả bài tập cho giáo viên

 Ghi chép lại quá trình giải quyết bài tập của cả nhóm

2 Hướng giải quyết bài tập:

 Ôn lại các kiến thức cần thiết về phương trình đường cong tham số và cách khảo sát

một số đường cong tham số

 Tìm hiểu về lập trình cơ bản trong Matlab (các lệnh, các hàm symbolic và đồ hoạ)

 Giải quyết bài toán trên Matlab

 Chạy chương trình và chỉnh sửa lại những sai sót

 Viết báo cáo bằng word và trình bày trên Microsoft Powerpoint

3 Tài liệu tham khảo

 Calculus.Early.Transcendentals.7th.Edition.James.Stewart

4 Phạm vi của đề tài:

Đề tài sẽ tập trung vào các vấn đề sau:

 Khái niệm cơ bản về Phương trình đường cong tham số :Định nghĩa, công thức và ứng dụng cơ bản

 Phân loại và VÍ DỤ minh họa:Phân loại các loại đường cong và cách sử dụng phương trình

PHẦN 1:

MỞ ĐẦU

1.1 Giới thiệu về phương trình đường cong tham số :

Phương trình đường cong tham số là một cách diễn tả các đường cong trong mặt phẳng bằng cách sử

dụng một hoặc nhiều tham số Thay vì chỉ định vị trí của các điểm trên đường cong bằng một phương trình duy nhất (như y = f(x)), phương trình tham số sử dụng một tham số t để biểu diễn các tọa độ x vày

Cụ thể, một đường cong có thể được mô tả bằng hai phương trình:

a Sự ra đời

Sự phát triển của Phương trình đường cong tham số bắt nguồn từ nhu cầu thực tiễn trong toán học và các ngành liên quan Trước khi có những công cụ này, các phương pháp mô tả đường cong chủ yếu dựa vào các phương trình đại số truyền thống Những hạn chế của các phương trình này khiến việc mô

tả các hình dạng phức tạp trở nên khó khăn và đôi khi không thể thực hiện được

b Ưu Thế của Phương Trình Đường Cong Tham số:

Linh hoạt hơn: Phương trình đường cong tham số cho phép mô tả các đường cong phức tạp hơn mà

không cần phải biến đổi hoặc giải các phương trình khó

Dễ dàng điều chỉnh: Tham số t có thể thay đổi để nhanh chóng tạo ra các điểm mới trên đường cong.

+Phương trình đường cong Hypotrochoid

{x (ϴ )=( R−r )cosϴ+d cos( R −r

r ϴ)

y (ϴ)=( R−r )sin ϴ+d cos( R −r

r ϴ)

Tích hợp dễ dàng với đồ họa máy tính: Phương trình đường cong tham số phù hợp với các thuật

toán vẽ đồ họa, giúp dễ dàng mô phỏng chuyển động và hình dạng

2 Ý Nghĩa Khoa Học và Thực Tiễn

Nghiên cứu về Phương trình đường cong tham số có nhiều ý nghĩa quan trọng:

PHẦN 2: NỘI DUNG

Câu 1: Tại sao phải sử dụng đương cong tham số từ đó cho biết cách tính đạo hàm (cấp 1,

cấp 2, ) và nêu cách khảo sát một đường cong tham số

Tại sao chúng ta phải sử dụng đường cong tham số: Hãy tưởng tượng rằng một hạt di chuyển dọc theo đường cong ( C ) được hiển thị trong Hình 1 Không thể mô tả ( C ) bằng một phương trình dạng ( y = f(x))

Nhưng tọa độ ( x ) và ( y ) của hạt là các hàm của thời gian, vì vậy chúng ta có thể viết ( x = f(t) ) và ( y = g(t) )

Hình 1 cho thấy cái nhìn từ trên cao về hướng chuyển động của chiếc thuyền Trong Hình 1b,chúng ta sẽ chiếu

đồ thị chuyển động của thuyên lên hệ tọa độ xy Với hệ tọa độ này, vị trí của du thuyền được cho bởi điểm P(x,y), đồ thị của phương trình chữ nhật 4x4 - 4x2 + y2 = 0 Nhưng việc biểu diễn bằng phương trình trong trường hợp này có ba nhược điểm chính

Đầu tiên, phương trình không xác định rõ ràng y là một hàm của x hoặc x là một hàm của y Thì đây không phải là đồ thị của một hàm bằng cách áp dụng các bài kiểm tra đường thẳng đứng và ngang cho đường cong trong

Thứ hai, phương trình không cho chúng ta biết khi nào du thuyền ở một điểm nhất định

Thứ ba, phương trình không cho thấy hướng chuyển động của du thuyền

Để khắc phục những nhược điểm này khi chúng ta xem xét chuyển động của một vật thể trong mặt phẳng hoặc các đường cong trong mặt phẳng không phải là đồ thị của các hàm, chúng ta chuyển sang biểu diễn sau Nếu P

là một điểm trên một đường cong trong mặt phẳng xy, trong đó x và y là các hàm của một biến t chúng ta viết

x = f(t), y = g(t)

1.1 Tiếp tuyến, tính đơn điệu và cực trị của phương trình đường cong tham số

a,Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của phương trình đường cong tham số

Cho hàm y(x) xác định từ phương trình tham số: {x =x(t )

 Dấu của y’(x) = dấu của tích y’(t) với x’(t)

Lập bảng xét dấu cho x’(t), y’(t), y’(x)

 Đánh giá cực trị, tính đơn điệu của y(x) dựa vào y’(t)

(nếu dựa vào y’(x) thì phải xem dấu của x’(t)

x = 2cos(t) + sin(2t) , y= sin(t) +cos(2t)Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong tại t= 0.

1 Nếu f’(x) >0, ∀ x ∈ (a ,b)thì f tăng trên khoảng(a ,b)

2 Nếu f’(x) <0, ∀ x ∈ (a ,b)thì f giảmtrên khoảng(a ,b)

VÍ DỤ1: x= t2 + t, y= t2 – t , -2≤ t2≤ 2

1.2 Tính lồi, lòm và điểm uốn của phương trình đường cong tham số:

a,Tính lồi lõm:

Định nghĩa: Đồ thị của hàm số f lồi trên khoảng (a ,b) của f nằm dưới tất cảtiếp tuyến của nó trên(a ,b)

Để xác định điểm lồi lõm của đạo hàm cấp 2 đầu tiên ta xác định điểm tới hạn

Định lý về tính lồi lõm:

Cho f là hàm liên tục và khả vi đến cấp 2.

 Nếu f ' ' >0 trên(a , b)thì đồ thị của hàm f lõm trên (a ,b)

 Nếu f ' ' <0 trên (a ,b)thì đồ thị của hàm f lồi trên(a ,b)

Ý nghĩa của tính lồi lõm :

1 Đường cong lõm ( f ' ' >0)→ f '

tăng :

 f ' >0→ f tăng →tốc độ tăng của f tăng

 f ' <0→ f giảm→tốc độ giảm của f tăng

2 Đường cong lồi (f ' ' <0)→ f '

giảm:

 f ' >0→ f tăng →tốc độ tăng của f giảm

 f ' <0→ f giảm→tốc độ giảm của f giảm

Định nghĩa:

Đồ thị của hàm số f lồi trên khoảng (a ,b) nếu đồ thị của f nằm dưới tất cảtiếp tuyến của nó trên (a ,b)

Đồ thị của hàm số f lõm trên khoảng (a ,b) nếu đồ thị của f nằmtrêntất cảtiếp tuyến của nó trên (a ,b)

Định lý về tính lồi – lõm:

Cho f là hàm liên tục tại và khả vi đến cấp 2:

 Nếu f ' ' >0 trên (a ,b)thì đồ thị của hàm f lõm trên (a,b)

 Nếu f ' ' <0 trên(a , b)thì đồ thị của hàm f lồi trên (a,b)

Ý nghĩa của tính lồi -lõm:

<0→ f giảm→tốc độ giảm của f tăng

2 Đường cong lồi (f ' '

<0) -> f ' giảm:

 f '

>0→ f tăng →tốc độ tăng của f giảm

 f '

<0→ f giảm→tốc độ giảm của f giảm

VÍ DỤ Một đường cong được xác định bởi các phương trình tham số x= t2,y=t3−3 t

(a) Chỉ ra có hai tiếp tuyến tại điểm (3, 0) và tìm phương trình của chúng

(b) Tìm các điểm trên đó tiếp tuyến nằm ngang hoặc dọc

(c) Xác định nơi đường cong lõm lên hoặc xuống

(d) Phác thảo đường cong

−3  t=± 1

 Vậy tại (1,-2) , (1,2) phương trình có tiếp tuyến nằm ngang

 Tiếp tuyến thằng đứng: khi dx dy=0(¿)  dx dt =0 và dy

dt ≠ 0 nên( ¿ ) xảy ra khi dx dt =2t=0  t=0

 Vậy tại (0,0) phương trình có tiếp tuyến thẳng đứng

1 Tìm x0 sao cho f ' '

(x0)=0 hoặc f ' '

(x0)không tồn tại

2 Xét dấu f ' ' khi đi qua x1,

3 Nếu f ' ' đổi dấu tại x0 thì x0 là điểm uốn của f

Nếu f ' ' không đổi dấu tại x0 thì x0 không là điểm uốn

Ý nghĩa điểm uốn :

1 Đường cong thay đổi từ lõm sang lồi tại P

 f '

>0 (f tăng)→tốc độ tăng của f đạt cực đại (lớn nhất )tại P

 f '

<0(f giảm)→tốc độ giảm của f đạt cực đại(lớn nhất)tại P

2 Đường cong thay đổi từ lồi sang lõm tại P

 f ' >0 (f tăng)→tốc độ tăng của f đạt cực tiểu (nhỏ nhất )tại P

 f '<0(f giảm)→tốc độ giảm của f đạt cực tiểu(nhỏ nhất)tại P

VÍ DỤ2 Cho hình trên, hãy tìm thời điểm y có tốc độ tăng đạt lớn nhất:

Câu 2: Trình bày một số ứng dụng của đường cong tham số:

2.1 Bài toán liên kết tốc độ:

a, Lý thuyết và công thức:

Khi một chất điểm di chuyển theo một quỹ đạo cong, vận tốc của nó không chỉ đơn giản là một đại lượng mà là

sự tổng hợp của các thành phần vận tốc theo các phương khác nhau, chẳng hạn như phương x và phương y (hoặc

có thể thêm phương z trong không gian 3 chiều)

Giả sử quỹ đạo của vật thể trong mặt phẳng được mô tả bằng các phương trình tham số x=f (t ) và y=g(t ) Tại t

giữa các thành phần vận tốc theo phương x và phương y theo với công thức:

dt)2+(dy

Tuy nhiên, nếu đường cong đó được biểu diễn dưới dạng phương trình tham số x =f (t ) và y =g (t ) ,

với α ≤ t ≤ β thì sao? Trong tình huống này, để tính diện tích dưới đường cong, ta sử dụng quy tắc thay thế cho công thức trên:

g (t ) f ' (t ) dt

y

Nếu đường cong đó được mô tả bằng các phương trình tham số x =f (t ) vày =g (t ) với α ≤ t ≤ β, trong

đó f ' và g ' liên tục trên khoảng [α ; β] và đường cong được đi qua đúng một lần khi ttăng từ α đến β, thì

độ dài của đường cong này bằng:

Hình cầu được tạo ra bằng cách quay nửa vòng tròn có phương trình x =r cos t,

y =r sin t với 0 ≤ t ≤ π quanh trục

Câu 3: Liên hệ đường cong Cycloid và bài toán Brainchistochrone:

3.1 Lịch sử ra đời :

Vào tháng 6 năm 1696, John Bernouilli gửi một lời thách thức đến cho toàn giới Toán học thời bấy giờ(chủ yếu là gửi đến ông anh trai James Bernouilli ) bằng bài toán được phát biểu một cách dễ hiểu nhưsau:

"Nếu có một quả bóng lăn xuống từ một điểm trên cao đến một điểm thấp hơn thì hình dạng đường đi phải như thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?"

Và đúng vậy như hình vẽ ở trên, đáp án của bài toàn này không phải là đường thẳng (mặc dù nó là

đường có độ dài ngắn nhất Bài toán được giải bằng phương pháp vi phân và đáp án chính là đường

Cycloid

3.2 Phương trình tham số của đường cong Cycloid:

Cùng tìm hiểu một chút về đường cong Cycloid, bạn có thể dễ dàng tưởng tượng ra hình ảnh của nó

Để xác định phương trình của cycloid, ta dùng phương trình tham số: {x =a(t−sin(t ))

y =a(1−cos(t ))

Với a là bán kính của vòng tròn và t là tham số

Và bây giờ là lúc ta tận hưởng thành quả: Đây là tính toán mô phỏng chuyển động của chất điểm theo những quỹ đạo khác nhau

3.3 Một số ứng dụng :

Đồng hồ quả lắc: Một trong những ứng dụng nổi bật của đường cong cycloid là trong thiết kế đồng hồ

quả lắc Khi quả lắc di chuyển theo đường cong cycloid, nó sẽ dao động với chu kỳ không đổi, giúp đồng hồ giữ thời gian chính xác hơn

Thiết kế bánh xe và bánh răng: Đường cong cycloid cũng được sử dụng trong thiết kế bánh xe và

bánh răng để giảm ma sát và mài mòn, giúp các máy móc hoạt động mượt mà hơn

Thiết kế tàu lượn siêu tốc: Đường cong brachistochrone được sử dụng để thiết kế các đường ray của tàu lượn siêu tốc Mục tiêu là tạo ra một hành trình thú vị và nhanh chóng, tối ưu hóa thời gian di chuyển từ điểm cao nhất đến điểm thấp nhất

Máng trượt khẩn cấp: Trong các tình huống khẩn cấp, máng trượt được thiết kế theo đường cong brachistochrone để đảm bảo người trượt xuống nhanh chóng và an toàn