Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 Đề tài 3

LỜI NÓI ĐẦUQuá trình thực hiện báo cáo bài tập lớn là giai đoạn rất quan trọng với chúng em.. Đối với chúng em, Giải tích 2 là tiền đề quan trọng cho chúng em những kỹ năng và những kiến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN: GIẢI TÍCH 2

Đề tài 3 GVHD: Trần Thị Ngọc Huyền Lớp : L18

Nhóm: 14

Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày tháng 5 năm 2024

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

II BÀI TẬP 5

III KẾT LUẬN 17

IV LỜI CẢM ƠN 18

LỜI NÓI ĐẦU

Quá trình thực hiện báo cáo bài tập lớn là giai đoạn rất quan trọng với chúng

em Đối với chúng em, Giải tích 2 là tiền đề quan trọng cho chúng em những

kỹ năng và những kiến thức quý báu cho quá trình học tập Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Trần Thị Ngọc Huyền đã tận tình giúp đỡ, giảng dạy

và định hướng chúng em trong cách tư duy và phát triển lối làm việc khoa học Đó là những góp ý quý báu, là nền tảng thực hiện để chúng em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này Do giới hạn kiến thức cũng như còn nhiều thiếu sót và hạn chế Kính mong sự chỉ dẫn và đóng góp của cô để chúng em

có thể hoàn thiện bản thân mình hơn Chúng em xin chân thành cảm ơn.

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

a Định nghĩa

b Định lý

II Giải bài tập

BÀI 1:Vẽ các khối trên bằng một trong ba cách: tọa độ Descartes, tọa độ trụ, hoặc tọa độ cầu (chương trình, phần mềm tùy chọn) Tính thể tích của các khối.

Câu 1 : Khối Ω1 giới hạn bởi hai mặt cong có phương trình trong tọa độ trụ là z = −r

cosr, 0 ≤ r ≤ 3π/2 và z = −p 9π2/4−r 2

Bài giải:

2 2

1 3

4

r r

r

r d z d r d







 







  

2 2

1 3

4

r

rdzdrd







 





 



  

Code hìnhΩ1:

r1 = linspace(0, 3*pi/2, 100);

theta1 = linspace(0, 2*pi, 100);

[r1, theta1] = meshgrid(r1, theta1);

x1 = r1.*cos(theta1);

y1 = r1.*sin(theta1);

z1 = -r1.*cos(r1);

r2 = linspace(0, sqrt(9*pi^2/2), 100);

theta2 = linspace(0, 2*pi, 100);

[r2, theta2] = meshgrid(r2, theta2);

x2 = r2.*cos(theta2);

y2 = r2.*sin(theta2);

z2 = -sqrt(9*pi^2/2-r2.^2);

figure;

holdon;

surf(x1, y1, z1,'FaceAlpha', 0.7);

surf(x2, y2, z2,'FaceAlpha', 0.7);

xlabel('X');

ylabel('Y');

zlabel('Z');

title('Code hìnhΩ1');

view(3);

axisequal;

holdoff;

Giải thích code:

1 Tạo mặt cong đầu tiên:

r1 = linspace(0, 3*pi/2, 100);

theta1 = linspace(0, 2*pi, 100);

[r1, theta1] = meshgrid(r1, theta1);

x1 = r1.*cos(theta1);

y1 = r1.*sin(theta1);

z1 = -r1.*cos(r1);

 r1 = linspace(0, 3*pi/2, 100); : Tạo ra một vector r1 với 100 giá trị từ 0 đến 3*pi/2, dùng để xác định bán kính

 theta1 = linspace(0, 2*pi, 100); : Tạo ra một vector theta1 với 100 giá trị từ 0 đến 2*pi, dùng để xác định góc

 [r1, theta1] = meshgrid(r1, theta1); : Tạo lưới tọa độ từ r1 và theta1 để dùng trong các tính toán tiếp theo

 x1 = r1.*cos(theta1); : Tính tọa độ x theo công thức chuyển đổi từ tọa độ Đề-các sang tọa độ cực

 y1 = r1.*sin(theta1); : Tính tọa độ y theo công thức tương tự

 z1 = -r1.*cos(r1);: Tính tọa độ z cho mặt cong đầu tiên

2 Tạo mặt cong thứ hai:

r2 = linspace(0, sqrt(9*pi^2/2), 100);

theta2 = linspace(0, 2*pi, 100);

[r2, theta2] = meshgrid(r2, theta2);

x2 = r2.*cos(theta2);

y2 = r2.*sin(theta2);

z2 = -sqrt(9*pi^2/2 - r2.^2);

 r2 = linspace(0, sqrt(9*pi^2/2), 100); : Tạo ra một vector r2 với 100 giá trị từ 0 đến sqrt(9*pi^2/2), dùng để xác định bán kính

 theta2 = linspace(0, 2*pi, 100); : Tạo ra một vector theta2 với 100 giá trị từ 0 đến 2*pi, dùng để xác định góc

 [r2, theta2] = meshgrid(r2, theta2); : Tạo lưới tọa độ từ r2 và theta2 để dùng trong các tính toán tiếp theo

 x2 = r2.*cos(theta2); : Tính tọa độ x theo công thức chuyển đổi từ tọa độ Đề-các sang tọa độ cực

 y2 = r2.*sin(theta2); : Tính tọa độ y theo công thức tương tự

 z2 = -sqrt(9*pi^2/2 - r2.^2); : Tính tọa độ z cho mặt cong thứ hai

3 Vẽ hai mặt cong:

figure;

hold on;

surf(x1, y1, z1, 'FaceAlpha', 0.7);

surf(x2, y2, z2, 'FaceAlpha', 0.7);

xlabel('X');

ylabel('Y');

zlabel('Z');

title('Hình giới hạn bởi hai mặt cong');

view(3);

axis equal;

hold off;

 figure;: Tạo một cửa sổ mới để vẽ đồ thị

 hold on;: Giữ các đồ thị hiện có để có thể vẽ thêm các mặt cong khác

 surf(x1, y1, z1, 'FaceAlpha', 0.7);: Vẽ mặt cong đầu tiên với độ trong suốt

0.7.('FaceAlpha' là độ trong suốt của đồ thị từ 0 đến 1)

 surf(x2, y2, z2, 'FaceAlpha', 0.7);: Vẽ mặt cong thứ hai với độ trong suốt 0.7

 xlabel('X');: Đặt nhãn cho trục X

 ylabel('Y');: Đặt nhãn cho trục Y

 zlabel('Z');: Đặt nhãn cho trục Z

 title('Code hìnhΩ1');: Đặt tiêu đề cho đồ thị

 view(3);: Đặt góc nhìn 3D cho đồ thị

 axis equal;: Đảm bảo các trục có tỷ lệ bằng nhau

 hold off;: Kết thúc việc giữ các đồ thị hiện có

Câu 2: Vật thể Ω2 xác định bởi khối ρ ≤ 1−cos(θ), 0 ≤ θ ≤ π và đường cong ρ = 2sin(2θ),

ϕ = 0 trong tọa độ cầu.

Bài giải:

Giải tính thể tích hìnhΩ2:

1

2

p d p d d







  

Code hìnhΩ2:

theta = linspace(0, pi, 100);

phi = linspace(0, 2*pi, 100);

[theta, phi] = meshgrid(theta, phi);

rho = 1 - cos(theta);

rho(rho > 1 - cos(theta)) = NaN;

X = rho * sin(theta) * cos(phi);

Y = rho * sin(theta) * sin(phi);

Z = rho * cos(theta);

figure;

surf(X, Y, Z);

title('Code hình Ω2');

xlabel('X');

ylabel('Y');

zlabel('Z');

axisequal;

gridon;

theta_1 = linspace(0, pi/2, 100);

rho_1 = 2 * sin(2 * theta_1);

phi_1= 0;

X_1= rho_1.* sin(theta_1) * cos(phi_1);

Y_1= rho_1.* sin(theta_1) * sin(phi_1);

Z_1= rho_1.* cos(theta_1);

holdon;

plot3(X_1, Y_1, Z_1,'g-','LineWidth', 2);

Giải thích code:

1.Tạo các biến Theta và Phi:

theta = linspace(0, pi, 100);

phi = linspace(0, 2*pi, 100);

[Theta, Phi] = meshgrid(theta, phi);

 theta = linspace(0, pi, 100);: Tạo ra một vector theta với 100 giá trị đều từ 0 đến π

 phi = linspace(0, 2*pi, 100);: Tạo ra một vector phi với 100 giá trị đều từ 0 đến 2π

 [Theta, Phi] = meshgrid(theta, phi);: Tạo lưới tọa độ từ theta và phi

2.Tính rho:

Rho = 1 - cos(Theta);

Rho(Rho > 1 - cos(Theta)) = NaN;

 Rho = 1 - cos(Theta);: Tính toán giá trị của Rho dựa trên Theta

 Rho(Rho > 1 - cos(Theta)) = NaN;: Gán các giá trị không hợp lệ (nếu có) trong Rho là NaN để không hiển thị trên đồ thị

3 Chuyển đổi từ tọa độ Đề-các sang tọa độ cầu:

 X = Rho * sin(Theta) * cos(Phi);: Tính tọa độ X

 Y = Rho * sin(Theta) * sin(Phi);: Tính tọa độ Y

 Z = Rho * cos(Theta);: Tính tọa độ Z

4 Vẽ bề mặt:

figure;

surf(X, Y, Z);

title('Code hình Ω2');

xlabel('X');

ylabel('Y');

zlabel('Z');

axis equal;

grid on;

 figure;

 surf(X, Y, Z);

 title('Code hình Ω2');

 xlabel('X');

 ylabel('Y');

 zlabel('Z');

 axis equal;

 grid on;

5 Tạo các biến cho đường cong:

rho_1= 2 * sin(2 * theta_1);

phi_1= 0;

 theta_1= linspace(0, pi/3, 100);: Tạo ra một vector theta_1với 100 giá trị đều từ 0 đến π/2

 rho_1= 2 * sin(2 * theta_1);: Tính giá trị rho_1 dựa trên theta_1

 phi_1= 0;:

6 Chuyển đổi từ tọa độ Đề-các sang tọa độ cầu:

X_curve = rho_1.* sin(theta_1) * cos(phi_1);

Y_curve = rho_1.* sin(theta_1) * sin(phi_1);

Z_curve = rho_1.* cos(theta_1);

 X_1= rho_1.* sin(theta_1) * cos(phi_1);: Tính tọa độ X cho đường cong

 Y_1= rho_1.* sin(theta_1) * sin(phi_1);: Tính tọa độ Y cho đường cong

 Z_1= rho_1.* cos(theta_1);: Tính tọa độ Z cho đường cong

7 Vẽ đường cong:

hold on;

plot3(X_1, Y_1, Z_1, 'g-', 'LineWidth', 2);

hold off;

 hold on;: Giữ lại đồ thị hiện có để vẽ thêm đường cong

 plot3(X_1, Y_1, Z_1, 'g-', 'LineWidth', 2);: Vẽ đường cong 3D với tọa độ X, Y, Z đã tính, màu xanh lá cây ('g-') và độ rộng đường là 2 ('LineWidth', 2)

 hold off;: Kết thúc việc giữ lại đồ thị hiện có

Câu 3: Khối Ω3 giới hạn bởi hai mặt cong �2 + �2 −�162= 1 và hai mặt phẳng song song,

đối xứng nhau qua Oxz.

Bài giải:

Giải tính thể tính hìnhΩ3:

2

1

2

1

( 3 ) ; _ c o s , s in , ; _ _

4 8

1 6 2 4

y





     





Code của hìnhΩ3:

clear;

[x, y, z] = meshgrid(-3:0.1:3);

mp1 = x.^2 + z.^2 - y.^2/16 - 1;

figure;

isosurface(x, y, z, mp1, 0);

hold on;

xlabel('X');

ylabel('Y');

title('Khối Ω3');

grid on;

axis equal;

Giải thích code:

clear;

 Xóa mọi biến và số liệu cũ

[x, y, z] = meshgrid(-3:0.1:3);

 Tạo một lưới tọa độ 3D với các giá trị của x, y và z nằm trong khoảng từ -3 đến 3 với bước nhảy là 0.1

mp1 = x.^2 + z.^2 - y.^2/16 - 1;

 Tạo 1 mặt phẳng với mỗi điểm trong phương trình trong lưới tọa độ

figure;

isosurface(x, y, z, mp1, 0);

hold on;

xlabel('X');

ylabel('Y');

zlabel('Z');

title('Khối Ω3');

grid on;

axis equal;

 Vẽ hình

Bài 2: Để tạo mô hình cho một khối trong không gian R 3 , ta có thể dùng các

mặt cắt song song như hình sau

Gọi n là tổng số các mặt cắt dùng để tạo ra một mô hình Chọn một trong các khối Ω1, Ω2, và Ω3, tính tổng diện tích của n mặt cắt đó.

Bài giải:

Gọi n là tổng số các mặt cắt dùng để tạo ra một mô hình Chọn một trong các khối Ω1, Ω2, và Ω3, tính tổng diện tích của n mặt cắt đó

Mô hình khối chọn : Ω3

Khối Ω3 giới hạn bởi hai mặt cong �2+ �2 −�162 = 1 và hai mặt phẳng song song, đối

xứng nhau qua Oxz.

Gọi 2 mặt phẳng đối xứng qua Oxz là � =− �0 ,� = �0

Cắt khối Ω3 bằng các mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz có phương trình

� =− �0 + �2��0 Trong đó � � �∗, 1 ≤ � ≤ �

Dể thấy khi chiếu vuông góc từ trục Oy xuống mặt phẳng Oxz là các đường tròn có

phương trình :

�2 + �2 = 1 +�162 , bán kính � = 1 +16�2 với giá trị � xác định

Khi đó có thể tính diện tích khối Ω3 bằng cách lấy giữa 2 mặt cách liên tiếp một giá trị y xác định nằm trong đoạn giá trị y của 2 mặt phẳng đó ,tạo lên 1 hình trụ nhỏ có đường cao là2�0

� và đường tròn đáy có �2+ �2 = 1 +�162 , bán kính � = 1 +�162 với giá trị � xác định Khi cộng hết các hình ta được biểu thức

�Ω3 =

�=1

�

1 + − �0 + �

2�0

�

2

2�0

�

=

�=1

�

� 2� �0+� � 8�0

�=1

�

− �0+ � 2� �0 2

Ta có

(nguồn : https://www.wolframalpha.com)

Rút gọn biểu thức:

�Ω3 = �2�0 + � �03

24�2 �2+ 2 Chọn N mặt phẳng là 20 ,áp dụng công thức vừa tiếp lập ta có :

�Ω3 = �2�0 + �24��032 �2+ 2

= �2�0 + � �03

24 202 202 + 2 = �2�0 +160067 ��03

Khi áp dụng với � =+ ∞:

lim

�→+∞�Ω3 = � 48�024+ �03

III KẾT LUẬN

Như vậy, ta đã đi từ những vấn để chung đến bài toán riêng khá phức tạp đòi hỏi nhiều công việc tính toán với người giải quyết bài toán Tuy nhiên, với sự hỗ trợ của công nghệ, việc giải quyết, khảo sát bài toán trờ nên dễ dàng, sinh động và trực quan hơn

Với sự phần công chuân bị kỹ lưỡng và cố gắng hết mình, nhóm đã hoàn thành đề tài được giao và cho ra kết quả như mong muốn

Qua phần bài tập lớn này nhóm đã:

- Hiểu hơn về ứng dụng của môn học

- Nâng cao sự hứng thú đối với môn học

- Trao dồi kỹ năng học tập và làm việc nhóm

IV LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, chúng em xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Khoa học Ứng dụng - Trường Đại học Bách Khoa – Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giảng viên hướng dẫn chúng

em là côTrần Thị Ngọc Huyền, cô đã tận tình giảng dạy, cung cấp cho chúng em những kiến thức và hướng dẫn cho chúng em thực hiện đề tài này

Tuy đã cùng nhau cố gắng để hoàn thành bài báo cáo này nhưng không thể tránh

được những thiếu sót trong cách hiểu và lỗi trình bày Chúng em xin chân thành lắng nghe, tiếp thu những đóng góp, ý kiến của quý Thầy Cô

Chúng em xin chân thành cảm ơn!