Chúng ta sẽ cùng nhau đi vào phân tích chi tiết về định lý này, khám phá các phương pháp tính toán và ứng dụng của nó... Miền liên thông Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu như
CỞ SỞ LÝ THUYẾT
Một số định nghĩa, khái niệm liên quan trong định lý Green
1.1 Điểm bội Điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) của đường cong C xác định bởi {𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] được gọi là điểm bội hay điểm tự cắt của đường cong C nếu tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường cong C ít nhất tại hai giá trị 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]
1.2 Đường cong đơn giản Đường cong C không chứa điểm bội được gọi là đường cong đơn giản
Một đường cong được xem là khép kín khi điểm đầu và điểm cuối của nó trùng nhau Đường cong có thể được phân loại thành đường cong đơn giản và đường cong không đơn giản Ngoài ra, đường cong cũng có thể không khép kín hoặc khép kín, tùy thuộc vào cấu trúc của nó.
Hình 1: Các đường cong thường gặp trong mặt phẳng
Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu như với hai điểm bất kì 𝐴, 𝐵 ∈
𝐷 thì tồn tại một đường cong liên tục nối A, B cũng thuộc D
Miền phẳng D được gọi là miền đơn liên khi thỏa mãn tính chất:
- Miền phẳng D là miền liên thông;
- Nếu đường cong đơn giản khép kín C nằm trọn trong miền D thì miền D’ có biên là đường cong C sẽ nằm trọn trong D
Hình 2: Minh họa miền đơn liên, miền liên thông 1.6 Miền đa liên
Miền phẳng D không phải là miền đơn liên thì được gọi là miền đa liên
Hình 3: Minh họa miền đa liên, miền liên thông
Hình 4: Minh họa miền đa liên, miền không liên thông 1.7 Trơn từng khúc Đường cong C xác định bởi {𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], được gọi là trơn từng khúc nếu C có thể chia thành nhiều đoạn nhỏ và trên mỗi đoán nhỏ này 𝑥 ′ (𝑡), 𝑦′(𝑡) là những hàm liên tục
Chiều dương của đường cong C được quy ước theo hướng ngược kim đồng hồ, trong khi chiều âm theo hướng thuận kim đồng hồ Khi di chuyển theo chiều dương, miền D luôn nằm bên tay trái, còn chiều âm sẽ có miền D ở bên tay phải.
Hình 4: Chiều dương, chiều âm của đường cong C
Định lý Green
2.1 Định lý ĐỊNH LÝ (GREEN’S THEOREM)
Cho C là đường cong phẳng đơn kín trơn từng khúc và D là miền phẳng giới hạn bởi C
Nếu P và Q có các đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở chứa D, thì
Trong đó, lấy dấu (+) nếu chiều của C là chiều dương, ngược lại lấy dấu (-) nếu chiều của
Chú ý: Khi đi theo đường cong C thì miền D sẽ nằm bên trái đường cong C thì chiều lấy tích phân là chiều dương
2.2 Chứng minh định lý Green Định lý Green nhìn chung không dễ chứng minh, nhưng chúng ta có thể chứng minh cho trường hợp đặc biệt khi miền vừa thuộc loại I vừa thuộc loại II trong phần
DOUBLE INTEGRALS OVER GENERAL REGIONS (tích phân kép trong miền bất kì)
Ta gọi những vùng như vậy là vùng đơn giản
CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ GREEN CHO TRƯỜNG HỢP D LÀ MIỀN ĐƠN GIẢN Chú ý rằng định lý Green sẽ được chứng minh nếu như chúng ta chứng minh được:
Chúng ta chứng minh phương trình [1] bằng cách biểu diễn D dưới dạng vùng loại I:
9 trong đó 𝑔 1 (𝑥) và 𝑔 2 (𝑥) là các hàm liên tục Điều này cho phép chúng ta tính tích phân kép ở vế phải của phương trình [1] như sau:
𝑎 𝑔 2 (𝑥)) − 𝑃(𝑥, 𝑔 1 (𝑥))]𝑑𝑥, [3] trong đó bước cuối cùng tuân theo “Định lý Cơ bản” của Giải tích
Bây giờ ta tính toán phía bên trái của phía bên trái của phương trình [1] bằng cách chia C thành hợp của 4 đường cong 𝐶 1 , 𝐶 2 , 𝐶 3 , 𝐶 4 như hình sau:
Trên 𝐶 1 , chúng ta lấy x làm tham số và viết các phương trình tham số là
Quan sát 𝐶 3 đi từ phải sang trái còn −𝐶 3 đi từ trái sang phải, nên ta có thể viết các phương trình tham sổ của −𝐶 3 là 𝑥 = 𝑥, 𝑦 = 𝑔 2 (𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 Vì thế
Trên 𝐶 2 hoặc 𝐶 4 (cả hai đều có thể giảm xuống chỉ còn 1 điểm), 𝑥 không đổi, vậy nên
So sánh công thức này với phương trình [3] ta thấy rằng
Phương trình [2] có thể được chứng minh theo cách tương tự
Sau đó bằng cách cộng phương trình [1] và [2] chúng ta thu được định lý Green
CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ GREEN CHO TRƯỜNG HỢP D LÀ MIỀN HỮU HẠN
Mở rộng cho trường hợp D là hữu hạn của các vùng đơn, ví dụ nếu D là vùng hiển thị trong hình a, ta có thể viết 𝐷 = 𝐷 1 ∪ 𝐷 2, trong đó 𝐷 1 và 𝐷 2 đều là vùng đơn giản Ranh giới của 𝐷 1 là 𝐶 1 ∪ 𝐶 3, và ranh giới của 𝐷 2 là 𝐶 2 ∪ (−𝐶 3) Áp dụng định lý Green cho 𝐷 1 và 𝐷 2 phân biệt, ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về các tính chất của các vùng này.
Nếu chúng ta cộng hai phương trình trên, tích phân đường dọc theo 𝐶 3 và (−𝐶 3 ) sẽ triệt tiêu, ta sẽ nhận được:
𝐶 1 ∪𝐶 2 Đó là định lý Green cho 𝐷 = 𝐷 1 ∪ 𝐷 2 , vì ranh giới của nó là 𝐶 = 𝐶 1 ∪ 𝐶 2
Kiểu lập luận này cho phép chúng ta áp dụng định lý Green cho bất kỳ trường hợp hữu hạn nào của các vùng đơn giản không chồng chéo.
2.3 Ứng dụng công thức Green vào tính diện tích miền phẳng D
HỆ QUẢ ĐỊNH LÝ GREEN’S
Cho C là đường cong phẳng đơn kín trơn từng khúc, theo chiều dương, và D là miền phẳng giới hạn bởi C Khi đó, diện tích của miền phẳng D là:
Chú ý: Tích phân theo biên C của miền D phải lấy theo chiều dương, nghĩa là chiều ngược chiều kim đồng hồ
GIẢI BÀI TẬP
Bài 3 Tính tích phân đường bằng hai phương pháp: trực tiếp và sử dụng định lý Green
∮ 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝐶 + 𝑥 2 𝑦 3 𝑑𝑦, với C là biên của miền kín (hình tam giác) được tạo bởi các đỉnh (0,0), (3,0) và (1,2)
GIẢI: Áp dụng định lý Green:
D là vùng bên trong tam giác vuông tạo bởi ba điểm đã cho
Phương trình nối đường thẳng (0,0) và (1,2) là 𝑦 = 2𝑥
Do đó, chúng ta có thể xác định D là:
Sử dụng định lí Green ta được:
Bài 7 Sử dụng Định lý Green để tính tích phân đường theo đường cong có hướng dương
𝐶 + (2𝑥 + cos 𝑦 2 )𝑑𝑦, C là biên của miền kín tạo bởi hai đường parabol 𝑦 𝑥 2 𝑣à 𝑥 = 𝑦 2
Trong đồ thị, đường parabol màu đỏ biểu diễn phương trình 𝑦 = 𝑥², trong khi đường parabol màu xanh thể hiện phương trình 𝑥 = 𝑦² Đối với 𝑦 > 0, chúng ta có thể diễn đạt dưới dạng khác.
𝑦 = √𝑥 Khi đó giới hạn được tạo ra bởi 2 parabol là{(𝑥,𝑦) ∈ 𝐷∣0 ≤ 𝑥 ≤ 1, x 2 < 𝑦 < √x} Áp dụng định lý Green:
Bài 9 Sử dụng Định lý Green để tính tích phân đường theo đường cong có hướng dương
∫ 𝑦 𝐶 3 𝑑𝑥− 𝑥 3 𝑑𝑦, C là biên của miền kín được tạo bởi đường tròn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
𝜕𝑦 = −3𝑥 2 − 3𝑦 2 Áp dụng định lí Green:
Bài 14 Sử dụng định lý Green để tính ∫ 𝑭 𝐶 ∙ 𝒅𝑟 (Kiểm tra hướng của đường cong trước khi áp dụng định lý)
𝑥) >, C là biên của miền kín được tạo bởi đường tròn (𝑥 − 2) 2 + (𝑦 − 3) 2 = 1, hướng ngược chiều kim đồng hồ
𝑥 2 + 𝑦 2 ) = −1 Áp dụng định lí Green:
Bài 15 Xác minh định lý Green bằng cách sử dụng hệ thống đại số máy tính để tính cả tích phân đường và tích phân kép
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 𝑒 𝑥 , 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑒 𝑦 , C là biên của miền kín được tạo thành từ đoạn thẳng từ (-1,1) đến (1,1) theo cung parabol 𝑦 = 2 − 𝑥 2 từ (1,1) đến (-1,1)
Vùng đã cho bao gồm một parabol và một đường thẳng, hướng đường viền của vùng ngược kim đồng hồ để áp dụng định lý Green
Tích phân của trường đã cho trên là:
Cộng hai kết quả lại với nhau ta được:
−8𝑒 + 48𝑒 −1 Áp dụng định lý Green cho tích phân đường:
Bài 17 trình bày cách sử dụng định lý Green để tính công của lực 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥(𝑥 + 𝑦)𝑖 + 𝑥𝑦²𝑗 khi di chuyển một hạt từ gốc tọa độ dọc theo trục x đến điểm (1,0), tiếp theo là di chuyển theo đoạn thẳng đến (0,1), và cuối cùng quay trở lại gốc tọa độ dọc theo trục y.
Công được thực hiện bởi lực F khi di chuyển một vật dọc theo đường C được cho bởi:
𝐶 Định lý Green chuyển đổi tích phân đường quanh một đường đơn đóng C thành tích phân kép trên một vùng D nơi D là vùng bên trong đường đơn đóng C:
𝐷 𝐷 Đường đi mà vật đi theo được biểu diễn trong biểu đồ sau:
Hướng di chuyển là ngược chiều kim đồng hồ, đường nối điểm (0,1) và (1,0) là: 𝑥
1 = 1 Tương đương y = 1 – x Xác định D như sau:
Bài 20 Nếu đường tròn C có bán kính bằng 1 lăn dọc theo mặt ngoài của một đường tròn
Khi có phương trình \(x^2 + y^2 = 16\), điểm cố định P trên đường tròn C sẽ tạo ra một đường cong gọi là đường ngoại tâm, với phương trình tham số được xác định là \(x = 5\cos t - \cos 5t\) và \(y = 5\sin t - \sin 5t\) Để tìm diện tích mà đường cong này bao quanh, bạn cần vẽ đồ thị và áp dụng công thức số (5).
Đồ thị đường tròn x² + y² với bán kính R = 4 và tâm O tạo ra một epicycloid khi được tạo thành từ một vòng tròn nhỏ có bán kính r = 1 Tỉ lệ k = R/r = 4 cho thấy đồ thị đường cong này có 4 cánh, còn được gọi là quatrefoiloid Đường cong epicycloid được mô tả bằng các phương trình x = 5cos(t) − cos(5t) và y = 5sin(t) − sin(5t), với điều kiện −5 ≤ x, y ≤ 5.
22 Áp dụng công thức: Áp dụng vào để tìm diện tích giới hạn bới đường cong, ta có: 𝐴 = ∮ 𝑥𝑑𝑦 𝑐 Với x\ost−cos5t và dy = d (5sin t − sin 5 ) t = (5cos t − 5cos5 ) t dt
Thay vào pt , ta có:
Bài 22: Cho D là vùng được giới hạn bởi đường khép kín đơn C trong mặt phẳng xy Sử dụng định lý Green, chúng ta có thể chứng minh tọa độ trọng tâm (x,y) của vùng D.
𝐶 khi A là diện tích của D
Để chứng minh tọa độ trọng tâm (x̄, ȳ) của miền D trên hệ trục tọa độ xy, ta cần tính toán trung bình cộng tọa độ x và y trong miền này Tọa độ trọng tâm x̄ và ȳ được xác định qua công thức: x̄ = ∬ x dA, với dA là phần diện tích trong miền D.
Với A là miền diện tích của miền D
𝑐 có thể viết lại là ∮ 0 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑦
Sử dụng định lý Green pt tích phân này trở thành:
Khi đó, thay biểu thức vào 1
Tương tự ta cũng có thể viết ∮ 𝑦 2 𝑑𝑥
𝑐 , và sử dụng định lý Green:
Khi đó, thay biểu thức vào 1
Bài 25 trình bày một tấm phẳng có mật độ không đổi 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝜌, chiếm một vùng trong mặt phẳng xy được giới hạn bởi đường khép kín đơn giản C Bài toán yêu cầu chứng minh rằng moment quán tính của tấm phẳng này đối với các trục là một đại lượng cụ thể, dựa trên các tính chất hình học và mật độ của tấm.
GIẢI: Áp dụng định lí Green
𝜕𝑦) 𝑑𝐴 Theo đề bài, ta có:
Sử dụng định lí Green ta được:
Sử dụng định lí Green ta được:
Từ đó ta suy ra được :
Trong Bài 27, nếu F là trường vectơ theo Ví dụ 5 trong sách James Stewart Calculus 6th Edition, chúng ta cần chứng minh rằng tích phân đường ∫ 𝑭 𝐶 ∙ 𝒅𝑟 bằng 0 đối với mọi đường dẫn đơn giản khép kín mà không đi qua hoặc bao quanh gốc tọa độ Điều này cho thấy rằng trường vectơ F có tính chất không xoáy trong miền không chứa gốc tọa độ.
Ví dụ 5: Nếu 𝐹(𝑥, 𝑦) = (−𝑦𝑖 + 𝑥𝑗)/(𝑥 2 + 𝑦 2 ), hãy chỉ ra rằng ∫ 𝑭 𝐶 ∙ 𝒅𝑟 = 2 với mọi đường đường dẫn đơn giản định hướng dương bao quanh gốc tọa độ
Phương pháp giải quyết vấn đề tích phân quanh đường dẫn đóng C gặp khó khăn do tính chất tùy ý của nó Để đơn giản hóa, chúng ta xem xét một đường tròn C’ theo hướng ngược chiều kim đồng hồ với tâm tại gốc tọa độ và bán kính a, trong đó a được chọn nhỏ để nằm trong vùng giới hạn Khu vực D được giới hạn bởi C và C’ có ranh giới định hướng dương là C ∪ (−C’), cho phép áp dụng phiên bản tổng quát của Định lý Green.
Bây giờ chúng ta dễ dàng tính được tích phân cuối cùng bằng cách sử dụng tham số hóa được cho bởi
Trường vecto trong ví dụ 5 là
Ta có thể viết thành:
Đường khép kín không bao quanh gốc tọa độ cho phép chúng ta áp dụng định lý Green Ngược lại, nếu đường khép kín bao quanh gốc tọa độ, việc sử dụng định lý Green sẽ không khả thi do các đạo hàm riêng ∂P.
𝑑𝑥 không liên tục tại gốc tọa độ Áp dụng định lý Green:
CODE MATLAB
% định nghĩa biến ký hiệu t là một biến ký hiệu trong MATLAB syms t;
% định nghĩa hai hàm P và Q, là hai thành phần của trường vector P(x, y) tương ứng với thành phần theo hướng x và Q(x, y) tương ứng với thành phần theo hướng y
% Define the three segments of the triangle
% Segment 1: định nghĩa phân đoạn đầu tiên của tam giác, từ (0,0) đến (1,0) x1 = t; y1 = 0; dx1 = diff(x1, t); dy1 = diff(y1, t);
% tính toán tích phân của P và Q trên phân đoạn 1 (từ (0,0) đến (1,0)) bằng cách sử dụng hàm int() trong MATLAB integral1 = int(P(x1, y1)*dx1 + Q(x1, y1)*dy1, t, 0, 1);
% Segment 2: (1,0) to (1,2) x2 = 1; y2 = 2*t; dx2 = diff(x2, t); dy2 = diff(y2, t); integral2 = int(P(x2, y2)*dx2 + Q(x2, y2)*dy2, t, 0, 1);
% Segment 3: (1,2) to (0,0) x3 = 1 - t; y3 = 2*(1 - t); dx3 = diff(x3, t); dy3 = diff(y3, t); integral3 = int(P(x3, y3)*dx3 + Q(x3, y3)*dy3, t, 0, 1);
% tổng hợp các tích phân trên ba phân đoạn để tính toán tổng tích phân trên biên của tam giác total_integral = integral1 + integral2 + integral3;
% Display the result disp('Giá trị của tích phân theo cách trực tiếp là:'); disp(total_integral);
Tính theo công thức Green
% Define the symbolic variables syms x y;
% Define the vector field components
% Tích phân của đạo hàm của Q theo x dQ_dx = diff(Q, x);
% Tích phân của đạo hàm của P theo y dP_dy = diff(P, y);
% Tích phân kép integral_result = int(int(dQ_dx - dP_dy, y, 0, 2*x), x, 0, 1); disp('Tích phân kép sử dụng Định lý Green:'); disp(integral_result);
% Tích phân của đạo hàm của Q theo x dQ_dx = diff(Q, x);
% Tích phân của đạo hàm của P theo y dP_dy = diff(P, y);
% Tích phân kép integral_result = int(int(dQ_dx - dP_dy, y, x^2, sqrt(x)), x, 0, 1); disp('Tích phân kép sử dụng Định lý Green:'); disp(integral_result);
Q = -x^3; integral = diff(Q, x) - diff(P, y); integral_green = int(int(integral, y, -sqrt(4 - x^2), sqrt(4 - x^2)), x, -2, 2); disp('Tích phân sử dụng Định lý Green:'); disp(integral_green);
%Áp dụng định lý Green integrand_green = diff(Q, x) - diff(P, y);
%Tính công thức Green integral_green = int(int(integrand_green, y, 3-sqrt(1-(x-2)^2), 3+sqrt(1-(x-2)^2)), x, 1, 3);
%In ra màn hình disp('Tích phân sử dụng Định lý Green:'); disp(integral_green);
Bài 15: clc clear all syms x y z t r s real; %Khai báo các biến đã sử dụng
Q1 = x^2*exp(y); xa = -1; %cận dưới x ya = 1; %cận dưới y xb = 1; %cận trên x yb = 1; %cận trên y y = x*((ya- yb)/(xa-xb))-xa*((ya-yb)/(xa-xb)+ya); %phương trình y(x)
I1 = int(eval(P1)+eval(Q1)*diff(y,x),x,xa,xb);
Q2 = z^2*exp(t); za = 1; %cận dưới x ta = 1; %cận dưới y zb = -1; %cận trên x tb = 1; %cận trên y t = 2-z^2; %phương trình y(x)
I2 = int(eval(P2)+eval(Q2)*diff(t,z),z,za,zb);
%In ra màn hình fprintf('Tích phân đường cần tìm là: I = %.8f ',eval(Il)); fprintf('= ') disp(Il);
Q3 = r^2*exp(s); ra = -1; %cận dưới x sa = 1; %cận dưới y rb = 1; %cận trên x sb = 2-r^2; %cận trên y f = diff(Q3,r)-diff(P3,s); %Hàm dưới dấu tích phân
Id = int(int(eval(f),s,sa,sb),ra,rb);
%In ra màn hình fprintf('Tích phân kép cần tìm là: I = %.8f ',eval(Id)); fprintf('= ') disp(Id);
%Khai báo các biến sử dụng syms x y real
%Áp dụng định lý Green
%Hàm dưới dấu tích phân f = diff(Q,x)-diff(P,y);
W = int(int(f,y,ya,yb),x,xa,xb);
%In ra màn hình fprintf('Công do thực F thực hiện là: W = %.8f ',eval(W)); fprintf('= '); disp(W);
% Define the parametric equations for the epicycloid t = linspace(0, 2*pi, 1000); x = 5 * cos(t) - cos(5 * t); y = 5 * sin(t) - sin(5 * t);
% Plot the epicycloid figure; plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); title('Epicycloid'); xlabel('x'); ylabel('y'); axis equal; grid on;
% Calculate the area enclosed by the epicycloid
% Using the Shoelace formula (Gauss's area formula) n = length(x); area = 0; for i = 1:n-1 area = area + (x(i) * y(i+1) - y(i) * x(i+1)); end
% Add the last term (cyclic term) area = area + (x(n) * y(1) - y(n) * x(1)); area = abs(area) / 2;
% Display the computed area disp('Computed area enclosed by the epicycloid:'); disp(area);
% Display the exact analytical area exact_area = 30 * pi; disp('Exact analytical area:'); disp(exact_area);
% Define the piecewise function f(x) f = piecewise(x < 0, 0, x >= 0, exp(-x^2));
% Compute the Fourier transform integral
% Display the result disp('Fourier Transform of f(x) is:'); disp(I_simplified);
% Moment quán tính của bản phẳng được tính theo trục tọa độ như sau:
% Cần c/m 2 tích phân đề bài cho bằng 2 tích phân trên bằng đl Green
% tp = tích phân; tpk = tích phân kép clc clear all syms x y p
Hàm Ix được tính bằng hiệu giữa đạo hàm của Q1 theo x và đạo hàm của P1 theo y, theo định lý Green Nếu Ix bằng Ixx, ta có Ix = tp((-p/3)*y^3) = tpk(p*y^2)(đpcm); ngược lại, chứng minh sẽ bị sai.
Hàm Iy được tính bằng cách lấy đạo hàm riêng của Q2 theo x và trừ đi đạo hàm riêng của P2 theo y Theo định lý Green, giá trị của Iy được hiển thị là fy Nếu Iy bằng Iyy, thì ta có thể kết luận rằng Iy = tp((p/3)*x^3) = tpk(p*x^2), ngược lại, nếu không bằng thì chứng minh sẽ bị sai.
% Xac dinh vecto luc F syms x y;
% Xac dinh duong dan C a = 0.5; % chon ban kinh nho t = sym('t'); x = a*cos(t); y = a*sin(t);
% Tinh tich phan duong bang cach tham so hoa dx = diff(x); dy = diff(y); subs(x, x); subs(y, y) line_integral = int(Fx.*dx + Fy.*dy, t, 0, 2*pi)