Môđun trên miền dedekind

Các n mödun Ste miễn Dedekind chưa nhiều nên chúng tôi thực hiện để cứu này nhắm khảo sắt, nghiễn cửu, mở rộng một số kết quả về nhóm Abel, médun trên miễn các ideal chỉnh cho môdun trên

| BỘ GIÁO ĐỤC VẢ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM BAO CAO TONG KET DE TAI KHOA HQC VA CONG NGHE CAP TRUONG

TEN DE TAL

| MODUN TREN MIEN DEDEKIND

; CS 2012.19.61

CHỦ NHIỆM ĐÈ TÀI: PGS.TS MỸ VINH QUANG

THƯ VIÊN -

CONG NGHE CAP TRƯC

Tn dé ải ODE pi cs MIEN DEDEKIND

m dễ nữ, POS.TSM nh Quan:

tác: Phạm Viết Huy, Võ tú Vân Anh

MỞ ĐẦU,

Miễn Dedekind là một mở rộng khá tự nhiên về mặt số học của miễn ideal chinh, bởi lẽ, mỗi ideal không tầm thường của nó đều phản tích được

yn

Dedekind có thể không là ideal chính nên nó có nhiều tính chất khác lạ sơ với miễn các ideal chính, chẳng hạn, médun con của môđun cyclie có thẻ không do Các n mödun Ste miễn Dedekind chưa nhiều nên chúng tôi thực hiện để cứu này nhắm khảo sắt, nghiễn cửu, mở rộng một số kết quả về nhóm Abel, médun trên miễn các ideal chỉnh cho môdun trên miễn Dedekind Đặc biệt là các két qua vé médun tua tu do va médun chia duge

CÁC KẾT QUÁ CHÍNH

1 Médun tựa tự do

1.1, Chứng oh cng, mt ibd It mun tự do nêu n phân íh dược thánh tông trực tiếp cic médun cyelic không xoắn Một câu hoi khá tự nhiên điều kiện không xoản thì sao Chúng tôi gọi những môdun phân tích được môđun là tựa tự cải Bi và chỉ khi nó cổ cơ sở Một môdun li médun tự do khi vả chỉ khi n sé không xoắn Các khái niệm cơ bản về möđun tựa

tự do được giới hiệu ‘rong bài bảo kèm theo

'Hãi cơ sở bắt kỳ của một möđun tự do trên vành giao hoán cỏ đơn vị đều

có cũng lực lượng và lực lượng đó được gọi là hang cia médun tự do Tuy môdun tựa tự do cỏ thể không cỏ cùng lực lượng,

Để khác phục tỉnh trạng này, chúng tôi đưa ra khái niệm mới gọi lã cơ

sở chính tắc của médun tua ty do như sau

1.2 Định nghĩa

Một cơ sơ }x},„ của một möđun tựa tự do được gọi là cơ sở chỉnh tắc

nếu mỗi phần tư + hoặc là không xoắn hoặc cỏ cấp là lũy thừa của một ideal nguyễn tổ

Ta có kết qua sau về cơ sở chính tắc của möđun tựa tự do

Mödun tựa tự do A/ trên mién Dedekind luôn có cơ sở chính tắc Hai cơ

sở chính tắc bất kỹ của A có cùng lực lượng, lực lượng nảy được gọi là hạng

của möđun tựa tự do AM

1.4 NI x

u Aƒ là môdun tự do thi khái niệm hạng của môdun A⁄ ta định nghĩa trong 1.3 trùng với khải niệm hạng của möđun tự do Hai mödun tự đo có

cùng hạng thị đẳng cấu Vậy, hai môđun tựa tự do có củng he © có đăng câu

với nhau hay không? Không khó để chỉ ra rằng, tôn tại n tựa tự do trên miễn các ideal chỉnh có cùng hạng nhưng không đẳng cha De khắc phục

ly, chúng tôi đưa ra khái niệm cơ sé chỉnh tắc cùng kiểu như sau:

Hai cơ sơ ‘chinh tắc được gọi là cùng kiểu nêu lực lượng các phần tử EỨếng xoắn trong mỗi cơ sẽ lù nh là với mỗi số tụ.nhiện nụ mỗi Real nguyên tổ P, lực lượng của các phan tử có cấp ?” trong mỗi cơ sở là như nhau

1.6 Định lý

Hài cơ sở chính tắc của một mödun tựa tự do trên miễn Dedekind luôn

số cùng kiểu Hai môđưn tựa tự do đăng cấu với nhau khi và chỉ khi các cơ sở

chính tắc của chúng có cùng kiểu

Dinh ly đưới đây cho một điều kiện cin và dù để /-môdun là môđun tựa

tư do

17 Định

Pemddun M trén mién Dedekind D la me tựa tự do khi và chỉ khi tổn tại day chuyên tăng các möđun con |M,}: va day cá

các phần tứ khác

sổ nguyên dương kin) sao cho OM, = M và a cao c không của M, déu không vượt quá kín)

“Tử định lý nảy, ta có một số kết quả thú vị sau:

1.8 Hệ quả

Môđun xoin M trên miễn Dedekind /) lả môđun tựa tự do khi vả chỉ khi với mọi ideal nguyén 16 P cia D, médun con P-nguyén sơ Af, của nó thỏa các điều kiện của định lý 1.7

1.9 Hệ quả

Mọi médun bi chặn trên mién Dedekind đều là mödun tựa tự do Nói riêng, môdun xoắn, hữu hạn sinh trên miền IDedekind là môđun tựa tự do

1.10 Hệ quả

Médun con của möđun tựa tự do, xoắn trên miễn Dedekind lá möđun tựa

tự do

1.11 Hệ qị

mới môdun con của /)-mödun tựa tự do là môdun tựa tự do

2 Mé dun chia duye n la médun chia được Chiều ngược Không dùng Tuy nhiên, médun trên miễn các ideal chỉnh là mödun nội xạ khi

miền I3edekind Cụ thẻ, ta có kết quả sau

32 Đi

Médun trén mién Dedekind la médun chia được khi và chỉ khi là môdun nội xã

Định lý dưới dây, cho phép mô tả cấu trúc của mỏđun chia được trên miễn Dedekind Kết quả này lá mở rộng thực sự của một kết quả đã biết vẻ cấu trúc của nhôm Abel chia được

2.3 Định lý

Médun trên miễn Dedekind D 1 médun chia được khi và chỉ khi nó phân tích được thành tổng trực tiếp các médun con tya cyclic va các môdun con đăng cầu với trường các thyemg QD) cia D

KẾT LUẬN,

Để tải đã đưa ra khái niệm môdun tựa tu do trén mién Dedekind và giới thiệu được một số các kết quả khá thủ vị về môdun tựa tự do và médun chia Các kết quả này là mở rồng thực sự một số kết quả

nhóm Abel và médun trén miễn ede ideal ch cải tiến Một phần của dễ tải được công bổ trong một bài báo đã được nhận đăng trong tạp chí khoa hoc cua trường

mid

trên miễn Dedekind” Dé tai đã đạt được các yêu cầu về mục tiêu, nội dung như đã đăng ký ban đầu

TP Hỗ Chí Minh, ngây 19 tháng 4 nim 2013 Chủ nhiệm

PGS.TS.My Vinh Quang

My Vinh Quang, Phạm Viết Huy TOM TAT

Madun th được thành tổng trực tiếp các mödun cyclic duge gọi là

môdun tựa tự Ko Lớp các môđụm tựa tự do là mổ rộng của lớp các modun ty do

“Các kết quả nảy là sự mở rộng một số kết quả về nhỏm Abel vả möđun trên mí

ce ideal chin!

Tử khóa: miễn Dedekind, médun twa ty do

ABSTRACT

Quasi-free module over the Dedekind domain

A module decomposable into direct sum of cyclic modules is called a quas free module, The class of quasifree modules is extension of the class of fr modules This paper introduces some results about quasi-free modules over the and modules over a principal ideal domain,

Keywords: Dedekind domain, quasi-free module

1 Mỡ đầu

Trong ly thuyét médun, các möđụn tự là môdụn tự đo trên miễn các led chính vai rõ quan trọng Đã có nhiễu lút quả âu sắc và thì vị về các

Me io dns a os el dg ye i ks ein le Wig xoắn Một câu hỏi khá ty nhign duge dat ra la: Ta} sao phai là các médun cyclic không xoắn? Nếu ta bỏ di điều kiện không xoắn thì sao? tôi gọi các môđun phản tích được thành tổng trực tiếp các mödun eye A mun te lự do Bài bảo này giitiu một sẻ kết quả i olin ie

tự do trên mién Dedekind Chú ý rằng miễn Dedekind là mở rộng khả tự nhiên về miễn các iđeal chính

2 Một 21 Mita Dedekind sé kt hái bản

Miễn nguyễn /2 dược gọi la mién Dedekind néu D là miễn Noether, đông nguyễn va moi ideal nguyên tô khác không cúa ? đều là ideal tôi

nhỏm giao hoán, có đơn vị với sự phân tích duy nhất thành các phần tử nguyễn tổ Nghĩa là mọi ideal khác không và khác D déu phan tích được duy nhất thánh tích cic ideal nguyên tổ Nếu 4 8 là các iđeal của Øthì 4|8 khi và chỉ khi C 4, ước chung lớn nhất của A B lất (A.B)= A+B boi chàng nhỏ nhất của 4 B là [4.8]- 408 4 gọi là nguyễn sổ cùng nhau nêu ( 4.) = D Nếu P là ideal

nguyên 6 cua D thi ord, ( 4) là số tự nhiên lớn nhất thỏa: !?|4 Các kết quả về

miễn Dedekind e6 thể tham khảo trong [12]

Bồ để sau đây sẽ rất cô ich khi lâm việc với miền Dedekind, 3.2 Bổ để [I, Định lý 9.3.1]

Cho D la mién Dedekind va A, B là các ideal khée không của D Khi đỏ tôn tại

aed dé A=(a)+A

2.3 Madun trên miền Dedekind

Cho M la médun trên miễn Dedekind Ð và xe AZ Cáp của x, ký hiệu |x|

được định nghĩa như sau: || |ø€ Ð;ay =0}, Để thấy lị là một ideal của Ø, x được gọi là phủ xoln nêu "g 0, Trong trường hợp ngược lại, x được gọi

là phần aứ xoắn Tập các phân tir AM là một môđun con của A/, được gọi là

‘médun con xoắn của M, và tiếc) kh hiệu là AM, Nếu A, = Af thì M được gọi là

môdụn xaẩn Nêu M, =0 thì M duge gọi là mỏđụn không xoắn Hiễn nhiên,

wi „ là môdun không xoắn

tử khỏi

Với mỗi ideal nguyên tổ khác không / của D, kỷ hiệu A, = {ve A/.h là lũy thừa của PỊ A, là một môđun con của A⁄, được gọi

AM M được gọi là P-mddun néuM, = M Tap cic phan tir x eda ẤM, thỏa điều kiện

Pe =0 tao thinh mot médun con cia M va được ký higu la M[P]

méddun con P-nguyén sơ của

ie ies aot Bie kệ của các phẩn tử của Af bị chặn nghĩa là tổn lại iđeal 4 kh

Cho M là P-môdun Khi đỏ số tự nhiên m được gọi là độ cao (hay P-độ cao) của re M nếu xe P"Âf nhưng x # PM Trong trường hợp ve P^M với mọi ø

ta nồi š cổ độ cao vô hạn

3.4 Bồ để,

(Cho Mi mosdun trên miễn Dedekind D Khi dé

Ji mọi xe M.ac DÌ@|= kị

- ket)

ñ Xếu suy M và k|+b|= Đai lr+y|=|b|

vd néw |x| + (a) = D thi |x =a] Chứng minh

over bet wes mail VA OST 8 iE

Vậy aight Ngược hí, néu b(ax)=0 thi Boel Do a6,

| Do d6 b(ax) = (ba)x=0

ef SON “sấu An để w+v=l Khí đố, b=b(u+v)= bus bve

Vậy jax] = n

Ngoài m nếu ||+(2)=Ð th tổn wi weldve(a) để w+v=l, Khí đó, x= X0 + 9)= xử + gv = xừ€ (at) Do do |x| = lax}

¡0 Với mọi ø|x|.b€| | tà số a(x +) = đốy 4 aÖy <0 nên c{x ty) =0

với mọi eelxl| Vậy |x||y|=|x+g| Ngược lại vì j+|i|=D nên tổn tại

welslely| để w+v =1, Nếu øe|y+2| thì a(x + y)=0 Suy ra au(x+y)=0

Do d, auy =0 nghia la aw ely Do đó, a =a(w.+v)=aw + ay €| | Tương tực aelx| Do đó, œe|x|=¬ls|=[lxll»[]=|x|b| vì |k|ly| nguyên tổ cũng nhau Vậy ke+zI-ldls|

28 Bố đề,

Cho M là médun trên min Dedelind Khí đỏ mđun con xoẫn M, của M lã tổng trực ấp các möđun con nguyên Sợ của M My EM,

'Chứng minh

Đầu tiên tà chứng mình A/,=ŠM, Giá sử 0zveA, Khi đỏ,

fal = Pt Pls MOH mỗi ¡< 1.2, m đạt A4 a Khi 8; (dyed) = D nên tổn tạ

0 Do đô, 6e |az| nghĩa là P2 c-

neDM,

Tip the, thing min M.S My =

ix] suy a axe M, vi

re SM, Viy

i st Ove MOF MM

My na] = Pi m2, wa 26S Aly nn (s.P) =D ay (P.P)= 00)

0 vụ AM,=@M,

Mẫu thuẫn chứng tổ M,.o SM,

34; Seat chi la cán miền tựa tyda

31) im ta tw

‘Cho M/ 1a mot modun trén mién Dedekind 2 Tap con khác ring Seta Af được sọi là tập độc lập nuyền tỉnh hoặc đơn giản là độc láp nếu 0 S và với mọi s, %, đôi một khác nhau của S với mọi 4,, a, €D néu as, + +a,s, =0 thi as, =0

thể phân tích được thành tông trực tiếp ciia ede médun eyclic Tir cae định nghĩa, la chỉ khi nó là möđun tưa tự do không xoắn lop médun twa ty do la mở rộng thực sự của lớp các mödun tự do,

Bỗ dé đười day mô ta một lớp các môđun twa tự do nhưng không là möđụn tự

3.2 Bồ để

Cho M là môđụn trên miễn Dedekind D Nếu tân tại ideal nguyên tô khác

không P của D để PM — |0} thì M là môn tựa tự đo

Chứng mình

Vi D li min Dedekind nên ? là ideal tối đại của D, do đó, ⁄, là rường Do

,PAM — |0 nên tương ứng:

hams 2xM ->Át

(6e) sam

chính là một cơ sở của /-möđun &/ Vậy M ta médun twa tu do 3.3 Nhận xết

Hai cơ sở bắt kỹ của môdun tự do trên vành giao hoán , cổ đơn vị đều có cũng,

lực lượng và lực lượng đó được gọi là hạng của môun tự do Vấn đẻ được đặt ra là

liệu nhận xét trên có còn đúng đổi với mồđun tưa tự do? Chúng ta có cầu tr lời phủ sau: Z⁄(„ là Z-mödun tưa tự do với 2 cơ sở có số phần tử khác nhau là {i} va

|

Due pe nh tụng nhy, chứng tôi dưa khổ riện nới gi làcosở

chỉnh tắc của môđun tựa tự do như:

3⁄4 Định nghĩa

„_ Mật cơ sở § của một môdun tựa tự do được gọi là cơ sở chỉnh tắc nếu mỗi phẩn tử x< S hoặc là không xoắn hoặc có cắp lã lũy thửa của một iđeal nguyên tổ

3S

inh Iy (co 80 chinh tie eda modun tya ty do)

Médun tư tự do M trén mién Dedekind D luân có cơ sở chỉnh tắc Hai cơ sở, chỉnh tác Bắt kỳ của M cỏ cùng lực lượng, lực lượng này được gọi là hạng của 6d tựa tự do M

'Chững minh

Chứng mình sự tồn tại cơ sở chính tắc của Af, Trước hết, ta có nhận xét: nêu

xe M có cấp A8 với (4,8) = Ø thì (x) =(y) + () trong đó y có cấp 4, z có cắp

B mag pmind aa tn tai be B dé B=(b)+ AB Khi dé, theo BO dé 2.4,

=A Tuong ty, tồn tại ø€ 4 để |ax| Khi đỏ, theo Bổ đề 2.4

bl wea

a-b)s|= AB va ((a+b)x) =(x) Mat khéc ((a+8)x)< (bx) +(ax) (x) Do

đó, (x) =(bx) + (ax) = (y) +(2)

Bãy giữ giá sử Š là mỗi cơ sở của iM Khi 6, néu xe S|

theo chứng minh trên (x) = (x,)® ®(x„) với |x] =P Niue

nhận được cơ sở chỉnh tắc của M

PPS thì

bằng cách giữ Hai cơ sở chỉnh tắc của M có cùng lực lượng sẽ được thấy rõ qua 2 Bỏ dé sau:

‘msn M id nie hat

Ching mink

Gilt sie SOT là một cơ sở chính tắc của A trong đó S là tập tt cả các phần tử

không xoắn trone cơ sử chỉnh tắc và 7 là tập tất cả các phần tử cổ cấp là lũy thửa

Mr =),

Ta có M/ t, Ox), Boi vay, My, Ja médun ty do có hang bing |S] Vay lực

lượng của các phần tử không xuân trong cơ sở chính tắc của Â# bằng hạng của tmôdin tự do ®J., không phụ thuộc vào ch chọn tơ sở

Bỗ đỀ 3: Vúi mỗi số t nhiên m và mỗi deal nguyễn tổ P của D cho rước lực lượng của các phủ từ củ cắp P” trong hai cơ sở chỉnh tắc của môdụn M là như nhac

Ching minh,

i phn a ni ia Pict im ng nF

sử A, em M la P-médun Gia sir SO ROT la mit es

cia M trong aS uae các phản tử của cơ sở có cấp là P" # là tập các phân tứ

cửa sứ sở có cắp là /”, với >”m, là tập các phần tử của cơ sở có cắp là /”, với prin =9 (P's) o PH và (P^'AV)|P]= (PT lv) HP]

PAM = PTH và (P^M ||?)

ale]

Boi vay

(pr ML

Meuyei®?

không giản veers én texime 9, và |š|=dim

PM)

@(P™'x) Theo Bo dé 3.2, (

ate] Ê

phụ thuộc vào cách chọn cơ sở chỉnh tắc

Như vậy Bộ đề 2 đã dược chứng mình và Định lý 3.5 được chứng mình hon toàn

36 Nhận xét