Thuật toán tìm cơ sở của môđun con của môđun tự do hạng hữu hạn trên vành chính

BỘ GIÁO DỤC VẢ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH Báo cáo đề tài khoa học cấp cơ sở: THUẬT TOÁN TÌM CƠ SỞ CỦA MÔĐUN CON CỦA MÔĐUN TỰ DO HẠNG HỬU HẠN TRÊN VÀNH CHÍNH M

BỘ GIÁO DỤC VẢ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH Báo cáo đề tài khoa học cấp cơ sở:

THUẬT TOÁN TÌM CƠ SỞ CỦA MÔĐUN CON CỦA MÔĐUN TỰ DO HẠNG HỬU HẠN TRÊN VÀNH CHÍNH

Mã số: CS 2009.19.65

TS Trin Huyén Đon vị: Khoa Toán - Tin học

THƯ VIỆN

nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp trường, THUẬT TOÁN TÌM CƠ SỞ CỦA MÔĐUN CON CỦA MODUN TU DO HANG HUU HAN TREN VÀNH CHÍNH

Mã số CS 2009.19.65 Chủ nhiệm đề S Tran Huyén

Don vị: Khoa Tóan - tin học ĐHSP TP.HCM

Môdun tự do trên vành chính nói riêng lớp môđun tự do hữu hạn sinh và ede médun con của chúng đã được khá nhiễu nha téan học quan tâm nghiên cứu

và đạt được nhiều kết quả đẹp Tuy nhiên hẳu hết chủng đều được phát biểu dưới dạng các định lý tổn tại, mặc dù rằng tóan học luôn đảnh giả cao các kết quả mang tính chất xây dựng kiển thiết Vì lí do đó để tải của chúng tôi đặt vẫn

để xem xét các khả năng xây dựng các thuật tổan tìm cơ sơ cho một số các môđun con của các môđun tự do hạng hữu hạn trên vành chính, đặc biệt xây dựng cơ sở của các môđun giao, môđun tổng của các mödun con dựa vào các cơ

sở của các môđun thành phản

Dựa vào các kết quả đã được nghiên cửu trước đỏ, vả bằng việc để xuất

bổ sung một số khái niệm cẩn thiết, xem xét các đặc trưng của chúng chúng tôi

đã để xuất được một số thuật tóan tim cơ sở các möếun con đặc biệt là cơ sơ các möđun tổng v giao hai médun con

tự do thực chất là thành viên của một cơ sở nảo đỏ trong môdun Chủng tôi đã tim ra được các đặc trưng chủ yếu của đơn tử thông qua thuật ngữ các dồng cấu hay thông qua thuật ngữ ước chung lớn nhất các hệ tử trong vành chính, để phục vụ cho việc xây dựng các thuật tóan tìm cơ sơ Trên nền táng các kết quả

đã đạt được khi xem xét đặc trưng các đơn tư chúng tôi đã xây dựng được một

số thuật t6an tim cơ sở các mỗđun con của mödun tự do hữu hạn sinh trên vắnh chính như sau:

Thuật tổan 1: Xây dựng một cơ sở của một môđun tự do hữu hạn sinh trên vành chính nhận một đơn tử cho trước lâm một thánh viên Thuật toán 3: Xây dựng các cơ sở của médun X ty do hữu hạn sinh trên vành chỉnh và möđun con 4È Ý mã mỗi phần tử trong cơ sơ của mödun con A sai khác một phần tử cơ sở trong cơ sở của X chỉ một hệ từ khác 0

“Thuật toán 3: Xây dựng cơ sở của möđun giao Ý, ^\.X, dựa trên các cơ sơ đã cho của các môđun Xị vả X:

Thuật toán 4: Xây dựng cơ sở của môdun tổng X,+X; dựa trên các cơ sở đã cho của các möđun Xị, X; Thuật toán nảy có thể xem là sự kết hợp hải hòa cả

ba thuật toán nổi trên,

Các bước tiến hảnh trong mỗi thuật toán cũng như các kì thuật xử lý

của giao và tổng hai môđun con trong môđun tự do hữu hạn sinh trên vành chính”, đã được báo cáo trong các hội nghị khoa học như hội nghị khoa hoc Khoa Toản - Tin Học tháng 12.2008: hội nghị Hinh học Đại số -Topô toàn quốc 09.2009 Kết quả nảy cũng sẽ được đăng tải trong tạp chí khoa học ĐH$P Tp.HCM và sẽ gửi đăng tạp chí Toán-Li ĐHQG Hà Nội khi địch qua Anh ngữ

Thành phổ Hồ Chỉ Minh ngày tháng năm 2010 'Chủ nhiệm để tải

MODUN CON TRONG MODUN TỰ DO HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH CHÍNH

TRẤN HUYỆN

Khoa Tóan - Tin Học - ĐHSP TP.HCM

An Dương Vuong Quin 5

‘Tom tắt nội di

Tưng bà th ny ching i dn ra ce de rg 6 ia i ni pA ong mödun X tự do hữu hạn sinh én vanh chinh ma médun cyclic sinh bai phin we dé la

‘médun von trong médun X,

Médun tự do trên vành chỉnh, đặc biệt 1a _médun tự do hữu hạn sinh

và các môđun con của chúng đã được nhiều nha téan học quan tâm thường được phát biết dưới dạng các định ý ân tạ và vi vậy mang nặng thuật tan tìm cơ sở của các médun con, đặc biệt chú ÿ tới các cơ sở của

đó

I Các kết quả chính

Để tiện lợi cho sự eae bay

chinh va médun

chính R

„ dưới diy vanh R luôn được hiểu là vành möđun tự do hữu hạn sinh trên vành

Định nghĩa l: "Trong môđun X, phần tử ae X a0 gọi là đơn tử nễu ø =rh với be X va

re & khi và chỉ khi r l khả nghịch

Hiện hiên khL& ona A, =r Nb ig Mido a Chern tb sau cho ta sự mô tả rõ hơn về các đơn

Mt kì cơ SỞ {02,02} của X Va a= aH, tally ++ 0,u, thi UCLX(a,.a

thí cần có một cơ sở {uj} nảo đó để a=aw, +

raid pale me a lã đơn tử khi và chỉ khi tổn

nạ ăn ch fit» thea /(a)=

Chứng m

Chọn tong K một €6: sở tu,

jt, + au, Theo mệnh đề 1, UCLN(a,

tại các hệ tử vi r, , ER Ma Ka, +r

ƒIXOSR mà với mỗi

Khi đó đồng cấu ith; tot Sly Xác inh P(X) = WS, +x, +04 Paty hide nhign thoa yéu chu ménh dé 2 (=)

Néu có đổng cấu f thỏa yêu cầu mệnh để 3 và a=rb thì 1= /(4)= ƒvb)=r./(ð) tức r khả nghịch

Mệnh để 3: Trong môđun X ca tử äe A' là đơn từ khi vả chỉ kh ä là

hệ sĩ S Sát cơ H.nhilt tuy

Chứng mị

(=) Tiện hiên nổi phần tử trong một cơ sở của X là đơn tử (=) Nếu gev 1a mot đơn tử theo mệnh đề

PX +R voi f(a)=1 Vì R là R-môđun tự đo nên À

Ra là médun cyclic sinh bởi a: Ra = [rd:r €

Hệ thức tổng trực tiếp trên có nghĩa là cơ sở bắt kì của Kerf khi bổ sung thêm a sẽ là một cơ sốc

Nhận xét: Theo mệnh để 3, mỗi phản tử trong cơ sở một mỏđun là đơn tử trong médun đỏ Như vậy, phần tử ø e 4< X có thể không là đơn tử của

X, song néu a thuộc một cơ sở nào đỏ của A thi a don tir trong A, Tite khái niệm đơn tử cỏ hà chế ưng tương đối đơn tử theo timg médun

Ap dung ménh dé 3 nl sẽ cho ta thuật tôan xây đựng một cơ sở của möđun X chứa một đơn tử øe X' cho trước Thật vậy, giả sử X có cơ

và aeV là đơn tử trong X mã

Chọn đồng cấu

LÝ, + ok tnt rk, với mỗi x= xe + + x,é, thi X= Ra® Kerf trong đỏ Kerf là tập các phản tử ve X' có tọa độ trong cơ sở ban đầu lá (XX } thỏa phương trình thuần nhất: ø;x, +z;x; + +r,x, =0 L một nghiêm của phương trình trến (ổ.ố ⁄b¿) sao chờ

ca Kerf (déng thời là đơn tử trong X) và điều này cho phép ta xác định đồng cấu g:Kerf>R mả g(r)=rx+tr,+ ti, với xay tote, thỏa g(ð) =1 Đồng cấu này cho ta các sự SH ae Kerf = Rb@ Kerg vi X = Ra®@ Rb® Kerg voi Kerg là tập các phần tir

xe X với BG 109d} (Xe) inte cơ sở ban đầu thỏa hệ phương, Bạt

trình thuẫn nhất

trong ex lặp lại ne w ¡ quá tình trên, Thuật tỏan sẽ kết thúc khí hệ phương trình thuẫn nhất cuỏi cùng có chỉ nghiễm tắm thường Bây giờ cho X là môđun với cơ sở {e,

cơ sở {Mu

lục tiêu chính của bai viet ni tôan tìm cơ sở các möđun giao X,+.Y, và môđun tổng Xị* X; dựa trên các cơ sở của Xi, X: Nếu x thuộc mödun giao, thì ất tổn tại các bộ hệ tử (x,.x; v, ) và

Ƒ "XIN, +X + 3 Xu,

[xe yy toy tat Hy,

Tọa độ hỏa các hệ thức trên trong cơ sở ban đầu của X tả cỏ bộ (%e ,.0/„ ,) là nghiêm của hệ phương trình thuần nhất:

Nếu hệ phương trình nảy có nghiêm không tằm thường thì XS, #

và khi đồ ta c

Mệnh đề 4: Nếu bd (a,

thuần nhất (*), xác định bởi

phan te a=au,+a,u,+

X4;

Chứng mình:

23) ~ as

-«4,.8 ð,) là nghiệm của hệ phương trình

NV AX, théa UCEN(a, d,b, b,)= thì +a,u, =by, +b, + +by, là đơn từ trong,

khả nghịch

là phản tử cơ

Qu cách khác nhau để xây dựng một đẳng cu / như th, chẳng hạn: xây dựng đồng cấu ,/: Ä, —Ñ mã /(a)=ơ và xây dựng ding câu

OX,9R mã với mỗi eX ON, thì

Dé m phần tử eơ sở tiếp tại (nếu còn) ta ghép vào hệ phương trình ( thêm phương trinh f(x) =

Nếu hệ phương trình naa có nghiệm không tẩm thường, thì ta lại chon một nghiệm (e, +d,) với UCLN của chúng là 1 Khi đó phản tư Sữa, +.*€jM, =d, + +d,v, là đơn tir trong Kerf sé 1a phin tử cơ sở tiếp theo của -X, ^ X;, Các phản tử cơ sở còn lại của X, Ý, được tìm ghép thêm một phương trình thuần nhất mới vào hệ phương trinh trước cuỗi cùng có chỉ nghiệm tẩm thường

Thuật an tìm cơ sở của tổng X:*X; là sự tổ hợp các thuật tổan đã trình bảy ở trên Tuy nhiễn để tiện lợi cho sự diỄn giải ta cần tới vài kết

“quả đơn giản sau:

Mệnh để 5: Trong môđun X, mỗi phần tử xe Ý' đều tồn tại một đơn tứ 4€ X và hệ tử r6 f sao cho x=

ệ tử r nói trong ménh dé $ được gọi là hệ số đơn nguyễn của

x trong môdun X Cũng như khái niêm đơn tử, khải niệm hệ số đơn Cũng dé thấy là hệ số đơn nguyễn của một phần tử x trong médun X không là duy xế hệ số đơn nguyễn của một phản tư lập, thành một lớp các hệ tử liên kết trong vành R

từ weX sao cho du la don tu cua A va

Sy t6n tai don tir we X và hé wt ye R sao cho a= yu duge suy ra từ mệnh để 5, Vi we ¥ la don tử nên có đồng cấu ƒ:.V => mà /(w)=l

và hiển nhiên /(a)= y! Ảnh /(4) trong R là iđêan chỉnh được sinh bởi

hg tr nto db AER Vi ye f(A) it tn wi BER ma y= BA Chimg Thật vậy nếu có re và be A ma Aw=rb thi A=r.f(b)=rikd) do f(b)e f(A) là iđêan chính sinh bởi 4 Giản ước 4 ở hai về đăng thức trén trong R ta e6: rk =1 hay r khả nghịch

Hệ quả: Với tắt cả giả thiết va cae ki higu trong ménh dé 6, médun con A

có sự phân tích :

4=R(Àu)®(41^ Ketf)

Thậ vậy: do X= Ru@ Kerf nên ÑVjw) (42 Keg/) x€ 4: x=tu+y với Le # và y € Kerl

Wuye Ru)c A, Khi đỏ

y=x~1(2)€ 4= Kerf Kết hợp các xiên trên tạ cô sự phân tích

A như phát biểu của hệ quả

By giờ chủng e xích ảnh đặc phần từ cổ sỡ thế tổng Ks

và mỗi nhiên

có sự biểu diễn qua cơ sở ban đầu của X la: a= nu +7 + Theo mệnh đề 6 tổn tại một đơn tử w€ Y vả các hệ tử 7

Am là đơn tử trong X, còn 2u là đơn từ trong X; và đu là đơn từ trong X, ¬.X, Theo hệ quả của mệnh đề 6 ta có sự phân tích: X= Ru® Kerf

X,=RUW8(X,0 Kerf)

Ny = RAM) @(X, 0 Kerf)

Từ đô X,+ 2V, R¿ Đo tay s LAN" ure oy O Kerf) véi RUA) + RUA) = RAW) v6 2

Tức phan tu co so dau tién cua X\+ 5

thêm hệ phương trình ƒ(x)=0 với xe X, hayxeX:

Để tìm phần tử cơ sở tiếp theo của X,tX;, ta chọn một đơn từ b của

Xi X;OKetƒ mã bộ tọa độ trong X; va trong X; la nghiệm của hệ

sở ban dau cia médun X: „ +f„w, Tương tự như đã xử

lý với ta sẽ tìm được đơn tử w e X và các hệ tử /./, ay sao cho

Bw, fw là các đơn tử trong X, ¬ Ker/ Ý; “ Ker/; đồng thời ta có

sự phân tích:

Ket/ = Rw®(Ket/ =\ Kerg)

NX, 0 Kerf = R(Bw)@(X, 9 Kerf ¬ Kerg)

X, 9 Kerf = R(B.w) @(X, 7 Kerf ¬ Kerg)

XOX, 0 Kerf = Rb@(X, 0X, 0 Kerf 0 Kerg) trong do g:X +R 1a dong cau thoa g(b)=1 va phan tw co so thir hai của X\+X;, tong tự như đã làm ở trên, sẽ là: Bw với JCLN(B,.8.)

Các phân tử cơ sở cỏn lại của X,*X;, mà quả trình tìm bắt đầu từ các phan tử cơ sở trong V, ¬.Ý; được tiến hành tương tự cho đến khi hệ phương trình thuằn nhất ghép cuối cùng cho chỉ nghiêm tắm thưởng

Để kết thúc thuật tôan chúng ta chỉ phải bỏ sung cho hệ các đơn tử (du Bw} cha X1 va hệ các đơn tử |2/./8,w ] của X; các đơn tử, cần thiết để có được các cơ sở của Xị, Xạ Điều đó được tiến hành dựa theo thuật tóan xây dựng cơ sở mới của một môđun chứa một đơn tử cho trứợc Kết hợp lại hệ cơ sở của X,+X; chính là các đơn tử:

mủ các médun cyelie sinh bởi chúng có giao với X, “¬ Ý, bằng 0

Cu thúc bải viết, xem như lả hệ quả của quả trình hình thành thuật tôan tìm cơ sở của tổng hai môđun X,*X; trên nền tảng thuật tôan tìm cơ sở của môđun giao Ý, “^ Ý;, ta có:

Hệ quả: Cho X,; X; là các médun con cua X

Khi đó: dimX.*dimX;=dim(X,+X:)+dim( Ý, Ý,) trong đó như nee lệ THÊ lä lực lượng một cơ sở nảo đó trong A Nói cách khác, cởi liễu trong lý thuyết các không gian vecto van con ding, Tạp các Dees tự do trên vành chính

6

[1] Cartan, Hand Eilenberg,S: Homol

University Press (1956),

{2] Cozzens, H: Simple principal left ideal domains J.Alg.23(1972) {3] Jategaonkar, A.V: Left Principal Ideal Rings Berlin-Heidelberg-

New York(1970)

[4] Kaplansky, |.: Commutative Rings Allyn and Bacon, Inc (1970)

I Algebra Princeton

Abstract

tn this paper, we consider characterizations of basis elements in

We also define the method of constructing basis for submodul of the finitely generated and free module over the principal ideal domains

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM

THUYET MINH DE TAI -

KHOA HOC VA CONG NGHE CAP TRƯỜNG

1 TEN DE TAL THUATTOAN TIM COSO CUA MODUN 3 MÃ SỐ ON CUA Ý DO HẠNG HỮU HAN TREN VÀNH CHÍNH ˆ

LOẠI HÌNH NGHIEN CUU|

THỜIGIANTHỰCHIỆN thing Twthing nữm200 đểnhắng năm200

6 CƠ QUAN CHỦ TRÌ

Tên cơ quan: Khoa Toán - Tìnhọc, Trường Đại học Sư phạm TpHCM

ta chỉ : 280, An Dương Vương, Q.5 TpHCM

7 CHỦ NHIỆM ĐỀ TẬI

Họ vàtên Trân Huyền

Học vị, chức danh KH : TS Chức vụ : Giảng viên Địa chỉ NR: 285/5 KT Cách Mang Tháng Tám, P.13, Q.10, Tp.HCM

Địa chỉ CQ: 280 An Dương Vương Q5, Tp.HCM

Điện thoại NR: 8627198 E-mail:

NHỮNG NGƯỜI THAM GIÁ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Ho wien Dom vi cing Tình vực chuyên môn tac va | Nội đongnghiêncứueuthế | Chirky được giao

9 ĐƠN VỊ PHÔI HỢP CHÍNH

Tên đơ tong vàngoài ước | — Nộidingphỗihợp | Ho i nga aida

10 TÍNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC

10.1 Tổng quan tỉnh hình nghiên cứu thuộc

vực của để tải

ud quan trong về mặt cầu trúc cũng như những áp đụng vào các lĩnh vực

Madu o hang how han rn vA chính đi được nhiễu gi nhiên ửu và đạ được những kế