Giải hai bài tập liên quan ñến cấu trúc môñun tự do ðại số Nguyễn Thị Thuỳ Dâng 1 ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN TI ỂU LUẬN CƠ SỞ ðẠI SỐ HI ỆN ðẠI ðỀ TÀI MÔ ðUN TỰ DO Người hướng dẫn khoa học Học viên thực hiện Nguyễn Thị Thuỳ Dâng TS Phan Văn Thiện Lớp Cao học Toán K20 (2011 2013) Chuyên ngành ðại số Huế 022012 Giải hai bài tập liên quan ñến cấu trúc môñun tự do ðại số Nguyễn Thị Thuỳ Dâng 2 L ỜI M Ở ðẦU Cơ sở ñại số hiện ñại là môn học quan trọng trong sự phát triển của toán học.
Giải hai tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự ðại số ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN TIỂU LUẬN CƠ SỞ ðẠI SỐ HIỆN ðẠI ðỀ TÀI: MÔðUN TỰ DO Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Văn Thiện Học viên thực hiện: Nguyễn Thị Thuỳ Dâng Lớp: Cao học Toán K20 (2011-2013) Chuyên ngành: ðại số Huế - 02/2012 Nguyễn Thị Thuỳ Dâng Giải hai tập liên quan ñến cấu trúc mơđun tự ðại số LỜI MỞ ðẦU Cơ sở đại số đại mơn học quan trọng phát triển tốn học đại, sở tiền ñề cho phát triển ñại số đại Mơn học giúp học viên tìm hiểu nghiên cứu cấu trúc ñại số, vành mơđun đóng vai trị tảng mơn học Mơđun số cấu trúc đại số có tập nên vành với phép tốn cộng nhân vơ hướng Có thể nói khái niệm mơđun khái niệm quan trọng đại số đại, chia làm nhiều lớp: mơđun tự do, mơđun chia được, mơđun nội xạ, mơđun xạ ảnh Nhằm mục đích hiểu rõ mơđun tự do, tiểu lụân trình bày cách giải hai tập liên quan đến mơđun tự Nội dung tiểu luận gồm phần: • Phần 1( Phần lý thuyết ): Trình bày kiến thức lý thuyết mơđun tự bao gồm định nghĩa mơđun tự do, sở mơđun tự do, số định lí, mệnh đề liên quan đến mơđun tự • Phần 2( Phần tập ): Trình bày cách giải hai tập liên quan đến mơđun tự Do kiến thức thân thời gian hạn chế nên nội dung tiểu luận cịn nhiều sai sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn bè Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Phan Văn Thiện ñã nhiệt tình giảng dạy học phần “ Cơ sở đại số đại “ tạo điều kiện cho tơi hồn thành ñược tiểu luận Nguyễn Thị Thuỳ Dâng Giải hai tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự ðại số MỤC LỤC LỜI MỞ ðẦU Lý thuyết mơđun tự 1.1 ðịnh nghĩa vành idean 1.2 ðịnh nghĩa mơđun tự sở 1.3 ðịnh nghĩa tổng tích trực tiếp 1.4 Một số mệnh ñề định lí Bài tập áp dụng 4 12 2.1 ðề 2.2 Bài giải TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Thuỳ Dâng Giải hai tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự ðại số LÝ THUYẾT VỀ MÔðUN TỰ DO ðỊNH NGHĨA VÀNH VÀ IDEAN: • ðịnh nghĩa 1: Vành tập hợp R với hai phép toán hai ngơi R, kí hiệu cộng nhân, cho: i) ∀x, y, z ∈ R : ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ii) ∃1R ∈ R, ∀x ∈ R : 1R x = x1R = x iii) ∀x ∈ R, ∃x −1 ∈ R : x −1 x = xx −1 = 1R iv) ∀x, y ∈ R : x + y = y + x v) ∀x, y, z ∈ R : ( xy ) z = x ( yz ) vi) ∀x, y, z ∈ R : x ( y + z ) = xy + xz , ( y + z ) x = yx + zx • ðịnh nghĩa 2: Một vành gọi giao hoán phép nhân giao hốn • ðịnh nghĩa 3: Trường vành khác {0}, giao hốn, có phần tử đơn vị phần tử khác khả nghịch • ðịnh nghĩa 4: Cho vành R, idean trái ( phải ) vành R nhóm I nhóm cộng R thoả điều kiện: ∀x ∈ R , ∀k ∈ I ( kx ∈ I ) Một phận I vành R vừa idean trái vừa idean phải gọi idean hai phía vành R • Mệnh đề 1: Cho vành giao hốn R Khi đó, tập hợp V x = {vx x ∈ V } idean Idean V x gọi idean sinh x , kí hiệu (x ) • • • • ðịnh nghĩa 5: Trong vành giao hoán R ≠ {0 R }, idean I R gọi idean nguyên tố I ≠ R thoả mãn ñiều kiện xy ∈ I ⇒ x ∈ I hay y ∈ I , ∀x, y ∈ R Mệnh ñề 2: Nếu I idean vành R Khi đó: i) Lớp xy + I phụ thuộc vào lớp x + I y + I mà không phụ thuộc vào lựa chọn phần tử x, y từ lớp ii) R / I với hai phép toán: ( x + I , y + I ) → x + y + I (x + I , y + I ) → xy + I vành gọi vành thương R I ðịnh nghĩa 6: Trong vành giao hoán R ≠ {0 R }, idean I R gọi idean nguyên tố I ≠ R thoả mãn ñiều kiện: xx ∈ I ⇒ x ∈ I hay y ∈ I , ∀x, y ∈ R ðịnh nghĩa 7: Trong vành giao hoán R ≠ {0 R }, idean I R gọi idean tối đại I ≠ R khơng có idean J R chứa I khác I khác R Nguyễn Thị Thuỳ Dâng Giải hai tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự ðại số ðỊNH NGHĨA MƠðUN TỰ DO VÀ CƠ SỞ: • ðịnh nghĩa 1: Giả sử R vành có ñơn vị ≠ , M nhóm cộng aben Nhóm aben M với ánh xạ: R× M → M (r , x ) a rx ñược gọi mơđun trái vành R ( hay R-mơđun trái ) nếu: i) r ( x + y ) = rx + ry , ∀r ∈ R , ∀x, y ∈ M ii) (r + s )x = rx + sx, ∀r , s ∈ R, ∀x ∈ M iii) (rs )x = r (sx ), ∀r , s ∈ R, ∀x ∈ M iv) 1.x = x, ∀x ∈ M • ðịnh nghĩa 2: Giả sử X, Y hai R-mơđun trái Một ánh xạ f : X → Y Rđồng cấu mơđun nếu: i) f ( x + y = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ M ii) f ( rx ) = rf ( x ), ∀r ∈ R, ∀x ∈ M • ðịnh nghĩa 3: Cho R vành, S tập hợp Một R-mơđun tự S cặp (F, f) F R-mơđun, f : S → F ánh xạ cho với ánh xạ g : S → X , X R-mơđun, có ñồng cấu R-môñun h : F → X thoả hf = g • • ðịnh nghĩa 4: R-mơđun M tự M mơđun tự tập ðịnh nghĩa 5: M R-mơđun, S tập M S ñược gọi hệ sinh M, ∀x ∈ M n x = ∑ ri si , ri ∈ R, s i ∈ S , ∀i = 1, , n i =1 S gọi độc lập tuyến tính, n x = ∑ ri si , ri ∈ R, s i ∈ S ⇔ ri = 0, ∀i = 1, , n i =1 • S gọi sở M S ñộc lập tuyến tính S hệ sinh M ðịnh nghĩa 6: Giả sử M R- mơđun trái H mơđun Vì H nhóm nhóm aben R-mơđun trái M nên ta có nhóm thương H / M = {x + H x ∈ M } với phép cộng xác ñịnh sau: (x + H ) + ( y + H ) = x + y + H • ðịnh nghĩa 7: R-mơđun trái M/H định lí ñược gọi môñun thương Rmôñun trái M theo mơđun H Ví dụ: Mỗi vành R có đơn vị ≠ R-mơđun trái, nên I idean trái vành R I mơđun R-mơđun R, đó, mơđun thương R / I R-mơđun trái Nguyễn Thị Thuỳ Dâng Giải hai tập liên quan ñến cấu trúc môñun tự ðỊNH NGHĨA TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP Giả sử M i R - mơđun với i ∈ I Trên tập tích ðại số ∏M i ta định nghĩa hai i∈I phép toán cộng nhân sau: (xi )i∈I + ( yi )i∈I = (xi + yi )i∈I a ( xi )i∈I = (axi )i∈I xi , y i ∈ M i , a ∈ R Khi dễ dàng kiểm tra ∏M i với hai phép i∈I tốn nói lập thành R - mơđun, gọi tích trực tiếp họ mơđun {M i }i∈I Gọi ⊕ M i tập dãy ( xi )i∈I ( với xi ∈ M i ) có giá hữu hạn tức hầu hết xi = i∈I trừ số hữu hạn số i Với hai phép toán cộng nhân vơ hướng định nghĩa ⊕ M i R - mơđun, gọi tổng trực tiếp họ {M i }i∈I i∈I Khi I tập số hữu hạn I = {1,2, , n} tích trực tiếp tổng trực tiếp họ {M i }i∈I trùng nhau: M × M × × M n ≡ M ⊕ M ⊕ M n Nguyễn Thị Thuỳ Dâng Giải hai tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự ðại số MỘT SỐ MỆNH ðỀ VÀ ðỊNH LÝ: • Bổ đề Zorn: Cho A tập thứ tự Nếu tập thứ tự hoàn toàn A có cận A A có phần tử tối đại • ðịnh lí 1: Nếu (F, f) mơđun tự S f : S → F ñơn ánh f(S) sinh F Chứng minh: Chứng minh f : S → F ñơn ánh Giả sử f khơng đơn ánh Khi đó: ∃a, b ∈ S , a ≠ b cho f ( a ) = f (b) Lấy X mơđun có nhiều phần tử g : S → X ánh xạ cho g (a ) ≠ g (b) Suy có đồng cấu h : F → X cho hf = g Vì hf ( a ) = hf (b) nên g ( a ) = g (b) (mâu thuẫn) Vậy f : S → F ñơn ánh Chứng minh f(S) sinh F Lấy X = f ( S ) mơđun sinh f ( S ) ⊂ F Khi với ánh xạ g:S → X s a f (s ) tồn h : F → X cho hf = g Xét d : F → X đồng cấu bao hàm Khi đó: dg = f ⇒ dhf = f ⇒ dh = id ⇒ d toàn cấu Vậy X ≅ F hay f ( S ) = F • • ðịnh lí 2: Nếu (F, f) (F’, f’) mơđun tự S F F’ ñẳng cấu với Chứng minh: Vì F tự S nên ∃h : F → F ' ñồng cấu cho hf = f ' (1) Vì F’ tự S nên ∃h': F ' → F ñồng cấu cho hf ' = f (2) Từ (1) (2) suy h' hf = f hh ' f ' = f ' Do ñó: hh' = id h' h = id Vậy h ñẳng cấu hay F ≅ F ' ðịnh lí 3: Với tập S có R-mơđun tự S Chứng minh: ðặt F = {φ : S → R φ ( s) = hầu khắp} Dễ dàng kiểm tra F với hai phép tốn + : F×F → F (φ ,ψ ) a φ + ψ : S → R s a φ ( s) + ψ ( s) : R× F → F (r ,φ ) a rφ : S → R s a rφ (s ) làm thành R-mơđun Nguyễn Thị Thuỳ Dâng Giải hai tập liên quan ñến cấu trúc mơđun tự ∀s ∈ S , xét ðại số fs : S → R Ta có: f s ∈ F Xét f :S → F s a fs Ta chứng minh (F, f) R-mơđun tự S Thật vậy: Với ánh xạ g : S → X , X R-mơđun φ = ∑ φ ( s) f s Lấy φ ∈ F , ta có: s∈S h(φ ) = ∑ φ ( s ) g ( s ) Xét s∈S Ta chứng minh h ñồng cấu Thật vậy: h(φ + ψ ) = ∑ (φ + ψ )( s ) g ( s ) = ∑ (φ ( s ) g ( s ) + ψ ( s ) g ( s ) ) = h(φ ) + h(ψ ) s∈S s∈S h(rφ ) = ∑ (rφ )(s )g (s ) = ∑ rφ ( s ) g ( s ) = r ∑ φ ( s ) g ( s ) = rh(φ ) s∈S s∈S s∈S Ta chứng minh hf = g Thật vậy: ∀s ∈ S , hf ( s ) = h( f ( s )) = h( f s ) = g ( s ) Vậy hf = g Ta chứng minh h Giả sử có đồng cấu h': F → X thoả h' f = g Khi đó: ∀φ ∈ F , φ = ∑ φ ( s ) f s s∈S Ta có: • h' (φ ) = h' ∑ φ ( s ) f s = ∑ φ ( s )h' f ( s ) = ∑ φ ( s ) g ( s ) = h(φ ) s∈S s∈S s∈S Vậy h = h' hay h Vậy với tập S có R-mơđun tự S ðịnh lí 4: F R-mơđun tự với sở S F = ⊕ As , As ≅ R, ∀s ∈ S s∈S Chứng minh: xét ánh xạ: Rõ ràng toàn cấu Hơn nữa: ( S sở F ) Suy ñơn cấu Vậ y ñẳng cấu ðặt Vì S sở F nên Rs hệ sinh Do đó: F = ∑ Rs = ∑ As s∈S Nguyễn Thị Thuỳ Dâng s∈S Giải hai tập liên quan ñến cấu trúc mơđun tự x ∈ Rt I Với t ∈ S , xét: ðại số ∑ Rs s∈S , s ≠ t Lúc có s1 , , s n ∈ S , s i ≠ t , ∀i = 1, , n r , r1 , , rn ∈ R cho: n n i =1 i =1 x = rt = ∑ ri s i ⇒ − rt + ∑ ri s i = Suy r = r1 = = rn = (vì t , s1 , , s n ∈ S S sở F) Do đó: x = Rt I Vậ y At I Hay ∑ Rs = s∈S , s ≠ t ∑A s∈S , s ≠ t s =0 Vậ y F = ⊕ As , As ≅ R, ∀s ∈ S Ngược lại, ta có: As = ϕ s ( R ) = ϕ s ( R.1) = Rϕ s (1) Suy ra: F = ⊕ As = ⊕ Rϕ s (1) s∈S s∈S s∈S Do đó: {ϕ s (1)}s∈S hệ sinh F độc lập tuyến tính hay S sở F • ðịnh lí 5: Một tập S R-mơđun X ≠ sở X ánh xạ bao hàm d : S → X ñược mở rộng thành ñẳng cấu h : F → X , với F mơđun tự sinh S Chứng minh: Giả sử F mơđun tự sinh S Khi ∃h : F → X đồng cấu thoả hf = d (⇒ ) Giả sử S sở X Chứng minh h ñẳng cấu Vì h(F ) = h( f ( S ) ) = hf ( S ) = d ( S ) = S = X nên h toàn cấu Lấy φ ∈ F cho h(φ ) = Lúc đó: φ = ∑ φ ( s ) f s s∈S với fs : S → R = h(φ ) = h ∑ φ ( s ) f s = ∑ φ ( s )hf ( s ) = ∑ φ ( s )d ( s ) = ∑ φ ( s ) s∈S s∈S s∈S s∈S Suy φ ( s ) = 0, ∀s ∈ S hay φ = ñơn cấu Vậy h ñẳng cấu (⇐) Giả sử h ñẳng cấu Chứng minh S sở X Chứng minh S độc lập tuyến tính n Xét ∑r s i =1 Ta có: i i = 0, ri ∈ R, si ∈ S n n n n = ∑ ri s i = ∑ ri d ( s i ) = ∑ ri hf ( s i ) = h ∑ ri f si i =1 i =1 i =1 i =1 n Hơn h ñẳng cấu nên: ∑r f i =1 i si =0 Suy ri = 0, ∀i = 1, , n Vậy S độc lập tuyến tính Nguyễn Thị Thuỳ Dâng Giải hai tập liên quan ñến cấu trúc mơđun tự Chứng minh S hệ sinh X ∀x ∈ X , ∃φ ∈ F : h(φ ) = x ( h ñẳng cấu ), với ðại số φ = ∑ φ ( s) f s s∈S Ta có: x = h(φ ) = h ∑ φ ( s ) f s = ∑ φ ( s )hf ( s ) = ∑ φ ( s )d ( s ) = ∑ φ ( s ) s∈S s∈S s∈S s∈S Vì φ ( s ) = hầu khắp nên ∃s1 , s , , s n ∈ S cho: n Suy ra: x = ∑ φ ( s i ) s i , φ ( si ) ∈ R, si ∈ S i =1 • • Do đó: S hệ sinh X Vậy S sở X Hệ 1: Mơđun M mơđun tự M có sở ðịnh lí 6: Mọi K-khơng gian vectơ V K-mơđun tự Chứng minh: Giả sử V K-khơng gian vectơ Khi đó: Nếu V = V K-mơđun tự sinh Nếu V ≠ gọi M tập tất phận độc lập tuyến tính V Rõ ràng M ≠ φ M thứ tự theo quan hệ bao hàm Lấy N tập thứ tự tuyến tính M ðặt W = UWi Wi ∈N Lấy w1 , , wn ∈ W Suy wi ∈ Wi đó, tồn W j cho w1 , , wn ∈ W j Do w1 , , wn độc lập tuyến tính Vậy W độc lập tuyến tính W chặn N M Suy M có phần tử cực ñại ( theo bổ ñề Zorn) Gọi C phần tử cực đại M Vì C ∈ M nên C độc lập tuyến tính ∀x ∈ V + Nếu x = x ∈ C + Nếu x ≠ C U {x} phụ thuộc tuyến tính ( C cực đại ) Suy ∃r0 , r1 , , rn ∈ R không tất cho: r0 x + r1 x1 + + rn x n = 0, x1 , , x n ∈ C Do đó: r0 ≠ (vì r0 = mâu thuẫn với x1 , , x n độc lập tuyến tính) −1 • Suy x = r0 (r1 x1 + + rn x n ) ∈ C Do đó: C hệ sinh V Vậy C sở V nên V mơđun tự ðịnh lí 7: Giả sử M R-mơđun trái H mơđun M i) Quy tắc R × (M / H ) → M / H (r , x + H ) a rx + H ánh xạ nên phép nhân vơ hướng vành R nhóm aben M/H ii) Nhóm aben với phép nhân vô hướng i) R-mơđun trái Nguyễn Thị Thuỳ Dâng 10 Giải hai tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự ðại số Chứng minh: i) Thật vậy: Nếu x + H = x'+ H x − x'∈ H Do với r ∈ R H mơđun nên ta có: r ( x − x') ∈ H ⇒ rx − rx'∈ H Vậy rx + H = rx'+ H ii) Ta kiểm chứng việc thoả mãn tiên đề R-mơđun trái: Với x + H , y + H ∈ M / H r , s ∈ R ta có: r [( x + H ) + ( y + H )] = r ( x + y + H ) • • = r ( x + y ) + H = rx + ry + H = (rx + H ) + (ry + H ) = r ( x + H ) + r ( y + H ) (r + s )(x + H ) = (r + s )x + H = rx + sx + H = (rx + H ) + (sx + H ) = r (x + H ) + s(x + H ) (rs )(x + H ) = (rs )x + H = r (sx ) + H = r ((sx + H ) = r[s(x + H )] 1( x + H ) = 1x + H = x + H Mệnh ñề 1: Tổng trực tiếp mơđun tự mơđun tự Mệnh đề 2: Mọi R-mơđun ảnh tồn cấu R-mơđun tự Chứng minh: Giả sử M R-mơđun Khi ñó lấy tập S M cho M = S Gọi (F, f) R-mơđun tự S, với f : S → F Lúc ñó F = f (S ) với ánh xạ bao hàm d : S → M , ∃h : F → M ñồng cấu cho hf = d • Ta có: h( F ) = h( f ( S ) ) = hf ( S ) = d ( S ) = S = M Suy ra: h tồn cấu Hệ quả: Mọi R-mơđun M đẳng cấu với mơđun thương R-mơđun tự Nguyễn Thị Thuỳ Dâng 11 Giải hai tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự ðại số BÀI TẬP ÁP DỤNG: 2.1 ðỀ BÀI: • Bài tập 1: Cho R vành I idean R thoả mãn I R - mơđun tự với sở b j j ∈ A Chứng minh M R - mơđun tự với sở {x • { i } { } i ∈ B} IM R - mơđun tự với sở b j xi j ∈ A, i ∈ B Bài tập 2: Cho R vành I ⊂ J idean R thoả mãn, I , J R mơđun tự Chứng minh rằng: a) ∀i ∈ N , I i J / I i +1 J I i / I i +1 R / I - mơđun tự b) Tồn dãy khớp R / I - mơđun: → I / I → IJ / I J → J / J → J / IJ → R / I → R / J → Ở tất mơđun, ngoại trừ R / J , tự R / I 2.2 BÀI GIẢI: • Bài tập 1: Vì M R-mơđun tự với sở {xi i ∈ B} nên M = ⊗ Rxi i Mà I idean ( phải ) nên IM = ⊕ I R { i } i = ⊕ Ixi i Vì I R-mơđun tự với sở b j j ∈ A nên I = ⊕ Rb j i Ta có: IM = ⊕ ⊕ Rb j xi = ⊕ Rb j xi i j ij Nếu r (b j xi ) = 0, ∀r ∈ R rb j = ( Rxi tự xi ) r = ( Rb j tự b j ) Do đó, Rb j xi tự b j xi IM R-mơđun tự với sở {b x j • i j ∈ A, i ∈ B } Bài tập 2: Áp dụng tập 1, ta thay M=J Khi đó: IJ R-mơđun tự Bằng phương pháp qui nạp i, theo I i J R-mơđun tự do, I i J / I i +1 J R / I -mơđun tự Trong trường hợp ñặc biệt, J = R , ñiều kéo theo I i / I i +1 R / I mơđun tự Vì I ⊆ J ( I idean ), ta có dãy idean: R ⊇ J ⊇ I ⊇ IJ ⊇ I ⊇ I J ⊇ I ⊇ Từ ñiều này, tồn dãy khớp (*) → I / I → IJ / I J → J / J → J / IJ → R / I → R / J → Ở tất mơđun, ngoại trừ R / J , tự R / I Nguyễn Thị Thuỳ Dâng 12 Giải hai tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự ðại số TÀI LIỆU THAM KHẢO N.T.Lanh, ðại số ( Giáo trình sau đại học ), NXBGD, 1985 S.Lang, ðại số ( T.V.Hạo, H.Kỳ dịch ), NXBðHTHCN, 1978 F.W Anderson, K.R.Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer – Verlag, 1974 C.Faith, Algebra I: Rings, Modules and Categories, Springer – Verlag, 1981 T.Y.Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer – Verlag, 1999 T.Y.Lam, Exercises in Modules and Rings, Springer, 2007 Nguyễn Thị Thuỳ Dâng 13 ... trúc mơđun tự ðại số LỜI MỞ ðẦU Cơ sở ñại số đại mơn học quan trọng phát triển tốn học đại, sở tiền ñề cho phát triển ñại số đại Mơn học giúp học viên tìm hiểu nghiên cứu cấu trúc đại số, vành... do, sở mơđun tự do, số định lí, mệnh đề liên quan đến mơđun tự • Phần 2( Phần tập ): Trình bày cách giải hai tập liên quan ñến môñun tự Do kiến thức thân thời gian hạn chế nên nội dung tiểu luận. .. mơđun tự do, tiểu lụân trình bày cách giải hai tập liên quan đến mơđun tự Nội dung tiểu luận gồm phần: • Phần 1( Phần lý thuyết ): Trình bày kiến thức lý thuyết mơđun tự bao gồm định nghĩa mơđun tự