ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– ——————— TIỂU LUẬN VÀNH VỚI ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN Đề tài VỀ MÔĐUN XOẮN VÀ MÔĐUN XOẮN TỰ DO Giảng viên hướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết Học viên thực hiện Trần Quang Thạnh HUẾ, 3 2013 MỤC LỤC Mở đầu ii Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 1 1 1 Môđun và vành Noether 1 1 2 Môđun nội xạ 1 Chương 2 Môđun xoắn và môđun xoắn tự do 3 2 1 Môđun X xoắn và môđun X xoắn tự do 3 2 2 Tập Ore phải và môđun con X xoắn 4 Chương 3 Một số bài tập về miền Ore phải, môđun xoắn và mô.
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– * ——————— TIỂU LUẬN VÀNH VỚI ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN Đề tài: VỀ MÔĐUN XOẮN VÀ MÔĐUN XOẮN TỰ DO Giảng viên hướng dẫn : GS.TS Lê Văn Thuyết Học viên thực : Trần Quang Thạnh HUẾ, 3-2013 MỤC LỤC Mở đầu ii Chương Một số kiến thức 1.1 Môđun vành Noether 1.2 Môđun nội xạ Chương Môđun xoắn môđun xoắn tự 2.1 Môđun X-xoắn môđun X-xoắn tự 2.2 Tập Ore phải môđun X-xoắn Chương Một số tập miền Ore phải, môđun xoắn môđun xoắn tự 10 Kết luận 12 Tài liệu tham khảo 13 i MỞ ĐẦU Trong lý thuyết môđun, phần tử a môđun A vành R gọi phần tử xoắn môđun có phần tử quy r vành R (một phần tử khác không vành mà không ước không) triệt tiêu a, tức ar = Trong miền ngun (vành giao hốn khơng có ước khơng), phần tử khác khơng phần tử quy, đó, phần tử xoắn môđun miền nguyên bị triệt tiêu phần tử khác khơng miền ngun Từ khái niệm phần tử xoắn môđun, môđun A vành R gọi môđun xoắn tất phần tử phần tử xoắn môđun gọi xoắn tự phần-tử-không phần tử xoắn Nếu R vành giao hốn tập tất phần tử xoắn tạo thành môđun A, gọi mơđun xoắn A, kí hiệu t(A) Nếu R khơng giao hốn, t(A) chưa môđun Một cách tổng quát hơn, xét A mơđun vành R có đơn vị 1R , X tập chứa 1R đóng phép nhân R Một phần tử a A gọi phần tử X-xoắn tồn phần tử x ∈ X cho x triệt tiêu a, tức ax = Điều quan tâm tập tX (A) gồm phần tử X-xoắn A có phải mơđun A hay khơng? Ví dụ cho thấy tX (A) khơng mơđun A Để tX (A) trở thành môđun A, vào thập niên 30 kỉ XX, hai nhà toán học Ore Asano đưa điều kiện tập nhân X, sau gọi điều kiện Ore Với mục đích tìm hiểu điều kiện Ore, môđun X-xoắn, môđun X-xoắn tự tính chất ứng dụng chúng, người viết xin trình bày tiểu luận thành ba chương: Chương Một số kiến thức Chương trình bày số kiến thức môđun vành Noether nhằm phục vụ cho chứng minh chương sau Trong chương này, xin phép khơng trình bày chứng minh lại số kiến thức môđun học giáo trình Đại học Cao học ii Chương Môđun xoắn môđun xoắn tự Chương trình bày định nghĩa điều kiện Ore, tập Ore, môđun X-xoắn môđun X-xoắn tự tính chất vài ứng dụng chúng Chương Một số tập miền Ore phải, mơđun xoắn mơđun xoắn tự Chương trình bày số tập miền Ore phải, môđun xoắn môđun xoắn tự mối liên hệ chúng với mơđun nội xạ Để hồn thành tiểu luận này, xin chân thành cám ơn thầy giáo, GS.TS Lê Văn Thuyết giảng dạy tạo điều kiện Mặc dù có nhiều cố gắng, song q trình nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi sai sót, mong q thầy giáo bày thêm để tiểu luận hoàn thiện Huế, Ngày 14 tháng năm 2013 Học viên thực Trần Quang Thạnh iii CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Môđun vành Noether Định nghĩa 1.1 Cho R vành M R-môđun phải 1) Môđun M gọi thỏa điều kiện dãy tăng (ACC) với dãy vô hạn môđun M M1 ⊆ M2 ⊆ M3 ⊆ tồn n ∈ N cho Mn = Mn+i , i = 1, 2, 2) Môđun M môđun Noether họ khác rỗng môđun M có phần tử cực đại 3) Một vành R gọi vành Noether phải RR Noether phải Định lý 1.1.1 Cho R vành M R-môđun phải Các điều sau tương đương: 1) M R-môđun Noether phải; 2) M thỏa mãn điều kiện dãy tăng (ACC); 3) Tất môđun M hữu hạn sinh Chứng minh Xem [[1], Proposition 1.1, p 1] 1.2 Môđun nội xạ Định nghĩa 1.2 Một môđun AR gọi nội xạ phải với R-đơn cấu α : N → M , với R-đồng cấu β : N → A tồn R-đồng cấu γ : M → A cho β = γ ◦ α Tức là, ta có biểu đồ sau giao hốn: /N β } A α / γ M Mệnh đề 1.2.1 (Tiêu chuẩn Baer) Một R-môđun phải A nội xạ với iđêan phải I R với f ∈ HomR (I, A), tồn a ∈ A cho f (r) = ar, với r ∈ I Chứng minh Xem [[1], Proposition 5.1, p 87] CHƯƠNG MÔĐUN XOẮN VÀ MƠĐUN XOẮN TỰ DO 2.1 Mơđun X-xoắn mơđun X-xoắn tự Định nghĩa 2.1 Cho R vành có đơn vị = 1) Một tập nhân vành R tập X ⊆ R sa cho ∈ X X đóng phép nhân R 2) Cho A R-môđun X tập nhân vành R Phần tử a ∈ A gọi phần tử X-xoắn tồn phần tử x ∈ X cho ax = Môđun A gọi X-xoắn phần tử A phần tử X-xoắn, môđun A gọi X-xoắn tự phần tử X-xoắn A Ví dụ Xét R = Z, X = Z\{0} xem Z Z-mơđun Lúc đó, ZZ mơđun X-xoắn tự Nhận xét Cho R vành, X ⊂ R tập nhân Rõ ràng, R-môđun X-xoắn R-môđun xoắn; R-môđun xoắn tự R-môđun X-xoắn tự Điều ngược lại nói chung khơng Bây giờ, với X ⊂ R tập nhân, A R-môđun phải, đặt tX (A) = {a ∈ A|ax = 0, x ∈ X} tập tất phần tử X-xoắn A Điều quan tâm tX (A) có phải R-mơđun A hay không? Rất tiếc, điều lúc đúng, chẳng hạn, xét ví dụ sau: k k x y X = ∈ R|z = Ví dụ Cho k trường Xét R = k z Chứng tỏ tập tX (RR ) iđêan R Chứng minh Để chứng minh tX (RR ) iđêan R, ta cần phản ví dụ Trước hết, ta nhận thấy rằng, 0 0 = 0 0 nên ∈ tX (RR ) Nhưng, với 0 1 0 1 ∈ R, a = ∈ tX (RR ), ta có = ∈ r= / tX (RR ), 0 0 0 x y z = , ∀z = 0 0 z 0 Vậy, tX (RR ) iđêan R 2.2 Tập Ore phải môđun X-xoắn Để tX (A) trở thành môđun R-môđun phải A, vào thập niên 30 kỉ XX, Ore Asano đưa điều kiện sau tập nhân X Định nghĩa 2.2 Cho X tập nhân vành R Tập X gọi thỏa điều kiện Ore phải với x ∈ X, r ∈ R, tồn y ∈ X, s ∈ R cho ry = xs, nghĩa rX ∩ xR = Một tập nhân thỏa điều kiện Ore phải gọi (tắt) tập Ore phải Điều kiện Ore trái tập Ore trái định nghĩa tương tự Một tập Ore tập nhân thỏa điều kiện Ore phải Ore trái Định nghĩa 2.3 Cho R miền S = R\{0} Nếu S tập Ore phải (t.ứ trái) R gọi miền Ore phải (t.ứ trái) Ví dụ Trong vành giao hốn, tập nhân tập Ore Ví dụ Cho R miền Noether phải Lúc S = R\{0} tập Ore phải Chứng minh Trước hết, ta nhận thấy rằng, R miền tập S = R\{0} tập Ore phải r1 R ∩ r2 R = (0), với r1 , r2 phần tử khác không R Do đó, để chứng minh S tập Ore phải, ta cần chứng minh r1 R ∩ r2 R = (0), với r1 , r2 phần tử khác không R Để chứng minh điều này, ta giả sử r1 R ∩ r2 R = (0) Ta chứng tỏ tổng ∞ n n=0 r2 r1 R tổng trực tiếp R vành Noether phải, R chứa dây chuyền tăng iđêan phải không dừng r1 R ⊂ r1 R ⊕ r2 r1 R ⊂ r1 R ⊕ r2 r1 R ⊕ r22 r1 R ⊂ Để chứng minh tổng trực tiếp, ta giả sử tổng không trực tiếp chọn n số nguyên dương nhỏ cho tồn phần tử khác không aj ∈ R, j = 0, , n mà n n j=0 r2 r1 aj = Rõ ràng n ≥ Như vậy, n−1 r2j r1 aj+1 ∈ r1 R ∩ r2 R = (0) −r1 a0 = r2 j=0 Mặt khác, r1 , r2 khác không R miền nên suy a0 = n−1 j j=0 r2 r1 aj+1 = 0, điều mâu thuẫn với cách chọn n Với điều kiện Ore phải định nghĩa trên, chứng minh với R-môđun phải A, tập tX (A) môđun A gọi mơđun X-xoắn A Để đến định nghĩa này, ta có bổ đề sau đây: Bổ đề 2.2.1 Cho X tập Ore phải vành R 1) Với phần tử x1 , , xn ∈ X, tồn phần tử s1 , , sn ∈ R cho x1 s1 = = xn sn x1 s1 ∈ X; nghĩa là, x1 R ∩ ∩ xn R ∩ X = ∅ 2) Với R-môđun phải A, tập tX (A) = {a ∈ A|ax = 0, x ∈ X} môđun A Chứng minh 1) Ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh kết luận Thật vậy, X tập Ore phải nên kết luận n = Bây giờ, ta giả sử kết luận đến n, ta chứng minh kết luận với n + Nghĩa ta có x1 R ∩ ∩ xn R ∩ X = ∅ cần chứng minh x1 R ∩ ∩ xn R ∩ xn+1 R ∩ X = ∅ Đặt Y = x1 R ∩ ∩ xn R ∩ X ⊂ X ⊂ R Lúc đó, với y ∈ Y với xn+1 trên, tồn z ∈ X sn+1 ∈ R cho yz = xn+1 sn+1 đồng thời yz ∈ Y , Y ∩ xn+1 R = ∅ Vậy, x1 R ∩ ∩ xn R ∩ xn+1 R ∩ X = ∅ 2) Với a ∈ tX (A), với r ∈ R, ta chứng minh ar ∈ tX (A) Thật vậy, a ∈ tX (A) nên tồn x ∈ X cho ax = Mà với r ∈ R, theo điều kiện Ore phải, tồn z ∈ X, s ∈ R cho rz = xs Do arz = axs = hay ar ∈ tX (A) Tiếp theo, ta chứng minh với a1 , a2 ∈ tX (A), ta a1 ± a2 ∈ tX (A) Thật vậy, với a1 , a2 ∈ tX (A), tồn x1 , x2 ∈ X cho a1 x1 = a2 x2 = Từ 1), tồn y ∈ x1 R ∩ x2 R ∩ X (a1 ± a2 )y = Suy a1 ± a2 ∈ tX (A) Định nghĩa 2.4 Cho X tập Ore phải vành R A R-mơđun phải Lúc đó, tập tX (A) Bổ đề 2.2.1.(2) gọi môđun X-xoắn A Môđun Y -xoắn R-môđun trái, với Y tập Ore trái vành R, định nghĩa tương tự Nhận xét Với R vành bất kì, X ⊂ R tập Ore phải Ta có kết sau: 1) Tập tX (RR ) iđêan R 2) Nếu A, B R-môđun phải f : A → B đồng cấu R-môđun f (tX (A)) ≤ tX (B) Sau số tính chất quan trọng mơđun môđun thương môđun X-xoắn X-xoắn tự Mệnh đề 2.2.2 Cho X tập Ore phải vành R 1) Nếu A R-mơđun phải tX (A) X-xoắn A/tX (A) X-xoắn tự 2) Tất môđun con, môđun thương tổng (trực tiếp không) R-môđun phải X-xoắn X-xoắn 3) Cho R-môđun phải A Nếu B ≤ A cho B A/B X-xoắn A X-xoắn 4) Tất mơđun tích trực tiếp R-môđun phải X-xoắn tự xoắn tự 5) Cho R-môđun phải A, B ≤ A, B X-xoắn Nếu B có giao khác khơng với tất mơđun khác khơng A A X-xoắn tự 6) Cho R-môđun phải A Nếu B ≤ A cho B A/B X-xoắn tự A X-xoắn tự Chứng minh Trước hết, lưu ý rằng, điều kiện X tập Ore phải cần thiết cho phần chứng minh khẳng định 1), phần sau khẳng định 2) khẳng định 5) Các khẳng định cịn lại cần sử dụng tính chất đóng X 1) Khẳng định suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.4 2) Trước hết, giả sử B ≤ A với A R-mơđun phải X-xoắn Lúc đó, với b ∈ B ≤ A, A X-xoắn nên tồn x ∈ X cho ax = B X-xoắn Tiếp theo, xét môđun thương A/B; với b + B ∈ A/B, A X-xoắn nên tồn x ∈ X cho ax = Do (b + B)x = B = 0A/B hay A/B X-xoắn Bây giờ, giả sử (Ai )i∈I họ môđun X-xoắn R-mơđun phải A, lúc đó, với điều kiện X tập Ore phải, tX (A) = {a ∈ A|ax = 0, x ∈ X} trở thành môđun X-xoắn AR nên Ai ≤ tX (A), ∀i ∈ I, suy i Ai ≤ tX (A), i Ai X-xoắn 3) Với a ∈ A, A/B X-xoắn nên tồn y ∈ X cho (a + B)y = ay + B = 0A/B = B, suy ay ∈ B Mà B X-xoắn nên tồn z ∈ X cho ayz = Vì X tập nhân đóng nên x = yz ∈ X, nghĩa tồn x ∈ X cho ax = 0, với a ∈ A Vậy, A X-xoắn 4) Giả sử A X-xoắn tự B ≤ A Nếu tồn phần tử X-xoắn b ∈ B b phần tử X-xoắn A Mà A X-xoắn tự nên b = Do B X-xoắn tự Tiếp theo, ta chứng minh tích trực tiếp họ môđun X-xoắn tự X-xoắn tự Thật vậy, xét (Ai )i∈I họ môđun X-xoắn tự Lấy (ai )∈ i∈I Ai giả sử (ai )i X-xoắn Lúc tồn x ∈ X cho (ai )i x = (0), i ∈ I, suy x = 0, ∀i ∈ I Vì Ai , i ∈ I, X-xoắn tự nên = 0, ∀i ∈ I Do (ai )i = (0) hay i Ai X-xoắn tự 5) Với điều kiện X tập Ore phải, ta có tX (A) môđun X-xoắn Rmôđun phải A B ∩ tX (A) = tX (B) Vì B X-xoắn tự nên tX (B) = Mà theo giả thiết, B có giao khác khơng với mơđun khác không A nên tX (A) = Vậy, A X-xoắn tự 6) Giả sử a phần tử X-xoắn A Lúc tồn x ∈ X cho ax = Lúc (a + B)x = ax + B = B, suy a + B phần tử X-xoắn A/B Mà A/B X-xoắn tự nên a + B = B hay a ∈ B, tức a phần tử X-xoắn B Mặt khác, B X-xoắn tự nên a = Vậy, A X-xoắn tự Nhận xét Từ Mệnh đề 2.2.2.(5) ta suy mở rộng cốt yếu R-môđun phải X-xoắn tự X-xoắn tự Trong phần cuối chương này, chứng minh mệnh đề áp dụng tính chất mơđun X-xoắn X-xoắn tự Mệnh đề 2.2.3 Cho X tập nhân vành R A R-môđun phải X-xoắn tự do, Noether Nếu f ∈ EndR (A) A/f (A) X-xoắn Ker(f ) = Chứng minh Trước hết, ta thấy ker(f ) ≤ ker(f ) ≤ A Noether nên tồn số tự nhiên n cho ker(f n ) = ker(f n+1 ) Với i ∈ N, tự đồng cấu f : A → A cảm sinh toàn cấu gi : A/f (A) → f i (A)/f i+1 (A) f i (A)/f i+1 (A) X-xoắn Thật vậy, với i ∈ N, với y ∈ f i (A)/f i+1 (A), tồn x ∈ A/f (A) cho y = gi (x) Vì A/f (A) X-xoắn nên tồn r ∈ X cho xr = 0, yr = gi (x)r = gi (xr) = gi (0) = hay f i (A)/f i+1 (A) X-xoắn Tiếp theo, ta chứng minh với n trên, A/f n (A) X-xoắn Thật vậy, với y ∈ A/f n (A), ta có y = a + f n (A), a ∈ A Với phần tử a ∈ A đó, ta có a + f (A) ∈ A/f (A), suy tồn x1 ∈ X cho (a + f (A))x1 = 0A/f (A) hay ax1 ∈ f (A) Lúc ax1 + f (A) ∈ f (A)/f (A) nên tồn x2 ∈ X cho ax1 x2 ∈ f (A) Tiếp tục trình này, ta có x1 , x2 , x3 , , xn ∈ X cho ax1 x2 xn ∈ f n (A) Đặt x = x1 x2 xn ∈ X (do X tập nhân), ta có yx = (a + f n (A))x = ax + f n (A) = 0A/f n (A) Như phần tử A/f n (A) phần tử X-xoắn hay A/f n (A) X-xoắn Bây giờ, ta chứng minh ker(f ) = Thật vậy, với a ∈ ker(f ), ta có f (a) = A/f n (A) X-xoắn nên tồn x ∈ X cho (a + f n (A))x = 0A/f n (A) , tức ax ∈ f n (A), tồn b ∈ A cho ax = f n (b) Ta có f (ax) = f (a)x = nên f (f n (b)) = 0, suy b ∈ ker(f n+1 ) = ker(f n ) hay f n (b) = 0, nghĩa ax = Mặt khác, A X-xoắn tự nên phần tử X-xoắn A, a = Hệ 2.2.4 Cho X tập Ore phải vành Noether phải R Nếu l.annR (x) = với x ∈ X tất phần tử X khơng có ước khơng R Chứng minh Vì l.annR (x) = 0, ∀x ∈ X nên r = phần tử xoắn RR hay RR X-xoắn tự Bây giờ, với x ∈ X cố định, đặt f : RR → RR cho f (r) = xr Với a ∈ R/f (R), ta có a = b + f (R), b ∈ R Vì X tập Ore phải nên với x ∈ X b ∈ R, tồn y ∈ X, c ∈ R cho by = xc Suy ay = by + f (R) = xc + f (R) = f (c) + f (R) = 0R/f (R) (vì xc = f (c) ∈ f (R)), R/f (R) X-xoắn Áp dụng Mệnh đề 2.2.3 ta suy ker(f ) = 0, nghĩa r.annR (x) = Kết hợp giả thiết l.annR (x) = ta x khơng có ước khơng R Hệ 2.2.5 Cho R vành Noether phải Ta có mệnh đề sau: 1) Mọi tự toàn cấu R-môđun phải hữu hạn sinh tự đẳng cấu 2) Nếu x, y ∈ R xy = yx = Chứng minh 1) Vì AR hữu hạn sinh f : AR → AR toàn cấu nên A/f (A) = Lấy X = {1} A X-xoắn tự Noether Áp dụng Mệnh đề 2.2.3 ta ker(f ) = 0; f tự đẳng cấu R-môđun 2) Với x ∈ R, đặt f : RR → RR cho f (y) = xy, tự tồn cấu Rmơđun hữu hạn sinh Áp dụng phần trên, suy f tự đẳng cấu yx = xy = CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MIỀN ORE PHẢI, MÔĐUN XOẮN VÀ MÔĐUN XOẮN TỰ DO Trong chương này, người viết xin trình bày số tốn miền Ore phải, mơđun xoắn mơđun xoắn tự Bài toán Cho R miền Ore phải Chứng minh R-môđun phải xoắn tự M chia R-môđun nội xạ Chứng minh (⇐) Giả sử MR nội xạ Lúc đó, R-đồng cấu mơđun f : aR → M mở rộng thành R-đồng cấu môđun từ RR → MR , tức f phép nhân trái phần tử n thuộc MR , đó, với m ∈ M , ta có m = f (a) = na; hay M R-môđun chia (⇒) Để chứng minh R-môđun M nội xạ, ta áp dụng tiêu chuẩn Baer Giả sử I iđêan phải khác không R f ∈ HomR (I, M ) Với = a ∈ I, tồn phần tử ma ∈ M cho f (a) = ma a Ta chứng tỏ tất phần tử ma , a ∈ I\{0}, Thật vây, với a, b ∈ I\{0}, R miền Ore phải nên ta có ar = bs, với r, s phần tử khác khơng thuộc R Lúc f (ar) = f (bs) ⇒ f (a)r = f (b)s ⇒ ma ar = mb bs ⇒ (ma − mb )ar = ⇒ ma = mb MR xoắn tự Từ đó, với a ∈ I, ta có f (a) = ma, nghĩa f mở rộng thành R-đồng cấu môđun từ RR vào MR → m Nhận xét Trong chứng minh trên, điều kiện R miền Ore phải sử dụng cho phần (⇒) Vì vậy, với R miền, ta có kết MR nội xạ phải MR chia Bài toán Chứng minh miền R Ore phải tồn R-môđun nội xạ phải xoắn tự 10 Chứng minh Trước hết, giả sử R miền Ore phải Lúc vành thương phải chia K R xoắn tự chia R-mơđun phải Áp dụng Bài tốn 1, ta KR nội xạ Ngược lại, giả sử M = R-môđun nội xạ phải xoắn tự Cố định phần tử khác không m ∈ M giả sử R miền Ore phải, lúc tồn phần tử phân biệt khác không a, b ∈ R cho aR ∩ bR = Gọi f R-đồng cấu từ aR ⊕ bR → M biến a, b thành m Do MR nội xạ nên f mở rộng thành g : RR → MR Đặt m = g(1) ∈ M , ta có m = g(a) = g(1.a) = g(1)a = m a, tương tự, m = m b Từ hai đẳng thức ta có m = m (a − b) = 0; mà M R-môđun xoắn tự nên a = b, mâu thuẫn Vậy, R miền Ore phải Bài toán Cho R ⊆ L miền Hãy chứng tỏ L nội xạ R-mơđun phải R Ore phải L chứa vành thương phải chia K R Chứng minh Giả sử LR nội xạ phải Lúc đó, từ Nhận xét 4, ta có LR xoắn tự do, nên theo Bài toán 2, R Ore phải Nếu chứng tỏ với phần tử khác khơng a ∈ R có phần tử nghịch L, lúc R ⊆ K ⊆ L Thật vậy, đồng cấu R-môđun f : aR → L xác định f (a) = mở rộng thành g : R → L, LR nội xạ phải Ta có = f (a) = g(1)a, điều chứng tỏ a−1 tồn L 11 KẾT LUẬN Tiểu luận gồm ba phần: mở đầu, nội dung kết luận Phần nội dung chia làm ba chương Trong đó, chương nêu lên số kiến thức môđun Noether làm tảng sở cho chứng minh chương cịn lại Chương tiểu luận trình bày môđun X-xoắn môđun X-xoắn tự Nội dung chương X tập Ore phải vành R A R-mơđun phải tX (A) mơđun A, gọi môđun X-xoắn A; đồng thời chương nêu lên số tính chất ứng dụng tập Ore phải môđun X-xoắn Chương tiểu luận trình bày số kết mối liên hệ miền Ore, môđun xoắn tự môđun nội xạ Mặc dù có nhiều cố gắng q trình nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý quý thầy bạn để tiểu luận hồn thiện Một lần xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn bạn học viên 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K R Goodearl, R B Warfield (2004), An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, Cambridge University Press [2] T Y Lam (2007), Exercises in Modules and Rings, Springer Publishers 13 ... Môđun xoắn môđun xoắn tự Chương trình bày định nghĩa điều kiện Ore, tập Ore, môđun X -xoắn môđun X -xoắn tự tính chất vài ứng dụng chúng Chương Một số tập miền Ore phải, môđun xoắn môđun xoắn tự Chương... tập Ore phải vành R A R-mơđun phải Lúc đó, tập tX (A) Bổ đề 2.2.1.(2) gọi môđun X -xoắn A Môđun Y -xoắn R -môđun trái, với Y tập Ore trái vành R, định nghĩa tương tự Nhận xét Với R vành bất kì,... phải X -xoắn tự xoắn tự 5) Cho R -môđun phải A, B ≤ A, B X -xoắn Nếu B có giao khác không với tất môđun khác không A A X -xoắn tự 6) Cho R -môđun phải A Nếu B ≤ A cho B A/B X -xoắn tự A X -xoắn tự Chứng