TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI Đề tài: MÔĐUN TỰ DO

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI Đề tài MÔĐUN TỰ DO Giáo viên hướng dẫn Học viên NGUYỄN THỊ PHƯƠNG CHI TS PHAN VĂN THIỆN Lớp TOÁN K20 ( 2011 2013) Chuyên ngành LL và PP dạy học Toán LỜI NÓI ĐẦU Trong sự phát triển của toán học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn học quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại Trong đó môđun đúng vai trò nền tảng của môn học Trong tiểu luận này tôi xin trình bày về một.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI Đề tài: MÔĐUN Giáo viên hướng dẫn: TS PHAN VĂN THIỆN TỰ DO Học viên: NGUYỄN THỊ PHƯƠNG CHI Lớp: TOÁN K20 ( 2011-2013) Chuyên ngành: LL PP dạy học Toán LỜI NĨI ĐẦU Trong phát triển tốn học đại, sở đại số đại môn học quan trọng, sở tiền đề cho phát triển đại số đại Trong mơđun vai trị tảng mơn học Trong tiểu luận tơi xin trình bày số lý thuyết dùng để chứng minh điều kiện để có mơđun khả nghịch toán ứng dụng Trong tiểu luận có hai chương, là: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Bài tập Chương I: PHẦN LÝ THUYẾT 1.1 Môđun: 1.1.1 Định nghĩa Môđun: Cho R vành,  M , nhóm aben M gọi R  môđun trái có ánh xạ (được gọi phép nhân vơ hướng) R M  M (r , s )  rs Thỏa mãn tính chất sau: (M1) r ( x  y ) rx  ry (M2) (r  s ) x rx  sx (M3) (rs ) x r ( sx) (M4) 1.x  x r , s  R, x, y  M Một R  môđun trái M ký hiệu R M , cịn gọi mơđun trái R Tương tự cho S vành Một S  môđun phải nhóm cộng aben M với ánh xạ: M S  M ( x, s )  xs Thỏa mãn tính chất sau: (M1) ( x  y ) s  xs  ys (M2) s ( x  y )  sx  sy (M3) x(rs ) ( xr ) s (M4) x.1  x r , s  S , x, y  M Một S  môđun phải M ký hiệu M s , cịn gọi mơđun phải S Cho R, S vành Nhóm aben M gọi R  S song môđun M R  môđun trái S  môđun phải thỏa mãn điều kiện: (r.x) s r ( x.s) r  R, s  S , x  M Ký hiệu R  S song môđun R M S Cho R vành giao hốn, M R  mơđun trái, ta xem M R  mơđun phải cách đặt x.r r.x Khi đó, M R  R song môđun Trong tiểu luận này, ta quy ước: nói M R  môđun nghĩa M R  môđun trái 1.1.2 Định nghĩa Môđun con: Cho M R  môđun Tập N gọi môđun M N nhóm nhóm cộng M N đóng kín phép nhân vô hướng R  môđun M 1.1.3 Định lí Một tập H 0 R  mơđun M môđun M với a  R với x, y  H ta có: 1) x  y  H 2) ax  H Chứng minh: Điều kiện cần hiển nhiên, ta kiểm chứng điều kiện đủ: Hai điề kiện (1) (2) chứng tỏ phép cộng H phép nhân vô hướng H R với miền toán tử R xác định Đây hai phép toán cảm sinh từ hai phép toán R  mơđun M Nhưng tính giao hốn kết hợp phép cộng bốn tiên đề định nghĩa mơđun thỏa mãn tồn M thỏa mãn đới với tập H M Ngồi ra, H 0 nên x  H Khi M 0 R x  H (do điều kiện (2)); với x  H , phần tử đối  x ( 1) x  H (do điều kiện (2)) Vậy H R  mơđun 1.1.4 Định lí: Giao họ khác rỗng môđun R  môđun M môđun M Hợp họ khác 0 mơđun mơđun nói chung môđun Hợp tập thứ tự toàn phần (theo quan hệ bao hàm) môđun M môđun M 1.1.5 Hệ quả: Cho M R  mơđun, S tập M Khi đó, giao môđun M chứa S môđun bé M chứa S 1.1.6 Định nghĩa: Môđun M bé chứa S hệ gọi môđun M sinh tập S , ký hiệu S Nếu S M , S gọi hệ sinh M Nếu S hệ sinh môđun M cho với tập S   S ta có S  M S gọi hệ sinh cực tiểu môđun M Nếu M có hệ sinh hữa hạn M gọi môđun hữu hạn sinh Môđun sinh phần tử gọi môđun cyclic 1.1.7 Mệnh đề: Cho M R  môđun, 0 S  M Khi đó,  n  S   ri si | ri  R, xi  S , n     i 0  1.1.8 Định nghĩa: Cho M R  môđun, X tập M Một tổ hợp tuyến tính phần n tử X tổng hữu hạn r x i i , ri  R , xi  X , i 1, , n i 1 Phần tử x  M gọi biểu thị tuyến tính qua phần tử X x viết dạng tổ hợp tuyến tính phần tử X Tập X  M gọi độc lập tuyến tính với tập hữu hạn bao gồm phần tử phân biệt x1 , , x n X có tổ hợp tuyến tính triệt tiêu: n  x i i 0 i 1 kéo theo ri 0, i 1, , n Một tập M gọi sở hệ sinh độc lập tuyến tính M 1.1.9 Mệnh đề: Cho  M i | i  I  tập khác 0 môđun R  mơđun M Khi đó, tập:   M i   xi | xi  M I , I  J  , J hữu hạn  iI  i J  môđun M sinh M i iI 1.1.10 Định lí: Môđun M iJ i mệnh đề gọi tổng môđun M i , i  I Trong mệnh đề trên, sư biểu diễn phần tử x   M i thành tổng hữu iI hạn x iJ i phần tử xi  M i , i  J khơng 1.1.11 Định lí: Cho M R  môđun: Môđun N M gọi cực đại N M khơng có mơđun H M thỏa mãn N   H M Môđun A M gọi cực tiểu A 0 khơng có mơđun N M thỏa mãn  N   A M gọi môđun đơn M 0 M có hai mơđun M (ở cực đại, M cực tiểu) 1.1.12 Bổ đề:(Bổ đề zorn) Cho T tập thứ tự Nếu tập thứ tự tồn phần T có cận T T có phần tử cực đại 1.1.13 Định lí: Cho M R  môđun hữu hạn sinh, M 0 Khi đó, mơđun thực N M chứa môđun cực đại 1.1.14 Hệ quả: Mọi vành R có chứa iđêan cực đại Cho N môđun R  mơđun M Khi đó, N nhóm nhóm cộng aben M nên ta có nhóm thương aben  M / N , : với x  M , y  N  M / N  x  N    y  N  x  y  N 1.1.15 Định lí: Cho N môđun R  môđun M Khi đó, i) Quy tắc R M / N  M / N  r , x  N   rx  N ánh xạ, xác định phép nhân vô hướng phần tử vành R với phần tử nhóm thương M / N ii) Nhóm thương aben M / N với phép nhân vô hướng làm thành R  môđun 2.1 Đồng cấu môđun: 2.1.1 Định nghĩa: Cho M , N R  môđun Ánh xạ f : M  N gọi đồng cấu R  môđun điều kiện sau thỏa mãn: f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) f (rx ) rf ( x) x, y  M , r  R Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu f đơn ánh, toàn ánh, song ánh tương ứng Nếu có đẳng cấu f : M  N , M gọi đẳng cấu với N , ký hiệu M N Nếu f : M  N đồng cấu R  môđun, ta có: i) f   0 ii) f   x   f  x , x  M 2.1.2 Mệnh đề: Cho M , N R  môđun Ánh xạ f : M  N đồng cấu R  môđun f ( rx  sy ) rf ( x)  sf ( y ) r , s  R; x, y  M 2.1.3 Mệnh đề: Cho f : M  N g : N  P đồng cấu R  mơđun Khi đồng cấu R  môđun Chứng minh: r , s  R; x, y  M  gf  rx  sy   g  f  rx  sy    g  rf  x   sf  y   r  g  f  x    sg  f  y    r  gf  x   s gf  y  2.1.4 Mệnh đề: Cho f : M  N đẳng cấu R  mơđun Khi f R  mơđun 1 : N  M đồng cấu 2.1.5 Hệ quả: Cho f : M  N đồng cấu R  môđun: i) Im f  f  M  môđun N , gọi ảnh f ii) Kerf  f    môđun M , gọi hạt nhân f 2.1.6 Mệnh đề: Cho f : M  N đồng cấu R  môđun Khi đó, f đơn cấu Kerf 0 2.1.7 Định lí: Giả sử f : M  N đồng cấu R  môđun H môđun M cho M  Kerf Khi đó, có đồng cấu R  môđun f : M / H  N thỏa mãn f p  f , p : M  M / H tồn cấu tắc Hơn nữa: Kerf Kerf / H , Im f Im f 2.1.8 Hệ quả: Giả sử f : M  N đồng cấu R  mơđun Khi đó: M / Kerf Im f 2.1.9 Mệnh đề: Cho H , K môđun R  môđun M Khi đó:  H  K  / K H / H  K  2.1.10 Mệnh đề: Cho H  K  N môđun R  mơđun M Khi đó: N / K  N / H  K / H  2.1.11 Mệnh đề: Cho f : M  N đồng cấu R  mơđun, g : M  H tồn cấu R  môđun cho Kerg  Kerf Khi đó, có đồng cấu R  môđun h : H  N thỏa mãn hg  f 2.1.12 Mệnh đề: Cho f : M  N đồng cấu R  môđun, g : M  H đồng cấu R  môđun cho Im g  Kerf Khi đó, có đồng cấu R  môđun h : H  Kerg thỏa mãn ih  g , với i : Kerf  M đồng cấu bao hàm 2.1.13 Mệnh đề: Cho  : M  N đồng cấu R  mơđun Khi đó, i) Với R  mơđun H , ta có đồng cấu nhóm cộng  * : HomR  H , M   HomR  H , N  ii) f  f Với R  mơđun P , ta có đồng cấu nhóm cộng:  * : HomR  N , P   HomR  M , P  f  f 2.1.14 Mệnh đề: Cho R vành giao hốn, M , N R  mơđun Khi đó, nhóm cộng aben HomR  M , N  với phép nhân cô hướng xác định sau R  môđun với f  HomR  M , N , r  R :  r , f  x  rf  x , x  M 2.1.15 Mệnh đề: Cho R vành giao hốn, M R  mơđun hữu hạn sinh, I iđêan R  : M  N tự đồng cấu cho Im   Im M Khi đó, có a1 , , a n  I thỏa mãn:  n  a1 n   a n  1  a n 0 2.1.16 Hệ quả: Cho R vành giao hốn, M R  mơđun hữu hạn sinh, I iđêan R cho IM M Khi đó, có r  R thỏa mãn r   I rM 0 2.1.17 Mệnh đề: Cho R vành giao hoán, M R  môđun hữu hạn sinh, I iđêan R cho IM M I chứa iđêan cực đại R Khi đó, M 0 3.1 Môđun tự do: 3.1.1 Định nghĩa: Cho R  môđun vành, S tập hợp Một R  môđun tự S R  môđun F với ánh xạ f : S  F cho với ánh xạ g : S  X từ tập S vào R  môđun X , tồn đồng cấu R  môđun h : F  X thỏa mãn hf  g f S F g h X 3.1.2 Mệnh đề: Nếu  F, f  R  mơđun tự tập S f : S  F đơn ánh f  S  hệ sinh R  môđun F 3.1.3 Định lí : Với tập S , tồn sai khác đẳng cấu R  môđun tự S 3.1.4 Định lí: R  mơđun X gọi R  môđun tự X đẳng cấu với R  môđun tự tập S 3.1.5 Mệnh đề: Mọi R  mơđun M ảnh tồn cấu R  mơđun tự Suy ra, R  môđun M đẳng cấu với R  môđun thương R  mơđun tự 3.1.6 Định lí: Cho M R  môđun Tập S  M sở vầ ánh xạ bao hàm i : S  M mở rộng thành đẳng cấu R  môđun h : F  M , với F R  môđun tự sinh S f F S i h M 3.1.7 Hệ quả: R  môđun M tự M có sở 3.1.8 Mệnh đề: Mọi cở sở R  môđun hữu hạn sinh hữu hạn 3.1.9 Định lí: Mọi khơng gian vecto trường K K  môđun tự 4.1 Môđun xạ ảnh: 4.1.1 Định nghĩa: R X gọi xạ ảnh đồng cấu R  môđun f : X  B tồn cấu R  mơđun g : A  B có đồng cấu R  mơđun h : X  A thỏa mãn gh  f X h f g A B 4.1.2 Định lí: Mọi R  môđun tự xạ ảnh 4.1.3 Mệnh đề: Mọi hạng tử trực tiếp R  môđun xạ ảnh R  môđun xạ ảnh 4.1.4 Mệnh đề: Tổng trực tiếp R  môđun xạ ảnh R  môđun xạ ảnh 4.1.5 Mệnh đề: Mọi R M nhúng vào dãy khớp ngắn R  môđun 0 L F  M  4.1.6 Mệnh đề: Cho R X Các khẳng định sau tương đương: i) X R  môđun xạ ảnh ii) Mọi dãy khớp ngắn đồng cấu R  môđun  U   V   X  chẻ iii) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R  môđun tự iv) Nếu g : A  B tồn cấu R  mơđun thì: g * : HomR  X , A  HomR  X , B    g f g v) Nếu  A   B   C  dãy khớp đồng cấu R  mơđun dãy sau dãy khớp: g*  HomR  X , A f*  HomR  X , B    HomR  X , C   4.1.7 Định nghĩa: Cho R M , phép xạ ảnh M dãy khớp đồng cấu R  môđun: c :  cn 1  cn   c0  M  ci R  mơđun xạ ảnh i 0 4.1.8 Mệnh đề: Mọi R  mơđun M có phép giải xạ ảnh 5.1 Bổ đề sở đối ngẫu: Kết phần đặc tính mơđun xạ ảnh P đối ngẫu P * : HomR  P, R  5.1.1 Bổ đề: Một R  môđun phải P xạ ảnh tồn tập họ  : i  I   P * hàm tuyến tính  f i : i  P  P , cho với a  P , f i  a  0 với i , a  a i f i  a  i Chứng minh: * Giả sử tồn  : i  I   P ,  f i : i  P  P Xét g toàn cấu từ môđun F  ei R đến P xác định g  ei  ai với i  I Bản đồ h : P  F xác định h a   ei f i  a  , rõ ràng R đồng cấu chia thành g Do P đẳng cấu từ số hạng trực tiếp F ; P xạ ảnh Đảo lại, giả sử P xạ ảnh cố ddingj toàn cấu g từ môđun tự phù hợp F  ei R lên P Ánh xạ h : P  F xác định h a   e f  a   a  P   i i * Ở đây, f i dễ dàng kiểm tra R  tuyến tính (tức f i  P ), f  a  0 với i Áp dụng g, ta có a gh a   f i  a  , đâu : g  ei   P 5.1.2 Nhận xét: Chứng minh chứng minh P xạ ảnh hữu hạn tồn  , f i : i n cho a  f i  a  , a  P Trong trường hợp này, điều i chứng minh f i tạo thành P * Hơn nữa, đồ  : P  P ** định nghĩa phép đẳng cấu R  môđun Chương II: PHẦN BÀI TẬP Bài 1: Cho R  S vành giao hoán Xem S R  môđun Giả sử P , Q R  môđun S Đặt   PQ   pi qi | pi  P, qi  Q  (h.h: hữu hạn)  h h  P   x  S | sP  R Chứng minh khẳng định sau tương đương: i) Tồn R  môđun Q  S cho PQ  R ii) PP   R Khi đó, ta nói P R  mơđun khả nghịch S Giải: ii)  i) tầm thường, nên ta cần chứng minh i)  ii) Cho PQ  R , rõ ràng ta có Q  P  Như vậy, R  PP   PQ  R , PP   R Bài 2: Cho P R  môđun khả nghịch S Đặt P *  Hom R  P, R  Chứng minh rằng: i) P * P  xem R  môđun ii) P môđun tự P  Rs , với s  S Giải: i) Cho Q P  Xét  : Q  P * xác định   q  p  qp  R  p  P, q  Q  Nếu   q  0 , q  qR qPQ 0 ,  nội xạ * Ta có f i   qi  , P  Rf i    Rqi  (do 5.1.2), nên  toàn ánh ii) Giả sử P sR với s  S Thì R PQ SQ , nên sq 1 số q  Q Điều chứng minh s  U  S  Đặc biệt, PR tự với sở  s Ngược lại, giả sử PR tự Thì P  R n với n   , nên Q  P *  R n cho n Nhưng:     R PQ  P  R Q  R n  R R n R n Nếu R 0 , ta phải có n 1 nên P sR với s  S Và R 0 KẾT LUẬN Trong tiểu luận này, tơi trình bày kiến thức môđun khả nghịch, đặc biệt giải hai tập liên quan đến môđun khả nghịch Mặc dù cố gắng kiến thức thời gian cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót Rất mong thầy bạn góp ý để tiểu luận tơi hồn thiện Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình TS Phan Văn Thiện, xin cám ơn anh chị, bạn bè lớp Toán K20 tác giả sách mà tơi tham khảo để tơi hồn thành tiểu luận Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giáo trình sở đại số đại, NXBGD, 2001 Nguyễn Xuân Tuyến – Lê Văn Thuyết [2] Đại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất (1985) Ngô Thúc Lanh [3] Đại sô trừu tượng – Tập 1, NXBGD (2005) Nguyễn Xuân Tuyến – Lê Văn Thuyết [4] Theory of Categories, NEWYORK, Copyright 1965 BARRY MITCHELL [5] T.Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999 [6] T.Y Lam, Exercise in Modules and Rings, Springer, 2007  ... Trong phát triển tốn học đại, sở đại số đại môn học quan trọng, sở tiền đề cho phát triển đại số đại Trong mơđun vai trị tảng mơn học Trong tiểu luận tơi xin trình bày số lý thuyết dùng để chứng... R  môđun tự sinh S f F S i h M 3.1.7 Hệ quả: R  môđun M tự M có sở 3.1.8 Mệnh đề: Mọi cở sở R  môđun hữu hạn sinh hữu hạn 3.1.9 Định lí: Mọi không gian vecto trường K K  môđun tự 4.1 Môđun. .. Mệnh đề: Cho R vành giao hoán, M R  môđun hữu hạn sinh, I iđêan R cho IM M I chứa iđêan cực đại R Khi đó, M 0 3.1 Môđun tự do: 3.1.1 Định nghĩa: Cho R  môđun vành, S tập hợp Một R  môđun tự